数学选修2-3章节复习3 统计案例
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0.090 0.083 0.076 0.071 0.066 0.062 5 9 3 9 4 7 z=ln 2.359 2.360 2.379 2.360 2.388 2.350 4 2.375 8 y 9 9 5 9 8 t=x 0.10
1
c,b 的最小二乘估计b≈-1.110 7,������ = ������ − ������ ������ ≈2.457 8.由此得������ = e ≈11.679 1,∴������=11.679 1������
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专题探究
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专题探究
专题一
专题二
专题三
专题一
回归分析的基本思想及其应用
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方 法,其步骤是先画出两个变量的散点图,然后利用常见的函数模型去拟合样 本点,拟合的效果如何借助于相关指数去分析(或利用残差图去分析). 【应用】 以下是某地收集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据:
x
b x
b
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令 z=ln y,t= ,c=ln a , x 则上式可写为线性方程:z=c+bt ,t,z 的数值对应表为
0.333 0.166 0.142 0.125 0.111 0.25 0.20 3 7 9 0 1 z=ln 1.859 2.104 2.259 2.251 2.272 2.302 2.295 2.301 y 4 1 7 3 1 6 6 6 t=x 0.50
独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法,要确认“两个分类变量 有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论“两 个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量 K2 应该很小,如果 由观测数据计算得到的 K2 的观测值 k 很大,则在一定程度上说明假设不合 理,根据随机变量 K2 的含义,可以通过概率 P(K2≥6.635)≈0 .01 来评价该假设 不合理的程度,由实际计算出的 k>6.635,说明该假设不合理的程度约为 99%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为 99%. 【应用】 考察小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系,经试验观察, 得到数据如下表:
^
^
2×109=1.814 2,即������=0.196 2x+1.814 2. (3)根据(2),当 x=150 时,销售价格的估计值为������=0.196 2×150+1.814 2=31.244 2(万元).
^
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专题一
专题二
专题三
专题二
独立性检验的思想及方法
������(������������-������������ )2 (������ +������)(������ +������)(������ +������ )(������ + ������) 460× (26×200-50×184)2
= 210×250×76×384 ≈4.804>3.841. 由此可知,能在犯错误不超过 0.05 的前提下认为种子灭菌与小麦是否 发生黑穗病有关系.
＾
^
^
^
^
c
^
- 1.110 7 x
.
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种子灭菌 种子未灭菌 总计 黑穗病 26 无黑穗病 50 总计 76 184 200 384 210 250 460
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能否在犯错误不超过 0.05 的前提下认为种子灭菌与小麦是否发生黑 穗病有关?
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思路点拨:求出随机变量 K2 的观测值 k 进行判断. 解 :由列联表所示数据可求 K2 的观测值为 k=
房屋面积 x/m2 115 110 80 135 105 销售价格 y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据对应的散点图; (2)若线性相关,求线性回归方程; (3)根据(2)的结果估计当房屋面积为 150 m2 时的销售价格. 解 :(1)数据对应的散点图如图所示.
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使用次数 x 2 3 4 5 6 7 8 9 增大的容积 y 6.42 8.20 9.58 9.50 9.70 10.00 9.93 9.99 使用次数 x 10 11 12 13 14 15 16 增大的容积 y 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76
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������ =1
5
程为 ������ = ������x+������,则������ =
^
^ ^ ^ ^
∑ ������������ ������ ������ -5 ������· ������
������ =1
5
∑ ������2 ������ -5 ������
2
≈0.196 2,������ = ������ − ������������ =23.2-0.196
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专题一
专题二
专题三
专题三 转化与化归思想
在回归分析过程中,由于两个变量间的关系可能是线性关系,也可能是 二次函数型、 指数函数型、 对数函数型等中的一种.对于前者我们可以借助 线性回归模型������=bx+a+e 来处理;对于后者在解答过程中,我们常利用变量 间的转换,把非线性回归问题化成线性回归问题,最终用线性回归方程进行 研究. 【应用】 炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液 及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找 出使用次数 x 与增大的容积 y 之间的关系.
^
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专题探究
专题一
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专题三
解 :根据试验数据作散点图,如下图.
