2000年-2016年天津高考数学真题合订
5% 10% 15%
A B 把集合 A 中的元素 ( x, y ) 映射成集合 B 中的元素 ( x y, x y ) ，
则在映射 f 下，象 (2,1) 的原象是 A． (3,1) B． ( , )
… … 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于 A． 800 ~ 900 元 B． 900 ~ 1200 元 D． 1500 ~ 2800 元
3
B． 2 x y 1 0 D． 2 x y 7 0
P ( A B ) P ( A) P ( B ) ．
如果事件 A ， B 相互独立，那么
2 2
C．
D．
10．过原点的直线与圆 x y 4 x 3 0 相切，若切点在第三象限，则该 直线的方程是
第I卷
注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 参考公式： 如果事件 A ， B 互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
20． （本小题满分 12 分） 用总长 14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底 面的一边比另一边长 0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出 它的最大容积．
21． （本小题满分 12 分） （Ⅰ）已知数列 {cn } ，其中 cn 2 3 ，且数列 {cn 1 pcn } 为等比 数列，求常数 p ． （Ⅱ）设 {an } 、 {bn } 是公比不相等的两个等比数列， cn an bn ， 证明数列 {cn } 不是等比数列．
1 ab (lg a lg b ) ， R lg( ) ，则 2 2
C． Q P R D． P R Q
数
学（理工类）
D． 3 3i
8．右图中阴影部分的面积是 A． 2 3 C． B． 9 2 3 D．
本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分， 考试用时 120 分钟。第 I 卷 1 至 3 页，第 II 卷 4 至 9 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位 置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷 上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！
其中 c 表示底面周长，
1
3
P ( AB ) P ( A) P ( B ) ．
如果事件 A 在一次试验中发生的 概率是 P ，那么 n 次独立重复试 验中恰好发生 k 次的概率
l 表示斜高或母线长．
棱锥、圆锥的体积公式
2 2
B． arccos D． arccos
1 2 1
4
6． 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超 过 800 元的部分不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额． 此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000②③ C．③④ D．②④
A． y
3x
2
B． y 3x
C． y
5．函数 y x cos x 的部分图象是
3 x 3
D． y
3 x 3
11．过抛物线 y ax (a 0) 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P, Q 两点， 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p, q ，则 A． 2 a B．
n n
22． （本小题满分 14 分）
如图，已知梯形 ABCD 中 | AB | 2 | CD | ，点 E 分有向线段 AC 所成 的比为 ， 双曲线过 C , D, E 三点， 且以 A, B 为焦点． 当 求双曲线离心率 e 的取值范围．
2 3 时， 3 4
2001 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
1
1 V椎体 Sh ． 3 其中 S 表示底面积， h 表示高．
2
Pn (k ) C P (1 P )
k n
k
n k
．
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集 {( x, y ) | x R, y R} ，映射 f :
3．过点 A(1, 1), B ( 1,1) 且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是 A． ( x 3) ( y 1) 4 C． ( x 1) ( y 1) 4
2 2 2 2
B． ( x 3) ( y 1) 4 D． ( x 1) ( y 1) 4
2 2
2
2
4．若定义在区间 ( 1, 0) 内的函数 f ( x ) log 2 a ( x 1) 满足 f ( x ) 0 ， 则 a 的取值范围是
若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则 A． P3 P2 P 1 C． P3 P2 P 1 B． P3 P2 P 1 D． P3 P2 P 1
2．若 S n 是数列 {an } 的前 n 项和，且 S n n ，则 {an } 是 A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列 D．既非等比数列又非等差数列
2
11．一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜； ③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为 P 1、 P 2、P 3．
3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6 ，则这个长方体 对角线的长是 A． 2 3 B． 3 2 C． 6 D． 6
32 3 1 2 2 1 4 4
2
35 3 1 2 1 4 2
9． 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A． B．
2000 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
2．在复平面内，把复数 3 3i 对应的向量按顺时针方向旋转 对应的复数是 A． 2 3 B． 2 3i C． 3 3i
，所得向量 3
7．若 a b 1 ， P A． R P Q
lg a lg b ， Q
B． P Q R
第I卷
注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 参考公式： 如果事件 A ， B 互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
5．若向量 a (1,1) ， b (1, 1) ， c (1, 2) ，则 c
3 1 2 2
C． ( , )
3 2
1 2
D． (1,3)
C． 1200 ~ 1500 元
2000 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤．
18（乙） ． （本小题满分 12 分） 如图，已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且 C1CB BCD 60 ． （Ⅰ）证明： CC1 BD ； （Ⅱ）假定 CD 2 ， C1C
3 ，记面 C1 BD 为 ，面 CBD 为 ， 2
求二面角 BD 的平面角的余弦值； （Ⅱ）当
CD 的值为多少时，能使 A1C 平面 C1 BD ？请给出证明． CC1
x2 y2 1 的焦点为 F1 , F2 ，点 P 为其上的动点，当 F1 PF2 为 9 4
（Ⅱ）求 cos BA1, CB1 的值； （Ⅲ）证明： A1 B C1M ．
19． （本小题满分 12 分） 设函数 f ( x )
x 2 1 ax ，其中 a 0 ．
（Ⅰ）解不等式 f ( x ) 1 ； （Ⅱ）求 a 的取值范围，使函数 f ( x ) 在区间 [0, ) 上是单调函数．
2
4．设 a, b, c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ① ( a b)c (c a )b 0 ③ (b c) a (c a )b 不与 c 垂直 ② | a | | b || a b | ④ (3a 2b) (3a 2b) 9 | a | 4 | b |
1 3 A． a b 2 2
1 3 B． a b 2 2
3 1 C． a b 2 2
3 1 D． a b 2 2
6．若 A, B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且 | PA || PB | ．若直线 PA 的方程为 x y 1 0 ，则直线 PB 的方程是 A． x y 5 0 C． 2 y x 4 0 7．若 0 A． a b
na nan 1an 0
．
2 n
BCA 90 ，棱 AA1 2 ， M , N 分别是 A1 B1 , A1 A 的中点．
（Ⅰ）求 BN 的长；
(n 1, 2,3, ) ，则它的通项公式是 an
16．如图， E 、 F 分别为正方体的面 ADD1 A1 、面 BCC1B1 的中心，则 四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是 （要求：把可能的图的序号都填上） ．
数
学（理工类） 第 II 卷
17． （本小题满分 12 分） 甲、 乙二人参加普法知识竞答， 共有 10 个不同的题目， 其中选择题 6 个， 判断题 4 个．甲、乙二人依次各抽一题． （Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 10 小题，共 90 分。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5% ，现从一批产品中任意地 连续取出 2 件，其中次品 的概率分布是 14．椭圆
2000年高考.江西、天津卷.理科数学试题及答案
2000年高考江西、天津卷数 学(新课程卷/理工农医类)一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,1（2） 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（A ）23 （B ）i 32- （C ）i 33- （D ）3i 3+（3） 一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体 对角线的长是（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①()()0=⋅-⋅b a c c b a ； ②b a b a -<-③()()b a c a c b ⋅-⋅不与c 垂直 ④()()22492323b a b a b a ==-⋅+中，是真命题的有（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④ （5）函数x x y cos -=的部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。
此项税 款按下表分段累进计算：（A ） 800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元 （7）若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则 （A ）R <P <Q （B ）P <Q <R（C ）Q <P <R （D ）P <R <Q （8）右图中阴影部分的面积是 （A ）32 （B ）329- （C ）332 （D ）335 （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+（10）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x 33 （D ）x 33- （11）过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 （12）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）321arccos（B ）21arccos（C ）21arccos （D ）421arccos二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横 线上。
天津高考数学试题文解析版
天津高考数学试题文解析版Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则AB =（ ）（A ）}3,1{（B ）}2,1{（C ）}3,2{（D ）}3,2,1{【答案】A【解析】试题分析：{1,3,5},{1,3}B A B ==,选A.考点：集合运算（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ）（A ）65（B ）52（C ）61（D ）31【答案】A考点：概率（3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【答案】B 【解析】试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B 考点：三视图（4）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A ）1422=-y x （B ）1422=-y x（C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A考点：双曲线渐近线（5）设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（ ）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：34,3|4|>-<-,所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，必要性成立，故选C考点：充要关系（6）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ ）（A ）)21,(-∞（B ）),23()21,(+∞-∞（C ）)23,21(（D ）),23(+∞【答案】C 【解析】试题分析：由题意得1|1||1||1|2113(2)(222|1|222a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<⇒<<，故选C考点：利用函数性质解不等式（7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81（C ）41（D ）811【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.考点：向量数量积 （8）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(【答案】D考点：解简单三角方程第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z +=，则z 的实部为_______.【答案】1 【解析】试题分析：2(1)211i z z i i+=⇒==-+，所以z 的实部为1考点：复数概念（10）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________. 【答案】3 【解析】试题分析：()(2+3),(0) 3.x f x x e f ''=∴= 考点：导数（11）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为_______.