《概率统计》课件

1) P( A) 2 2 1 44 4
2) P(B) C21 C31 3 44 8
不可能事件: 在每次试验中都不发生. (记作 )
二、事件间的关系及事件的运算
A B
S
AB S A B
AB S AB
1. A B
2. 积运算 A B 3. 和运算 A B
xA xB xA且xB xA或xB
即事件A 发生必 即事件A 与事件 即事件A 与事件 导致事件B 发生 B 同时发生 B 至少一个发生
例1. 设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件
(1) A 发生, B 与C 不发生
(AB C )
(2) A 与B 发生, C 不发生
(ABC )
(3) A, B 与C 都发生
( ABC )
(4) A, B 与C 至少有一个发生 (A B C)
(5) A, B 与C 全不发生
(A BC )
(6) A, B 与C 至少有两个发生
事件运算规律 1. 交换律 A B B A A B B A 2. 结合律 A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C 3. 分配律 A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4. 德摩根律 A B A B A B AB
下面引出概率的定义
历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过 大量掷硬币的试验，所得结果如下：
试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊
次数 4040 12000 24000
正面的次数 正面的频率
2048
0.5069
6019
0.5016
12012
0.5005
请看: 掷骰子试验 高尔顿订板试验
fn ( A) n 增大 街头赌博
(1) 只订 A 报 P(ABC ) (2) 只订 AB 报 P(ABC ) (3) 至少订一种报 P(A B C) (4) 不订任何报 P(ABC ) 或 P(A B C)
解：设分别用ABC表示市民订A报, B报, C报的事件 由题意 P(A) 0.45, P(B) 0.35, P(C) 0.30
结果: (1) S 正 , 反 (2) S 正正正 , 正正反 , 正反正 , (3) S 0 , 1, 2 , 3 S 1, 2,3, 4,5,6
2. 抛一枚骰子，观察出现的点数 3. 在一批灯泡中任意的抽取一只，测试它的寿命 4. 记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度
5. 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数
C41C72 C42C71 C43C70 0.788
C131
C131
C131
方法二 设 A = “ 3 名优秀教师全是男教师”
P( A) 1 P( A) 1 C73 C131 0.788
例4. 将两封信随机的投入四个邮筒, 求: 1) 前两个邮筒中没有信的概率 2) 第一个邮筒中只有一封信的概率 解: 设 A = “前两个邮筒中没有信” B = “第一个邮筒中只有一封信”
(2) 在什么条件下 P(AB) 取得最小值, 并求出 解: 由 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
得 P(AB) P(A) P(B) P(A B) 1) 当 P(A B) 最小时, P(AB) 达到最大值
当 A B时, P(A B) P(B) 0.7 最小 P(AB) 0.6 0.7 0.7 0.6 最大 2) 当 P(A B) 最大时, P(AB) 达到最小值 P(A) P(B) 1, 当A B S时, P(A B) 1最大
例2. 在1 到100 的整数中任取一数 ,
求 1) 它即能被 2 又能被 5 整除的概率;
2) 它能被 2 或者能被 5 整除的概率;
解: 设 A = “能被 2 整除” B = “能被 5 整除”
S 100
1)
P( AB)
m n
10 100
0.1
2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.6
第三节 等 可 能 概 型
1. 定义：设随机试验 E 满足如下两个条件
1) 样本空间S 中样本点的总数有限
2) 每个样本点出现的可能性相同
2. 计算公式 由于每个基本事件是互不相容的
故有 1 P(S) P({e1}{e2} {en})
P({e1}) P({e2}) P({en})
Hale Waihona Puke P({ei })一、频率
设随机试验 E 的样本空间为 S ，在相同条件下，
进行 n 次重复独立试验，要在这 n 次试验中事件 A
发生了 nA
次，则比值
nA n
称为事件发生的频率，记
作 fn ( A)
性质：1) 0 fn (A) 1 2) fn (S) 1 3) 若 A1 , A2 Ak 两两不相容, 则
fn ( A1 A2 Ak ) fn ( A1) fn ( A2 ) fn ( Ak )
三.如何学习概率统计?
在科学上没有平坦的大道 , 只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登 的人,才有希望到达光辉的顶点 .