从图中可以看出 x 与 y 之间不存在线性相关关系.但仔细分析一下,知 道钢包开始使用时侵蚀速度快,然后逐渐减慢 .显然,钢包容积不会无限增大, 它必有一条平行于 x 轴的渐近线.于是根据这一特点,我们试设指数型函数 曲线 y=a������ .对它两边取对数得 ln
专题一
专题二
专题三
1 5
(2)由散点图知 y 与 x 具有线性相关关系.由题表中数据得������ =
1 5
5 ������=1
∑ xi=109,y =
∑ yi=23.2, ∑ ������2 ������ =60 5 i=1 ������ =1
������ =1 5
5
975, ∑ xiyi=12 952.设所求回归直线方
2019-2020人教A版数学选修2-3 第3章 阶段复习课 第3课 统计案例课件PPT
i＝1
i＝1
i＝1
x )2 x )(yi－ y ) 15.25 3.63 0.269 2 085.5 －230.3
u )2 0.787
u )(yi－ y ) 7.049
其中 ui＝x1i， u ＝18
8
ui.
i＝1
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(1)根据散点图判断：y＝a＋bx 与 y＝c＋dx哪一个更适宜作为每 册成本费 y(元)与印刷数 x(千册)的回归方程类型？(只要求给出判断， 不必说明理由)
(3)K2 的观测值 k＝50×30×202×0×152－5×102×5 52≈8.333>7.879，所以在 犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜欢户外运动与性别有关．
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独立性检验的一般步骤 1．提出假设 H0：Ⅰ和Ⅱ没有关系； 2．根据 2×2 列联表计算 K2 的观测值； 3．根据 K2 的观测值与临界值的大小关系作统计推断．
工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体 650 人中采用
分层抽样的办法抽取 50 人进行问卷调查，得到了如下列联表：
喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计
男性
5
女性
10
总计
50
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已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率 是35.
(1)请将上面的列联表补充完整； (2)求该公司男、女员工各多少人； (3)在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下能否认为喜欢户外运 动与性别有关？并说明你的理由．
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程(回 归系数的结果精确到 0.01)；
(3)若每册书定价为 10 元，则至少应该印刷多少千册才使销售利 润不低于 78 840 元？(假设能够全部售出，结果精确到 1)
最新人教版高中数学选修2-3《统计案例复习》示范教案
最新人教版高中数学选修2-3《统计案例复习》示范教案本章复习本章知识脉络基础知识聚焦1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，而联系这两个变量之间的关系的方程称为回归方程，下列叙述正确的是( )A ．回归方程一定是直线方程B ．回归方程一定不是直线方程C ．回归方程是变量之间关系的严格刻画D ．回归方程是变量之间关系的一种近似刻画 2．在两个变量Y 与X 的回归模型中，选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的是( )A ．R 2＝0.98B ．R 2＝0.80C ．R 2＝0.50D ．R 2＝0.25 3．下列关于K 2的说法正确的是( )A ．K 2在任何相互独立的问题中都可以用来检验有关还是无关B ．K 2的观测值越大，事件相关的可能性就越大C ．K 2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对两个分类变量适合D ．当K 2的观测值大于某一数值(比如10.828)时，我们就说两个分类变量X 与Y 一定相关4．当我们建立多个模型拟合某一数据时，为了比较各个模型的拟合效果，我们可通过计算下列哪些量来确定( )①残差平方和；②回归平方和；③相关指数R 2；④相关系数rA ．①B ．①②C ．①②③D ．③④5．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过( )A ．(0,0)B ．(x ，0)C ．(0，y )D ．(x ，y ) 学生活动：先用3～5分钟的时间完成上面5个小题，然后再交流答案，相互讨论，并根据题目设计的知识，回顾本章的主要内容．活动结果：1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 基础知识回顾：1．回归方程模型及相关检验(1)回归方程中a ^ ＝y ^ －b ^ x ，b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，其中(x ，y )称为样本点的中心．(2)r 具有如下性质：||r ≤1，并且||r 越接近1，线性相关程度越强，||r 越接近0，线性相关程度越弱．(3)为了衡量预报的精确度，我们要进行残差分析，通常σ2越小，预报精度越高． 2．2×2列联表的独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这类变量称为分类变量．(2)列联表：两个分类变量的频数表称为列联表．有两个分类变量的样本频数列联表称为2×2列联表．(3)独立性检验独立性检验一般采用列联表的形式，每个因素可以分为两个类别．当列联表是2×2列联表的形式时，独立性检验的随机变量K 2的计算公式如下：K 2＝n(ac －bd)2(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d).这里的字母如下表在给定的出错概率上限下，我们可以通过K 的观测值与已知数据的大小关系，来判断分类变量的关系．设计目的：把某一节复习课要复习的基础知识(概念、公式、法则、公理、定理、方法、思想、技能、技巧等)整理成一组问题的形式，通过解答问题，达到引发学生再现某些基础知识，进而牢记某些基础知识的目的，即这里的主要目的是再现本节课所要复习的知识、技能、方法与思想．典型示例类型一：线性回归模型及回归分析例1下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？