【答案】4考点：循环结构流程图（12）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点(0,5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距离为45，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+= 【解析】试题分析：设(,0),(0)C a a >，则2452,2535a r =⇒==+=，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=考点：直线与圆位置关系（13）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE的长为__________.【答案】233考点：相交弦定理(14) 已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 【答案】12[,)33【解析】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以12132,1637a a a <-≤⇒>≥，因此a 的取值范围是12[,)33考点：函数综合三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 23sin a B b A =.(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若1cos A 3=，求sinC 的值.【答案】（Ⅰ）6π=B （Ⅱ）261+ 考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 (16) (本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数. (Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润并求出此最大利润.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元试题解析：（Ⅰ）解：由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.(1)M2x+3y=z (2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO考点：线性规划(17) (本小题满分13分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，6，DE=3，∠BAD=60o，G 为BC 的中点. (Ⅰ)求证：FG||平面BED ；(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）65（Ⅱ）证明：在ABD ∆中，060,2,1=∠==BAD AB AD ，由余弦定理可3=BD ，进而可得090=∠ADB ，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面⊂BD ABCD ,平面ABCD ；平面AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以平面⊥BED 平面AED .（Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面 BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得32cos =∠ADE ，所以35sin =∠ADE ，因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ，在AHB Rt ∆中，65sin ==∠AB AH ABH ，所以直线AB 与平面BED 所成角的正弦值为65. 考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角 (18) (本小题满分13分)已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123112,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）12-=n n a （Ⅱ）22n（Ⅱ）解：由题意得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为21，公差为1的等差数列. 设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=- 考点：等差数列、等比数列及其前n 项和 （19）（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）6±（2）设直线的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，设(,)B B B x y ，由方程组221,43(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，整理得2222(43)1616120k x k x k +-+-=，解得2x =或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243B ky k -=+，由（1）知(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++，考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 （20）（本小题满分14分）设函数b ax x x f --=3)(，R x ∈，其中R b a ∈, （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41.【答案】（Ⅰ）递减区间为33(a a ，递增区间为3(,)a -∞，3()a +∞.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：2()3f x x a '=-，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间试题解析：（1）解：由3()f x x ax b =--，可得2()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论： ①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，令()0f x '=，解得3a x =或3a x =. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：x3(,)3a-∞-33a - 33(,)33a a -33a3(,)3a-+∞ ()f x '+ 0 - 0 +()f x单调递增极大值 单调递减 极小值单调递增所以()f x 的单调递减区间为33(,)a a -，单调递增区间为3(,)a -∞-，3(,)a -+∞. （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠.由题意得200()30f x x a '=-=，即203ax =，进而300002()3af x x ax b x b =--=--， 又3000000082(2)822()33a a f x x axb x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠， 由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足10()()f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-， 所以10+2=0x x .（3）证明：设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ，max{,}x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：②当334a ≤<时，23332311a a a a -≤-<-<<≤， 由（1）和（2） 知233(1)()()33a a f f f -≥-=，233(1)()()33a a f f f ≤=-， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为33[(),()]33a a f f -， 所以3322max{|(|,|()|}max{|3|,|3|}99a a a a f f ab a b -=--- 2222331max{|3|,|3|}3||39999444a a a a b a b a b =+-=+≥⨯⨯⨯=.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式。
2016年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）参考公式：∙ 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+；∙ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；∙ 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；∙ 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年天津，文1，5分】已已知集合{}1,2,3A =，{}|21,B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）（A ）{}1,3 （B ）{}1,2 （C ）{}2,3 （D ）{}1,2,3 【答案】A【解析】{}{}1,3,5,1,3B AB ==，故选A ．【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏．（2）【2016年天津，文2，5分】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为（ ）（A ）56 （B ）25 （C ）16 （D ）13【答案】A【解析】甲不输概率为115236+=，故选A ．【点评】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题．运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法．对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法．因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件．（3）【2016年天津，文3，5分】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B ． 【点评】1、解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2、三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．（4）【2016年天津，文4，5分】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为线20x y += 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A ）2214x y -= （B ）2214y x -= （C ）22331205x y -=（D ）22331520x y -=【答案】A【解析】由题意得2212,11241b x yc a b a ==⇒==⇒-=，故选A ．【点评】求双曲线的标准方程关注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为()2210Ax By AB =<＋．②若已知渐近线方程为0mx ny +=，则双曲线方程可设为()22220m x n y λλ=≠－．（5）【2016年天津，文5，5分】设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】34,34>-<-，所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，必要性成立，故选C ．【点评】充分、必要条件的三种判断方法．1、定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p q ⇒”为真，则p 是q 的充分条件．2、等价法：利用p q ⇒与非q ⇒非p ，q p ⇒与非p ⇒非q ，p q ⇔与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3、集合法：若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A B =，则A 是B 的充要条件．（6）【2016年天津，文6，5分】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数a 满足()(|1|2a f f ->，则a 的取值范围是（ ）（A ）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （C ）13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意得()(1111132221222a a a f f a a ---->⇒->-<⇒<<，故选C ． 【点评】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．（7）【2016年天津，文7，5分】已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）（A ）58- （B ）18 （C ）14 （D ）118【答案】B【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B ．【点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简． 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．（8）【2016年天津，文8，5分】已知函数()211()sin sin 0222x f x x ωωω=+->，x R ∈．若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ）150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ （C ）50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ （D ）1150,,848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D【解析】()1cos sin 12224x x f x x ωωπω-⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，()0sin 04f x x πω⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，所以()()4,2,k x k z ππππω+=∉∈，因此115599115,,,,,848484848ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∉=+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1150,,848ω⎛⎤⎡⎤⇒∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故选D ．【点评】对于三角函数来说，常常是先化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2016年天津，文9，5分】i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，则z 的实部为 ． 【答案】1【解析】()21i 21i 1iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．