{高中试卷}高三数学平面向量一轮复习

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高考数学一轮复习数学平面向量多选题专项训练试题含答案

高考数学一轮复习数学平面向量多选题专项训练试题含答案一、平面向量多选题1．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°答案：ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A ，∵，，与的夹角为锐角，∴，且(时与的夹角为0)，所以且，故A 错误；对于B解析：ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a a b a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,2||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误.故错误的选项为ACD故选：ACD【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.2．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）A ．若a b →→=，则a b →→=B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→=C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥ 答案：ACD【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同解析：ACD【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确；对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误；对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反，故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．3．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6A a c π===则角C 的大小是( )A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π 答案：BD【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.【详解】由正弦定理可得,,而,,,故或.故选:BD.【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析：BD【分析】由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案.【详解】由正弦定理可得sin sin a c A C=,∴ sin sin c C A a ==而a c <, ∴ A C <,∴ 566C ππ<<,故3C π=或23π. 故选:BD.【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（）A ．a 是单位向量B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+ 答案：ABD【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据，，利用数量积运算判断.【详解】A. 因为是边长解析：ABD【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断.【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（） A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．(7，9)答案：ABC【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.【详解】由点，，则选项A . ,所以A 选项正确.选项B. ,所以B 选项正确.选项C . ,所以C 选解析：ABC【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.6．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（）A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 答案：CD对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A ，向量(解析：CD【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断.【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确；故选：CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒答案：BC【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解；对于选项D 中：因为sin sin 1b A B a =<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC .【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．以下关于正弦定理或其变形正确的有（）A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sinB ：sin CB ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b c A B C答案：ACD【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中解析：ACD【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C R B C +=+＝左边，故该选项正确. 【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C R B C B C++==++＝左边，故该选项正确. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（）A B C D ．答案：AB【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】中，因为，，面积，所以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABC S ab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC S =所以1sin 2ABC S ab C ==所以sin C =，解得60C =或120C =，当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形答案：AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确；对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab+-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.11．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（） A ．a b ⊥ B ．2a b += C ．2a b -=D ．,60a b =︒ 答案：AC【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确；，可得，故B 错误；，可得，故C 正确；由可得，故D 错误;故选：AC【点睛】解析：AC【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A 正确；()22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误;故选：AC 【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.12．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（）A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++=C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+ 答案：ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确；对于B 选项，，由于为三解析：ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误；对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.13．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（） A ．5B ．23C ．23-D ．53答案：AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos 3B ==±. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 14．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量答案：AC 【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若与的方向相反，解析：AC 【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题. 15．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-答案：AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误；若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB.本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.二、平面向量及其应用选择题16．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：A 【分析】利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =，是等腰三角形．【详解】ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，2222a c b cosB ac+-= ，∴22222a a c b c ac +-= 220c b ∴-= ，∴c b ABC =，是等腰三角形．【点睛】本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．17．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=B ．cos cos cos 0A OA B OBC OC ⋅+⋅+⋅=C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= 解析：C利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案. 【详解】如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以O 为ABC ∆的垂心。

高考理科数学一轮复习专题训练：平面向量(含详细答案解析)

