圆锥曲线的最值问题24页PPT
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第2部分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围问题 课件(共42张PPT)
2 5
x－
9 25
并化简，得k2x2－
2 5
x＋
9 25
＝0，令Δ＝
－252－4k2·295＝0，解得k＝±13， 所以直线OQ斜率的最大值为13.
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足
直线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G. ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值．
(1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值．
[解]
(1)设直线AP的斜率为k，k＝xx2＋－1214＝x－12，
因为－12<x<32，
所以－1＜x－12＜1，
即直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)联立直线AP与BQ的方程kx＋ x－kyy＋ －2941kk－＋3214＝＝00，， 解得点Q的横坐标是xQ＝－2k2k＋2＋4k1＋ 3. 因为|PA|＝ 1＋k2x＋12＝ 1＋k2(k＋1)， |PQ|＝ 1＋k2(xQ－x)＝－k－1k2＋k＋1 12，
通性通法：构造函数法求最值或范围时的策略 解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、 角、斜率等)，把所求最值的几何量或代数表达式表示为某个参数的函 数，然后利用函数方法(单调性或导数)进行求解．
1．[借助二次函数求最值]已知椭圆E：
x2 4
＋
y2 3
＝1.若椭圆E的
左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，
设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，故xG＝
圆锥曲线的最值问题课件
热烈欢迎领导和专家 莅临指导
2019/5/24
1
圆锥曲线中的最值问题
2019/5/24
2
复习目标：
1．能根据变化中的几何量的关系，建立 目标函数，然后利用求函数最值的方法 （如利用一次或二次函数的单调性，三角 函数的值域，基本不等式，判别式等）求 出最值．
2．能够比较熟练地运用数形结合的 方法,结合曲线的定义和几何性质,用几何 法求出某些最值.述内容要点
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2019/5/24
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THANK YOU
2019/5/24
例1.(1)抛物线 y2 x 上的点到直线x-2y+4=0 距离的最小值是------------.
(2)已知点 A(2, 3),F是椭圆 X 2 Y 2 1的左焦点,一
16 12
动点M在椭圆上移动,则|AM|+2|MF|的最小值_______.
y
例 m 5) ,过其左焦点且斜率为1
的直线与椭圆及其准线的交点从左到右顺序为A,B,C,D.记
f(m)=||AB|-|CD||
(1)求f(m)的解析式.
(2)求f(m)的最大值和最小值.
y x2
x2 y2 1 a2 b2
y2 2x
总结
是求最值的两种方法: 1.建立目标函数求最值. 2.数形结合求最值.
2019/5/24
1
圆锥曲线中的最值问题
2019/5/24
2
复习目标：
1．能根据变化中的几何量的关系，建立 目标函数，然后利用求函数最值的方法 （如利用一次或二次函数的单调性，三角 函数的值域，基本不等式，判别式等）求 出最值．
2．能够比较熟练地运用数形结合的 方法,结合曲线的定义和几何性质,用几何 法求出某些最值.述内容要点
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2019/5/24
例1.(1)抛物线 y2 x 上的点到直线x-2y+4=0 距离的最小值是------------.
(2)已知点 A(2, 3),F是椭圆 X 2 Y 2 1的左焦点,一
16 12
动点M在椭圆上移动,则|AM|+2|MF|的最小值_______.
y
例 m 5) ,过其左焦点且斜率为1
的直线与椭圆及其准线的交点从左到右顺序为A,B,C,D.记
f(m)=||AB|-|CD||
(1)求f(m)的解析式.
(2)求f(m)的最大值和最小值.
y x2
x2 y2 1 a2 b2
y2 2x
总结
是求最值的两种方法: 1.建立目标函数求最值. 2.数形结合求最值.
2020年高考数学圆锥曲线中的最值问题(共16张PPT)
x
y
t cos 1 t sin
代入
2x2
y2
2
0
得
(1 cos2 )t2 2sin t 1 0
设
P, Q
对应的参数为 t1, t2
，则 t1
t2
2 cos 1 cos2
, t1t2
1
1 cos2
所以| PQ || t1 t2 |
(t1
t2 )2
4t1t2
1
22 cos2
因为
PQ
的最大值为__________.