【点评】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ， 22()(),(,,.)+++-=∈++a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d ． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、共轭为.-a bi ．（10）【2016年天津，文10，5分】已知函数()()()2+1,x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则()0f '的值为 ． 【答案】3【解析】()()()2+3,03x f x x e f ''=∴=．【点评】求函数的导数的方法：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）复合 函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；(5)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导． （11）【2016年天津，文11，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 ． 【答案】4【解析】第一次循环：8,2S n ==；第二次循环：2,3S n ==；第三次循环：4,4S n ==；结束循环，输出4S =．【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．（12）【2016年天津，文12】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点(M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为 ． 【答案】22(2)9x y -+=【解析】设()(),0,0C a a >2,3a r ===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=． 【点评】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．（2）几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．（13）【2016年天津，文13，5分】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，22BE AE ==，BD ED =，则线段CE 的长为 ．【解析】设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2B D D E x==，所以1AC AE ==，因为AB是直径，则BC=AD=，在圆中BCE DAE∆∆:，则BC ECAD AE=，即1x=，解得x【点评】1、解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2、应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．（14）【2016年天津，文14，5分】已知函数()2(43)3,0()01log(1)1,0ax a x a xf x a ax x⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R上单调递减，且关于x的方程()23xf x=-恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．【答案】12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由函数()f x在R上单调递减得432a--≥，01a<<，133134a a≥⇒≤≤，又方程()23xf x=-恰有两个不相等的实数解，所以32a<，1211637aa-≤⇒>≥，因此a的取值范围是12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2016年天津，文15，13分】在ABC∆中，内角,,A B C所对应的边分别为a，b，c，已知sin2sina B A．（1）求B；（2）若1cosA3=，求sin C的值．解：（1）在ABC∆中，由sin sina bA B=，可得sin sina Bb A=，又由sin2sina B A=得2sin cos sin sina B B A B=，所以cos B=6Bπ=；（2）由1cos3A=得sin A=sin sin[()]sin()C A B A Bπ=-+=+，所以sin sin6C Aπ⎛⎫=+⎪⎝⎭1cos2A A+=【点评】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证．（16）【2016年天津，文16，13分】某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：（1）由已知x ，y 满足的数学关系式为452008536031030000x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分．（2）设利润为z 万元，则目标函数23z x y =+，这是斜率为23-，随z 变化的一族平行直线．3z为直线在y 轴上的截距，当3z取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线23z x y =+经过可行域中的点M 时，截距3z的值最大，即z 的值最大．解方程组45200310300x y x y +=⎧⎨+=⎩得点M 的坐标为()20,24M ，所以max 220324112z =⨯+⨯=．答生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．【点评】解线性规划应用问题的一般步骤是：（1）分析题意，设出未知量；（2）列出线性约束条件和目标函数；（3）作出可行域并利用数形结合求解；（4）作答．而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封 闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点 间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法．（17）【2016年天津，文17，13分】如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，1BC EF ==，AE =，3DE =，60?BAD ∠=，G 为BC 的中点．（1）求证：//FG 平面BED ；（2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值． 解：（1）取BD 的中点为O ，连接,OE OG ，在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，所以//OG DC且112OG DC ==，又因为//,//EF AB AB DC ，所以//EF OG 且EF OG =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以//FG OE ，又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，所以//FG 平面BED ． （2）在ABD ∆中，01,2,60AD AB BAD ==∠=，由余弦定理可BD =进而可得090ADB ∠=，即B D A D ⊥，又因为平面AED ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ；平面AED 平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面AED ．又因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ． （3）因为//EF AB ，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角．过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面BED 平面AED ED =，由（2）知AH ⊥平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠．在ADE ∆中，1,3,AD DE AE ===2cos 3ADE ∠=，所以sin ADE ∠sin AH AD ADE =⋅∠=，在Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠=，所以直线AB 与平面BED．【点评】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．（18）【2016年天津，文18，13分】已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123112,63S a a a -==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由已知有2111112a a q a q -=，解之可得2,1q q ==-，又由61(1)631n a q S q -==-知1q ≠-，所以61(12)6312a -=-，解之得11a =，所以12n n a -=． （2）由题意得()()122122111log log log 2log 2222n n n n nb a a n -+=+=+=-，即数列{}n b 是首项为12，公差为1的等差数列．设数列(){}21nn b -的前n 项和为n T ，则222222212212342121222()()()()22n n n n n n b b T b b b b b b b b b n -+=-++-++⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅+==． 【点评】分组转化法求和的常见类型（1）若n n n a b c ±＝，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和．（2）通项公式为n a =⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数的数列，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．（19）【2016年天津，文19，14分】设椭圆22213x y a +=(a 的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程； （2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠=∠，求直线的l 斜率．解：（1）设(,0)F c ，由113e O F O A F A +=，即()113c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设直线的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，设(),B B B x y ，由方程组22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ， 整理得()2222431616120k x k x k +-+-=，解得2x =或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，21243B k y k -=+，由（1）知(1,0)F ，设()0,H H y ，有()1,H FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，由BF HF ⊥，得0B F H F ⋅=， 所以222124904343H ky k k k -+=++，解得21243H ky k =+，因此直线MH 的方程为219412k y x k k -=-+，设(),M M M x y ， 由方程组()2194122k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得()22209121M k x k +=+，在M A O 中，MOA MAO MA MO ∠=∠⇔=， 即()22222M MMMx y x y -+=+，化简得1M x =，即22209112(1)k k +=+，解得k =或k ， 所以直线l的斜率为k =或k ． 【点评】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．（20）【2016年天津，文20，14分】设函数3()f x x ax b =--，x R ∈，其中,a b R ∈．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=；（3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于．．．14．解：（1）由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a '=-，下面分两种情况讨论：①当0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(),-∞∞．②当0a >时，令()0f x '=，解得x 或x =．当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠．由题意得：()20030f x x a '=-=，即203ax =． ()3000023a f x x ax b x b =--=--，又()()3000000082282233a a f x x axb x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=， 且002x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-，所以1020x x +=．（3）设()g x 在区间[]1,1-上的最大值为M ，{}max ,x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：①当3a ≥时，11≤-<，由（1）知()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()f x 在区间[]1,1- 上的取值范围为()()1,1f f -⎡⎤⎣⎦，因此，()(){}{}max 1,1max 1,1M f f a b a b =-=---+-⎡⎤⎣⎦{}max 1,1a b a b =-+--1,01,0a b b a b b --≥⎧=⎨--<⎩，所以1||2M a b =-+≥．②当334a ≤<时，11≤-<<<≤，由（1）和（2） 知()1f f f ⎛-≥= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛≤= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为,f f ⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以max ,max f f b b ⎧⎫⎫⎛⎫⎧⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎨⎬⎨⎬⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭231max 944b b b ⎫==≥⨯=⎬⎭．③当304a <<时，11-<<<，由（1）和（2）知，()1f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛>= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f -⎡⎤⎣⎦，因此 ()(){}{}{}1m a x 1,1m a x 1,1m a x 1,114M f f a b a b a b a b a b =-=-+---=-+--=-+>⎡⎤⎣⎦， 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14．【评析】1、求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数()f x 的定义域（定义域优先）；（2）求导函数()f x '；（3）在函数()f x 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．（4）由()()()00f x f x >'<'的解集确定函数()f x 的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2、由函数()f x 在(),a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥(或()0f x '≤)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。