第6单元平面向量（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，若∥a b ，则实数m 的值为（） A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】C【解析】由题意，向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，因为∥a b ，则231m =，即32m =，解得23m =．故选C ． 2．已知向量(2,1)=a ，(,1)m =-b ，且()⊥-a a b ，则m 的值为（） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B【解析】因为(2,1)=a ，(,1)m =-b ，所以(2,2)m -=-a b ，因为()⊥-a a b ，则()2(2)20m ⋅-=-+=a a b ，解得3m =，所以答案选B ．3．已知向量a ，b 满足||1=a ，=b ，a 与b 的夹角为2π3，则2-a b 为（）A ．21BCD 【答案】B【解析】||2Q b =，2π1||||cos 12132a b a b 骣琪?=创-=-琪桫，|2|a b \-=，故选B ．4．已知向量a ，b 满足||1=a ，⊥a b ，则向量2-a b 在向量a 方向上的投影为（） A ．0 B ．1C ．2D ．1-【答案】B【解析】根据向量的投影公式可知，向量2-a b 在向量a 方向上的投影为2(2)()1||||-⋅==a b a a a a ，故选B ． 5．设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数λ，使得λ=a b ，说明向量a ，b 共线，当a ，b 同向时，+=+a b a b 成立，当a ，b 反向时，+=+a b a b 不成立，所以充分性不成立．当+=+a b a b 成立时，有a ，b 同向，存在实数λ，使得λ=a b 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的必要而不充分条件．故选B ．6．已知非零向量a ，b ，若(3)0⋅+=a a b ，2=a b ，则向量a 和b 夹角的余弦值为（） A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ，||2||=Q a b ，∴由(3)0⋅+=a a b ，可得2222()33cos 46cos 0θθ+⋅=+⋅=+=a a b a a b b b ，化简即可得到2cos 3θ=-，故答案选B ． 7．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r【答案】D【解析】根据题意得1()2AF AC AE =+u u u r u u u r u u u r，又AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，12AE AB =u u ur u u u r ，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故选D ．8．设D 为所在平面内一点，1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，若，则（）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D 【解析】因为D 为所在平面内一点，由1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，可得34AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ，即44AD AC AD AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则4CD BD =u u u r u u u r ，即4BD DC =-u u u r u u u r ，可得3BD DC DC +=-u u u r u u u r u u u r ，故3BC DC =-u u u r u u u r，则，故选D ．9．在四边形中，2AB =+u u u r a b ，43BC =--u u u r a b ，55CD =--u u u ra b ，那么四边形的形状是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对【答案】C【解析】86AD AB BC CD =++=--u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，2AD BC ∴=u u u r u u u r，AD BC ∴∥，AB CD ∥，四边形是梯形，答案选C ．10．在中，为的重心，为上一点，且满足3MC AM =u u u u r u u u u r ，则（）A ．11312GM AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．11312GM AB AC =--u u u u r u u ur u u u r C ．17312GM AB AC =-+u u u u r u u ur u u u r D ．17312GM AB AC =-u u u u r u u u r u u u r【答案】B【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得GM GA AM=+u u u u r u u u r u u u u r，因为G为△ABC的重心，M满足3MC AM=u u u u r u u u u r，所以()()211323AG AB AC AB AC=⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，14AM AC=u u u u r u u u r，所以11111334312GM AB AC AC AB AC⎛⎫=-++=--⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以选B．11．如图所示，设为所在平面内的一点，并且1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，则与的面积之比等于（）A．25B．35C．34D．14【答案】D【解析】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以()1CP mCA nCD m n=++=u u u r u u u r u u u r，设CD kCB=u u u r u u u r，代入可得CP mCA nkCB=+u u u r u u u r u u u r，即()()1AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB-=-+-⇒=--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u v，又因为1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，即14nk=，112m nk--=，且，解得1344m n==，，所以1344CP CA CD=+u u u r u u u r u u u r，可得4AD PD=u u u r u u u r，因为与有相同的底边，所以面积之比就等于DPu u u r与ADu u u r之比，所以与的面积之比为14．故选D ． 12．已知向量a ，b 满足4=a ，b 在a 上投影为，则3-a b 的最小值为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】b 在a 上投影为，即cos ,2=-b a b ，0>Q b ，cos ,0∴<a b ，又[)cos ,1,0∈-a b ，min 2∴=b ，2222223696cos ,9964-=-⋅+=-+=+a b a a b b a a b a b b b ，min 3946410∴-=⨯+=a b ，本题正确选项B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量(1,2)x =+a 和向量(1,2)=-b 垂直，则-=a b _______．【答案】5【解析】Q 向量()1,2x =+a 和向量()1,2=-b 垂直，140x ∴⋅=+-=a b ，解得3x =，()3,4∴-=a b ，9165∴-=+=a b ，本题正确结果5．14．已知向量()2,3=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =________．【答案】9【解析】因为⊥a b ，所以(2,3)(,6)2180m m ⋅=⋅-=-=a b ，解得m =9，故填9．15．已知向量3)=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为__________．【答案】60︒【解析】很明显132=+=a ，设向量,a b 的夹角为θ，则21cos 1θ⋅=⨯⨯=a b ，1cos 2θ∴=，π3θ=，据此有()()22224242-⋅=-⋅=-=b a b b a b ，且22==-=b a ，22=b ，向量2-b a 与2b 的夹角为β，则21cos 222β==⨯，60β=︒，综上可得：2-b a 与2b 夹角为60︒．16．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，则OP u u u r＝_____．【答案】12x x【解析】因为PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以P 为ABC △的重心，故P 的坐标为123123,33++++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,2，故OP =u u u r ．填12x x ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ．（1）求3-a b 的值；（2）若()λ⊥+a a b ，求λ的值．【答案】（1）3-=a b ；（2）1λ=-．【解析】（1）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则3(6,2)-=a b ，则3-==a b ．（2）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则(13,24)λλλ+=-+a b ，若()λ⊥+a a b ，则()1(13)2(24)550λλλλ⋅+=⨯-+⨯+=+=a a b ，解得1λ=-．18．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ．（1）用向量,a b 表示向量AM u u u u r ，AN u u u r ，MN u u u u r；（2）若2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为π3，求AM MN ⋅u u u u r u u u u r 的值．【答案】（1）见解析；（2）92-．【解析】（1）因为在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =u u u r u u u r，又AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，故1122AM AD DM AD AB ===+++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r a b ，1133AN AB BN AB AD ===+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，11123223MN AN AM ⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭=⎝=⎭u u u u r u u u r u u u u r a b a a b b ．（2）2211212192234362AM MN ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-⋅=- ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝=⎭+u u u u r u u u u r a b a a b a b b ，故答案为92-． 19．（12分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）若，求的值；（2）设点为单位圆上的一个动点，点满足OQ OA OP =+u u u r u u u r u u u r．若，π6π2θ≤≤，表示OQ u u u r ，并求OQ u u u r的最大值．【答案】（1）15；（2）．【解析】（1）点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．可得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴341cos sin 555αα+=-+=．（2）因为，，所以()1cos2,sin 2OQ OA OP θθ=+=+u u u r u u u r u u u r，所以()221cos 2sin 222cos 22cos OQ θθθθ=++=+=u u u r ，因为π6π2θ≤≤，所以2cos 0,3OQ θ⎡⎤=∈⎣⎦u u u r ，OQ u u u r的最大值．20．（12分）设向量()()()11,cos22,14sin 1sin,12θθ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，，，，a b c d ，其中4π0,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求⋅-⋅a b c d 的取值范围；（2）若函数，比较()f ⋅a b 与()f ⋅c d 的大小．【答案】（1）；（2）()()f f ⋅>⋅a b c d ．【解析】（1）∵2cos2θ⋅=+a b ，22sin 12cos2θθ⋅=+=-c d ，∴2cos2θ⋅-⋅=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()0,2⋅-⋅的取值范围是a b c d ．（2）∵()22cos211cos22cos f θθθ⋅=+-=+=a b ，()22cos211cos22sin f θθθ⋅=--=-=c d ， ∴()()()222cos sin 2cos2f f θθθ⋅-⋅=-=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()()f f ⋅>⋅a b c d ． 21．（12分）在中，三内角的对边分别为，已知向量()2sin ,cos2x x =m ，()3cos ,1x =n ，函数()f x =⋅m n 且．（1）求角的值；（2）若23BA BC +=u ur u uu u r 且成等差数列，求．【答案】（1）π3B =；（2）2．【解析】（1）()23sin cos cos23sin2cos2f x x x x x x =⋅=+=+m n ，整理得()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∵，∴12sin 21si 62ππn 26B B ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵，∴π3B =．（2）由成等差数列，得，由余弦定理得，由23BA BC +=u ur u uu u r ，得，三个等式联立解得．22．（12分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记AB =u u u ra ，AD =u u u rb ，试以,a b 为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题．（1）用,a b 来表示向量DE u u u r ，BF uuu r；（2）若，且3BF =u u u r，求．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵在中，2DF FC =u u u r u u u r，∴111222DE DC CE AB CB AB AD =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v a b ，111333BF BC CF AD CD AD AB =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b a ．（2）由（1）可知：13BF AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，12DE AB AD =-u u u r u u u r u u u r，∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∵且，∴(222213223cos 339BAD ∠=-⨯⨯⨯+⨯，∴1cos 2BAD ∠=，∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE =u u u r第6单元平面向量第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量(1,2)=-a ，(2,1)x =-b ，若∥a b ，则x =（） A ．12B ．14C ．4D ．2【答案】B【解析】因为向量(1,2)=-a ，(2,1)x =-b ，若∥a b ，则1(1)220x -⨯--⨯=，解得14x =，故选B ． 2．已知向量(5,)m =a ，(2,2)=-b ，若()-⊥a b b ，则m =（） A ．1- B ．1C ．2D ．2-【答案】B【解析】因为(5,)m =a ，(2,2)=-b ，所以(3,2)m -=+a b ，又()-⊥a b b ，所以()0-⋅=a b b ，即322(2)0m ⨯-+=，解得1m =．故选B ．3．平面向量a 与b 的夹角为60︒，||2||1==a b ，则|2|+=a b （）A B ．12C ．4D ．【答案】D【解析】由题意可得|2|+==a b===D ． 4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则（） A ．⊥a b B ．=a bC ．∥a bD ．>a b【答案】A【解析】由题意知：22+=-a b a b ，即222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，整理得0⋅=a b ，∴⊥a b ，本题正确选项A ．5．