解析：题目中点 P 是一动点，点 B 是椭圆的右焦点，因此在椭圆上的一个动点和焦点的 连线经常需要考虑这个点和另外一个焦点，即把动点放到焦点三角形中考虑，因
为 PF PB 2a 10，所以 PB 10 PF, PA PB PA PF 10 ，接下来需 要求 PA PF 10 的最大值。 因为如果 P, A, F 能构成三角形， PA PF AF ，因此当取得最大值时 P, A, F 三点共线， PA PF 10 AF 10 15
例 3：已知 P(x, y) 是抛物线上的点，则 (x 3)2 ( y 2)2 x 的最大值是________.
解析： (x 3)2 ( y 2)2 x (x 3)2 ( y 2)2 (x 1)2 y2 1 题目转化为点 P(x, y) 到点 A(3, 2) 的距离减去到点 M (1, 0) 的距离加 1 因此当 A, M , P 三点共线时取得最大值，最大值为| AM | 1，剩余步骤省
4x
2b
0
令 0，则b 2
则直线 y 2x 2 与 y 2x 2 之间的距离即为高的最大值，因此可以求出面积 的最大值。
例 7：点 P 在抛物线 y2 x 上，点 Q 在圆 (x 1)2 ( y 4)2 1，则| PQ |的最小值为 2
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 课件(67张)
55 15 .
所以△ABP面积的最大值为251635 5.
[方法技巧] (1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用
图象性质来求解． (2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，
则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最 值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换 元法等．
利用基本不等式求最值 [例 3] (2017·太原模拟)已知椭圆 M：xa22＋y32＝1(a>0)的一个 焦点为 F(－1,0)，左、右顶点分别为 A，B.经过点 F 的直线 l 与 椭圆 M 交于 C，D 两点． (1)当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长； (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1－S2，所以椭圆 M 的方程为x42＋y32＝1， 易求直线方程为 y＝x＋1，联立方程，得x42＋y32＝1，
y＝x＋1， 消去 y，得 7x2＋8x－8＝0， 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，Δ＝288，x1＋x2＝－87，x1x2＝－87， 所以|CD|＝ 2|x1－x2|＝ 2 x1＋x22－4x1x2＝274.
[答案] C
[方法技巧] 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定
理、性质等进行求解，也叫做几何法．
建立目标函数求最值 [例 2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛 物线 C：x2＝4y 上，F 为抛物线 C 的焦点，
点 M 为 AB 的中点， PF ＝3FM . (1)若|PF|＝3，求点 M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值． [解] (1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y＝－1. 设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得 y0＝2， 所以 P(2 2，2)或 P(－2 2，2)， 由 PF ＝3FM ，得 M－232，23或 M232，23.
圆锥曲线的有关最值PPT优秀课件
2 2 5 . 已 知 椭 圆 3 x + 1 2 y = 3 6 和 直 线 L : x y + 9 = 0 , 在 L 上 任 取
一 点 M , 经 过 点 M 且 以 椭 圆 的 焦 点 F , F 为 焦 点 作 椭 圆 . 1 2
求 M 在 何 处 时 所 作 的 椭 圆 长 轴 最 短 , 并 求 出 此 椭 圆 的 方 程 .
8 p ( p 2 a )
0 | A B |2 p ,0 8 p ( p 2 ap ) 2 p p 解 得 : a . 2 4
( 2 ) 设的 A B垂 直 平 分 线 交于令 A BQ , 坐 标 为 ( x ,y ) , 则 由 3 3 中 点 坐 标 公 式 , 得 x x y y ( x a ) ( x a ) 1 2 1 2 1 2 x a p ,y p , 3 3 2 2 2
圆锥曲线的有关最值
高三——圆锥曲线轮复习
教学目标： 灵活运用代数、三角、几何方法求解析 几何中的有关最值问题.