2016年天津市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)
2016年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．173．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．2 B．4 C．6 D．85．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的（）﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．10．（5分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为m312．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是．14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．三、计算题15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，b n是a n和a n+1的等比中项．（1）设c n=b n+12﹣b n2，n∈N+，求证：数列{c n}是等差数列；（2）设a1=d，T n=（﹣1）k b k2，n∈N*，求证：＜．19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．2016年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．故选：B．【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域．3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．4．（5分）如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可．【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，第二次判断不满足条件n＞3：第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，第四次判断n＞3不满足条件，第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，第六次判断满足条件n＞3，故输出S=4，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的（）整数n，a2n﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，+a2n＜0”不一定成立，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；+a2n＜0”，前提是“q＜0”，而“对任意的正整数n，a2n﹣1则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要而不充分条件，﹣1故选：C．【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，∴2x•bx=2b，∴x=±1将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，∴双曲线的方程为﹣=1，故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a 的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．二、填空题9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为2．【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，∴，解得：，∴=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．10．（5分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出．==x16﹣3r，【解答】解：T r+1令16﹣3r=7，解得r=3．∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为=﹣56．故答案为：﹣56．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为2m3【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，棱锥的高h=3m，故体积V==2m3，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，∵BE=2AE=2，BD=ED，∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，∴DH2=AH•BH=2，则DH=，在Rt△DHE中，则，由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，∴．故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（，）．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），即﹣＜2|a﹣1|＜，则|a﹣1|＜，即＜a＜，故答案为：（，）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．【解答】解：抛物线（t为参数，p＞0）的普通方程为：y2=2px焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF 与BC相交于点E．|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，），△ACE的面积为3，，可得=S．△ACE即：=3，解得p=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、计算题15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣=4sinx（cosx+sinx）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），则函数的周期T=；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k=0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k ∈Z，当k=﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（I）由相互独立事件的概率计算公式求出事件A发生的概率；（Ⅱ）根据题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．【解答】解：（I）由已知得：，所以，事件A发生的概率为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）计算，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG ∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出=（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，b n是a n和a n+1的等比中项．（1）设c n=b n+12﹣b n2，n∈N+，求证：数列{c n}是等差数列；（2）设a1=d，T n=（﹣1）k b k2，n∈N*，求证：＜．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{c n}的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可．（2）求出T n=（﹣1）k b k2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可．【解答】证明：（1）∵{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n ∈N+，b n是a n和a n的等比中项．+1∴c n=b﹣b=a n+1a n+2﹣a n a n+1=2da n+1，∴c n﹣c n=2d（a n+2﹣a n+1）=2d2为定值；+1∴数列{c n}是等差数列；（2）T n=（﹣1）k b k2=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=2d（a2+a4+…+a2n）=2d=2d2n（n+1），∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．即不等式成立．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合，根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，转化为关于k 的不等式求得k的范围．【解答】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再设H（0，y H），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为，令x=0，得，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1y H=，整理得：，即8k2≥3．∴或．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，分别计算f（x0），f（3﹣2x0），化简整理即可得证；（3）要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，即证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．讨论当a≥3时，当0＜a＜3时，运用单调性和极值，化简整理即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；（2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，只需证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b=﹣a﹣b，f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b=﹣﹣a﹣b，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（2）﹣f（0）=2﹣2a，若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题．。
数学_2000年天津市高考数学试卷(文)(含答案)
2000年天津市高考数学试卷（文）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1. 设集合A ={x|x ∈Z 且−10≤x ≤−1}，B ={x|x ∈Z, 且|x|≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( )A 11B 10C 16D 152. 设a →、b →、c →是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（ ） ①(a →⋅b →)c →−(c →⋅a →)b →=0； ②|a →|−|b →|<|a →−b →|；③(b →⋅c →)a →−(a →⋅c →)b →不与c →垂直； ④(3a →+2b →)•(3a →−2b →)=9|a →|2−4|b →|2． 其中的真命题是（ ）A ②④B ③④C ②③D ①②3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是√2，√3，√6，这个长方体对角线的长是（ ）A 2√3B 3√2C 6D √64. 已知sinα>sinβ，那么下列命题不成立的是( )A 若α，β是第一象限的角，则cosα>cosβB 若α，β是第二象限的角，则tanα>tanβC 若α，β是第三象限的角，则cosα>cosβD 若α，β是第四象限的角，则tanα>tanβ5. 函数y ＝−xcosx 的部分图象是（ ）A B C D6. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ） A 800∼900元 B 900∼1200元 C 1200∼1500元 D 1500∼2800元 7. 若a >b >1，P =√lga ⋅lgb ，Q =12(lga +lgb)，R ＝lga+b 2，则（ ）A R <P <QB P <Q <RC Q <P <RD P <R <Q8. 已知两条直线l1:y=x，l2:ax−y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0, π12)内变动时，a的取值范围是（）A (0, 1)B (√33, √3) C (√33, 1)∪(1, √3) D (1, √3)9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A 1+2π2π B 1+4π4πC 1+2ππD 1+4π2π10. 过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A y=√3xB y=−√3xC y=√33x D y=−√33x11. 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作直线交抛物线于P，Q两点，若PF与FQ的长分别是p，q，则1p +1q=（）A 2aB 12a C 4a D 4a12. 二项式(√2+√33x)50的展开式中系数为有理数的项共有（）A 6项B 7项C 8项D 9项二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. 从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是________．14. 椭圆x29+y24=1的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是________．15. 设{a n}是首项为1的正项数列，且(n+1)a n+12−na n2+a n+1a n=0(n=1, 2, 3,…)，则它的通项公式是a n=________．16. 如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________．（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题（共7小题，满分82分）17. 