已知6=a ，3=b ，12⋅=-a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（） A ．4 B ．4-C ．2-D ．2【答案】B【解析】由题意得：122cos ,633⋅-<>===-⋅⨯a b a b a b ，向量a 在b 方向上的投影为2cos ,643⎛⎫<>=⨯-=- ⎪⎝⎭a ab ，本题正确选项B ．6．向量(2,)t =a ，(1,3)=-b ，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（） A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-【答案】C【解析】若a ，b 的夹角为钝角，则0⋅<a b 且不反向共线，230t ⋅=-+<a b ，得23t <．向量(2,)t =a ，(1,3)=-b 共线时，23t ⨯=-，得6t =-．此时2=-a b ．所以23t <且6t ≠-．故选C ． 7．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是线段BD 上靠近D 的三等分点，F 是线段BD 的中点，则AF CE ⋅=u u u r u u u r（）A ．4-B ．3-C ．6-D ．2-【答案】D【解析】因为1122AF AD AB =+u u u r u u u r u u u r，11213333CE CD DE AB AD AB AB AD =+=--+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以221121111()()422233632AF CE AD AB AB AD AD AB ⋅=+⋅--=--=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选D ． 8．已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足PA PC +=0u u u r u u u r ，2QA BQ =u u u r u u u r，则的面积为（） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【解析】由题意PA PC +=0u u u r u u u r 可知，P 为AC 的中点，2QA BQ =u u u r u u u r，可知Q 为AB 的一个三等分点，如图：因为1sin 22ABC S AB AC A =⋅=△，所以11122sin sin 22233APQ S AP AQ A AB AC A =⋅=⨯⋅=△．故选B ． 9．已知中，为的重心，则AG GC ⋅=u u u r u u u r（）A ．6718 B ．6718-C ．269D ．269-【答案】A 【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，且()13AG AC AB =+u u u r u u u r u u u r ，()13GC AC BC =+u u u r u u u r u u u r，所以()()19AG GC AC AB AC BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2221199AC AC AB AC BC AB BC AC AC AB BC =+⋅+⋅+⋅=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ()221674432cos 918B ⎡⎤=++⨯⨯-=⎣⎦． 10．已知向量()cos 2,sin θθ=-a ，其中，则a 的最小值为（） A ．1 B ．2C ．D ．3【答案】A【解析】因为()cos 2,sin θθ=-a ，所以()22cos 2sin 14cos 454cos θθθθ=-+=-+=-a ，因为，所以，故a 的最小值为．故选A ．11．已知平面向量OA u u u r ，OB uuu r 满足1OA OB ==u u u r u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，且12OD DA =u u u r u u u r ，为的外心，则ED OB ⋅=u u u r u u u r（） A ．12-B ．16-C ．16D ．12【答案】A【解析】0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥u u u r u u u r u u u r u u u r，又1OA OB ==u u u r u u u r，OAB ∴△为等腰直角三角形，为的外心，为中点，1222OE AB ∴==u u u r u u u r 且，12OD DA =Q u u u r u u u r ，13OD OA ∴=u u u r u u u r，()1221cos 32ED OB OD OE OB OA OB OE OB OE OB BOE ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-∠=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u u u r ．本题正确选项A ． 12．在中，，2BA BC BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，点是所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取得最小值时，AP BC ⋅=u u u r u u u r（）A ．35B ．C ．D ．25-【答案】B【解析】2|cos |BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，cos BC B BA ∴⋅=u u u r u u u r，CA AB ∴⊥u u u r u u u r ，π2CAB ∠=，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则()()22222222263PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-u u u r u u u r u u u r，所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取最小值，此时()()2,16,39AP BC ⋅=⋅-=-u u u r u u u r．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为45︒，则a 在b 方向上的投影为_____． 2【解析】由向量数量积的几何意义可得，a 在b 方向上的投影为cos ,2cos452=︒=a a b 2．14．已知两个单位向量a ，b ，满足3-=a b ，则a 与b 的夹角为_______．【答案】2π3【解析】由题意知：1==a b ，3∴-=a b ，()222222cos ,3∴-=-⋅+=-<>=a b a a b b a b ，1cos ,2∴<>=-a b ，2π,3∴<>=a b ，本题正确结果2π3．15．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在直线CD 上，若2AB AF ⋅=u u u r u u u r，则AE BF =⋅u u u r u u u r______．【答案】2【解析】在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，可以以AB uuu r ，AD u u u r的方向为,x y 轴的正方向的直角坐标系，如下图所示：所以(0,0)A ，2,0)B ，2,2)C ，(0,2)D ，点E 为BC 的中点，故(2,1)E ，设(,2)F x ，2,(2,0)(,2)21AB AF x x ⋅=⇒⋅==u u u r u u u r， (1,2)F ∴，2,1)(12,2)2(12)+12AE BF ⨯⋅=⋅=u u u r u u u r16．在平行四边形ABCD 中，已知1AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，则AE AF ⋅=u u u r u u u r__________．【答案】52【解析】由题意，如图所示，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，则1=a ，2=b ，又由CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点，则12AE =+u u u r b a ，221()333AF =+-=+u u u r b a b a b ，所以22121151233363AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r a b a b a a b b221515112cos6023632=⨯+⨯⨯︒+⨯=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设,t k ∈R ，已知(1,2)=a ，(2,1)=-b ，(2)t =++m a b ，k t =+n a b ．（1）若1t =，且∥m n ，求k 的值；（2）若5⋅=m n ，求证：2k ≤．【答案】（1）13k =；（2）见证明．【解析】（1）当12yx t =+时，3(5,5)=+=-m a b ，(2,21)k k k =+=-+n a b ， ∵∥m n ，∴5(2)5(21)k k -=-+，解得13k =．（2）[](2)()t k t ⋅=++⋅+m n a b a b 22(2)(2)k t k t t t =+⋅++⋅++a a b a b b 55(2)k t t =++，∵5⋅=m n ，∴55(2)5k t t ++=，∴2221(1)22k t t t =--+=-++≤． 18．（12分）如图，已知正三角形的边长为1，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ．（1）若是的中点，用,a b 分别表示向量CB u u u r ，CD uuu r；（2）求2+a b ；（3）求2+a b 与32-+a b 的夹角．【答案】（1）CB =-u u u ra b ，12CD =-u u u r a b ；（2）；（3）120︒．【解析】（1）CB AB AC =-=-u u u r u u u r u u u ra b ，1122CD AD AC AB AC =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b ．（2）由题意知，1==a b ，且,60〈〉=︒a b ，则2222224444cos ,4217+=+⋅+=+〈〉+=++=a b a a b b a a b a b b ，所以2=7+a b ．（3）与（2）解法相同，可得32=7-+a b ，设2+a b 与32-+a b 的夹角为，则()()2272326212cos 232232277θ-+⋅-+-+⋅+====-+-++-+⨯a b a b a a b b a b a b a b a b ，因为，所以2+a b 与32-+a b 的夹角为120︒．19．（12分）设是单位圆和轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，π4AOP ∠=，，2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）当π6x =时，求OP OQ ⋅u u u r u u u r 的值；（2）设函数()sin2f x OP OQ x =⋅+u u u r u u u r，求的值域．【答案】（1）624+；（2）2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）由题意得：62cos ,cos cos cos sin sin 464πππ646π4ππOP OQ +⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，62cos ,4OP OQ OP OQ OP OQ +∴⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（2）()22sin2co πs sin2cos sin 2sin cos 422f x OP OQ x x x x x x x =⋅+=-+=++u u u r u u u r ，设sin cos 2sin π4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则，又2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3π,44ππ4x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1,2t ⎡⎤∴∈⎣⎦，()2212f t t t ∴=+-，，当时，()()min 212f t f ==；当时，，的值域为2,22⎤⎥⎣⎦． 20．（12分）已知向量cos,sin 22x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，33cos ,sin 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，且,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求⋅a b 以及+a b 的取值范围；（2）记函数()2f x λ=⋅-+a b a b ，若的最小值为32-，求实数的值．【答案】（1）见解析；（2）12λ=．【解析】（1）易得33coscos sin sin cos22222x x x xx ⋅=-=a b ．因为222233||cos cos sin sin 22cos 24cos 2222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ，又,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，所以[]2cos 0,2x +=-∈a b ．（2）依题意，得()22cos24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλλ=⋅-+=+=+-a b a b ．令，由（1）知，，则有．①当，即时，有()()min 312412g t g λ=-=--=-，解得58λ=，此与矛盾；②当，即时，有()()2min 3212g t g λλ=-=--=-，解得12λ=（12λ=-舍）； ③当，即，有，此与题设不符．综上所述，所求实数12λ=． 21．（12分）已知平面向量2sin 2,26πx ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()21,sin x =n ，()f x =⋅m n ，其中2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，，的对边长分别为，，，若12B f ⎛⎫=⎪⎝⎭，，，求的值．21【答案】（1）增区间为π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）的值为或．【解析】（1）()2π2sin 22sin 6f x x x ⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭m n ()2sin2cos cos2sin 1cos26ππ6x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭13cos2sin21cos 21223πx x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，由π2ππ22π,3k x k k -≤+≤∈Z ，得2πππ,36πk x k k -≤≤-∈Z ，又∵2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴函数的增区间为π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得cos 03πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为，所以ππ4π333B <+<，从而2ππ3B +=，即π6B =．因为，，所以由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 3sin 2c B C b ==，故π3C =或2π3，当π3C =时，π2A =，从而；当2π3C =时，π6A =，又π6B =，从而，综上的值为或．22．（12分）如图，在四边形中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，，且1BO AD ==u u u r u u u r ．22 （1）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r ；（2）点在线段上，且，求的值．【答案】（1）32CB OA OB =--u u u r u u u r u u u r ；（2）25cos 5PCB ∠=．【解析】（1）因为2OA AD =u u u r u u u r ，所以32DO AO =u u u r u u u r ．因为2CD BO =u u u r u u u r ，所以33=++222CB CD DO OB BO AO OB OA OB =++=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（2）因为2CD BO =u u u r u u u r ，所以OB CD ∥．因为2OA AD =u u u r u u u r ，所以点共线．因为，所以．以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为1BO AD ==u u u r u u u r ，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，所以，所以()1,2AC =u u u r ，()2,1AB =-u u u r ．因为点在线段上，且，所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，所以55,33CP AP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ．因为()3,1CB =--u u u r ，所以55253cos 52103CP CB PCB CP CB ∠+⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r。