思路分析：结合统计知识，正确作图和计算．解：(1)散点图如图所示：(2)由系数公式可知，x ＝4.5，y ＝3.5，b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－635＝0.7. a ^＝3.5－0.7×92＝0.35，所以线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35；(3)x ＝100时，y ＝0.7x ＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．点评：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法．采用回归分析基本思想，解决实际问题的基本步骤如下：①明确对象；②画散点图；③选择模型，即通过观察分析散点图确定回归方程的类型，如果观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；④估算方程，即按一定的规则估计回归方程的参数，如最小二乘法原理；⑤线性相关程度的判定，即通过样本相关系数的大小作出判断：|r|≤1；|r|越接近于1，线性相关程度越强；|r|越接近于0，线性相关程度越弱．变式练习：一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了(1)y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950，因此 r ＝∑i ＝110x i y i －10x y(∑i ＝110x 2i －10x 2)(∑i ＝110y 2i －10y 2)＝55 950－10×55×91.7(38 500－10×552)×(87 777－10×91.72)≈0.999 8，由于r ＝0.999 8＞0.75，因此x 与y 之间有很强的线性相关关系，因而可求回归直线方程． (2)设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y ∑i ＝110x 2i －10x2≈0.668，a ^ ＝y －b ^ x ≈54.96，因此，所求线性回归方程为y ^＝0.668x ＋54.96.(3)这个回归直线方程的意义是当x 每增大1时，y 的值约增加0.668，而54.96是y 不随x 增加而变化的部分，因此，当x ＝200时，y 的估计值为y ^＝0.668×200＋54.96＝188.56≈189，因此，加工200个零件所用的工时约为189分．类型二：非线性回归模型及回归分析例2在试验中得到变量y 与x 的数据如下：由经验知，y 与1x 之间具有线性相关关系，试求y 与x 之间的回归曲线方程；当x 0＝0.038时，预测y 0的值．分析：通过换元转化为线性回归问题．解：令u ＝1x，由题目所给数据可得下表所示的数据：计算得b ^＝0.29，a ^＝34.24，∴y ^＝34.24＋0.29u.故所求回归曲线方程为y ^＝34.24＋0.29x ，当x 0＝0.038时，y ^＝34.24＋0.290.038≈41.87.点评：非线性回归问题有时并不给出经验公式，此时我们可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与已经学习过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出跟这些散点拟合得最好的函数，然后再采用变量的变换，把问题转化为线性回归问题，使问题得以解决．变式练习：某地大气中氰化物浓度测定结果如下：(2)求相关指数．(3)作出残差图，并求残差平方和．解：(1)选取污染源距离为自变量x ，氰化物浓度为因变量y ，作散点图．从表中所给的数据可以看出，氰化物浓度与距离有负的相关关系，用非线性回归方程来拟合，建立y 关于x 的指数回归方程：y ^＝0.929 3e－0.009 4x.(2)相关指数R 2＝1－∑n i ＝1(y i －y ^i )2∑ni ＝1(y i －y )2≈0.991 5.残差平方和∑ni ＝1 (y i －y ^i )2＝0.011 8. 类型三：独立性检验思想例3某些行为在运动员的比赛之间往往被赋予很强的神秘色彩，如有一种说法认为，在进入某乒乓球场比赛前先迈入左脚的运动员就会赢得比赛的胜利．某记者为此追踪了某著名负有关？思路分析：根据列联表，求出K 2的观测值，再进行判断．。
高二年级下学期新课标A版高中数学选修2-3 第三章统计案例
就判断两个分类变量之间有关系．
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第三章 统计案例
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绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数 据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应 不同的颜色．
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独立性检验
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[思路点拨]
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(1)相应的等高条形图如图：
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(2)图中两个深色条的高分别表示司机血液中有酒精和无酒 精样本中对事故负有责任的频率，从图中可以看出，司机血液 中有酒精样本中对事故负有责任的频率明显高于司机血液中无 酒精样本中对事故负有责任的频率．由此可以认为司机血液中 含有酒精与对事故负有责任有关系．
解析： 其等高条形图如图所示．
由图可以直观地看出喜欢体育还是喜欢文娱与性别在某种 程度上有关系．
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第三章 统计案例
自主学习 新知突破
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利用随机变量K2判断分类变量间的关系
用水的调查表：
干净水 不干净水
合计
下表是某地区的一种传染病与饮
得病 52 94 146
不得病 466 218 684
数学 选修2-3
第三章 统计案例
附：
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005
高中数学人教A版选修2-3课件第三章统计案例
^
(2)现有第二个线性模型:y=7x+17,且 R 2=0.82.