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个．甲、乙二人依次各抽一题．（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？18. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90∘，棱AA 1=2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的长；(2)求cos <BA 1→⋅CB 1→>的值；(3)求证A 1B ⊥C 1M ．19. 如图，已知平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ，（1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当CD CC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．20. 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{S n n}的前n 项和，求T n ．21. 设函数f(x)=√x 2+1−ax ，其中a >0， （1）解不等式f(x)≤1；（2）证明：当a ≥1时，函数f(x)在区间[0, +∞)上是单调函数．22. 用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．23. 如图，已知梯形ABCD 中|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC¯所成的比为811，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．2000年天津市高考数学试卷（文）答案1. C2. A3. D4. A,B,C5. D6. C7. B8. C9. A10. C11. C12. D13. 12014. (−3√55，3√55)15. 1n16. （2）（3）17. 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，甲从选择题中抽到一题的可能结果有C61个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C41个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有C61C41个；试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为C101C91个，∴ 甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为C61C41C101C91=415，∴ 所求概率为415．（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，∵ 甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为C41C31C101C91，∴ 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1−C41C31C101C91=1315，∴ 所求概率为1315．18. 解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系O−xyz．依题意得B(0, 1, 0)，N(1, 0, 1)，∴ |BN →|=√(1−0)2+(0−1)2+(1−0)2=√3.(2)依题意得A 1(1, 0, 2)，B(0, 1, 0)，C(0, 0, 0)，B 1(0, 1, 2)．∴ BA 1→=(1,−1,2)，CB 1→=(0,1,2)，BA 1→⋅CB 1→=3，|BA →1|=√6，|CB →1|=√5, ∴ cos <BA 1→⋅CB 1→>=BA 1→⋅CB 1→|BA 1→|⋅|CB 1|→=110√30.(3)证明：依题意得C 1(0, 0, 2)，M(12，12，2)，A 1B →=(−1, 1, −2)，C 1M →=(12，12，0)， ∴ A 1B →⋅C 1M →=−12+12+0=0，∴ A 1B →⊥C 1M →.19. 证明：如图，连接A 1C 1、AC 和BD 交于O ，连接C 1O ．∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BC ＝CD ．又∵ ∠BCC 1＝∠DCC 1，C 1C ＝C 1C ， ∴ △C 1BC ≅△C 1DC ， ∴ C 1B ＝C 1D ， ∵ DO ＝OB ∴ C 1O ⊥BD ，又AC ⊥BD ，AC ∩C 1O ＝O ， ∴ BD ⊥平面AC 1， 又C 1C ⊂平面AC 1， ∴ C 1C ⊥BD ．当CDCC 1=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ．∵ CDCC 1=1，∴ BC ＝CD ＝C 1C ，又∠BCD ＝∠C 1CB ＝∠C 1CD ， 由此可推得BD ＝C 1B ＝C 1D ． ∴ 三棱锥C −C 1BD 是正三棱锥． 设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1C 1 // AC ，且A 1C 1:OC ＝2:1， ∴ C 1G:GO ＝2:1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ， 即A 1C ⊥平面C 1BD ．20. 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =na 1+12n(n −1)d ． ∵ S 7=7，S 15=75， ∴ {7a 1+21d =715a 1+105d =75.即{a 1+3d =1a 1+7d =5. 解得a 1=−2，d =1．∴ S n n =a 1+12(n −1)d =−2+12(n −1)， ∵ Sn+1n+1−S n n=12，∴ 数列{Sn n}是等差数列，其首项为−2，公差为12，∴ T n =14n 2−94n ．21. 不等式f(x)≤1即√x 2+1≤1+ax ，由此得1≤1+ax ，即ax ≥0，其中常数a >0． 所以，原不等式等价于{x 2+1≤(1+ax)2x ≥0.即{x ≥0(a 2−1)x +2a ≥0所以，当0<a <1时，所给不等式的解集为{x|0≤x ≤2a 1−a 2}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x|x ≥0}． 证明：在区间[0, +∞)上任取x 1，x 2使得x 1<x 2f(x 1)−f(x 2)=√x 12+1−√x 22+1−a(x 1−x 2)=1222√x 12+1+√x 22+1a(x 1−x 2)=(x 1−x 2)(12√x 12+1+√x 22+1a).(9)∵ 12√x1+1+√x2+1<1,a≥1，∴ 12√x1+1+√x2+1a<0，又x1−x2<0，∴ f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0, +∞)上是单调递减函数．22. 容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3．23. 解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y 轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(−c, 0)，C(c2, ℎ)，B(c, 0)，其中c为双曲线的半焦距，c=12|AB|，ℎ是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E的坐标为x E=−c+811×c21+811=−719c，y E=0+811×ℎ1+811=819ℎ．设双曲线的方程为x 2a2−y2b2=1，则离心率e=ca．由点C、E在双曲线上，得{49361⋅c2a2−64361⋅ℎ2b2=1.˙解得ℎ2b2=14⋅c2a2−1，化简可得c2a2=9，所以，离心率e=√c2a2=3。
2000高考数学全国卷及答案理
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是( )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(2) 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是( )(A) 23(B) i 32-(C)i 33- (D) 3i 3+(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( )(A) 23(B) 32(C) 6(D)6(4) 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )(A) 若α、β是第一象限角，则βαcos cos > (B) 若α、β是第二象限角，则βαtg tg > (C) 若α、β是第三象限角，则βαcos cos > (D) 若α、β是第四象限角，则βαtg tg > (5) 函数x x y cos -=的部分图像是( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800~900元(B) 900~1200元(C) 1200~1500元(D) 1500~2800元(7) 若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则( )(A) R <P <Q(B) P <Q <R(C) Q <P <R(D) P <R <Q(8) 以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρ(B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ(C) ()1cos 2-=θρ(D) ()1sin 2-=θρ(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A)ππ221+ (B)ππ441+ (C)ππ21+ (D)ππ241+ (10) 过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) x y 3=(B) x y 3-=(C) x y 33=(D) x y 33-= (11) 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) a 2(B)a 21 (C) a 4(D)a4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为( )(A) 321arccos(B) 21arccos (C) 21arccos(D) 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________(15) 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上) 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分) 已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． (I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．(I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD =2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；C 1CDABD 1B 1A 1(III) 当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明． (19) (本小题满分12分)设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ． (I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数． (20) (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ； (II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．(21) (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) (22) (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B(8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)－5353<<x (15)n1(16)②③ 三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 =41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sin x cos x )＋1 =41cos2x ＋43sin2x ＋45=21(cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π)＋45 =21sin(2x ＋6π)＋45——6分 y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ， 即 x =6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =6π＋k π，k ∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y =sin x 依次进行如下变换：(i)把函数y =sin x 的图像向左平移6π，得到函数y =sin(x ＋6π)的图像； (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =sin(2x ＋6π)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =21sin(2x ＋6π)的图像；(iv)把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y =21sin(2x ＋6π)＋45的图像；综上得到函数y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图像． ——12分 (18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD =CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分 但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ， ∴ BD ⊥平面AC 1， 又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC =2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1． ∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-， ∴ C 1O =23即C 1O = C 1C ． 