干预分析的ARMAX模型及应用
ARMA相关模型及其应用
ARMA相关模型及其应用一、本文概述随着科技的快速发展和数据分析技术的不断进步，时间序列分析在金融、经济、工程等领域的应用日益广泛。
其中，自回归移动平均模型（ARMA模型）作为一种重要的时间序列分析工具，其理论和实践价值备受关注。
本文旨在深入探讨ARMA模型的基本理论、性质及其在实际问题中的应用，旨在为读者提供一个全面而深入的理解和应用ARMA模型的参考。
本文将简要介绍ARMA模型的基本概念、发展历程及其在时间序列分析中的地位。
随后，重点阐述ARMA模型的数学原理、参数估计方法以及模型的检验与优化。
在此基础上，本文将通过具体案例，展示ARMA模型在金融市场分析、经济预测、工程信号处理等领域的实际应用，并探讨其在实际应用中的优势与局限性。
本文旨在为研究者、学者和实践者提供一个关于ARMA模型及其应用的全面指南，帮助他们更好地理解和应用这一重要的时间序列分析工具。
通过案例分析，本文旨在为相关领域的学者和实践者提供新的思路和方法，推动ARMA模型在实际问题中的更广泛应用。
二、ARMA模型基础ARMA模型，全称为自回归移动平均模型（AutoRegressive Moving Average Model），是时间序列分析中的一种重要模型。
它结合了自回归模型（AR，AutoRegressive）和移动平均模型（MA，Moving Average）的特点，能够更全面地描述时间序列数据的动态变化特性。
ARMA模型的基本形式为ARMA(p, q)，其中p是自回归项的阶数，q是移动平均项的阶数。
模型的一般表达式为：_t = \varphi_1 _{t-1} + \varphi_2 _{t-2} + \cdots +\varphi_p _{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} +\theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}) 其中，(_t)是时刻t的观察值，(\varphi_i)是自回归系数，(\epsilon_t)是时刻t的白噪声项，(\theta_i)是移动平均系数。
ARMA模型
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0
ARMA模型介绍知识分享
MA（q）的自相关函数（AC）
根据自相关函数，当k>q时，yt 与y t-k 不相关， 这种现象称为截尾，因此，当k>q时，自相关 函数为零是MA（q）的一个特征。也就是说， 可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为 零来判断MA（q）模型的阶。
MA（q）的偏自相关系数随着滞后期的增加， 呈现指数衰减，趋向于零，这称为偏自相关系 数的拖尾性。
Quick → Estimate equation 在窗口中输入因变量，自变量为AR(p)和
MA(q)，以ARMA(1,2)为例：
GDP c AR(1) MA(1) MA(2)
参考AC或PAC确定滞后期 根据回归结果选择适合的估计结果
模型结果的分析
ARMA模型估计对参数t检验其显著性水 平要求并不严格，更多的是考虑模型的 整体拟合效果。
调整可决系数、AIC和SC准则都是模型 选择的重要标准。
AIC准则和SC准则
赤池信息准则：AIC=-2L/n+2k/n，其中L 是对数似然值，n是观测值数目，k是被 估计的参数个数。AIC准则要求其取值 越小越好。
施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时 也要求SC值越小越好。
ARIMA模型
考虑ARIMA(p,d,q)模型 一个ARIMA(p,d,q)模型代表一个I(d)变量
经过d次差分后所做的AR(p)和MA(q)模 型。
结束语
谢谢大家聆听！！！
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Yt 1Yt1 2Yt2 ... pYt p ut 1ut1 qutq
则称该序列为（p,q）阶自回归移动平均模型。 记为ARMA（p,q）
随机时间序列分析模型的识别
对于AR、MA、ARMA模型，在进行 参数估计之前，需要进行模型的识别。 识别的基本任务是找出ARMA（p,q）、 AR（p）、MA（q）模型的阶。识别 的方法是利用时间序列样本的自相关 函数和偏自相关函数。
armax