若与(1)的线性模型比较,哪一个线性模型拟合效果比较好,请说
明理由.
专题归纳
高考体验
^
^
解:(1)依题意设 y 与 x 的线性回归方程为=6.5x+.
2+4+5+6+8
=
=5,
=
^
5
30+40+60+50+70
来粗略地判断两个变量的相关性.
2
(-)
(2)通过公式 K2=
(+)(+)(+)(+)
表作比较,最后得出结论.
先计算观测值k,再与临界值
专题归纳
高考体验
跟踪训练 2某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并
用茎叶图表示30人的饮食指数,如图所示.(说明:图中饮食指数低于
愿意
不愿意
男生
20
10
女生
10
20
性别
(1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人,
其中男生抽取多少人?
专题归纳
高考体验
(2)你能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该校高中生
是否愿意提供志愿者服务与性别有关?
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k0) 0.15
k0
0.10
0.05
5
=50,
^
∵=6.5x+经过(, ),
^
^
∴50=6.5×5+,∴=17.5,
^
∴y 与 x 的线性回归方程为=6.5x+17.5.
苏教版高中数学选修2-3第3章 统计案例.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第3章 统计案例3．1 独立性检验双基达标 (限时15分钟)1．为了检验两个事件A ，B 是否相关，经过计算得χ2＝8.283，则说明事件A 和事件B ________(填“相关”或“无关”)． 答案 相关2．考查某班学生数学、外语成绩得到2×2列联表如：数优 数差 总计 外优 34 17 51 外差 15 19 34 总计493685那么，随机变量χ2等于________． 解析 χ2＝85×(34×19－17×15)249×36×34×51≈4.25.答案 4.253．如果χ2的值为8.654，可以认为“X 与Y 无关”的可信度是________． 解析 ∵8.654＞6.635，∴有99%的把握认为X 与Y 有关． 答案 1%4．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是________．①100个吸烟者中至少有99人患肺癌②1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患肺癌 ③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析 99%的把握是指判断的可信度． 答案 ④5．统计推断中，当________时，有99%的把握说事件A 与B 有关，当________时，认为有95%的把握说事件A 与B 有关． 答案 χ2＞6.635 χ2＞3.8416．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下所示：又发作过心脏病未发作过心脏病合计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术29 167 196 合计68324392比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别．解 提出假设H 0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别． 根据列联表中的数据，可以求得χ2＝392×(39×167－29×157)268×324×196×196≈1.78.当H 0成立时χ2≈1.78，而χ2＜2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H 0，也就是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．综合提高 (限时30分钟)7．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈99.9，根据这一数据分析，下列说法正确的是________(填序号)．①有99.9%的人认为该栏目优秀；②有99.9%的人认为栏目是否优秀与改革有关系； ③有99.9%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．答案 ③8．某班班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示．从表中数据分析，学生学习积极性与对待班级工作的态度之间有关系的把握有________.积极参加班级工作 不太主动参加班级工作合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般6 19 25 合计242650解析 由于χ2＝50×(18×19－6×7)224×26×25×25≈11.5＞10.828.答案 99.9%9．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2≈13.097，则认为两个变量间有关系的犯错概率不超过________．解析 χ2≈13.097＞10.828，即在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为两变量有关． 答案 0.00110．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查对临界值表知P (χ2≥3.841)≈0.05.p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．①p ∧綈q ；②綈p ∧q ；③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s )；④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )．解析 p 正确而q 、r 、s 都错，所以正确的是①④. 答案 ①④11．