马克思
1.认识其重要性, 培养浓厚的学习兴趣
2. 学数学最好的方式是做数学
读、听、作
3. 学习要求:
予习 听课(记笔记) 复习、巩固
第一节 基 本 概 念 一、引例
1. 相同的条件下，抛同一枚硬币, 观察结果 (1) 抛一次 (2) 抛三次 (3) 抛三次, 出现正的次数
二、事件间的关系及事件的运算
A
B
B
A
S AB S
A B
S
4. 差事件A B 5.互不相容(互斥) 6.对立事件(互逆)
xA 且 xB A B
AB S
即事件A 发生 即事件A 与事件 且 A B
且事件B 不发生 B 不能同时发生 事件AB 必有且
A B A AB 基本事件互斥 仅有一个发生
P(AB) 0.10 P(AC) 0.08 P(BC) 0.05
P(ABC) 0.03
已知: P(A) 0.45, P(B) 0.35, P(C) 0.30 P(AC) 0.08 P(BC) 0.05 P(AB) 0.10 P(ABC) 0.03
1) P(ABC ) P(AB C) P(A (B C)) P(A A(B C)) P(A) P(AB AC) P(A) P(AB) P(AC) P(ABC) 0.30
P(AB) 0.6 0.7 1 0.3 最小
例4. 某地发行 A, B,C 三种报纸, 已知订阅 A 报的
45％, 订阅 B 报的 35% , 订阅 C 报的30% , 同时订 阅 AB 报的10％, AC 报的 8％, BC 报的 5% , ABC 报的3％, 现任取一市民，试求下列事件的概率.
1 n
事件A 中含有k 个基本事件 A {e1}{e2} {ek}
P(A)
P({e1}{e2}
{ek})
k n
A中样本点的个数 S中样本点的个数
例1. 一部五卷本的手册按任意次序放到书架上，
问按顺序放的概率是多少？
解： 设事件A = “按顺序排放”
则样本空间包含的样本点数为 S P55 120 P( A) 2 1 120 60
随机试验: (1) 可以相同情况下重复的进行 (记作 E ) (2) 试验结果具有多种可能性
(3) 试验前不确定会出现哪种情况 , 但可以知 道出现的所有可能结果
样本空间: 所有可能结果组成的集合 (记作 S) 样本点: 样本空间中的元素 随机事件: 试验 E 的样本空间 S 的子集 事件发生: 在试验中, 事件中的一个样本点出现 基本事件: 由一个样本点组成的单点集合 必然事件: 在每次试验中总是发生
2) P(ABC) P(AB ABC) P(AB) P(ABC) 0.07 3) P(A B C) P(A) P(B) P(C)
P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)
4) P(ABC) 1 P(ABC) 1 P(A B C) 0.10 或 P(A B C) 1 P(A B C)
常数 P (0.5) (统计规律性) 揭示了事件发生的可能性
二、概率
1. 定义 设随机试验 E 的样本空间为 S，对于E 中
的每一个事件A 赋予一个实数 , 记为 P(A). 称为事
件A 的概率 2. 性质
P() 0
1)•P (A) 0 2)•P (S) 1
有限可加性
3) 若 A1 , A2 是两两互不相容的事件, 则 P(A1 A2 ) P(A1) P(A2 ) (可列可加性) 4)•若 A B, 则有P(B A) P(B) P(A)
证: A B A (B AB)
A(B AB) AB B
P(A B) P(A) P(B AB) P(A) P(B) P(AB)
可推广P(到A1多A2个) 事P(件A1的A3情) 形P(: A如2 A三3) 个P事(A件1A2 A3) P(A1 A2 A3) P(A1) P(A2 ) P(A3)
例1. 已知 P(A) P(B) 0.5 , 证明P(AB) P(AB) 证明: P(AB) P(A B) 1 P(A B)
1 P(A) P(B) P(AB) P(AB) 例2. 已知P(A) P(B) P(C) 0.25 , P(AC) 0.125
P(AB) P(BC) 0 , 求 ABC 中至少有一个发生 解: P(A B C) P(A) P(B) P(C)
概率论与数理统计
天才 在 于 勤 奋 , 知识 在 于 积 累 .
任课教师： 李金玉 电 话： 3885761
—— 赠2004级同学
引言
一、内容与学时
第一章 概率论的基本概念
8 学时
第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征