ARMAX模型ARMAX模型或ARMA模型的参数估计模型句法米= ARMAX模型（数据，订单）米= ARMAX模型（数据，命令，'小一'，V1的,...,'伪'，钒氮）米= ARMAX模型（数据，'缺'，缺'自然美'，铌，'数控'，数控，'NK细胞'，NK细胞）论据数据iddata对象，它包含输入输出数据。
订单整数向量，使用指定的格式订单= [注：数控NK细胞钠]对于多输入系统，毒品调查科及NK是其中第i行向量元素对应的命令，并与第i个输入相关的延迟。
当数据是一个时间序列，它没有输入和一个输出，然后订单= [娜数控]提示当精制米，估计模型，设置模型命令如下：订单=美'缺'，缺'自然美'，铌，'数控'，数控，'NK细胞'，NK细胞'缺'，'注意'和'数控'是的ARMAX模型的订单。
NK细胞是延迟。
钠，铌，北卡罗来纳州和NK 细胞是相应的整型值。
'小一'，V1的,...,'伪'，钒氮物业名称和属性值对可以包括以下idmodel任何属性：'聚焦'，'InitialState'，'显示'，'MaxIter'，'性'，'LimitError'和'FixedParameter'。
见算法性能，idpoly和idmodel获得更多信息。
描述注意ARMAX模型只支持单个或多个输入的时域数据和单一输出。
对于频域数据，使用原厂。
对于多输出的情况下，使用的ARX或1状态空间模型（见N4SID辨识和PEM）。
米= ARMAX模型（数据，订单）返回与参数估计和协方差（参数不确定性）idpoly模型米。
ARMA模型基本架构及应用
ARMA模型基本架构及应用ARMA模型是一种经济时间序列分析方法，可以用于预测未来值的变动趋势。
ARMA模型基于两个组成部分，即自回归（AR）和移动平均（MA）。
自回归模型使用时间序列的过去值作为预测未来值的因素，而移动平均模型则使用时间序列的随机波动作为预测的基础。
Yt=c+φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q+εt在这个公式中，Yt表示时间序列的当前值，p表示自回归模型的阶数，q表示移动平均模型的阶数，c是一个常数，εt是一个随机扰动项。
AR部分表示时间序列变量的当前值与过去p个时间点的值之间的关系。
自回归模型常常用于表示时间序列存在的自相关性，即过去值对未来值的影响。
MA部分表示时间序列的当前值与过去q个随机波动的关系。
移动平均模型用于表示时间序列的随机性。
ARMA模型的应用非常广泛。
在经济学中，ARMA模型常用于分析股票价格、就业率、通货膨胀率等经济指标的时间序列数据。
通过建立ARMA模型，可以揭示时间序列数据中的规律和趋势，从而为决策提供有价值的信息。
ARMA模型还可以用于信号处理、气象预测、环境监测等领域。
例如，在信号处理中，ARMA模型可以用于预测随机信号的未来走势，以便进行故障检测和预防。
在气象预测中，ARMA模型可以用于预测未来一段时间内的气温、降雨量等天气指标。
除了ARMA模型，还有ARIMA模型、GARCH模型等时间序列分析方法，它们在处理特定的时间序列数据时具有一定的优势。
ARMA模型是这些方法中最简单和最基础的一种，但在实际应用中已经证明了其有效性和实用性。
总之，ARMA模型是一种用于分析时间序列数据的方法，可以用于预测未来值的变动趋势。
该模型采用了自回归和移动平均的思想，通过估计参数来确定时间序列数据中的规律和趋势。
ARMA模型在经济学、信号处理、气象预测等领域有广泛的应用，并且被证明是一种有效和实用的分析工具。
arma
ARMA 模型属于时间序列分析中的一种，20世纪70年代，由美国统计学家金肯（JenKins ）和波克斯（Box ）提出。
对于一个平稳、零均值的时间序列}{t x ，N t ,,2,1 =，一定能对它拟合一个如下形式的随机差分方程[88]：mt m t t t n t n t t t a a a a x x x x ----------++++=θθθϕϕϕ 22112211(6-3-31)式中，t x 是时间序列}{t x 在t 时刻的元素；),,2,1(n i i =ϕ称为自回归(Autoregressive)参数；),,2,1(m j j =θ称为滑动平均(Moving Average)参数；序列}{t a 称为残差序列，当这一方程正确地揭示了时序的结构与规律时，则}{t a 应为白噪声，即),0(~2ασNID a t 。
显然，上式左边为一个n 阶差分多项式，称为n 阶自回归部分；右边为一个m 阶差分多项式，称为m 阶滑动平均部分。
上式称为n 阶自回归m 阶滑动平均模型，记为ARMA(n ，m)模型，}{t x 也称为ARMA 时序或ARMA 过程。
在式（6-3-31）中，当0=j θ时，模型中没有滑动平均部分，称为n 阶自回归模型，记为AR(n)。