有甲、乙两个工厂生产同一种产品，产品分为一等品和二等品．为了考察这两个工厂的产品质量的水平是否一致，从甲、乙两个工厂中分别随机地抽出产品109件，191件，其中甲工厂一等品58件，二等品51件，乙工厂一等品70件，二等品121件．(1)根据以上数据，建立2×2列联表；(2)试分析甲、乙两个工厂的产品质量有无显著差别(可靠性不低于99%)． 解 (1)甲工厂 乙工厂 合计 一等品 58 70 128 二等品 51 121 172 合计109191300(2)提出假设H 0：甲、乙两个工厂的产品质量无显著差别． 根据列联表中的数据可以求得χ2＝300×(58×121－70×51)2109×191×128×172≈7.781 4＞6.635.因为当H 0成立时，P (χ2＞6.635)≈0.01，所以我们有99%以上的把握认为甲、乙两个工厂的产品质量有显著差别．12．从发生汽车碰撞事故的司机中抽取2 000名司机．根据他们的血液中是否含有酒精以及他们是否对事故负有责任．将数据整理如下：有责任 无责任 合计 有酒精 650 150 800 无酒精 700 500 1 200 合计1 3506502 000那么，司机对事故负有责任与血液中含有酒精是否有关系？ 解 依据公式得χ2＝2 000×(650×500－150×700)2800×1 200×1 350×650≈114.738＞6.635.∴有99%的把握认为“对事故负有责任与血液中含有酒精之间有关系”．13．(创新拓展)下表是对某市8所中学学生是否吸烟进行调查所得的结果：吸烟学生不吸烟学生父母中至少有一人吸烟816 3 203父母均不吸烟188 1 168(1)在父母至少有一人吸烟的学生中，估计吸烟学生所占的百分比是多少？(2)在父母均不吸烟的学生中，估计吸烟学生所占的百分比是多少？(3)学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关吗？请简要说明理由．(4)有多大的把握认为学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关？解(1)816816＋3 203×100%≈20.3%.(2)188188＋1 168×100%≈13.86%.(3)有关，因为父母吸烟与不吸烟，其子女吸烟的比例有较大的差异．(4)提出假设H0：学生的吸烟习惯和父母是否吸烟无关．根据列联表中的数据可以求得χ2≈27.677＞10.828.因为当H0成立时，P(χ2＞10.828)≈0.001，所以我们有99.9%以上的把握认为学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关．。
【教学设计】《 数学人教A版高中选修2-3第三章 统计案例--3
《独立性检验的基本思想及其初步应用》本节课是人教A 版（选修）2—3第三章第二单元第二课时的内容．在本课之前，学生已经学习过事件的相互独立性、正态分布及回归分析的基本思想及初步应用。
本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。
在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。
在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。
独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。
因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。
学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”。
这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快，人们每天都会接触到影响我们生活的统计方面信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。
【知识与能力目标】通过生活中新闻案例的探究，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。
【过程与方法目标】通过探究“玩电脑游戏与注意力集中是否有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表分析独立性检验的实施步骤。
利用上节课所学已经由数据直观判断出玩电脑游戏与注意力集中可能有关系。
这一直觉来自于观测数据，即样本。
问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体。
这节课就是为了解决这个问题，在学生亲身体验感受的基础上，提高学生的数据分析能力。
【情感态度价值观目标】通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系。
人教版A版高中数学选修2-3：第三章 统计案例 复习课件
4
xi2 14,
4
xi zi 0 2 8 15 25,
4
i 1
zi2 46,
2
4x 9,
i 1
i 1
4
2
4z 36,
b
i 1 4
xi zi 4x z
xi 2
2
4x
25 18 7 14 9 5
i 1
a z bx 3 7 1.5 9 , z 7 x 9
a
y
i 1
bx．
i 1
例1（安徽卷）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下 表是部分统计数据：
年份
2002 2004 2006 2008 2010
需求量（万吨） 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线
方程 yˆ=bx a ；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该
yi－－y
0
1
3 -4
4
(y y)2
R2
1
i 1 4
(y y)2
i 1
0.1923
1
(1.5)2 02
0.52 12
3.52 (2.5) 32 (4)2
2
回归直线方程是y x 5
R2 0.1923
2
相关指数越大，越 接近于1，模拟的拟 合效果越好；相关 指数越小，拟合的 效果越差！
x 0123 y 2 4 16 32
(1)画出散点图；(2)试建立y与x之间的回归方程.
