2011年安徽省高考数学试卷(理科)及解析

一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分) 1、(2011?安徽)设i 是虚数单位，复数12ai

i

+﹣为纯虚数，则实数a 为( ) A 、2

B 、﹣2

C 、1

2﹣

D 、

12

考点：复数代数形式的混合运算。 专题：计算题。

分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a 的值． 解答：解：复数12ai i +﹣=(1)(2)(2)(2)ai i i i +++﹣=225

a ai i

++﹣，它是纯虚数，所以a =2， 故选A

点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型． 2、(2011?安徽)双曲线2x 2﹣y 2=8的实轴长是( ) A 、2 B 、22

C 、4

D 、42

考点：双曲线的标准方程。 专题：计算题。

分析：将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长． 解答：解：2x 2﹣y 2=8即为 22

148

x y =﹣ ∴a 2=4 ∴a =2 故实轴长为4 故选C

点评：本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值．

3、(2011?安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )=2x 2﹣x ，则f (1)=( ) A 、﹣3 B 、﹣1

C 、1

D 、3

考点：函数奇偶性的性质。 专题：计算题。

分析：要计算f (1)的值，根据f (x )是定义在R 上的奇函娄和，我们可以先计算f (﹣1)的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x ≤0时，f (x )=2x 2﹣x ，代入即可得到答案． 解答：解：∵当x ≤0时，f (x )=2x 2﹣x ， ∴f (﹣1)=2(﹣1)2﹣(﹣1)=3， 又∵f (x )是定义在R 上的奇函数 ∴f (1)=﹣f (﹣1)=﹣3 故选A

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．

4、(2011?安徽)设变量x ，y 满足|x |+|y |≤1，则x +2y 的最大值和最小值分别为( ) A 、1，﹣1 B 、2，﹣2

C 、1，﹣2

D 、2，﹣1

考点：简单线性规划。 专题：计算题。

分析：根据零点分段法，我们易得满足|x |+|y |≤1表示的平面区域是以(﹣1，0)，(0，﹣1)，(1，0)，(0，1)为顶点的正方形，利用角点法，将各顶点的坐标代入x +2y 然后进行比较，易求出其最值．

解答：解：约束条件|x |+|y |≤1可化为：

100

100

100100x y x y x

y x y x y x y x

y x y +=≥≥??=≥??

+=≥??=?，，﹣，，＜﹣，＜，﹣﹣，＜，＜ 其表示的平面区域如下图所示： 由图可知当x =0，y =1时x +2y 取最大值2 当x =0，y =﹣1时x +2y 取最小值﹣2 故选B

点评：本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答线性规划类小题的关键．

5、(2011?安徽)在极坐标系中，点(2，

3

π

)到圆ρ=2cos θ的圆心的距离为( ) A 、2

B 、2

49

π+

C 、2

19

π+

D 、3

考点：圆的参数方程。 专题：计算题。

分析：在直角坐标系中，求出点 的坐标和圆的方程及圆心坐标，利用两点间的距离公式求出所求的距离．

解答：解：在直角坐标系中，点即(1，3)，圆即 x 2+y 2=2x ，即 (x ﹣1)2+y 2=1， 故圆心为(1，0)，故点(2，3

π

)到圆ρ=2cos θ的圆心的距离为22(1

1)(30)+﹣﹣=3， 故选 D ．

点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，两点间的距离公式的应用．

6、(2011?安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

( )

A 、48

B 、32+817

C 、48+817

D 、80

考点：由三视图求面积、体积。 专题：计算题。

分析：由已知中的三视图我们可以得到该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，根据三视图中标识的数据，我们分别求出四棱柱的底面积和侧面积即可得到答案． 解答：解：如图所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱， 其底面上底长为2，下底长为4，高为4， 故底面积S 底=

1

2

×(2+4)×4=12 腰长为：2

14 =17

则底面周长为：2+4+2×17=6+217 则其侧面积S 侧=4×(6+217)=24+817

则该几何体的表面积为S =2×S 底+S 侧=2×12+24+817=48+817 故选C ．

点评：本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图及标识的数据，判断出几何体的形状，并求出相应棱长及高是解答本题的关键．

7、(2011?安徽)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定 是( ) A 、所有不能被2整除的整数都是偶数

B 、所有能被2整除的整数都不是偶数

C 、存在一个不能被2整除的整数是偶数

D 、存在一个能被2整除的整数不是偶数

考点：命题的否定。 专题：综合题。

分析：根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论．

解答：解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题 其否定一定是一个特称命题，故排除A ，B 结合全称命题的否定方法，我们易得