高三数学第一轮复习平面向量测试题新课标人教版

高三数学第一轮复习平面向量测试题)061108(命题人：河南汤阴一中杨焕庆一.选择题)60512(//=⨯.1设,a b 是两个不共线向量,2,,2AB a pb BC a b CD a b =+=+=-,若,,A B D 三点共线,则实数p 的值是: .A 2- .B 1- .C 1 .D 2.2设命题P ：非零向量、，||||=是)()(+⊥-的充要条件；命题q ：M 为平面上的一动点，A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在角α，使α+α=22cos sin ，则.A q p ⋂为真命题.B q p ⋃为假命题.C q p ⋂⌝为假命题 .D q p ⋃⌝为真命题.3将函数)1lg(+=x y 图象按向量平移后,得到的图象与函数110+=x y 的图象关于直线x y =对称,则向量是: .A (1,1) .B (-1,1) .C (-1,-1) .D (1,-1).4点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是： .A 0 .B23 .C 45 .D 34 .5已知,3||,1||==,0|=⋅点C 满足AOC ∠30o =。

设n m +=),,(R n m ∈，则mn等于：.A ±13.B ±3.C 3.D :,1),2,2(),1,1(),,(),,(.622有则这样的向量若平面向量→→→→→→→→→=⋅=⋅====a d b c a d c y x b y x a .A 1个 .B 2个 .C 多于2个.D 不存在 .7在平行四边形ABCD 中，F E ,分别是CD BC ,的中点，DE 与AF 交于点H 。

设b BC a AB ==,，则AH 等于：.A 5452- .B 5452+ .C 5452+- .D 5452-- .8在三角形ABC 中，动点P 满足：⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC的： .A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心.9已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e|，则: .A a ⊥e .B a ⊥(a －e ) .C e ⊥(a －e ) .D (a ＋e )⊥(a －e ).10 如图，B A O ,,是平面上三点,向量=a ,=b .在平面AOB上,P 是线段AB 垂直平分线上任意一点,向量OP =p ,且2||,3||==b a , 则)(-⋅的值是: .A 5 .B 25 .C 3 .D 23 .11已知k Z ∈，(,1),(2,4)==AB k AC ，若10||≤AB ，则△ABC 是直角三角形的概率是： .A 17 .B 27 .C 37 .D 47.12非零向量=，=，若点B 关于所在直线的对称点为1B ，则向量1OB 为： .A a -2|| .B -2 .C 2||a D ||a二.填空题)3056(//=⨯.13已知在△ABC 中，|,|||AC AB =且0||22=+⋅AB CA AB ，则△ABC 的形状是________. .14设P 是ABC ∆所在平面上的一点，13AP AB t AC =+，()t R ∈使P 落在ABC ∆内部的t 的取值范围是 _________..15在ABC ∆中O 为中线AM 上的动点，若,2=AM 则)(OC OB OA +⋅的最小值是 . .16已知,2||||==与的夹角为060，则+在上的投影为 . .17已知向量),cos ,(sin ),1,3(θθm -==,且//,则m 的最小值为_________. .18已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，AH 为BC 边上有高，以下结论：①B A H A C B B A H A ⋅=+⋅)( ②H A C A H A ⋅=⋅③B c H A H A C A sin ||=⋅④A bc c b B A C A C B cos 2)(22-+=-⋅，其中正确的是 . （写出所有你认为正确的结论的序号）三.解答题)301515(///=+.19已知向量b a ,满足,1||||==b a ,且|||(0)ka b a kb k +-> ,令()f k a b =⋅.⑴求()f k a b =⋅（用k 表示）；⑵当0k >时,21()22f k x tx ≥--对任意的[1,1]t ∈-恒成立，求实数x 的取值范围。