其形式为：t i t i ni t a x x +=-=∑ϕ1(6-3-32)在式（6-3-31）中，当0=i ϕ时，模型中没有自回归部分，称为m 阶滑动平均模型，记为MA(m)。
其形式为：j t j mj t t a a x -=∑+=θ1（6-3-33）本文采用基于残差方差最小原则的建模，它是基于如下认识[80]：任一平稳序列总可以用一个)1,(-n n ARMA 模型来表示，而AR(n)，MA(m)以及)1)(,(-=/n m m n ARMA 都是)1,(-n n ARMA 模型的特例[89]。
其建模思想可概括为：逐渐增加模型的阶数，拟合较高阶)1,(-n n ARMA 模型，直到再增加模型的阶数而剩余残差方差2a σ不再显著减小为止。
ARMA模型基本架构及应用
传递形式与逆转形式
• 传递形式
xt 1 ( B )( B ) t t G j t j
j 1
• 逆转形式
t 1 ( B ) ( B ) xt
xt I j xt j
j 1
G0 1 k j Gk j j Gk j 1
• 样本自相关图 • 样本偏自相关图
ARMA模型相关性特征
模型 AR(P) MA(q) ARMA(p,q) 自相关系数 拖尾 q阶截尾 拖尾 偏自相关系数 P阶截尾 拖尾 拖尾
3.3平稳序列建模
• • • • • • 建模步骤 模型识别 参数估计 模型检验 模型优化 序列预测
建模步骤
平 稳 非 白 噪 声 序 列 计 算 样 本 相 关 系 数
ARMA模型的定义
• 具有如下结构的模型称为自回归移动平均模 型，简记为
xt 0 1 xt 1 p xt p t 1 t 1 q t q p 0， q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t
ˆ 都会衰减至零值附近作小值波动 ˆ k 与 kk ˆ 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看 ˆ k 或 当 kk
作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之 后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？
样本相关系数的近似分布
• Barlett
1 ˆ k ~ N (0, ) , n n
例2.5续
• 选择合适的模型 ARMA 拟合 1950 年 —— 1998 年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。
第三讲 ARMA模型
累计脉冲响应函数：
y t +j t
+
y t +j t +1
+
y t +j t +2
+
+
y t +j t +j
= j + j -1 + j -2 +
+ +1
以此衡量随机扰动因素如果出现永久性变化后，即 t，t +1， ，t +j 都变化一个单位，对yt 造成的影响和冲击。 练习：建立年度（1951~1983）数据文件，导入book1 中数据x。利用Eviews创建一个程序，尝试生成不同的yt序 列，还可尝试绘制出脉冲响应函数图： smpl @first @first series x=0 smpl @first+1 @last series x=0.7*x(-1)+0.8*nrnd（正态分布） 该程序是用一阶差分方程生成一个x序列，初始值设定 为0，扰动项设定为服从均值为0，标准差为0.8的正态分布。
可以想象，如果按一定规则的数据 生成过程生成足够多的观测序列（比如 1万次或10万次），然后再求样本均值， 应该可以得到较高精度的结果，从而尽 量捕捉真实过程的特性。
该思想与计量经济学的另一重要概 念不谋而合，即蒙特卡洛模拟。
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（2）AR (p) 序列的自相关和偏自相关：
●φk截尾性：AR(p)为p阶截尾。
例4：季度数据文件：1979:1~1999:2，调入book8中1个数据y。 同样，输入序列名y，滞后期取20。可得自相关图：
可见：自相关程度缓慢减弱。而偏自相关相邻两项相关程度很高。
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例5：建月度文件：1972:01~1982:12，调入book18 的y（汗衫背心零售 量），滞后期36。自相关图为： 从自相关函数看： 12、24、36很大，即相 同月份有很强季节性，无明 显趋势。 从偏自相关函数看， k=1时一样，k=2时“自”和 “偏”自相关差距很大。