命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为

“存在一个能被2整除的整数不是偶数” 故选D

点评：本题考查的知识点是命题的否定，做为新高考的新增内容，全称命题和特称命题的否定是考查的热点．

8、(2011?安徽)设集合A ={1，2，3，4，5，6}，B ={4，5，6，7，8}，则满足S ?A 且S ∩B ≠?的集合S 的个数是( ) A 、57 B 、56

C 、49

D 、8

考点：子集与真子集。 专题：计算题。

分析：因为集合S 为集合A 的子集，而集合A 的元素有6个，所以集合A 的子集有26个，又集合S 与集合B 的交集不为空集，所以集合S 中元素不能只有1，2，3，把不符合的情况舍去，即可得到满足题意的S 的个数．

解答：解：集合A 的子集有：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，…，{1，2，3，4，5，6}，?，共64个； 又S ∩B ≠?，B ={4，5，6，7，8}，

所以S 不能为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，?共8个， 则满足S ?A 且S ∩B ≠?的集合S 的个数是64﹣8=56． 故选B

点评：此题考查学生掌握子集的计算方法，理解交集的意义，是一道基础题．

9、(2011?安徽)已知函数f (x )=sin(2x +?)，其中?为实数，若()()6

f x f π

≤∣∣对x ∈R 恒成立，

且()()2

f f π

π＞，则f (x )的单调递增区间是( )

A 、[]()3

6

k k k Z ππ

ππ+

∈﹣， B 、[]()2

k k k Z π

ππ+∈，

C 、2[]()63

k k k Z ππ

ππ++∈，

D 、[]()2

k k k Z π

ππ∈﹣，

考点：函数y =A sin(ωx +φ)的图象变换。 专题：计算题。

分析：由若()()6

f x f π

≤∣∣对x ∈R 恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f (

6

π

)等于函数

的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合()()2

f f π

π＞，易求出

满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案． 解答：解：若()()6

f x f π

≤∣∣对x ∈R 恒成立，

则f (6π

)等于函数的最大值或最小值 即2×6π+φ=k π+2

π

，k ∈Z

则φ=k π+6π

，k ∈Z

又()()2

f f π

π＞

即sin φ＜0

令k =﹣1，此时φ=56

π

﹣，满足条件 令2x 56

π﹣∈[2k π﹣2π，2k π+2π]，k ∈Z

解得x ∈2[]()63

k k k Z ππ

ππ++∈，

故选C

点评：本题考查的知识点是函数y =A sin(ωx +φ)的图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值，是解答本题的关键．

10、(2011?安徽)函数f (x )=ax m (1﹣x )n 在区间[0，1]上的图象如图所示，则m ，n 的值可能是

( )

A 、m =1，n =1

B 、m =1，n =2

C 、m =2，n =1

D 、m =3，n =1

考点：利用导数研究函数的单调性。 专题：计算题；图表型。

分析：由图得，原函数的极大值点小于0.5．把答案代入验证看哪个对应的极值点符合要求即可得出答案．

解答：解：由于本题是选择题，可以用代入法来作， 由图得，原函数的极大值点小于0.5． 当m =1，n =1时，f (x )=ax (1﹣x )=﹣a 21

()2x ﹣+

4a ．在x =1

2

处有最值，故A 错； 当m =1，n =2时，f (x )=ax m (1﹣x )n =ax (1﹣x )2=a (x 3﹣2x 2+x )，所以f '(x )=a (3x ﹣1)(x ﹣1)，令f '(x )=0?x =

13，x =1，即函数在x =1

3

处有最值，故B 对； 当m =2，n =1时，f (x )=ax m (1﹣x )n =ax 2(1﹣x )=a (x 2﹣x 3)，有f '(x )=a (2x ﹣3x 2)=ax (2﹣3x )，令f '(x )=0?x =0，x =

23，即函数在x =2

3

处有最值，故C 错； 当m =3，n =1时，f (x )=ax m (1﹣x )n =ax 3(1﹣x )=a (x 3﹣x 4)，有f '(x )=ax 2(3﹣4x )，令f '(x )=0，?x =0，x =

34，即函数在x =3

4

处有最值，故D 错． 故选 B ．

点评：本题主要考查函数的最值(极值)点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． 二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)