作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ． ∴ 点H 是OC 的中点，且OH =23， OHGC 1CDA BD 1B 1A 1所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分 (Ⅲ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD = C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ， 由此可推得BD = C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分 设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC =2∶1， ∴ C 1G ∶GO =2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C 平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分 当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ， 又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：(Ⅰ)不等式f (x ) ≤1即OHGC 1CDA BD 1B 1A 112+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0． 所以，原不等式等价于即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分 所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x |0212aax -≤≤}； 当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2．f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )． ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2<0， ∴ f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a <1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212aa-，满足f (x 1)=1，f (x 2)=1，即f (x 1)=f (x 2)，所以函数f (x )在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≤1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分． 解：(Ⅰ)因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=( c n +2－pc n+1)(c n －pc n －1)， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p (2n ＋3n )]2=[2n ＋2+3n ＋2－p (2n +1＋3n +1)]·[2n +3n －p (2n －1＋3n －1)]， ——3分即[(2－p )2n +(3－p )3n ]2=[(2－p )2n+1+(3－p )3n+1][ (2－p )2n －1+(3－p )3n －1]，整理得61(2－p )(3－p )·2n ·3n =0， 解得p =2或p =3． ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ．为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3． 事实上，22c =(a 1p ＋b 1q)2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=(a 1＋b 1)(a 1 p 2＋b 1q 2)= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-3002002102527200120002175********t t t t t t ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=－2001(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h (t )=－2001(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5． ——10分 综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A (－c ，0)，C (h c ，h )，E (x 0, y 0)，其中c=21|AB |为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得x 0=λλ++-12cc = )1(2)2(+-λλc ， λλ+=10h y ． 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =.由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ace =代入双曲线方程得 14222=-bh e ， ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ． ② ——7分由①式得 14222-=e bh ， ③ 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ， 故 2312+-=e λ． ——10分 由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ． 解得107≤≤e ． 所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。
天津卷高考文科数学真题试卷及答案解析
2016年高考真题理综(天津卷)理综考试时间：____分钟题型单选题多选题简答题总分得分单选题（本大题共17小题，每小题____分，共____分。
）1.我国成功研发的反隐身先进米波雷达堪称隐身飞机的克星，它标志着我国雷达研究又创新的里程碑，米波雷达发射无线电波的波长在1~10m范围内，则对该无线电波的判断正确的是（）A. 米波的频率比厘米波频率高B. 和机械波一样须靠介质传播C. 同光波一样会发生反射现象D. 不可能产生干涉和衍射现象2.右图是a.b两光分别经过同一双缝干涉装置后在屏上形成的干涉图样，则（）A. 在同种均匀介质中，a光的传播速度比b光的大B. 从同种介质射入真空发生全反射时a光临界角大C. 照射在同一金属板上发生光电效应时，a光的饱和电流大D. 若两光均由氢原子能级跃迁产生，产生a光的能级能量差大3.我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发生“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。
假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（）A. 使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B. 使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C. 飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D. 飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接4.如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一个固定在P点的点电荷，以E表示两板间的电场强度，表示点电荷在P点的电势能，表示静电计指针的偏角。
若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则（）A. 增大，E增大B. 增大，不变C. 减小，增大D. 减小，E不变5.如图所示，理想变压器原线圈接在交流电源上，图中各电表均为理想电表。
2000年全国高考数学试题理科数学(江西、天津)卷
2000年全国高考数学试题(新课程/理工农医类)江西、天津卷一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是 （ ）（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,1（2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是 （ ）（A ）23 （B ）i 32- （C ）i 33- （D ）3i 3+ （3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体 对角线的长是 （ ）（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 （ ）①()()0=⋅-⋅b a c c b a ； ②b a b a -<-③()()b a c a c b ⋅-⋅不与c 垂直 ④()()22492323b a b a b a ==-⋅+中，是真命题的有（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④ （5）函数x x y cos -=的部分图象是 （ ）（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。
此项税某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）（A ） 800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元 （7）若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则（A ）R <P <Q （B ）P <Q <R（C ）Q <P <R （D ）P <R <Q （8）右图中阴影部分的面积是（A ）32 （B ）329- （C ）332 （D ）335 （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （ ）（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+（10）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是 （ ）（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x 33 （D ）x 33- （11）过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 （ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 （12）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A ）321arccos （B ）21arccos （C ）21arccos（D ）421arccos二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2016年天津市高考数学试卷(文科)
2016年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．（5分）（2016•天津）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，2，3}2．（5分）（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．4．（5分）（2016•天津）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y＝0垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．x2﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝15．（5分）（2016•天津）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）7．（5分）（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC 的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[，1）C．（0，]D．（0，]∪[，]二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分9．（5分）（2016•天津）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z＝2，则z的实部为．10．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．11．（5分）（2016•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为．12．（5分）（2016•天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，则圆C的方程为．13．（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为．14．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，80分15．（13分）（2016•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B ＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．16．（13分）（2016•天津）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：肥料原料A B C甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．17．（13分）（2016•天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF ∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．18．（13分）（2016•天津）已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣＝，S6＝63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n}的前2n项和．19．（14分）（2016•天津）设椭圆+＝1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．20．（14分）（2016•天津）设函数f（x）＝x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝0；（3）设a＞0，函数g（x）＝|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．2016年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．（5分）（2016•天津）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，2，3}【分析】根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得B＝{1，3，5}，由交集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，2，3}，而B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则B＝{1，3，5}，则A∩B＝{1，3}，故选：A．【点评】本题考查集合的运算，注意集合B的表示方法．2．（5分）（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P＝+＝．故选：A．【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．3．（5分）（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD1C，棱CD1在左侧面的投影为BA1，故选：B．【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题．