导数测试卷(含答案)
导数测试卷
一、选择题
1.设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =( ) A . 2e B . ln 2
C .
ln 2
2
D . e
2.已知函数()d cx bx ax x f +++=23的图象如图所示, 则 ( )
A . ()0,∞-∈b
B . ()1,0∈b
C . ()2,1∈b
D . ()+∞∈,2b
3.方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β,则有( )
A . α<β
B . α>β
C . α=β
D . 无法确定α与β的大小 4.已知a >0且a ≠1,若函数f (x )= log a (ax 2
–x )在[3,4]是增函数,则a 的取值范围是( )
A .(1,+∞)
B .11[,)(1,)64+∞
C .11[,)(1,)84+∞
D .11
[,)
64 5.已知函数()f x 满足(1)()f x f x +=-,且()f x 是偶函数,当[0,1]x ∈时,2()f x x =,若在区间[1,3]-内,函数()()g x f x kx k =--有4个零点,则实数k 的取值范围是( ) A .(0,)+∞ B . 1(0,]2 C . 1(0,]4 D . 11[,]43
二、填空题
6.已知函数?
??=x x x f 3log )(2)0()
0(≤>x x ,且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根,则
实数a 的范围是 . 7.若函数())4(log -+=x
a
x x f a (a >0且a ≠1)的值域为R ,则实数a 的取值范围是________________.
8.13)(3
+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立,则a = .
9.已知函数3()(1).1
ax
f x a a -=
≠- (1)若a >0,则()f x 的定义域是 ;
(2)若()f x 在区间(]0,1上是减函数,则实数a 的取值范围是 .
10.已知函数()f x 的定义域为[]15,-,部分对应值如下表, ()f x 的导函数()y f x '=的图
象如图所示. 下列关于()f x 的命题:
①函数()f x 的极大值点为0,4; ②函数()f x 在[]02,上是减函数;
③如果当[]1x ,t ∈-时,()f x 的最大值是2,那么t 的最大值为4; ④当12a <<时,函数()y f x a =-有4个零点; ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个. 其中正确命题的序号是 .
三、解答题
11.已知函数)(2
1)1ln()(2
R m x x m x f ∈-+=,满足.1)0(='f (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若关于x 的方程c x x x f ++-=2
4
3)(在[0,2]恰有两个不同的实根,求实数c 的取值范围。
12.已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈. (1)讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数()f x 在1x =处取得极值,对(0,),()2x f x bx ?∈+∞≥-恒成立,求实数b 的取值范围.
13.设函数32
3()(1)1,32
a f x x x a x a =
-+++其中为实数。 (1)已知函数()f x 在1x =处取得极值,求a 的值;
(2)已知不等式'
2
()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立,求实数x 的取值范围。
14.已知函数2
1
()kx f x x c
+=
+(0c >且1c ≠,k ∈R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x c =-.
(1)求函数()f x 的另一个极值点;
(2)求函数()f x 的极大值M 和极小值m ,并求1M m -≥时k 的取值范围.
15.已知函数432()2f x x ax x b =+++(x R ∈),其中R b a ∈,. (1)当10
3
a =-
时,讨论函数()f x 的单调性; (2)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围;
(3)若对于任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立,求b 的取值范围. 答案: 1-5 DAAAC
6.),(∞+1
7.04a <≤或1a ≠ 8. 4
9.(1)3,a
??-∞ ??
?
;(2) ()(],01,3-∞?
10. ①②⑤
11.解:(1)()1m f x x x '=-+,∵(0)1f '=,∴1m =. ∴2
1()1
x x f x x --'=+,
令1515
()022
f x x x -+--'==
=
得或(舍去)。 当15
x 12-+∈(-,
)时,()0f x '>, ∴()f x 在15
12
-+(-,
)上是增函数; 当15
x 2
-+∈∞(
,+)
时,()0f x '<, ∴()f x 在15
2
-+∞(
,+)
上是减函数. (2)方程23()4f x x x c =-
++即为方程2213
ln(1)24x x x x c +-=-++ 即为方程2
1ln(1)04
x x x c ++--=,
设21()ln(1)4x x x x c φ=++--,11()112x x x φ'=+-+22(1x x x -=+)
当(1,0)x ∈-时,()0x φ'>,则()x φ在(1,0)-上单调递增;
当0,1x ∈()时,()0x φ'<,则()x φ在(0,1)上单调递减;
当(1,)x ∈+∞时,()0x φ'>,则()x φ在(1,)+∞上单调递增; 而(0)c φ=-,3
(1)ln 24
c φ=-
-,(2)ln31c φ=-- 23()4f x x x c =-++在[0,2]恰有两个不同的实根等价于(0)03(1)ln 204(2)ln 310.
c c c φφφ=-≥???
=--?
=--≥??,,
∴实数c 的取值范围 3
ln 204
c -<≤.