高考数学一轮精品复习 F单元平面向量(含解析)-人教版高三全册数学试题

F 单元平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算5．A3、F1[2014·某某卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．15．F1[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．15．90° [解析] 由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.7．F1[2014·某某卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c|b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算4．F2[2014·某某卷] 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92 B ．0C ．3 D.1524．C [解析] ∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b )⊥c ，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.8．F2[2014·某某卷] 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)8．B [解析] 由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.16．F2，C4[2014·某某卷] 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．16．解：(1)由题意知，f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1. 因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 13．F2[2014·某某卷] 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．13.12 [解析] 因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12.18．F2，E5[2014·某某卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解：(1)方法一：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.F3 平面向量的数量积及应用10．F3[2014·卷] 已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．10. 5 [解析] ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5.11．F3[2014·某某卷] 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．11．±3 [解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.14．F3[2014·某某卷] 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．14.2 23 [解析] cos β＝a ·b |a||b|＝（3e 1－2e 2）·（3e 1－e 2）|3e 1－2e 2||3e 1－e 2|＝9e 21－9e 1e 2＋2e 229e 21－12e 1·e 2＋4e 229e 21－6e 1·e 2＋e 22＝9－9×13＋29－12×13＋4·9－6×13＋1＝83×2 2＝2 23.4．F3[2014·全国卷] 若向量a ，b 满足：|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2 B. 2 C ．1 D.224．B [解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a|2＋b·a ＝0.因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a·b ＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a ＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝ 2.3．F3[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．53．A [解析] 由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.12．F3，C8[2014·某某卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．12.16 [解析] 因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16.8．F3[2014·某某卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.7128．C [解析] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3（λ－1），即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3（1－μ），即点F (μ，3(1－μ))．又∵AE ·AF ＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，① CE →·CF →＝(λ－1, 3(λ－1))·(μ－1, 3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.F4 单元综合15．F4[2014·某某卷] 已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成．记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①S 有5个不同的值 ②若a ⊥b ，则S min 与|a |无关 ③若a ∥b ，则S min 与|b |无关 ④若|b |＞4|a |，则S min ＞0⑤若|b |＝2|a |，S min ＝8|a |2，则a 与b 的夹角为π415．②④ [解析] S 可能的取值有3种情况：S 1＝2a 2＋3b 2，S 2＝a 2＋2b 2＋2a·b ，S 3＝b 2＋4a ·b ，所以S 最多只有3个不同的值．因为a ，b 是不相等的向量，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝b 2＋4a·b .对于①，可知明显错误；对于②，当a⊥b 时， S min 与|a |无关，故②正确；对于③，当a∥b 时，S min 与|b |有关，故③错误；对于④，设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝b 2＋4a·b ＝|b 2|＋4|a||b |cos θ>|b 2|－4|a ||b|>16|a|2－16|a|2＝0，所以S min >0，故④正确；对于⑤，|b |＝2|a |，S min ＝4|a |2＋8|a |2cos θ＝8|a |2，所以cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故⑤错误．16．F4[2014·某某卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．16．1＋7 [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA ＋OB ＋OD ＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA ＋OB ＋OD |2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin (α＋φ)，所以(|OA →＋OB →＋OD →|2)max ＝8＋27，即|OA →＋OB →＋OD →|max ＝7 ＋1.10．E6，F4[2014·某某卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.1010．B [解析] 由题意可知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝1y 1＋y 2(x －y 21)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B.8．F4[2014·某某卷] 记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y .设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |28．D [解析] 对于A ，当a ＝0，b ≠0时，不等式不成立；对于B ，当a ＝b ≠0时，不等式不成立；对于C ，D ，设OA →＝a ，OB →＝b ，构造平行四边形OACB ，根据平行四边形法则，∠AOB 与∠OBC 至少有一个大于或等于90°，根据余弦定理，max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2成立，故选D.6．[2014·某某一模] 如图X191所示，在三角形ABC 中，BD ＝2CD .若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.23a －13bD.23a －23b 6．A [解析] ∵BC →＝AC →－AB →＝b －a ，∴BD →＝23BC →＝23b －23a ，∴AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23b －23a＝13a ＋23b . 12．[2014·某某某某诊断] 设AB →＝(3，2)，OC →＝(2，4)(O 为坐标原点)，点H (m ＋2，m －1)为△ABC 的垂心，则m ＝________．12．2 [解析] 易知CH →＝OH →－OC →＝(m ＋2－2，m －1－4)＝(m ，m －5)．由题知CH →·AB →＝0，即m ×3＋(m －5)×2＝0，∴m ＝2.8．[2014·某某某某一模] 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A.37 B ．13 C ．6 D.1278．D [解析] 由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.2.[2014·某某某某一诊] 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)当k ＝－115时，求(AB →－kOC →)·OC →的值．2．解：(1)由题意，得AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．故所求两条对角线的长分别为4 2，2 10. (2)∵OC →＝(－2，－1)，AB →－kOC →＝(3＋2k ，5＋k )， ∴(AB →－kOC →)·OC →＝(3＋2k ，5＋k )·(－2，－1)＝－11－5k . ∵k ＝－115，∴(AB →－kOC →)·OC →＝－11－5k ＝0.4．[2014·某某调研] 已知△ABC 中，角A 为锐角，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .设向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(cos A ，－sin A )，且m 与n 的夹角为π3.(1)计算m ·n 的值并求角A 的大小； (2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S . 4．解：(1)∵|m |＝cos 2A ＋sin 2A ＝1， |n |＝cos 2A ＋（－sin A ）2＝1， ∴m·n ＝|m|·|n |·cos π3＝12.∵m ·n ＝cos 2A －sin 2A ＝cos 2A ，∴cos 2A ＝12.∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝π3，∴A ＝π6.(2)方法一：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴7＝b 2＋3－3b ，解得b ＝－1(舍去)或b ＝4，故S ＝12bc sin A ＝ 3.方法二：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a sin A ＝csin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝32 7. ∵a >c ，∴0<C <π6，∴cos C ＝1－sin 2C ＝52 7.∵sin B ＝sin(π－A －C )＝sin π6＋C ＝12cos C ＋32sin C ＝27，∴b ＝a sin B sin A ＝4，故S ＝12bc sin A ＝ 3.。

(3套)2021年高考数学复习第一轮平面向量(含3套汇总)

所以解得
λ k, 1 3k,
k
1 3
,
λ
1 3
.
考点突破
栏目索引
考点一向量的有关概念典例1 给出以下命题: (1)假设|a| =|b|,那么a =b; (2)假设A、B、C、D是不共线的四点,A那B么D C = 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; (3)假设a =b,b =c,那么a =c; (4)两向量a、b相等的充要条件是|a| =|b|且a∥b; (5)假如a∥b,b∥c,那么a∥c. 其中假命题的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
(用a,b表示).
答案
-
1 4
1
a+ 4
b
解析
由
ANΒιβλιοθήκη =3NC,得AN
3
=4 AC
3
=4
(a+b),又AM
1
=a+2
b,所以MN
=AN -
AM
=
3 4
(a+b)-
a
1 2
b
=-
1 4
a+
1 4
b.
栏目索引
4.a与b是两个不共线向量,且向量a +λb与 -(b -3a)共线,那么λ =
.
答案 -1 解析由3 题意知存在k∈R,使得a +λb =k[ -(b -3a)],
解析 (1) AD= AB+ BD= AB+ BC+ CD= A+B 4 BC= A+B 4( AC- A)B= - 1 AB+
4 .应选A.
3
3
3
AC
(32)连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且 = = a,