4．（5分）（2016•天津）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y＝0垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．x2﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【分析】利用双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y＝0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，∴c＝，∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y＝0垂直，∴＝，∴a＝2b，∵c2＝a2+b2，∴a＝2，b＝1，∴双曲线的方程为＝1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．5．（5分）（2016•天津）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设x＞0，y∈R，当x＞0，y＝﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”⇒“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）＝f（），∴2|a﹣1|＜＝．∴|a﹣1|，解得．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．7．（5分）（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC 的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．8．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[，1）C．（0，]D．（0，]∪[，]【分析】函数f（x）＝，由f（x）＝0，可得＝0，解得x＝∉（π，2π），因此ω∉∪∪∪…＝∪，即可得出．【解答】解：函数f（x）＝+sinωx﹣＝+sinωx＝，由f（x）＝0，可得＝0，解得x＝∉（π，2π），∴ω∉∪∪∪…＝∪，∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈∪．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分9．（5分）（2016•天津）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z＝2，则z的实部为1．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z＝2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为3．【分析】先求导，再带值计算．【解答】解：∵f（x）＝（2x+1）e x，∴f′（x）＝2e x+（2x+1）e x，∴f′（0）＝2e0+（2×0+1）e0＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．11．（5分）（2016•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为4．【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出S的值．【解答】解：第一次循环：S＝8，n＝2；第二次循环：S＝2，n＝3；第三次循环：S＝4，n＝4，结束循环，输出S＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题．12．（5分）（2016•天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，则圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝9．【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，得，解得a＝2，r＝3．∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2＝9．故答案为：（x﹣2）2+y2＝9．【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．13．（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为．【分析】由BD＝ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，∵BE＝2AE＝2，BD＝ED，∴BH＝HE＝1，则AH＝2，BH＝1，∴DH2＝AH•BH＝2，则DH＝，在Rt△DHE中，则，由相交弦定理可得：CE•DE＝AE•EB，∴．故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．14．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[，）．【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y＝2﹣的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，∴y＝x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y＝log a（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．∴，解得≤a≤．作出y＝|f（x）|和y＝2﹣的函数草图如图所示：由图象可知|f（x）|＝2﹣在[0，+∞）上有且只有一解，∵|f（x）|＝2﹣恰有两个不相等的实数解，∴x2+（4a﹣3）x+3a＝2﹣在（﹣∞，0）上只有1解，即x2+（4a﹣）x+3a﹣2＝0在（﹣∞，0）上只有1解，∴或，解得a＝或a＜，又≤a≤，∴．故答案为[，）．【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，80分15．（13分）（2016•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B ＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cos B；（2）求出sin A，利用两角和的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，∴cos B＝，∴B＝．（2）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．16．（13分）（2016•天津）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：肥料原料A B C甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．【分析】（Ⅰ）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．（Ⅱ）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知x，y满足不等式，则不等式对应的平面区域为，（Ⅱ）设年利润为z万元，则目标函数为z＝2x+3y，即y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象得当直线经过点M时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即M（20，24），此时z＝40+72＝112，即分别生产甲肥料20车皮，乙肥料24车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112万元．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．17．（13分）（2016•天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF ∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）根据余弦定理求出BD＝，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中点，∴OG∥DC，且OG＝DC＝1，又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF＝OG，即四边形OGEF是平行四边形，∴FG∥OE，∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，∴FG∥平面BED；（2）证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝，仅而∠ADB＝90°，即BD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面AED，∵BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面AED．（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED＝ED，由（2）知AH⊥平面BED，∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD＝1，DE＝3，AE＝，由余弦定理得cos∠ADE＝，∴sin∠ADE＝，∴AH＝AD•，在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝，∴直线EF与平面BED所成角的正弦值【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．18．（13分）（2016•天津）已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣＝，S6＝63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n}的前2n项和．【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；（2）利用对数的运算性质求出b n，使用分项求和法和平方差公式计算．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣＝，即1﹣＝，解得q＝2或q＝﹣1．若q＝﹣1，则S6＝0，与S6＝63矛盾，不符合题意．∴q＝2，∴S6＝＝63，∴a1＝1．∴a n＝2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n＝（log2a n+log2a n+1）＝（log22n﹣1+log22n）＝n﹣．∴b n+1﹣b n＝1．∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n＝（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）＝b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n＝＝＝2n2．【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．19．（14分）（2016•天津）设椭圆+＝1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+＝，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M 的坐标与k的关系，由∠MOA＝∠MAO，得到x0＝1，转化为关于k的等式求得k的值．【解答】解：（1）由+＝，得+＝，即＝，∴a[a2﹣（a2﹣3）]＝3a（a2﹣3），解得a＝2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA＝∠MAO，∴x0＝1，再设H（0，y H），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．△＝（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）＝144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）＝﹣（x﹣x0），令x＝0，得y H＝（k+）x0﹣2k，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1y H＝1﹣[（k+）x0﹣2k]＝0，整理得：＝1，即8k2＝3．∴k＝﹣或k＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．20．（14分）（2016•天津）设函数f（x）＝x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝0；（3）设a＞0，函数g（x）＝|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a ＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由条件判断出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）＝0求出x0，分别代入解析式化简f（x0），f（﹣2x0），化简整理后可得证；（3）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用f（x）单调性和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明结论成立．【解答】解：（1）若f（x）＝x3﹣ax﹣b，则f′（x）＝3x2﹣a，分两种情况讨论：①、当a≤0时，有f′（x）＝3x2﹣a≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），②、当a＞0时，令f′（x）＝3x2﹣a＝0，解得x＝或x＝，当x＞或x＜﹣时，f′（x）＝3x2﹣a＞0，f（x）为增函数，当﹣＜x＜时，f′（x）＝3x2﹣a＜0，f（x）为减函数，故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），减区间为（﹣，）；（2）若f（x）存在极值点x0，则必有a＞0，且x0≠0，由题意可得，f′（x）＝3x2﹣a，则x02＝，进而f（x0）＝x03﹣ax0﹣b＝﹣x0﹣b，又f（﹣2x0）＝﹣8x03+2ax0﹣b＝﹣x0+2ax0﹣b＝f（x0），由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x1，满足f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，则有x1＝﹣2x0，故有x1+2x0＝0；（Ⅲ）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y两个数的最大值，下面分三种情况讨论：①当a≥3时，﹣≤﹣1＜1≤，由（I）知f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（1），f（﹣1）]，因此M＝max{|f（1）|，|f（﹣1）|}＝max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|}＝max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}＝，所以M＝a﹣1+|b|≥2②当a＜3时，，由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥＝f（），f（1）≤＝，所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（），f（﹣）]，因此M＝max{|f（）|，|f（﹣）|}＝max{||，||}＝max{||，||}＝，③当0＜a＜时，，由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜＝f（），f（1）＞＝，所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（﹣1），f（1）]，因此M＝max{|f（﹣1）|，|f（1）|}＝max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|}＝max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}＝1﹣a+|b|＞，综上所述，当a＞0时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题．。