解：(1)作出散点图如右图所示： 32
y 2c2xc1 ,
高中数学选修2-3第三章统计案例教案
----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------第三章 统计案例§3.1 独立性检验（1）一．问题情境5月31日是世界无烟日。
有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。
这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：1． 某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病（简称患病），183人未患呼吸道疾病（简称未患病）；不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病． 问题：根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？ 二．学生活动为了研究这个问题，（1）引导学生将上述数据用下表来表示：（2）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异：在吸烟的人中，有3716.82%220≈的人患病，在不吸烟的人中，有217.12%295≈的人患病． 问题：由上述结论能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？ 三．建构数学 1．独立性检验：（1）假设0H ：患病与吸烟没有关系．若将表中“观测值”用字母表示，则得下表：（近似的判断方法：设n a b c d =+++，如果0H 成立，则在吸烟的人中患病的比例与 不吸烟的人中患病的比例应差不多，由此可得a ca b c d≈++，即()()0a c d c ab a d bc +≈+⇒-≈，因此，||ad bc -越小，患病与吸烟之间的关系越弱，否则，关系越强．）设n a b c d =+++，在假设0H 成立的条件下，可以通过求 “吸烟且患病”、“吸烟但未患病”、“不吸烟但患病”、“不吸烟且未患病”的概率（观测频率），将各种人群的估计人数用,,,,a b c d n 表示出来．----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------例如：“吸烟且患病”的估计人数为()a b a cn P AB n n n ++⨯≈⨯⨯； “吸烟但未患病” 的估计人数为()a b b dn P AB n n n ++⨯≈⨯⨯； “不吸烟但患病”的估计人数为()c d a cn P AB n n n ++⨯≈⨯⨯； “不吸烟且未患病”的估计人数为()c d b dn P AB n n n++⨯≈⨯⨯． 如果实际观测值与假设求得的估计值相差不大，就可以认为所给数据（观测值）不能否定假设0H ．否则，应认为假设0H 不能接受，即可作出与假设0H 相反的结论． （2）卡方统计量：为了消除样本对上式的影响，通常用卡方统计量（χ22()-=∑观测值预期值预期值）来进行估计．卡方χ2统计量公式：χ222a b a c a b b d a n b n n n n n a b a c a b b d n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++⨯⨯⨯⨯22c d a c c d b d c n d n n n n n c d a c c d b d n n n n n n++++⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++++⨯⨯⨯⨯()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++） 由此若0H 成立，即患病与吸烟没有关系，则χ2的值应该很小．把37,183,21,274a b c d ====代入计算得χ211.8634=，统计学中有明确的结论，在0H 成立的情况下，随机事件“26.635χ≥”发生的概率约为0.01，即2( 6.635)0.01P χ≥≈，也就是说，在0H 成立的情况下，对统计量χ2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01．由此，我们有99%的把握认为0H 不成立，即有99%的把握认为“患病与吸烟有关系”．象以上这种用2χ统计量研究吸烟与患呼吸道疾病是否有关等问题的方法称为独立性检验． 说明：（1）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异是用频率估计概率，利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------率作出估计，观测数据,,,a b c d 取值越大，效果越好．在实际应用中，当,,,a b c d 均不小于5，近似的效果才可接受．（2）这里所说的“呼吸道疾病与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患呼吸道疾病的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患呼吸道疾病”．（3）在假设0H 下统计量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理（即统计量χ2越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）． 2．独立性检验的一般步骤：一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值：类A 和类B （如吸烟与不吸烟），Ⅱ也有两类取值：类1和推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为：第一步，提出假设0H ：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系； 第二步，根据2×2列联表和公式计算χ2统计量； 第三步，查对课本中临界值表，作出判断． 3．独立性检验与反证法：反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；独立性检验（假设检验）原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立． 四．数学运用 1．例题：例1．在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种血清能否起到预防感冒的作用？分析：在使用该种血清的人中，有48.4%500=的人患过感冒；在没有使用该种血清的人中，有28456.8%500=的人患过感冒，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大．从直观上来看，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患感冒的可能性存在差异．解：提出假设0H ：感冒与是否使用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得221000(258284242216)7.075474526500500χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------∵当0H 成立时，26.635χ≥的概率约为0.01，∴我们有99%的把握认为：该种血清能起到预防感冒的作用．例2．为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？分析：在口服的病人中，有59%98≈的人有效；在注射的病人中，有67%95≈的人有效．从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明．解：提出假设0H ：药的效果与给药方式没有关系．由列联表中的数据，求得22193(58314064) 1.3896 2.072122719895χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯当0H 成立时，21.3896χ≥的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设0H ，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论． 说明：如果观测值22.706χ≤，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“0H 成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．§3.1 独立性检验（2）一．学生活动练习：（1）某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？ ．（2为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2250(1320107) 4.84423272030⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵χ2 3.841≥，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 ．（答案：5%）二．数学运用----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------1．例题：例1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。