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量(含答案)及参考答案

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量 (含答案 ) 及参照答案( 附参照答案 )平面向量一、填空题1、（2014 年江苏高考）如图，在平行四边形中，已知，，则的值是▲．2、（ 2013 年江苏高考）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为。

3、（ 2012 年江苏高考）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．4、（2015 届江苏南京高三9 月调研）已知向量a＝(2 ，1) ，b＝(0 ，－1) ．若 (a ＋λb) ⊥a，则实数λ＝▲．5、（ 2015 届江苏南通市直中学高三9 月调研）已知△ ABC中，∠ C=90°，，分别为边上的点，且，，则▲．6、（ 2015 届江苏苏州高三9 月调研）如图是半径为 3 的圆的直径是圆上异于的一点是线段上凑近的三均分点且则的值为▲7、（南京市 2014 届高三第三次模拟）在Rt△ABC中， CA＝CB＝2，M，N是斜边 AB 上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为▲．8、（南通市2014 届高三第三次调研）在直角三角形中，=90°，，．若点知足，则▲．9、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））已知平面内的四点 O，A，B，C知足，，则 =▲．10（、徐州市 2014届高三第三次模拟）如图，在△中，已知，，，，，则▲．11、（南京、盐城市2014 届高三第二次模拟（淮安三模））已知|| ＝1，|| ＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲12、（2014 江苏百校联考一）如图，是半径为 1 的圆的直径，△ ABC是边长为 1 的正三角形，则的最大值为13、（2014 南通二模）在△ ABC中，D是 BC的中点，AD＝8，BC＝20，则的值为▲．14、（苏锡常镇四市2014 届高三 3 月调研（一））如图，在△ABC中， BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为▲15、（兴化市2014 届高三上学期期中）已知在中，，，设是的心里，若，则．二、解答题1、（ 2013 年江苏高考）已知，。

高考数学一轮复习数学平面向量多选题试题附解析

高考数学一轮复习数学平面向量多选题试题附解析一、平面向量多选题1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M 【答案】BD【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥，所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．2．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λa bB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++=【答案】AD【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.【详解】对于选项A ：由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直，故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.3．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，23AB =（）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上C ．线段PG长的最大值为1D ．PA PB ⋅的最小值6+【答案】ABC【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断. 【详解】对于选项A ：设()00,G x y，2AB =G 为弦AB 的中点，GB ∴=，而()()22:114C x y+++=，半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --， ()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆.故选项A 正确；对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，代入()()2222x y -+-整理得2，故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=， ()()11121,1,1,2,2,2G r P r ∴--==，所以线段()()221112max121212421PG PG r r =++=--+--++=+，故选项C 正确；对于选项D ： ()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2min min3PA PB PG ⋅=-，由选项C 知：()()221112min121212221PG PG r r =--=--+----=-，所以()()2min 2213642PA PB ⋅=--=-，故选项D 错误；故选：A B C.【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.4．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1-【答案】BCD【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确.【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对 x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确故选：BCD【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.5．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°【答案】ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a a b a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误.故错误的选项为ACD故选：ACD【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.6．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC == C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案；【详解】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C C C C =，A 正确. 由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确. 21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB⋅=+⋅=⋅+，同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确.故选：AC .【点睛】本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．8．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=，则下列结论正确的有（）A．22 OA OD⋅=-B．2OB OH OE+=-C．AH HO BC BO⋅=⋅D．AH在AB向量上的投影为2【答案】AB【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH，其中||1OA=，对于32:11cos42A OA ODπ=⨯⨯=；故正确．对于:22B OB OH OA OE+==-，故正确．对于:||||C AH BC=，||||HO BO=，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于:D AH在AB向量上的投影32||cos||4AH AHπ=-，||1AH≠，故错误．故选：AB．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．9．下列各式结果为零向量的有（）A．AB BC AC++B．AB AC BD CD+++C．OA OD AD-+D．NQ QP MN MP++-【答案】CD对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确.【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确.故选：CD【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】BCD【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()3A a ，(),0B a -， (),0C a ，则()3PA x a y =--， (),PB a x y =---，(),PC a x y =--.则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=-即()2,2PB x y PC --+=所以()()()2,2x PA PB P y x y C =--⋅--⋅+则()PA PB PC ⋅+2222x y =+-即()PA PB PC ⋅+2223222x y a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232a ≥-故选：BCD.【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.。

