证明不等式反证法放缩法
5. 某个与自然数有关的命题，如果 “当 那么在已知 A. 当 C. 当 时，该命题不成立 㤴 时，该命题不成立 t䁪t t䁪t
时该命题不成立的前提下，可推得
时，该命题成立 㤴 时，该命题成立
6. 用反证法证明命题“设 ，䁪 为实数，则方程 A. 方程 B. 方程 C. 方程 D. 方程 没有实根 至少有一个实根 至少有两个实根 恰好有两个实根
9. 用反证法证明命题“若 ta ᦙ ，且 应该是 ． 10. 已知 ᦙ ，䁪 ᦙ ，
a a
a ᦙ ，则 lg
䁪
a
a
，
a a
中至少有一个小于 ”时，假设的内容
11. 已知等比数列 若
a
的首项
lg
12. 求证：任意三角形中，必有两个内角的和大于 t ．
t
at㤴t
a
，且
t，则当
a ，公比为
䁪
，
，则
与
的大小关系为 ，记数列 log 有最小值．
a
为数列
的前
项和，
成等差数列，求
的通项公式；
a a
a，其中 ᦙ
ᦙ ，
㤴
a
．
（2）设双曲线
a 的离心率为
，且
，证明：
．
26. 设函数 （1） （2）
㤴
a
a
a
， ；
ta ．证明：
．
27. 数列
中，
（1）求证： （2）记数列
a
a
， ；
a
a
a
，
．
的前
项和为
，求证：
a．
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20. 已知函数 （1）求函数 （2）若数列 并求出 䁪
满足 的表达式； 满足
a
䁪
a
，
， a ，䁪 䁪
a
a，使 a， 䁪 a．
成立的实数
只有一个．
，
的通项公式；
a
，证明数列 䁪
是等比数列，
（3）在（2）的条件下，证明： a 䁪a
21. 设
䁪，求证：t a t，t
t，t
t 中至少有一个不小于 ．
a
22. 已知 t䁪t t
28. 设
（1）当 （2）设
at
a
a
t㔲
a
a 时，求
a
t
是函数
a a
a
的值；
a a
log
a
的图象上的任意两点.
（3）对于（2）中的 求证
㤴 t
，已知
a
.
a
，其中
a
，其中 ，设
，求 为数列
； 的前 项的和，
29. 已知正项数列 （1）求数列 （2）求证：
a
满足： 的通项公式；
a a a
a
a a a a
，且
䁪
a，求证：
䁪
䁪
a．
23. 已知数列 （1） （2） ᦙ
中，
a；
a a
㤴， ．
a
，
，
为
的前
项和．证明：
时．
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24. 已知函数 （1）当 （2）证明：
时，求不等式
a
a
a
a
a
a
㤴．
ᦙ
ᦙ
． 的解集；
25. 已知数列 （1）若
， ，
的首项为 a，
，其中
为数列
的前
项的和．
a
．
30. 在正项数列 （1）判断数列 （2）求证：对
中，
的单调性，并证明你的结论； 都有：
a
a
a
，
a
（
）．
a．
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31. 已知曲线 ： a （1）求
a a ta
与
a
，点列
a a a
a ，过
上一点
的横坐标构成数列
a a 㤴
a 时，求方程
㤴 a
ln
a
和
a ㌠ ， a ．
. 的实根； 恒成立，求 的取值范围；
ᦙ ln
at
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34. 设函数 （1）讨论 （ 2）确定
的单调性；
ln ，其中
． ᦙ
a
的所有可能取值，使得
自然对数的底数）．
ea
在区间 at
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16. 数列
：满足
（1）证明数列 log （2）求数列 （3）设 䁪
a
a
，
a
． 是等比数列；
a 㤴
的通项公式；
a
，数列 䁪
的前
项和为
，求证：
a
．
17. 已知 t 为锐角，且 立．
π
，试证：不等式
cos sin
cos sin
ᦙ
对一切正实数
㌠ 内恒成立（ e
成 a
为
35. 设函数 （1）讨论 （2）证明：当 （3）确定
都成
18. 已知函数
在 䁪 ”，
（1）写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； （2）写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
㌠t
㌠ 上是增函数， t䁪
，对命题 “ 若
䁪
，则
䁪
19. 已知
ᦙ ，䁪 ᦙ ，
䁪 ᦙ ，求证：
a 䁪
，
a
䁪
至少有一个小于 ．
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． 的前 项和为 ，
，前
项和为 时，
13. 若
a
䁪
，求证：䁪
䁪
a
a
．
14. （1）找出一个等比数列 （2）证明： 为无理数； （3）证明：a，
，使得 a，
，㤴 为其中的三项，并指出分别是
的第几项；
，㤴 不可能为同一等差数列中的三项．
15. （1）求证：当 （2）证明： ，
ᦙ
时，
；
， 不可能是同一个等差数列中的三项．
䁪 䁪 䁪
至少有一个实根”时，要做的假设是
t䁪t t䁪t
7. 已知 ，䁪， ， 均为正数， A. 8. 已知 A. sin C. sin a a， a
B. a
C.
