导数文科大题含详细答案解析

导数文科大题

1.知函数，. （1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.答案

解析

2.已知, (1)若,求函数在点处的切线方程; (2)若函数

在上是增函数,求实数a的取值范围; (3)令, 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为3.

解:(1)时,,

′(x),

′(1)=3,,

数在点处的切线方程为,

(2)函数在上是增函数,

′(x),在上恒成立,

即,在上恒成立,

令,当且仅当时,取等号, ,

的取值范围为

(3),

′(x),

①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去);

②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增,

,计算得出,满足条件;

③当,且时,即,在上单调递

减,,计算得出(舍去);

综上,存在实数,使得当时,有最小值3.

解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程.

(2)函数在上是增函数,得到f′(x),在

上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案,

(3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案

3.已知函数,

(1)分别求函数与在区间上的极值;

(2)求证:对任意,

解:(1),

令,计算得出:,,计算得出:或,

故在和上单调递减,

在上递增,

在上有极小值,无极大值;

,,则,

故在上递增,在上递减,

在上有极大值,,无极小值;

(2)由(1)知,当时,,,

故;

当时,,

令,则,

故在上递增,在上递减,

,;

综上,对任意,

解析(1)求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及

单调区间及极值;

4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性;

(2)当时,求证:对任意的,.

解:(1)当时,,

则,

,

故则在R上单调递减. (2)当时,,要证明对任意的,. 则只需要证明对任意的,. 设,

看作以a为变量的一次函数,要使,

则,即,

恒成立,①恒成立,

对于②,令,则,

设时,,即.

,,

在上,,单调递增,在

上,,单调递减,

则当时,函数取得最大值

,

故④式成立,综上对任意的,.

解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.

(2)对任意的,转化为证明对任意的

,,即可,构造函数,求函数的导数,利用

导数进行研究即可.

5.已知函数

(1)当时,求函数在处的切线方程;

(2)求在区间上的最小值.

解:(1)设切线的斜率为k.

因为,所以,

所以,

所以所求的切线方程为,即

(2)根据题意得, 令,可得

①若,则,

当时,,则在上单调递增.

所以

②若,则, 当时,,则在上单调

递减. 所以

③若,则,

所以,随x的变化情况如下表:

x12

0-0+0

-eΦ极小值Γ0

所以的单调递减区间为,单调递增区间为

所以在上的最小值为

综上所述:当时,;

当时,;

当时,

解析(1)设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方程.

(2)通过,可得.通过①,②,

③,判断函数的单调性求出函数的最值.

6.已知函数。（I）求f(x)的单调区间；

（II）若对任意x∈［1，e］，使得g(x)≥－x2＋（a＋2）x恒成立，求

实数a的取值范围；（III）设F（x）＝，曲线y＝F（x）上是否总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为钝角柄点的钝角三角开，且最长边的中点在y轴上请说明理由。

解：（Ⅰ）∵

∴当、时，在区间、

上单调递减.

当时，在区间上单调递

增. ………3分

（Ⅱ）由，得．

∵，且等号不能同时取得，∴，

∵对任意，使得恒成立，

∴对恒成立，即．( )

令，求导

得，，………5分

∵，

∴在上为增函

数，，．………7分（Ⅲ）由条件，，

假设曲线上总存在两点满足：是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上，则只能在轴两侧. 不妨设，则．

∴，…（※），

是否存在两点满足条件就等价于不等式（※）在时是否有解．………9分

①若时，，化简

得，对此不等式恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q；………11分

②若时，（※）不等式化为，若,此不等式显然对恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q；

若a>0时，有…（），

设，则，

显然，当时，，即在上为增函数，的值域为，即，

当时，不等式（）总有解．故对总存在符合要求的两点P、Q. ……13分

综上所述，曲线上总存在两点，使得是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴

上.

………14分

7.已知函数为常数).(Ⅰ)若a=-2,求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若当时,恒成立,求实数a的取值范围.

解：(Ⅰ)a=-2时,

；

时,

时,f'(x)>0,

函数f(x)的单调递减区间是(0,1],单调递增区间为(Ⅱ)由已知条件得：

；

且等号不能同时取；

令

；

在[1,e]上为增函数；

在[1,e]上的最大值为：；

的取值范围为：

8.已知函数(1)若,试判断在定义域内的单调性;

(2)若在上恒成立,求a的取值范围.