高三数学一轮复习第五章《平面向量》52精品练习

高三数学一轮复习第五章《平面向量》52精品练习一、选择题1．(2010·安徽)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b[答案] C[解析] |a |＝1，|b |＝22，故A 错；a·b ＝12，故B 错；(a －b )·b ＝(12，－12)·(12，12)＝14－14＝0，故C 正确；∵112≠012，故D 错． 2．已知平面向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(3，－5)，则用a ，b 表示向量c 为( ) A ．2a －b B ．－a ＋2b C ．a －2bD ．a ＋2b[答案] C[解析] 设c ＝x a ＋y b ，∴(3，－5)＝(x －y ，－x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3－x ＋2y ＝－5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，∴c ＝a －2b ，故选C.3．(文)(2010·胶州三中)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.(理)(2010·北京延庆县模考)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2[答案] D[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，∵m a ＋4b 与a －2b 共线， ∴2m －44＝3m ＋8－1，∴m ＝－2. 4．(2010·河北省正定中学模拟)已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则向量a ，b 的夹角为( )A.3π2－θ B ．θ－π2C.π2＋θD ．θ[答案] A[解析] 解法一：由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x 2＋y 2＝4位于第二象限的部分上(∵π2<θ<π)，设其终点为P ，则∠xOP ＝θ，∴a 与b 的夹角为3π2－θ.解法二：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－4sin θ2×2＝－sin θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ， ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴3π2－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，又〈a ，b 〉∈(0，π)，∴〈a ，b 〉＝3π2－θ.5．(文)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C. 2D.22[答案] C[解析] 由(a －c )(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b )c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |，即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.(理)已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a,0)、B (0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．a 2[答案] D[解析] ∵AP →＝tAB →， ∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝(1－t )OA →＋tOB →＝(a －at ，at ) ∴OA →·OP →＝a 2(1－t )， ∵0≤t ≤1，∴OA →·OP →≤a 2.6．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD →＝b ，则AG →＝( )A.27a ＋17b B.27a ＋37b C.37a ＋17bD.47a ＋27b [答案] C[解析] ∵B 、G 、F 三点共线，∴AG →＝λAF →＋(1－λ)AB →＝14λb ＋(1－λ)a .∵E 、G 、C 三点共线，∴AG →＝μAE →＋(1－μ)AC →＝13μa ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量基本定理得，⎩⎪⎨⎪⎧λ4＝1－μ1－λ＝1－23μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝47μ＝67，∴AG →＝37a ＋17b .7．(文)(2010·深圳模拟)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14[答案] A[解析] 由题可知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A.(理)已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45D.53[答案] A[解析] 设C (x 0，y 0)，则y 0＝12ax 0，∴AC →＝(x 0－7，12ax 0－1)，CB →＝(1－x 0,4－12ax 0)，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝21－x 012ax 0－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12ax 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3a ＝2.8．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 6[答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.9．(2010·河南许昌调研)在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )[答案] A[解析] OC →＝λa ＋μb ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，令OC →＝(x ，y )，则x －y ＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0，∴点C 对应区域在直线y ＝x 的上方，故选A.10．(文)(2010·重庆诊断)称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a 、b 间的“距离”．若向量a 、b 满足；①|b |＝1；②a≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，b )≥d (a ，t b )，则( )A ．a⊥bB ．a⊥(a －b )C ．b⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )[答案] C[解析] 依题意得|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，亦即t 2－2t a·b ＋(2a·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有Δ＝(－2a·b )2－4(2a·b －1)≤0，即(a·b －1)2≤0，故a·b －1＝0，即a·b －b 2＝b·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )，选C.(理)(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )．令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2[答案] B[解析] 若a ，b 共线，则mq ＝np ，即a⊙b ＝0，∵a⊙b ＝mq －np ，∴b⊙a ＝pn －mq ，故B 错误；∵λa ＝(λm ，λn )，∴(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a⊙b )＝λmq －λnp ，∴C 正确；又(a⊙b )2＋(a·b )2＝(mq －np )2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，∴D 正确，故选B.[点评] 本题是找错误选项，而B 是指运算⊙满足交换律，显然mq －np ≠pn －qm ，故选B ，其它选项可不必讨论．二、填空题11．(2010·北京市顺义一中月考)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] ∵x ＝2时，a ＝(1,1)，b ＝(3,3)，b ＝3a ，∴a ∥b ；而当a ∥b 时，1×3＝(x ＋1)(x －1)，∴x 2＝4，∴x ＝±2，即当x ＝－2时，也有a ∥b ，故x ＝2是a ∥b 的充分不必要条件．12．(文)已知e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝2e 1－5e 2，CD →＝λe 1－e 2，若三点A 、B 、D 共线，则λ＝________.[答案] 8[解析] ∵A 、B 、D 共线，∴AB →与BD →共线， ∴存在实数μ，使AB →＝μBD →， ∵BD →＝CD →－CB →＝(λ－2)e 1＋4e 2， ∴3e 1＋2e 2＝μ(λ－2)e 1＋4μe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧μλ－2＝34μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ＝8，故填8.(理)已知A (－2,3)，B (3，－1)，点P 在线段AB 上，且|AP ||PB |＝12，则P 点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－13，53[解析] 设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)，PB →＝(3－x ，－1－y )， ∵P 在线段AB 上，且|AP ||PB |＝12， ∴AP →＝12PB →，∴(x ＋2，y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，－1－y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝3－x 2y －3＝－1－y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13y ＝53，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53.13．(2010·湖北八校联考)如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B 、C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[答案] 12[解析] M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM ＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.14．已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos2α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________.[答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos2α－3，∴2cos2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 三、解答题15．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.[解析] 因为A (7,8)，B (3,5)C (4,3) 所以AB →＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M 、N 分别为AB 、AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．[点评] 注意向量表示的中点公式，M 是A 、B 的中点，O 是任一点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．16．已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tAB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(t ＋2,3t －1)．若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)． ∵四边形OABP 为平行四边形，∴OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解．∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OPAB 为平行四边形．综上知，当t ＝±1时，四点O 、A 、B 、P 能成为平行四边形的四个顶点．17．(文)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及定点A (1,1)，M 为圆C 上任意一点，点N 在线段MA 上，且MA →＝2AN →，求动点N 的轨迹方程．[解析] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，则由MA →＝2AN →得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x y 0＝3－2y，代入(x －3)2＋(y －3)2＝4，得x 2＋y 2＝1.[点评] 平面向量与解析几何结合是新的命题方向，解答此类问题关键是利用向量共线或垂直的关系建立点的坐标之间的关系式，然后用解析几何的方法解答．请再练习下题：已知⊙C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝9及定点A (－1,1)，M 是⊙C 上任意一点，点N 在射线AM 上，且|AM |＝2|MN |，动点N 的轨迹为C ，求曲线C 的方程．解答如下：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵N 在射线AM 上，且|AM |＝2|MN |，∴AM →＝2MN →或AM →＝－2MN →，AM →＝(x 0＋1，y 0－1)，MN →＝(x －x 0，y －y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋1＝2x －x 0y 0－1＝2y －y 0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋1＝－2x －x 0y 0－1＝－2y －y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝132x －1y 0＝132y ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋1y 0＝2y －1，代入圆方程中得(2x ＋5)2＋(2y －2)2＝81或(2x ＋3)2＋(2y －2)2＝9.(理)(2010·湖北黄冈)已知θ是△ABC 的最大的内角．设向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(sin2θ，1－cos2θ)，c ＝(0，－1)．定义f (θ)＝(a ＋b )·c ＋|b |，求f (θ)的最大值．[解析] ∵θ是△ABC 的最大内角 ∴π3≤θ<π，|b |＝sin 22θ＋1－cos2θ2＝4sin 2θ＝2sin θ，∴f (θ)＝(a ＋b )·c ＋|b |＝(cos θ＋sin2θ，sin θ＋1－cos2θ)·(0，－1)＋2sin θ＝cos2θ－sin θ－1＋2sin θ＝－2sin 2θ＋sin θ＝－2(sin θ－14)2＋18∵π3≤θ<π，∴0<sin θ≤1，从而，当sin θ＝14时，f (x )取最大值18，(此时θ＝π－arcsin 14)。