䁪
，则 D. 㤴
，则下列不正确的是 B. sin ᦙ sin a
sin
sina
a
D. sin
cos a
a
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ta
作一斜率为 ㌴
a a
的直线交曲线
aa
于另一点
，其中
．
的关系式； 是等比数列； a a a a
（2）求证： （3）求证：
a
a
t
a
32. 已知 数列
a a
a
，
a
a
，
a
（1） （2） （3）
a
a
，
a
a
ᦙ
a；
a
a
a
a
a
，求证当
a
．记 时：
a
，
；
．
33. 已知函数 （1）当 （3）求证：
（2）若对于任意的
䁪
3. 用反证法证明命题"设 ，䁪 为实数，则方程 A. 方程 B. 方程 C. 方程 D. 方程 䁪 䁪 䁪 䁪 没有实根 至多有一个实根 至多有两个实根 恰好有两个实根
䁪且
至少有一个实根"时，要作的假设是
䁪
4. 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些依据作为条件使用 ①结论相反的判断即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A. ①② B. ①②④ C. ①②③ ㌴ 时该命题成立，可推得 B. 当 D. 当 t䁪t ㌴ D. ②③ a 时该命题也成立 ”，
证明不等式 反证法放缩法（含答案）
1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 A. 假设三内角都不大于 度 度 B. 假设三内角至多有一个大于 C. 假设三内角都大于 度 度 ᦙ 䁪”假设内容是 B. D. 䁪 度时”，反设正确的是
D. 假设三内角至多有两个大于 2. 用反证法证明“如果 A. C. 䁪或 䁪 ᦙ 䁪，那么 䁪
2020学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案含解析新人教a版选修45
三 反证法与放缩法1．不等式的证明方法——反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．不等式的证明方法——放缩法 (1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据主要有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．利用反证法证明不等式已知f (x )求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”． (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 2．证明：三个互不相等的正数a ，b ，c 成等差数列，则a ，b ，c 不可能成等比数列． 证明：假设a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac . 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＝b －d ，c ＝b ＋d (其中d 为公差)． ∴ac ＝b 2＝(b －d )(b ＋d )． ∴b 2＝b 2－d 2. ∴d 2＝0，∴d ＝0.这与已知中a ，b ，c 互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a ，b ，c 不可能成等比数列．3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a <b . 证明：假设a <b 不成立，则a ＝b 或a >b .当a ＝b 时，－a ＝－b ，则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )，与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )，于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )，与已知矛盾．故假设不成立．∴a <b .利用放缩法证明不等式已知实数x x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2. 同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当的放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ，当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ，…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n.∴将以上n 个不等式相加，得12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜nn ＝1.5．设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈，求证： |f (a )－f (b )|<|a －b |.证明：|f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b |＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1|. ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1，∴0≤a ＋b ≤2，－1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1.∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.课时跟踪检测(八)1．设a ，b ，c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．2．若|a －c |<h ，|b －c |<h ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．|a －b |<2h B ．|a －b |>2h C ．|a －b |<hD ．|a －b |>h解析：选A |a －b |＝|(a －c )－(b －c )|≤|a －c |＋|b －c |<2h . 3．设x ，y 都是正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)解析：选A 由已知(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. ∵x ，y 都是正实数，∴x >0，y >0，∴x ＋y ≥22＋2＝2(2＋1)．4．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a <b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故①对；当a >b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；③显然不正确．5．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法证明时作的反设应为________． 答案：a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 6．lg9·lg11与1的大小关系是________．解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0，∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，∴lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜17．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A ，B 的大小关系是________．解析：A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y1＋y ＝B .