第三章统计案例小结与复习 教案高中数学选修2-3 北师大版
第三章统计案例小结与复习一、教学目标：会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。
二、教学重难点：会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、知识归纳与梳理 1、线性回归：(1)相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。
注：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。
(2)回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。
(3)散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形。
(4)回归直线方程：a bx y +=，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==x b y a x n x y x n y x b n i i ni i i 2121， ∑==n i i x n x 11。
相应的直线叫回归直线，对两个变量所进行的上述统计叫做回归分析。
(5)相关系数：)()(21221211y n y x n x yx n yx r ni i n i i ni ii ---=∑∑∑====相关系数的性质：（1）|r|≤1。
（2）|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小。
2、独立性检验①22⨯列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为12{,}x x 和12{,}y y 的样本频数表称为22⨯列联表1构造随机变量2χ()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）得到2χ常与以下几个临界值加以比较：如果 2 2.706χ>，就有0090的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系； 如果 2 3.841χ> 就有0095的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系； 如果 2 6.635χ> 就有0099的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系； 如果22.706χ≤，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 是有关系． （二）、典例探析例1、一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据：归直线方程. 解： 1）画出散点图：x2）r=∑∑∑===---1211212222121)12)(12(12i i i i i ii y y x x yx yx=18.534.1754.243120.997891-⨯⨯=在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度12-2=10相应的相关数临界值r 0 05=0.576<0.997891, 这说明每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间存在线性相关关系.3）设回归直线方程a bx y+=ˆ， 利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 121221211212,计算a ，b ，得b≈1.215, a=x b y -≈0.974，∴回归直线方程为：974.0215.1ˆ+=x y例2、在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。
高中数学选修2-3第三章 统计案例
3.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）(新授课) 3.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）(新授课) 3.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）(新授课) 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（四）(新授课) 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（一）（新授课）3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（二）（新授课）第三章统计案例单元练习题（习题课）一、课程目标在《数学3（必修）》概率统计内容的基础上，通过典型案例进一步介绍回归分析的基本思想、方法以及初步应用；通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法以及初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用。
二、学习目标1、通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其应用。
2、通过典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法以及初步应用。
三、本章知识框图四、课时分配本章共2小结，教学约需2课时，具体安排如下3.1 回归分析的基本思想及其初步应用约4课时3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用约2课时3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（一）(新授课)一、教学目标： 知识与能力：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 过程与方法：通过本节的学习，让雪生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想。
情感、态度与价值观：培养学生运用所学的知识，解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点： 重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 三、教学过程： （一）课前复习： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.（二）讲授新课： 1. 举例应用：例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图 第二步：求回归方程 第三步：代值计算 （1）思考：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右. （2）解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.10203040506070150155160165170175180身高/cm体重/k g2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.（三）课时小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.四、课后反思：3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（二）(新授课)一、教学目标： 知识与能力：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 过程与方法：从散点图中点的分布上发现直接求回归方程存在的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路，进行回归分析，进而介绍残差分析的方法。