第7章--MATLAB数值积分与数值微分PPT课件

MATLAB程序设计教程（第二版）
刘卫国 主编
2021/3/12
中国水利水电出版社
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第7章 MATLAB数值积分与数值微分
MATLAB数值积分 MATLAB数值微分
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7.1 数值积分 7.1.1 数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形
法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(NewtonCotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想 都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]， i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题 就分解为求和问题。
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7.2 数值微分 7.2.1 数值差分与差商 7.2.2 数值微分的实现 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只
有计算向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-
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例7-3 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi) I=
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3．梯形积分法
（1）建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki; ki=ki+1;
%ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
（2）调用dblquad函数求解。
global ki;
ki=0;
I=dblquad(@fxy,-2,2,-1,1)
dblquad(@fun,a,b,c,d,tol)
triplequad(@fun,a,b,c,d,e,f,tol) 其中，fun为被积函数，[a，b]为x的积分区域，[c，
d]为y的积分区域，[e，f ]为z的积分区域，参数tol 的用法与函数quad完全相同。
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例7-5 计算二重定积分
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7.1.2 数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数和 quadl函数来求定积分。函数的调用格式为：
[I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace)
[I,n]=quadl(@fname,a,b,tol,trace)
其中，fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限 和上限。tol用来控制积分精度，默认时取tol=10-6。 trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过 程，取0则不展现，默认时取trace=0。返回参数I即 定积分值，n为被积函数的调用次数。
0.285794442548811 n=
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2．高斯-克朗罗德法
MATLAB提供了基于自适应高斯-克朗罗德法的 quadgk函数来求振荡函数的定积分。该函数的调 用格式为
[I,err]=quadgk(@fname,a,b)
其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用 法与quad函数相同。积分上下限可以是−Inf或Inf， 也可以是复数。如果积分上下限是复数，则 quadgk在复平面上求积分。
在科学实验和工程应用中，函数关系往往是不知道 的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时， 人们就无法使用quad等函数计算其定积分。在 MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求 定积分问题用梯形积分函数trapz。该函数调用格 式如下：
I=trapz(X,Y)
其中，向量X，Y定义函数关系Y = f(X)。
ki
I=
1.5745
ki =
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如果使用inline函数，则命令如下： f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y'); I=dblquad(f,-2,2,-1,1) I= 1.5745
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例7-6 计算三重定积分 命令如下： fxyz=inline('4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x)','x','y','z'); triplequad(fxyz,0,pi,0,pi,0,1,1e-7) ans= 1.7328
调用函数quad求定积分： format long fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I=
0.285794442547663 n=
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调用函数quadl求定积分： format long fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quadl(fx,1,2.5,1e-10) I=
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也可不建立关于被积函数的函数文件，而使用语句函数 （内联函数）求解，命令如下：
g=inline('exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6)'); %定义一个语句函数 [S,n]=quad(g,0,3*pi) %注意函数名不加@号 S=
0.9008 n=
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例7-2 分别用quad函数和quadl函数求的近似值，并 在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。
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例7-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
S=
0.9008
n=
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例7-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下：
X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans =
0.2858
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7.1.3 多重定来自百度文库分的数值求解
MATLAB提供的dblquad函数用于求二重积分的数值 解，triplequad函数用于求三重积分的数值解。函 数的调用格式为