答案：A ＜B8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1知a ，b ，c ，d ∈． 从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1，即ac ＋bd ≤1，与已知ac ＋bd >1矛盾， ∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N *)．求证：n n ＋12<a n <n n ＋22.证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴nn ＋1>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1>1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵nn ＋1<n ＋n ＋12，∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝n 2＋(1＋2＋3＋…＋n )＝n n ＋22.综上得n n ＋12<a n <n n ＋22.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在上的最大值为2，最小值为－52.求证：a ≠0且⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <2. 证明：假设a ＝0或⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.①当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0. 由题意得f (x )＝bx 在上是单调函数， 所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |. 由已知条件得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12，这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0. ②当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－b2a ，知f (x )在上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得 .所以⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝2，f －1＝a －b ＋c ＝－52或⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝－52，f －1＝a －b ＋c ＝2.又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <2. 由①②，得a ≠0且⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a<2.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．真题体验1．(全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.2．(全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①必要性：若|a －b |<|c －d |， 则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d . ②充分性：若a ＋b >c ＋d ， 则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．已知b ，m 1，m 2都是正数，a <b ，m 1<m 2，求证：a ＋m 1b ＋m 1<a ＋m 2b ＋m 2. a ＋m 1b ＋m 1－a ＋m 2b ＋m 2＝a ＋m 1b ＋m 2－a ＋m 2b ＋m 1b ＋m 1b ＋m 2＝am 2＋bm 1－am 1－bm 2b ＋m 1b ＋m 2＝a －b m 2－m 1b ＋m 1b ＋m 2.因为b >0，m 1，m 2>0，所以(b ＋m 1)(b ＋m 2)>0. 又a <b ，所以a －b <0. 因为m 1<m 2，所以m 2－m 1>0. 从而(a －b )(m 2－m 1)<0. 于是a －b m 2－m 1b ＋m 1b ＋m 2<0.所以a ＋m 1b ＋m 1<a ＋m 2b ＋m 2. 综合法证明不等式逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．设a >0，b >0，a ＋b ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12.∴1ab≥4.∴1a ＋1b ＋1ab＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·21ab＋4＝8.∴1a ＋1b ＋1ab≥8.分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发， 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．已知a >b >0.求证：a －b <a －b . 要证a －b <a －b ， 只需证a <a －b ＋b ， 只需证(a )2<(a －b ＋b )2， 只需证a <a －b ＋b ＋2b a －b ，只需证0<2ba －b .∵a >b >0，上式显然成立，∴原不等式成立，即a －b <a －b .反证法证明不等式用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法予以证明，反证法是间接证法的一种．假设欲证的命题是“若A 则B ”，我们可以通过否定B 来达到肯定B 的目的，如果B 只有有限多种情况，就可用反证法．用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理或定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．已知：在△ABC 中，∠CAB >90°，D 是BC 的中点．求证：AD <12BC (如右图所示)．假设AD ≥12BC .①若AD ＝12BC ，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，知∠A ＝90°，与题设矛盾．所以AD ≠12BC .②若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ，所以在△ABD 中，AD >BD ，从而∠B >∠BAD .同理∠C >∠CAD .所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD .即∠B ＋∠C >∠A . 因为∠B ＋∠C ＝180°－∠A ， 所以180°－∠A >∠A ， 即∠A ＜90°，与已知矛盾． 故AD ＞12BC 不成立．由①②知AD ＜12BC 成立.放缩法证明不等式作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则达文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
[证明] k1＝k2.
(1)反证法．假设 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，有
代入 k1k2＋2＝0，得 k2＋2＝0， 1 此与 k1 为实数的事实相矛盾．从而 k1≠k2，即 l1 与 l2 相交． (2)法一
y＝k x＋1， 1 ：由方程组 y＝k2x－1，
x＝ 2 ， k2－k1 解得交点 P 的坐标(x，y)为 k2＋k1 y＝k2－k1
c＋1－d d＋1－a c1－d≤ ， d1－a≤ ， 2 2 a＋1－b 1 b＋1－c 1 ∴ ＞ ， ＞ ， 2 2 2 2 c＋1－d 1 d＋1－a 1 ＞ ， ＞ . 2 2 2 2 将上面各式相加得 2＞2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不 可能都大于 1.