11、(2011?安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是 15 ．

考点：程序框图。 专题：图表型。

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算I 值，并输出满足条件I ＞105的第一个k 值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量k 的值的变化情况进行分析，不难给出答案．

解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： k I 是否继续循环 循环前 0 0 是 第一圈 1 1 是 第二圈 2 1+2 是 第三圈 3 1+2+3 是 第四圈 4 1+2+3+4 是 依次类推

第十六圈 15 1+2+3+…+15＞105 否 故最后输出的k 值为：15， 故答案为：15．

点评：根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 12、(2011?安徽)设(x ﹣1)21=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 21x 21，则a 10+a 11= 0 ． 考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质。 专题：计算题。

分析：根据题意，可得(x ﹣1)21的通项公式，结合题意，可得a 10=﹣C 2111，a 11=C 2110，进而相加，由二项式系数的性质，可得答案．

解答：解：根据题意，(x ﹣1)21的通项公式为T r +1=C 21r (x )21﹣

r ?(﹣1)r ，

则有T 10=C 2110(x )11?(﹣1)10，T 11=C 2111(x )10?(﹣1)11， 则a 10=﹣C 2111，a 11=C 2110， 故a 10+a 11=C 2110﹣C 2111=0； 故答案为：0．

点评：本题考查二项式系数的性质与二项式定理的运用，解题时注意二项式通项公式的形式与二项式系数的性质，综合考查可得答案．

13、(2011?安徽)已知向量a ，b 满足(a +2b )?(a ﹣b )=﹣6，，|a |=1，|b |=2，则a 与b 的

夹角为 60° ．

考点：数量积表示两个向量的夹角。 专题：计算题。

分析：由已知向量a ，b 满足(a +2b )?(a ﹣b )=﹣6，，|a |=1，|b |=2，我们易求出a ?b

的

值，代入cos θ=??a b a b

∣∣∣∣

，即可求出a 与b

的夹角．

解答：解：∵(a +2b )?(a ﹣b

) =a 2

﹣2b 2+a ?b

=1﹣8+a ?b

=﹣6

∴a ?b =1

∴cos θ=??a b a b ∣∣∣∣=1

2

又∵0°≤θ≤80° ∴θ=60° 故答案为60°或者

3

． 点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中求夹角的公式cos θ=??a b

a b

∣∣∣∣

要熟练掌握．

14、(2011?安徽)已知△ABC 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为 153．

考点：余弦定理；数列的应用；正弦定理。 专题：综合题。

分析：因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x ，则最大的边为x +4，最小的边为x ﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x 的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积．

解答：解：设三角形的三边分别为x ﹣4，x ，x +4，

则cos120°=

222

(4)(4)

2(4)

x x x

x x

++

﹣﹣

﹣

=﹣

1

2

，

化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，

所以三角形的三边分别为：6，10，14

则△ABC的面积S=1

2

×6×10sin120°=153．

故答案为：153

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．

15、(2011?安徽)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是①③⑤(写出所有正确命题的编号)．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线．

考点：直线的一般式方程。

专题：新定义。

分析：①举一例子即可说明本命题是真命题；

②举一反例即可说明本命题是假命题；

③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；

④根据③为真命题，把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b，所以本命题为假命题；

⑤举一例子即可得到本命题为真命题．

解答：解：①令y=x+1

2

，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；

②若k=2，b=2，则直线y=2x+2经过(﹣1，0)，所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点(x1，y1)和(x2，y2)，

把两点代入直线l 方程得：y 1=kx 1，y 2=kx 2， 两式相减得：y 1﹣y 2=k (x 1﹣x 2)，

则(x 1﹣x 2，y 1﹣y 2)也在直线y =kx 上且为整点， 通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点，

又通过上下平移得到y =kx +b 不一定成立．则③正确，④不正确； ⑤令直线y =2x 恰经过整点(0，0)，所以本命题正确． 综上，命题正确的序号有：①③⑤． 故答案为：①③⑤

点评：此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，以及考查学生对题中新定义的理解能力，是一道中档题． 三、解答题(共6小题，满分75分)

16、(2011?安徽)设2

()1x e f x ax

=+，其中a 为正实数 (Ⅰ)当a =

4

3

时，求f (x )的极值点； (Ⅱ)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法。 专题：计算题。