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20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：第七章平面向量12．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．主要考查：1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．2．向量的坐标运算及应用．3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时向量的概念与几何运算1．向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量． ⑶且的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律． ⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向． 3．实数与向量的积⑴实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下： ① | λ |＝．②当λ＞0时，λ的方向与的方向；当λ＜0时，λ的方向与的方向；当λ＝0时，λ． ⑵λ(μ)＝． (λ＋μ)＝．λ(＋b )＝．⑶共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得．4．⑴平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得．⑵设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是．例1．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设=，b AC =，求．解：＝－＝41(＋)－＝－43＋41 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（） A ．－＋21 B ．－－21 C ．－21 D ．＋21解:A例2.已知向量2132e e -=，2132e e +=，2192e e -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使b a c μλ+=．解:c ＝λ＋μb ⇒21e －92e ＝(2λ＋2μ)1e ＋(－3λ＋3μ)2e ⇒2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9⇒λ＝2，且μ＝－1变式训练2：已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，点P 为平面上任意一点，求证：4=+++证明＋＝2，＋＝2⇒＋＋＋＝4例3.已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若a =，b =，试用a 、b 表示和．解：连NC ，则==-=+=+=4141；21-=-= 变式训练3：如图所示，OADB 是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝31，＝31，试用、表示，，．解:＝61a ＋65b ，＝32a ＋32b ，＝21－61b 例4.设，是两个不共线向量，若与起点相同，t ∈R ，t 为何值时，，t ，31(＋)三向量的终点在一条直线上？解：设])(31[t +-=-λ (λ∈R)化简整理得：)31()132(=-+-t λλ∵不共线与，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-2123030132t t λλλ 故21=t 时，)(31,,t +三向量的向量的终点在一直线上．变式训练4：已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+，,,C D E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD =，即(3)32t a tb ka kb -+=-+，整理得(33)(2)t k a k t b -+=-. ①若,a b 共线，则t 可为任意实数； ②若,a b 不共线，则有33020t k t k -+=⎧⎨-=⎩，解之得，65t =.综上，,a b 共线时，则t 可为任意实数；,a b 不共线时，65t =. D1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意与O 的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB ∥CD ，需证∥，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证∥AC 即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．第2课时平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x 、y ，使得＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作．并且||＝．2．向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系． 3．平面向量的坐标运算：若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则：＋＝ a －b ＝ λa ＝已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则＝．4．两个向量＝(x 1、y 1)和＝(x 2、y 2)共线的充要条件是．例1.已知点A （2，3），B （－1，5），且＝31，求点C 的坐标．解＝31＝(－1，32)，＝+＝(1,311)，即C(1, 311) 变式训练1.若(2,8)OA =，(7,2)OB =-，则31AB =. 解: (3,2)--提示：(9,6)AB OB OA =-=-- 例2.已知向量＝(cos 2α，sin 2α)，＝(cos 2β，sin 2β)，|－|＝552，求cos(α－β)的值．解:|－|＝55222552=--⇒)cos(βα2cos 22552βα--⇒＝55222552=--⇒)cos(βα⇒cos 2βα-＝53⇒cos(α－β)＝257- 变式训练2.已知－2b ＝(－3，1)，2＋b ＝(－1，2)，求＋b ．解＝(－1，1)，b ＝(1，0)，∴＋b ＝(0，1)例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，1e ＝＋2，2e ＝2－，且1e ∥2e ，求x ．解:1e ＝(1＋2x ，4)，2e ＝(2－x ，3)，1e ∥2e ⇒3(1＋2x)＝4(2－x)⇒x ＝21 变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，b ＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥3．证明: k ＝θθsin cos 2-∴k －3＝θπθsin )3cos(22--≥0 ∴k≥3例4. 在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若＝(3，5)，求点C 的坐标； (2) 当||＝||时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，)5,1()5,9()0,6()5,3(00--==+=+=y x得x 0＝10 y 0＝6 即点C(10，6)(2) ∵=∴点D 的轨迹为(x －1)2＋(y －1)2＝36 (y ≠1) ∵M 为AB 的中点∴P 分的比为21设P(x ，y)，由B(7，1) 则D(3x －14，3y －2) ∴点P 的轨迹方程为)1(4)1()5(22≠=-+-y y x变式训练4.在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||＝2，求的坐标．解已知A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)， D (－3，9)则四边形OBDC 为菱形∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDC 的对角线OD ∵2103==∴)5103,510(1032-==1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．第3课时平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与b 的．当θ＝0°时，与b ；当θ＝180°时，与b ；如果与b 的夹角是90°，我们说与b 垂直，记作．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则数量叫做与b 的数量积（或内积），记作·b ，即·b ＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x 1, y 1)，b ＝(x 2, y 2)，则a ·b ＝． 3．向量的数量积的几何意义：|b |cosθ叫做向量b 在方向上的投影 (θ是向量与b 的夹角)．a ·b 的几何意义是，数量a ·b 等于． 4．向量数量积的性质：设、b 都是非零向量，是单位向量，θ是与b 的夹角． ⑴·＝·＝ ⑵a ⊥b ⇔⑶当与b 同向时，·b ＝；当与b 反向时，·b ＝． ⑷ cosθ＝．⑸ |a ·b |≤ 5．向量数量积的运算律：⑴b ＝； ⑵ (λa )·b ＝＝a ·(λb ) ⑶ (＋)·c ＝例1. 已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求：(2a ＋3b )·(3a －2b )．解:(2＋3b )(3－2b )＝－4变式训练1.已知||＝3，|b |＝4，|＋b |＝5，求|2－3b |的值．解:56例2. 已知向量＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－22πθπ<<．(1) 若a ⊥b ，求θ； (2) 求|＋b |的最大值．解：(1)若b a ⊥，则0cos sin =+θθ 即1tan -=θ而)2,2(ππθ-∈，所以4πθ-=(2))4sin(223)cos (sin 23πθθθ++=++=+b a当4πθ=时，b a +的最大值为12+变式训练2：已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<． (1)求证：a b +与a b -互相垂直；(2)若ka →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．证明：222222()()(cos sin )(cos sin )0a b a b a b ααββ+⋅-=-=+-+=a b ∴+与a b -互相垂直（2）k a →+(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=++,a k →-(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=--,212cos()k a b k k βα→+=++-,212cos()a kb k k βα→-=+--,而2212cos()12cos()k k k k βαβα++-=++-cos()0βα-=，2πβα-=例3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝0，判断△ABC 是哪类三角形．解:设BC 的中点为D ，则(OC OB -)(OA OC OB 2-+)＝0⇒2BC ·AD ＝0⇒BC ⊥AD ⇒△ABC 是等腰三角形变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，则△ABC 的形状是.解: 直角三角形.提示：(1,1),(3,3),0,AB AC AB AC AB AC ==-⋅=⊥ 例4. 已知向量m ＝(cosθ, sinθ)和n ＝(2－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|n m +|＝528，求cos(82πθ+)的值.解:+＝(cos θ－sin θ＋2, cos θ＋sin θ)由已知(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝25128化简：cos 257)4(=+πθ又cos 225162)4cos(1)82(=++=+πθπθ∵θ∈(π, 2π) ∴cos 25162)4cos(1)82(=++=+παπθ<0 ∴cos 25162)4cos(1)82(=++=+παπθ＝－54 变式训练4.平面向量13(3,1),(,2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3)x a t b =+-,,y ka tb =-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =.解：由13(3,1),(,2a b =-=得0,||2,||1a b a b ⋅=== 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +-⋅-+=-+⋅--⋅+-=33311(3),()(3)44k t t f t t t =-=-义，往往能得出巧妙的解法．2．注意a ·b 与ab 的区别．a ·b ＝0≠＞a ＝，或b ＝． 3．应根据定义找两个向量的夹角。