y－1＝k x 1 的坐标(x，y)满足 y＋1＝k2x
，
k ＝y－1， x 1 故知 x≠0，从而 y＋1 k2＝ x . y－1 y＋1 代入 k1k2＋2＝0，得 x · x ＋2＝0， 整理后，得 2x2＋y2＝1， 所以交点 P 在椭圆 2x2＋y2＝1 上．
[考题印证] (2011· 安徽高考)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，
其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交； (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上． [命题立意] 本题考查直线与直线的位置关系，线线相
交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，考查学生推 理论证的能力．
1＋2 2＋3 3＋4 n＋n＋1 ∴an< ＋ ＋ ＋…＋ 2 2 2 2 n＋1 nn＋2 1 ＝ ＋(2＋3＋…＋n)＋ ＝ . 2 2 2 nn＋1 nn＋2 综上得： ＜an＜ . 2 2
高中数学 4-5反证法与放缩法课件分解
用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当.例如上 述过程中,如果把和式的4 项分母依次缩为a,b, c, d , 那 么 和 放 大 为4, 显 然 太 大 了.
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
例4
已知a,
b是 实 数, 求 证
|a 1 |
a
b
| b
|
|a| 1 | a
|
|b| 1 | b
|
.
a
a a
abcd abd ab
b
b b,
abcd bca ba
c
c c,
abcd cdb cd
d
d d,
abcd dac dc
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
把以上四个不等式相加, 得
abcd a b abcd abd bca
c
c d
b
d
d ac
ab ab
cd cd
,
即
1 a b c d 2. abd bca cdb dac
2．放缩法 将所需证明的不等式的值适当 放大 (或 缩小 )
使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不 等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值 放大 ，反之，把分母缩小，则分式的值 缩小 ．
试一试：用放缩法证明不等式常用的方法有哪些？
提示 ①添加或舍去一些项； ②将分子或分母放大(或缩小)； ③真分数的性质：若 0＜a＜b，m＞0，则ab＜ab＋ ＋mm； ④利用基本不等式； ⑤利用函数的单调性； ⑥绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. ⑦利用函数的有界性：如：|sin x|≤1(x∈R)；x2－x≥14(x∈R)； 2x＞0(x∈R)．
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。
反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。
放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
首先介绍反证法。
对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。
具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。
3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。
4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。
举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。
然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。
然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。
因此，假设错误，原不等式成立。
接下来介绍放缩法。
放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。
具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。
2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
3.对新形式的不等式进行证明。
4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。
举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。
我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。
化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。
证明不等式的八种方法
1 Math Part 比较法
证明：
∴a-1≥1，b-1≥1
ab-a-b =a(b-1)-b
∴(a-1)(b-1)≥1 例题：已知a≥2，b≥即2，(a求-1)证(b：-1)a-b1≥≥a0+b
6 Math Part 构造法
函数构造法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 要证明的不等式为： ab≥a+b 移项得 ab-a-b≥0 即(b-1)a-b≥0 构造函数 f(x)=(b-1)x-b (x≥2)
f(x)是关于x的一次函数 其中一次项系数b-1>0 ∴f(x)为定义域上的增函数 ∴对于任意的x∈[2,+∞)都有 f(x)≥f(2)=(b-1)×2-b=b-2≥0 ∴(b-1)a-b≥0 所以原命题成立 证毕
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
2.3反证法与放缩法
∴A＋B≥92， ∴A≥32，即b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32.
已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝ 1,2，…)．从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线 ln，切点为Pn(xn，yn)．
分析：运用放缩法进行证明． 解析：(1)由题设得 a2＋ab＋b2＝a＋b， 于是(a＋b)2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，故 a＋b＞1. 又(a＋b)2＞4ab，而(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ＝a＋b＋ab＜a＋b＋a＋4b2，即34(a＋b)2＜a＋b， ∴a＋b＜43.∴1＜a＋b＜43.
所以 x2－x＋1≥34.
设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、
|f(3)|中至少有一个不小于
1 2
.
证明：(反证法)假设|f(1)|＜12，
|f(2)|＜12，|f(3)|＜12，
则有：－12＜1＋a＋b＜12①
－12＜4＋2a＋b＜12②
－12＜9＋3a＋b＜12③
①＋③得：－1＜10＋4a＋2b＜1
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论， 就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则 q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通 过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而判定原来的结论是正 确的．
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
(2)∵12＝12，13＞14，15＞16，…，2n1－1＞21n，
又12＞12＋14＋n…＋21n.
将上述各式两边分别相加得
(教师用书)高中数学 2.3 反证法与放缩法配套课件 新人教A版选修4-5
利用反证法证“至多”、“至少”、 “唯一”型命题
已知f(x)＝x2＋px＋q，求证： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； 1 (2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2.