12.解:(Ⅰ)x
ax x a x f 1
1)(-=
-
=', 当0≤a 时,()0f x '<在),0(+∞上恒成立,函数)(x f 在),0(+∞单调递减,∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点; 当 0>a 时,()0f x '<得10x a
<<
,()0f x '>得1
x a >,
∴)(x f 在(10,)a 上递减,在(1),a
+∞上递增,即)(x f 在a
x 1
=
处有极小值. ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点,当0>a 时,)(x f 在),0(+∞上有一个极值点
(Ⅱ)∵函数)(x f 在1=x 处取得极值,∴1=a ,
∴b x
x x bx x f ≥-+
?-≥ln 112)(, 令x
x
x x g ln 11)(-+
=,可得)(x g 在(]2,0e 上递减,在[
)+∞,2e 上递增, ∴2
2
min 11)()(e
e g x g -==,即2
1
1b e ≤-
.
13.解: (1) '2()3(1)f x ax x a =-++,由于函数()f x 在1x =时取得极值,所以
'(1)0f =, 即 310,1a a a -++==∴
(2) 方法一
由题设知:223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立
设 22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈,()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥
即 2
20x x --≥,20x -≤≤∴
于是x 的取值范围是}{
|20x x -≤≤ 方法二
由题设知:223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2
2
(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立
于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立,即22
202x x
x +≤+ 20x -≤≤∴
于是x 的取值范围是}{
|20x x -≤≤
14.解:(Ⅰ)222222
()2(1)2()()()
k x c x kx kx x ck
f x x c x c +-+--+'==++,由题意知()0f c '-=, 即得2
20c k c ck --=,(*)0c ≠ ,0k ∴≠.
由()0f x '=得2
20kx x ck --+=,
由韦达定理知另一个极值点为1x =(或2
x c k
=-). (Ⅱ)由(*)式得21k c =
-,即21c k
=+. 当1c >时,0k >;当01c <<时,2k <-.
(i )当0k >时,()f x 在()c -∞-,和(1)+∞,内是减函数,在(1)c -,内是增函数. 1(1)012
k k
M f c +∴==
=>+, 2
21()02(2)
kc k m f c c c k -+-=-==<++,
由2
122(2)
k k M m k -=++≥及0k >,解得2k ≥.
(ii )当2k <-时,()f x 在()c -∞-,
和(1)+∞,内是增函数,在(1)c -,内是减函数. 2
()02(2)
k M f c k -∴=-=>+,(1)02k m f ==<
22(1)1
112(2)22
k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立.
综上可知,所求k 的取值范围为(2)[2)-∞-+∞ ,,. 15.(Ⅰ)解:3
2
2
()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++.
当103
a =-
时,2
()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--. 令()0f x '=,解得10x =,21
2
x =,32x =.
当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:
x (,0)-∞
1(0,)2 12 1
(,2)2
2
(2,)+∞
()f x ' - 0 + 0 - 0 + ()f x
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以()f x 在1(0,)2,(2,)+∞内是增函数,在(,0)-∞,1(,2)2
内是减函数. (Ⅱ)解:2()(434)f x x x ax '=++,显然0x =不是方程2
4340x ax ++=的根. 为使()f x 仅在0x =处有极值,必须2
4403x ax +≥+成立,即有2
9640a ?=-≤.
解些不等式,得3
838
a -
≤≤.这时,(0)f b =是唯一极值. 因此满足条件的a 的取值范围是88
[,]33
-.
(Ⅲ)解:由条件[2,2]a ∈-,可知2
9640a ?=-<,从而2
4340x ax ++>恒成立. 当0x <时,()0f x '<;当0x >时,()0f x '>.
因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者.
为使对任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立,当且仅当1
11))1
((f f ≤-≤??
?,即
22b a b a
≤--≤-+??
?
,在[2,2]a ∈-上恒成立. 所以4b ≤-,因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-.
导数练习题 含答案
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( )
导数练习题(含答案).
3 B 10 3 C 16 3 D 13 = 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题: 1 已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 ,若 f '(-1) = 4 ,则 a 的值等于 A 19 3 2 已知直线 y = kx + 1 与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点(1,3),则 b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数 y (x + 2a )(x-a ) 的导数为 A 2( x 2 - a 2 ) B 3(x 2 + a 2 ) C 3(x 2 - a 2 ) D 2( x 2 + a 2 ) 1 4 4 曲线 y = x 3 + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 3 3 A 1 2 1 2 B C D 9 9 3 3 5 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的导数为 f '( x ), f '(0) > 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x ) ≥ 0 ,则 最小值为 f (1) f '(0) 的 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 6 已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处的导数为 3,则 f ( x ) 的解析式可能为 A C f ( x ) = ( x -1)2 + 3(x - 1) f ( x ) = 2( x - 1)2 B f ( x ) = 2( x - 1) D f ( x ) = x - 1 7 下列求导数运算正确的是 A 1 1 ( x + )' = 1 + x x 2 B (log x )' = 2 1 x ln 2 C (3x )' = 3x ? log e D ( x 2 cos x )' = -2 x sin x 3 8 曲线 y = A π 6 1 3 x 3 - x 2 + 5 在 x = 1 处的切线的倾斜角为 3π π π B C D 4 4 3 9 曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点 (1,-1) 处的切线方程为 A y = 3x - 4 B y = -3x + 2 C y = -4 x + 3 D y = 4 x - 5 10 设函数 y = x sin x + cos x 的图像上的点 ( x , y ) 处的切线斜率为 k ,若 k = g ( x ) ,则函数 k = g ( x ) 的图