全国高考数学试题(新课程卷文史类)江西天津(附解答)
2000年高考江西、天津卷数 学（文史类）一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 设集合A={}110|-≤≤-∈x Z x x 且，B={}5|||≤∈x Z x x 且，则A ∪B 中的元素个数是（A ）11 （B ）11 （C ）16 （D ）15 （2）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①()()0=⋅-⋅b a c c b a ； ②b a b a -<-③()()b a c a c b ⋅-⋅不与c 垂直 ④()()22492323b a b a b a ==-⋅+中，是真命题的有（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④ （3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体 对角线的长是（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是（A ）若α、β是第一象限角，则βαcos cos > （B ）若α、β是第二象限角，则βαtg tg > （C ）若α、β是第三象限角，则βαcos cos > （D ）若α、β是第四象限角，则βαtg tg > （5）函数x x y cos -=的部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额此项税某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A ） 800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元（7）若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则 （A ）R <P <Q （B ）P <Q <R （C ）Q <P <R （D ）P <R <Q（8）已知两条直线x y l =:1，0:2=-y ax l ，其中a 为实数当这两条直线的夹角在⎪⎭⎫⎝⎛12, 0π内变动时，a 的取值范围是 （A ）()1 , 0 （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛3 , 33 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 , 33∪()3 , 1 （D ）()3 , 1 （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比 是 （A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+ （10）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x 33 （D ）x 33- （11）过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 （12）二项式()50332x+的展开式中系数为有理数的项共有（A ）6项 （B ）7项 （C ）8项 （D ）9项二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横 线上（13）从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于________（14）椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________（15）设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a na na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________（16）如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B B CC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______ 序号都填上）三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤（17）（本小题满分10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个甲、乙二人依次各抽一题（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？（18甲）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC -111C B A ，底面ΔABC 中，CA=CB=1，BCA= 90，棱1AA =2，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点（I ）求BN 的长；（II ）求1cos BA <，1CB >的值； （III ）求证M C B A 11⊥（18乙）（本小题满分12分）如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=BCD CD C ∠=∠=1（I ）证明：C C 1⊥BD ；（II ）当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明 （19）（本小题满分12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列nS n的前n 项和，求T（20）（本小题满分12分） 设函数()ax x x f -+=12，其中>a（I ）解不等式()1≤x f ；（II ）证明：当a 1≥时，函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数（21）（本小题满分12分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点求双曲线的离心率2000年高考江西、天津卷数学试题（文史类）参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分（1）C （2）D （3）C （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分（13）0.05 （14）5353<<-x （15）n1（16）②③三、解答题（17）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力满分10分解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 14C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为110C 19C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为154191101416=C C C C ，所求概率为154； ——5分（II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C CC ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为15131191101314=-C C C C 15 ——10分或 +191101516C C C C +191101416C C C C 191101614C C C C 151315415431=++=，所求概率为15 ——10分（18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识12分如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O -（I ）解：依题意得B ()0 ,1 ,0，N ()1 ,0 ,1，∴ ()()()3011001222=-+-+-=——2分（II ）解：依题意得1A ()2 ,0 ,1，B ()0 ,1 ,0，C ()0 ,0 ,0，1B (2 ,1 ,0∴ ()2 ,1 ,11-=BA ，(2 ,1 ,01=CB ⋅1BA 1=CB6=5= ——5分∴ <cos ⋅1BA 301011==>CB ——9分 （III ）证明：依题意得1C ()2 ,0 ,0，M ⎪⎭⎫⎝⎛2 ,21 ,21=A 1()2 ,1 ,1--，=C 1⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ,21 ,21 ，∴ ⋅A 1=C 1002121=++-，∴⊥ 1A C 1 ——12分（18满分12（I ）证明：连结11C A 、AC ，AC 和BD 交于O ，连结C 1∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC=CD又∵ C C C C DCC BCC 1111 , =∠=∠， ∴ DC C BC C 11∆≅∆， ∴ D C B C 11=， ∵ DO=OB ， ∴⊥O C 1BD ，——3分但 AC ⊥BD ，AC ∩O C 1=O ， ∴ BD ⊥平面AC又 ⊂C C 1平面1AC ，∴ ⊥C C 1BD ——6分（II ）当11=CC CD时，能使C A 1⊥平面BD C 1 证明一： ∵11=CC CD， ∴ BC=CD=C C 1，又 CD C CB C BCD 11∠=∠=∠， 由此可推得BD=C B C 11=∴ 三棱锥C- BD C 1 ——9分设C A 1与O C 1相交于G ∵ 11C A ∥AC ，且11C A ∶OC=2∶1， ∴ G C 1∶GO=2∶1又 O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形BD C 1的中心， ∴ CG ⊥平面BD C 1即 C A 1⊥平面BD C 1 ——12分证明二：由（I ）知，BD ⊥平面1AC ，∵ C A 1⊂平面1AC ，∴ BD ⊥C A 1 ——9分当11=CC CD时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD ⊥C A 1的证法可得1BC ⊥C A 1 又 BD ∩1BC =B ，∴C A 1⊥平面BD C 1 ——12分（19）本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力满分12分 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 ()d n n na S n 1211-+= ∵ 77=S ，7515=S ，∴ ⎩⎨⎧=+=+, 7510515,721711d a d a ——6分即 ⎩⎨⎧=+=+, 57,1311d a d a解得 21-=a ，=d ——8分∴ ()()12121211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵ 2111=-++n S n S n n ，∴ 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列，其首项为2-，公差为21，∴ n T n 49412-= ——12分（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的 数学思想方法和运算、推理能力满分12分解：（I ）不等式()1≤x f 即ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数>a 所以，原不等式等价于()⎩⎨⎧≥+≤+0,1122x ax x即 ()⎩⎨⎧≥+-≥02102a x a x ——3分所以，当10<<a 时，所给不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ； 当1≥a 时，所给不等式的解集为{}0|≥x x ——6分（II ）在区间[)+∞,0上任取1x ，2x ，使得1x <x()()()2122212111x x a x x x f x f --+-+=- ()212221222111x x a x x x x --+++-=()⎭⎫ ⎝⎛-++++-=a x x x x x x 1122212121——9分 ∵111222121<++++x x x x ，且1≥a ，∴011222121<-++++a x x x x ，又 021<-x x ， ∴ ()()021>-x f x f ， 即 ()(21x f x f >所以，当1≥a 时，函数()x f 在区间[)+∞,0 ——12分（21）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识满分12分解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()5.0+x m ，高为()x x x 22.345.0448.14-=+--由022.3>-x 和0>x ，得6.10<<x ，设容器的容积为3ym ，则有()()x x x y 22.35.0-+= ()6.10<<x 整理，得x x x y 6.12.2223++-=， ——4分∴ 6.14.462++-='x x y ——6分令0='y ，有06.14.462=++-x x ， 即 0411152=--x x ，解得 11=x ，1542-=x （不合题意，舍去） ——8分 从而，在定义域（0，1，6）内只有在1=x 处使='y 由题意，若x 过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y 值很小（接近0），因此，当1=x 时y 取得最大值8.16.12.22=++-=最大值y ， 这时，高为.1122.3=⨯-答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为8.1m ——12分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力满分14分解：如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD⊥y因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称——2分依题意，记A ()0 ,c -，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛h c , 2，C ()0 ,c ，其中c 为双曲线的半焦距，||21AB c =，h 由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c c c x E 19711812118-=+⨯+-=， h hy E 19811811180=+⨯+=——5分 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a e =由点C 、E 在双曲线上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅136******** , 14122222222b h a c bh a c ——10分由①得1412222-⋅=a c b h ，代入②得922=ac所以，离心率322==a c e——14分。