分析：(Ⅰ)首先对f (x )求导，将a =4

3

代入，令f ′(x )=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可．

(Ⅱ)因为a ＞0，所以f (x )为R 上为增函数，f ′(x )≥0在R 上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可． 解答：解：对f (x )求导得

f ′(x )=222

12(1)

ax ax ax ++﹣ (Ⅰ)当a =4

3

时，若f ′(x )=0，则4x 2﹣8x +3=0，解得

123122

x x ==，

结合①，可知

所以，

13 2

x=是极小值点，

11 2

x=是极大值点．

(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，

结合①与条件a＞0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，

因此△=4a2﹣4a=4a(a﹣1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．

点评：本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解．

17、(2011?安徽)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD 上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形

(I)证明直线BC∥EF；

(II)求棱锥F﹣OBED的体积．

考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积。

专题：综合题。

分析：(I)利用同位角相等，两直线平行得到OB∥DE；OB=1

2

DE，得到B是GE的中点；

同理C是FG的中点；利用三角形的中位线平行于底边，得证．

(II)利用三角形的面积公式求出底面分成的两个三角形的面积，求出底面的面积；利用两个平面垂直的性质找到高，求出高的值；利用棱锥的体积公式求出四棱锥的体积．

解答：解：(I)证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于△OAB与△ODE都是

正三角形，所以OB∥DE，OB=1

2

DE同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，

有OG′=OD=2，又由于G与G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合，在△GED

和△GFD 中，由12OB DE OB DE =

，和1

2

OC DF OC DF = ，可知B ，C 分别是GE ，GF 的中点，所以BC 是△GFD 的中位线，故BC ∥EF (II )解：由OB =1，OE =2，∠EOB =60°，知3

2

BOE S =

而△OED 是边长为2的正三角形，故3OED S = 所以33

2

OBED BOE OED S S S =+=

过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ．由平面ABED ⊥平面ACFD ，FQ 就是四棱锥F ﹣OBED 的高，且FQ =

3，所以

13

?32

F OBED OBED V FQ S ==﹣

另外本题还可以用向量法解答，同学们可参考图片，自行解一下，解法略．

点评：本题考查证明两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行、三角形的中位线平行于底边、考查平面垂直的性质定理、棱锥的体积公式．

18、(2011?安徽)在数1 和100之间插入n 个实数，使得这n +2个数构成递增的等比数列，将这n +2个数的乘积计作T n ，再令a n =lg T n ，n ≥1． (I )求数列{a n }的通项公式；

(Ⅱ)设b n =tan a n ?tan a n +1，求数列{b n }的前n 项和S n ． 考点：等比数列的通项公式；数列与三角函数的综合。 专题：计算题。

分析：(I )根据在数1 和100之间插入n 个实数，使得这n +2个数构成递增的等比数列，我们易得这n +2项的几何平均数为10，故T n =10n +2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{a n }的通项公式；

(II )根据(I )的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{b n }的每一项拆成

tan(3)tan(2)

1tan1

n n ++﹣﹣的形式，进而得到结论．

解答：解：(I )∵在数1 和100之间插入n 个实数，使得这n +2个数构成递增的等比数列，

又∵这n+2个数的乘积计作T n，∴T n=10n+2

又∵a n=lg T n，

∴a n=lg10n+2=n+2，n≥1．

(II)∵b n=tan a n?tan a n+1=tan(n+2)?tan(n+3)=tan(3)tan(2)

1

tan1

n n

++

﹣

﹣，

∴S n=b1+b2+…+b n=[tan(4)tan(3)

1

tan1

﹣

﹣]+[

tan(5)tan(4)

1

tan1

﹣

﹣]+…+[

tan(3)tan(2)

1

tan1

n n

++

﹣

﹣

]

=tan(3)tan(3)

tan1

n

n

+﹣

﹣

点评：本题考察的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键．

19、(2011?安徽)(Ⅰ)设x≥1，y≥1，证明x+y+1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy；

(Ⅱ)1≤a≤b≤c，证明log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c．

考点：不等式的证明。

专题：证明题；转化思想。

分析：(Ⅰ)根据题意，首先对原不等式进行变形有

x+y+1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy?xy(x+y)+1≤x+y+(xy)2；再用做差法，让右式﹣左式，通过变形、整理

化简可得右式﹣左式=(xy﹣1)(x﹣1)(y﹣1)，又由题意中x≥1，y≥1，判断可得右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明．

(Ⅱ)首先换元，设log a b=x，log b c=y，由换底公式可得：log b a=1

x

，log c b=

1

y

，log a c=

1

xy

，log a c=xy，

将其代入要求证明的不等式可得：x+y+1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy；又有log a b=x≥1，log b c=y≥1，借