一、代数法： 借助代数函数求最值的方法，运用代数法时，先要 建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点 灵活运用求最值的方法。常用的方法有： 1、配方法：将“目标函数”与二次函数在某一闭区 间上的最值联系起来。 2、基本不等式法：转化为定和或定积问题。
2 2 83 k ( 1 k ) 4 2 1 3 ( 当 k 时 取 等 号 ) 2 2 ( 14 k) 3 3
解 法 2 : 设 椭 圆 上 的 点 ( 2 c o s , s i n ) , 设 弦 长 l 1 64 2 2 21 l 4 c o s ( s i n 1 ) 3 ( s i n ) 3 . 3 33
2018高考数学《圆锥曲线中的最值、范围问题》课件 (共23张PPT)
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题
学习目标： 1.掌握圆锥曲线中的最值问题的求法； 2.掌握圆锥曲线中的范围问题的求法。
二、研究备考应对策略定计划 高考试题分析 2小1大—22分
解析几何 2014年 2015年 2016年 2017年 4. 双曲线求焦 5. 双曲线与向 5. 双 曲 线 中 10.抛物线 两 点到渐近线的 量函数综合 个a,b,c关系 15. 双曲线渐近线 距离 14. 椭 圆 与 圆 意10. 抛 物 线 与 与圆相交 识圆相交求长度 20. 直线、椭圆综 10. 抛 物 线 求 的方程 线段长 20. 直 线 、 抛 20. 直 线 、 椭 合 圆综合 20. 直 线 、 椭 物线综合 圆综合 命题趋势：一般为2小一大，所占分值为22分。三条曲线年 年都有，双曲简，抛物、椭圆难。小题考定义性质的多，大题以 位置关系形式考函数方程的思想，等与不等的方法。题形上有： 求值，求范围求最值，探求存在性等.（小题上注意二次曲线间结 合的考查）
知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭 圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA， PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA| ＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点， 此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小 值和最大值分别为8,12. [答案] C
―→ 当t＝0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足 OS ＋ ―→ ―→ OT ＝t OP ，符合题意；
2 8 k tx0＝ 2， 1 ＋ 2 k 当t≠0时， －4k ty0＝ 2， 1＋2k
2
4 7 因为 t＋ t ≥4， 当且仅当 t＝2， 即 k＝± 时等号成立， 且满足 Δ>0. 2 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y＝ 7 － x－2. 2 7 x－2 或 y＝ 2
圆锥曲线中的最值、范围问题
学习目标： 1.掌握圆锥曲线中的最值问题的求法； 2.掌握圆锥曲线中的范围问题的求法。
二、研究备考应对策略定计划 高考试题分析 2小1大—22分
解析几何 2014年 2015年 2016年 2017年 4. 双曲线求焦 5. 双曲线与向 5. 双 曲 线 中 10.抛物线 两 点到渐近线的 量函数综合 个a,b,c关系 15. 双曲线渐近线 距离 14. 椭 圆 与 圆 意10. 抛 物 线 与 与圆相交 识圆相交求长度 20. 直线、椭圆综 10. 抛 物 线 求 的方程 线段长 20. 直 线 、 抛 20. 直 线 、 椭 合 圆综合 20. 直 线 、 椭 物线综合 圆综合 命题趋势：一般为2小一大，所占分值为22分。三条曲线年 年都有，双曲简，抛物、椭圆难。小题考定义性质的多，大题以 位置关系形式考函数方程的思想，等与不等的方法。题形上有： 求值，求范围求最值，探求存在性等.（小题上注意二次曲线间结 合的考查）
知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭 圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA， PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA| ＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点， 此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小 值和最大值分别为8,12. [答案] C