【思路探究】 算可得结论． (2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论． (1)把f(1)、f(2)、f(3)代入函数f(x)求值推
2．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 放大 或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方 法称为放缩法．
1．反证法的一般步骤是什么？
【提示】 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2) 从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
2．放缩法证明不等式常用的技巧有哪些？
【证明】 a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少 有一个是负数，故有假设a、b、c、d都是非负数． 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0 则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 这与已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假设错误， 故a、b、c、d中至少有一个是负数． 即a，b，c，d中至多有三个是非负数．
1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠ B≥90° ”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法， “＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等． 2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确 推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R. (1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结 论．
【证明】 (1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.
由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(－b)． 又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)． 两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
1.5.3 反证法和放缩法
(2)如果a<0，那么由abc>0可得bc<0. 又因为a+b+c>0,所以b+c>-a. 于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0, 这和已知矛盾.因此，a<0也不可能.
综上所述，a>0. 同理可证b>0,c>0. 所以原命题成立.
a b c d a b d a b,
b
b b
a b c d a b c a b,
c
c c
abcd cbd cd,
d
d d
a b c d a c d d c,
把以上四个不等式相加，得
abcd a b c d ab cd , abcd abd abc cbd acd ab cd 即1 a b c d 2.
1
y2
1
9
由于x,y>0,且x+y=1,
所以 1
x
2
1
1
y2
1
1 x2 x2
1 y2
y2
1 x
x
2
1
x x
9,
得(2x-1)2<0.这不可能.所以
1
x2
1
1
y2
1
9
abd bca cbd d ac
分析
2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.3反证法和放缩法课件新人教B版选修4_5
1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法
学习目标：1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法 证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不 等式．
自主预习 探新知
教材整理 1 反证法 首先假设要证明的命题是 不正确的 ，然后利用公理 ，已有的 _定__义__、__定__理__，命题的条件 逐步分析，得到和_命__题__的__条__件__(_或__已__证__明__过_ _的__定__理__，__或__明__显__成__立__的__事__实__)_矛盾的结论，以此说明 假设的结论 不 成立，从而原来结论是 正确 ，这种方法称作反证法．
[精彩点拨] 针对不等式的特征，关键是对左端根号内变形，配 方后适当放缩去掉根号，达到证明的目的．
[自主解答]
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋43y2
≥
x＋2y2＝x＋2y≥x＋2y，
同理可得： y2＋yz＋z2≥y＋2z，
z2＋zx＋x2≥z＋2x.
∴1＋ab>a2＋b2≥2ab， 从而 ab<1. ∴a2＋b2<1＋ab<2. ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4. 而由假设 a＋b>2，得(a＋b)2>4，出现矛盾，故假设不成立，原 结论成立，即 a＋b≤2.
反证法与放缩法的特点
[探究问题] 1．反证法的一般步骤是什么？ [提示] 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论 进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614，
②
因此①式与②式矛盾．
故假设不成立，即原命题成立．
反证法与放缩法
例3.若a, b, c, dR+ , 求证： a b c d 1 2 abd bca cd b d ac
【方法小结】放缩法 —— 证明不等式
时，通过把不等式中的某些部分的值适当 放大或缩小，简化不等式，从而达到证明 的目地. 例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 此法的依据就是不等式性质:传递性.
例5.求证：
1 1 1 * （ 2 n 1 1） 1 2 n (n N ) 2 3 n
【思路分析】
1 问题的关键是对通项 的适当放缩. n 注意到:
n 1 n n 1(n 1) 2 1 2 n 1 n n n n 1
探求知识 例1.已知x,y>0,且x+y>2,求证：
1 x 1 y , 中至少有一个小于2. y x
【方法小结】反证法 —— 先假设要证明 的结论不成立，以此为出发点，结合已知 条件，应用不等式性质、定理等，进行正 确的推理，得到与已知或定理或明显事实 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而间 接说明原命题成立的方法。
课堂小结 证明不等式的特殊方法: （1）放缩法：对不等式中的有关式子 进行适当的放缩实现证明的方法。 （2）反证法：先假设结论不成立, 再 寻求矛盾,推翻假设，从而证明结论成 立的方法。
课后作业
P29 习题2.3
1，2，3，4.
பைடு நூலகம்
证明不等式的基本方法 （反证法与放缩法）
知识回顾 ★比较法、综合法、分析法证明不 等式的基本思路是什么？
(1) 比较法 ：通过比较差与 0 的大小，或商 与1的大小来证明不等式成立.