助(Ⅰ)的结论，可得证明．

解答：证明：(Ⅰ)由于x≥1，y≥1；则x+y+1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy?xy(x+y)+1≤x+y+(xy)2；

用作差法，右式﹣左式=(x+y+(xy)2)﹣(xy(x+y)+1) =((xy)2﹣1)﹣(xy(x+y)﹣(x+y))

=(xy+1)(xy﹣1)﹣(x+y)(xy﹣1)

=(xy﹣1)(xy﹣x﹣y+1)

=(xy﹣1)(x﹣1)(y﹣1)；

又由x≥1，y≥1，则xy≥1；即右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明．(Ⅱ)设log a b=x，log b c=y，

由换底公式可得：log b a=1

x

，log c b=

1

y

，log a c=

1

xy

，log a c=xy，

于是要证明的不等式可转化为x+y+1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy；

其中log a b=x≥1，log b c=y≥1，

由(Ⅰ)的结论可得，要证明的不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意(Ⅱ)证明在变形后用到(Ⅰ)的结论，这个高考命题考查转化思想的一个方向．

20、(2011?安徽)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．(Ⅰ)如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

(Ⅱ)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)EX；(Ⅲ)假定l＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小．

考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式。

专题：计算题；应用题。

分析：(Ⅰ)可先考虑任务不能被完成的概率为(1﹣p1)(1﹣p2)(1﹣p3)为定值，故任务能被完成的概率为定值，通过对立事件求概率即可．

(Ⅱ)X的取值为1，2，3，利用独立事件的概率分别求出概率，再求期望即可．

(Ⅲ)由(Ⅱ)中得到的关系式，考虑交换顺序后EX的变化情况即可．

解答：解：(Ⅰ)任务不能被完成的概率为(1﹣p1)(1﹣p2)(1﹣p3)为定值，

所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关． 任务能被完成的概率为1﹣(1﹣p 1)(1﹣p 2)(1﹣p 3) (Ⅱ)X 的取值为1，2，3 P (X =1)=q 1 P (X =2)=(1﹣q 1)q 2 P (X =3)=(1﹣q 1)(1﹣q 2)

EX =q 1+2(1﹣q 1)q 2+3(1﹣q 1)(1﹣q 2)=3﹣2q 1﹣q 2+q 1q 2 (Ⅲ)EX =3﹣(q 1+q 2)+q 1q 2﹣q 1，

若交换前两个人的派出顺序，则变为3﹣(q 1+q 2)+q 1q 2﹣q 2， 由此可见，当q 1＞q 2时，交换前两个人的派出顺序可减小均值； 若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序，

EX 可写为3﹣2q 1﹣(1﹣q 1)q 2，交换后个人的派出顺序则变为3﹣2q 1﹣(1﹣q 1)q 3， 当q 2＞q 3时交换后个人的派出顺序可减小均值 故完成任务概率大的人先派出，

可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小．

点评：本题考查对立事件、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和方差等知识，以及利用概率知识解决实际问题的能力．

21、(2011?安徽)设λ＞0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线y =x 2上运动，点Q 满足

BQ

QA λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足 QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．

考点：抛物线的应用；轨迹方程。 专题：综合题。

分析：设出点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入已知条件中的向量关系得

到各点的坐标关系；表示出B 点的坐标；将B 的坐标代入抛物线方程求出p 的轨迹方程．

解答：解：由QM MP λ=

知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，

Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)则

x 2﹣y 0=λ(y ﹣x 2)即y 0=(1+λ)x 2﹣λy ① 再设B (x 1，y 1)由BQ QA λ=

得110

(1)(1)x x

y y λλλλ=+??

=+?﹣②﹣ 将①代入②式得122

1

(1)(1)(1)x x

y y x λλλλλλ=+?+?

=+?﹣﹣﹣③ 又点B 在抛物线y =x 2

将③代入得(1+λ)2x 2﹣λ(1+λ)y ﹣λ=((1+λ)x ﹣λ)2

整理得2λ(1+λ)x ﹣λ(1+λ)y ﹣λ(1+λ)=0因为λ＞0所以2x ﹣y ﹣1=0 故所求的点P 的轨迹方程：y =2x ﹣1

点评：本题考查题中的向量关系提供点的坐标关系、求轨迹方程的重要方法：相关点法，即求出相关点的坐标，将相关点的坐标代入其满足的方程，求出动点的轨迹方程．