―→ 当t＝0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足 OS ＋ ―→ ―→ OT ＝t OP ，符合题意；
2 8 k tx0＝ 2， 1 ＋ 2 k 当t≠0时， －4k ty0＝ 2， 1＋2k
2
4 7 因为 t＋ t ≥4， 当且仅当 t＝2， 即 k＝± 时等号成立， 且满足 Δ>0. 2 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y＝ 7 － x－2. 2 7 x－2 或 y＝ 2
数学：圆锥曲线中的最值问题》课件
数学：圆锥曲线中的最值 问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线最值问题的方法 • 经典例题解析 • 圆锥曲线最值问题的应用 • 总结与展望
01
引言
圆锥曲线简介
01
圆锥曲线是平面几何中一个重要 内容，包括椭圆、双曲线和抛物 线等。
02
圆锥曲线在日常生活和科学研究 中有着广泛的应用，如行星轨道 、光学、工程学等。
详细描述
解决这类问题需要利用导数和切线的性质，通过求导和转化，将斜率表示为易于 处理的形式，再利用基本不等式或求导方法求解。
03
解决圆锥曲线最值问题的方法
利用基本不等式求解
总结词
利用基本不等式求解圆锥曲线中的最值问题是一种常见的方法，通过将问题转化为不等式形式，可以简化计算过 程。
详细描述
基本不等式是数学中常用的工具，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。这些不等式能够提供一些关 于变量之间关系的约束条件，从而帮助我们找到最值。在圆锥曲线问题中，我们通常将曲线的方程与基本不等式 结合，通过代数运算和变换，找到满足条件的解。
通过参数方程求解
总结词
参数方程是解决圆锥曲线最值问题的另一种有效方法，通过引入参数来表示曲线上点的坐标，可以将 问题转化为参数的取值范围和变化规律。
详细描述
参数方程通常用于表示曲线上点的坐标，通过引入参数来表示这些坐标。这种方法可以将复杂的几何 问题转化为参数的代数问题，从而简化计算过程。在求解最值问题时，我们可以通过分析参数的变化 规律和取值范围，找到满足条件的解。
解决圆锥曲线最值问题需要综合运用多种数学方法和技巧，如配方法、判别式法、 参数法等。
最值问题的发展趋势和未来研究展望
随着数学理论和方法的不断发展，圆 锥曲线最值问题将不断涌现出新的问 题和挑战。
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线最值问题的方法 • 经典例题解析 • 圆锥曲线最值问题的应用 • 总结与展望
01
引言
圆锥曲线简介
01
圆锥曲线是平面几何中一个重要 内容，包括椭圆、双曲线和抛物 线等。
02
圆锥曲线在日常生活和科学研究 中有着广泛的应用，如行星轨道 、光学、工程学等。
详细描述
解决这类问题需要利用导数和切线的性质，通过求导和转化，将斜率表示为易于 处理的形式，再利用基本不等式或求导方法求解。
03
解决圆锥曲线最值问题的方法
利用基本不等式求解
总结词
利用基本不等式求解圆锥曲线中的最值问题是一种常见的方法，通过将问题转化为不等式形式，可以简化计算过 程。
详细描述
基本不等式是数学中常用的工具，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。这些不等式能够提供一些关 于变量之间关系的约束条件，从而帮助我们找到最值。在圆锥曲线问题中，我们通常将曲线的方程与基本不等式 结合，通过代数运算和变换，找到满足条件的解。
通过参数方程求解
总结词
参数方程是解决圆锥曲线最值问题的另一种有效方法，通过引入参数来表示曲线上点的坐标，可以将 问题转化为参数的取值范围和变化规律。
详细描述
参数方程通常用于表示曲线上点的坐标，通过引入参数来表示这些坐标。这种方法可以将复杂的几何 问题转化为参数的代数问题，从而简化计算过程。在求解最值问题时，我们可以通过分析参数的变化 规律和取值范围，找到满足条件的解。
解决圆锥曲线最值问题需要综合运用多种数学方法和技巧，如配方法、判别式法、 参数法等。
最值问题的发展趋势和未来研究展望
随着数学理论和方法的不断发展，圆 锥曲线最值问题将不断涌现出新的问 题和挑战。
圆锥曲线的最值问题PPT课件
例1.(1)抛物线
上的点到直线x-2y+4=0
距离的最小值是------------.
(2)已知点 ,F是椭圆 的左焦点,一
动点M在椭圆上移动,则|AM|+2|MF|的最小值_______.
例2.如图.A(a,0),B(0,b) (a>0,b>0)为两定点,P是三角形AOB 内的动点,过P作OA OB的平行线,分别交三边于N,M,E,F,且三 角形PEM和矩形OFPN 的面积相等 (1)求P点的轨迹方程. (2)求三角形APB面积的最大值及此时P点的坐标.