解:(1)函数,

函数的定义域为,函数的导数,

当,,此时函数单调递增.

(2)若在上恒成立,即在上恒成立, 即,令,只要求得的最大值即可,

,,

,,

,即在上单调递减,

9. 已知函数

(1)若,试判断在定义域内的单调性;

(2)若在上恒成立,求a的取值范围.

答案详解

解:(1)函数,

函数的定义域为,

函数的导数,

当,,此时函数单调递增.

(2)若在上恒成立,

即在上恒成立,

即,

令,只要求得的最大值即可,

,,

,,

,

即在上单调递减,

10. 设函数

(Ⅰ)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围; (Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.

答案

解:(Ⅰ)的导数为,

函数在上单调递增,

即有在上恒成立,

则在上恒成立.

因为,

则,计算得出;

(Ⅱ),

,

当时,,,;

,,;

,,

令,

,

,,,,

,

即,

,

单调递减,单调递增,

,

,,

当时,

,

函数在上的最大值为.

解析

(Ⅰ)求出函数的导数,根据题意可得在上恒成立,则在上恒成立.运用指数函数的单调性,即可得到a的取值范围;

(Ⅱ)求出导函数,判断出在单调递减,

单调递增,判断求出最值.

11.本小题满分12分）已知函数。

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，恒成立，求的取值范围。

答案详解（1）当时，，则，即切点为，因为，则，故曲线在处的切线方程为：，即。......4分

（2），求导得：

，......5分

令，（）；

①当，即时，，所以在上为增函数，所以在上满足，故当时符合题意；......8分

②当，即时，令，得，

当时，，即，所以在为减函数，所以，与题意条件矛盾，故舍去。 (11)

分

综上，的取值范围是。......12分

解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）将代入，求出得到切点坐标，求出得切线斜率，即可得切线方程；

（2）根据题意对的取值范围进行分讨论，利用导数来研究函数的单调性，进而判断与的关系，便可得出的取值范围。

12.已知函数，是的导函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）解关于的不等式：；

（Ⅱ）若有两个极值点，求实数的取值范围。

答案（Ⅰ），。

当时，无解；当时，解集为；

当时，解集为。

（Ⅱ）若有两个极值点，则是方程的两个根。

，显然，得：。

令，。若时，单调递减且；

若时，当时，,在上递减；

当时，，在上递增。

。

要使有两个极值点，需满足在上有两个不同解，得，即。

解析本题主要考查利用导函数求解函数问题。

(Ⅰ）原不等式等价于，分，，和讨论可得；（Ⅱ）设，则是方程的两个根，求导数可得，若

时，不合题意，若时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于的不等式，解之可得。

13.已知函数,.

(Ⅰ)如果函数在上是单调增函数,求a的取值范围;

(Ⅱ)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)当时,在上是单调增函数,符合题意.

当时,的对称轴方程为,

因为在上是单调增函数,

所以,计算得出或,所以.

当时,不符合题意.综上,a的取值范围是.

(Ⅱ)把方程整理为

,即为方程.

设,

原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根,

即为函数在区间内有且只有两个零点

令,因为,计算得出或(舍)

当时,,是减函数;

当时,,是增函数.

在内有且只有两个不相等的零点,

只需即

计算得出,

所以a的取值范围是.

解析:(1)因为函数的解析式中含有参数a,故我们要对a进行分类讨论,注意到a出现在二次项系数的位置,故可以分,,三种情况,最后将三种情况得到的结论综合即可得到答案.

(2)方程整理为构造函数

,则原方程在区间内有且只有两个

不相等的实数根即为函数在区间内有且只有两个零点,根据

函数零点存在定理,结合函数的单调性,构造不等式组,解不等式组即可得到结论.

14.设函数(1)若,求函数的单调区间. (2)若曲线在点处与直线相切,求a,b的值.解:(1)当时,,,

令,则或;

,则

函数的单调递增区间为和,递减区间为

(2),

曲线在点处与直线相切,

, 即解之,得,.

解析

(1)当时,求出的导函数,令,得出函数的单调增区间,反之得出单调减区间;

(2)求出函数的导函数,得出,求出a和b.

15.