圆锥曲线中的最值问题
2018/8/13
1
复习目标：
1．能根据变化中的几何量的关系，建立 目标函数，然后利用求函数最值的方法 （如利用一次或二次函数的单调性，三角 函数的值域，基本不等式，判别式等）求 出最值．
2．能够比较熟练地运用数形结合的 方法,结合曲线的定义和几何性质,用几何 法求出某些最值.述内容要点
y
例3.已知椭圆
f(m)=||AB|-|CD|| (1)求f(m)的解析式. (2)求f且斜率为1
的直线与椭圆及其准线的交点从左到右顺序为A,B,C,D.记
练习: 1.AB是抛物线 的一条弦,且|AB|=4,则AB的中点M到直 线y+1=0的最短距离是-------
再见
祝同学们学习愉快
2018/8/13
8
2.椭圆
3.已知曲线
与x轴,y轴正方向相交于A,B两点,在劣弧AB
上取一点C,使四边形OACB的面积最大,那么最大面积--------(1)求曲线上距点A(2/3,0)最近的点P的坐标及相应的距离|PA|. (2)设B(a,0),a为任意实数,求曲线上的点到点B距离的最小值.
圆锥曲线中变量的最值问题ppt 人教课标版
A B A B P L P L
图3
图4
⑶①圆上一个动点P到圆外一个定点M的距离的最大与最小值?
②圆上一个动点P到与圆相离的直线的距离的最大与最小值?
——求曲线上一动点到圆上一动点的距离的最大（小）值问题， 常转化为求曲线上的动点到圆心的距离的最大（小）值问题。
⑷回顾三种圆锥曲线的定义及其焦半径的取值范围。
x
k2
P
O
k , k k , 1 2
k1
x2 y2 A、B是椭圆 1 变 如图，已知 16 9 题 的两个顶点， C、D是椭圆上两点， 且分别在 AB两侧，则四边形 ABCD 12 2 面积的最大值是 ________ .
D
y
B C A x
O
练习2-2 设P为抛物线 y= x2上的一动点，求P点到直线 l: 3x-4y-6=0的距离的最小值。 练习2-3 已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(1,-2)、B(4,4)的连线为底 边的△ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求 △ABP的最大面积及此时 点P的坐标。 y P O l y
y
三角换 元 法 判别式法 或切线
x
O
3 x 4 y t
1 ). 若将椭圆换成双曲线、 抛物线又如何进行 呢？ 想 ( 一 x2 y2 2 1 y 2 px 想 2 2
y 4 ( 2 ). 若将 3 x 4 y 换成 如何求其范围呢？ x 3
y Q(3,4)
a
b
利用几何意义：看成PQ 的斜率
高三专题复习：
圆锥曲线中
变量的最值（取值范围）问题
思考
求圆锥曲线的最值
常用哪些方法？
圆锥曲线中的最值（取值范围）问题按解题思路通常分三类：
2025届高中数学一轮复习《圆锥曲线最值与范围问题》ppt
高考一轮总复习•数学
第9页
圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决，这就是几何法． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函 数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及单 调性法等．
5－82＝2.
第23页
高考一轮总复习•数学
第24页
圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间 的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数 的取值范围．
第22页
高考一轮总复习•数学
即 16y20<(x0－4)2. 因为x420＋y20＝1，所以y02x－02 1＝－14， 所以 5x20－8x0>0，解得 x0>85或 x0<0. 因为 0<x0≤2，所以85<x0≤2， 所以 EF＝2 r2－d2＝2 x40－12－4xy002＝2 5－x80≤2 所以该圆被 x 轴截得的弦长|EF|的最大值为 2.
所以|AB|＝ 1＋14 x1＋x22－4x1x2＝ 解得 p＝2(负值舍去)．
1＋14 8p－22－4＝4 15，
高考一轮总复习•数学
第6页
(2)由题知，直线 MN 的斜率不为 0，设直线 MN 的方程为 x＝my＋b，由(1)知，抛物线
C 的方程