六节空间直线及其方程-精选.ppt

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通过空间直线L的平面有例如无数: 多zx ==
0 表示 0
y轴;
个，从中任两个方程联立，均表 x示 z
空间直线L。
x
z
= =
0也表示 0
y轴.
L
L
二.空间直线的对称式方程与参数方程
• 直线的对称式方程
– （点向式方程）
zs
xx0 =yy0 =zz0 mn p
M(x,y,z)
M(x0,y0,z0)
O
y
x
1.对称式方程(点向式)
• 方向向量:
– 如果一个非零向量s平行于一 条已知直线，这个向量s就叫 做该直线的方向向量。
对称式方程的建立
直线上任一向 量都与s平行.
s
L
M(x,y,z)
依据：
M(x0,y0,z0)
过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直 线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向 量s，则直线位置完全可以确定下来。
所求直线L方向向量为s，
M0
s1
因为s平行s1可取s ={2,1,-5};
又因为直线L过点M0 (4,-1,3)，
L1
故，所求直线方程L为：
x= y=z
2
例2
求以下直线的对称式方程
x2yz =0 2xyz=0
解 （1）求s, 已知相交于
直线的两个平面法向量分别
为n1={3,2,4},n2={2,1,-3},
三.直线的参数方程
由直线的对称式方程可以导出直线的参 数方程。只须设
xx0=yy0=zz0=t
mn
p
这就是直线L的
则有 x = x 0 mt
y
=
y0
nt
z
=
z0
pt
参数方程. 这里t为参数.
例1 求过点M0 (4,-1,3)且平行于直线L1的直线方程.
L1:
x3=y=z1 2 1 5
解 设已知直线L1的方向向量s1={2,1,-5} s
L A= B=C
mn p
s={m,n,p}
L： xx0 =yy0 =zz0 mn p
n={A,B,C}
π
π ：Ax+By+Cz+D=0
练习 思考 讨论
p
称之为直线对称式方程.
方向数与方向余弦
• 方向数：直线的任一方向向量的坐标，即 设直线的方向向量 s={m,n,p},则m,n,p为该直 线的一组方向数。
• 向量s的方向余弦叫作该直线的方向余弦。即
{co ,cso ,c s o }s
={
m,
n
,
p
}
m 2n2p2 m 2n2p2 m 2n2p2
第六节 空间直线及其方程
在空间直角坐标系中： 一个三元一次方程表示一个平面； 一个三元二次方程表示一个曲面； 两个曲面的交线表示一空间曲线； 两个平面的交线表示（空间直线）。
F (x2, y2, z2) = 0
Σ
第 八节 空间直线及其方程
直线的点向式方程 直线的一般方程 直线的参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 例题、练习与思考
四.两直线的夹角 两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的
夹角（锐角）叫作两直线的夹角.
s2={m2,n2,p2} φ
s1={m1,n1,p1}
L2 L1
两直线的夹角的余弦公式 设直线 L1的方向向量s1={m1,n1,p1}, 设直线 L2的方向向量s2={m2,n2,p2}, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为：
一.空间直线的一般方程
实际上空间直线可以看作两个平面的交线： 直线上任一点的坐标同时满足两个平面方程,直 线外的点不可能同时在两个平面上。
2
B
L
L
C A
空间直来自百度文库一般方程表示式
A A2xxB B2yyCC2zzDD 2==00
例如:
xyz1=0 2xy3z4=0
L
空间直线一般方程表示所式以直线方程不唯一 .
对称式方程
对称式方程的建立 已知直线L上一点 M0(x0,y0,z0) 与一个方 向向量s={m,n,p}，M(x,y,z)是直线上任 一点,则
（1）向量 M 0M ={xx0,yy0,zz0} 与方 向向量 s={m,n,p}平行；
（2）两个向量坐标对应成比例；即有
xx0 =yy0 =zz0
mn
= 1 = 2.=.
22
4
四.直线与平面的夹角
• 定义直线与平面的夹角
设直线 L的方向向量 s={m,n,p} 设平面π的法线向量 n ={A,B,C} 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面π的夹角.记作φ.
直线与平面的夹角（图示）
这是平面π与 直线L的交角
s={m,n,p}
n={A,B,C}
则有
s
=
i 点的j 确k 定方法不唯一. 3 也2 可4以令y=1等等
2 1 3
=(64)i(89)j(43)k
即 s={-10, 17, -1}.
(2)求点M0 , 令方程组中 z=0,则由
3x2y11=0 2x y1=0
得M0 =(-9, 19, 0).故所 求直线方程L为：
=1i017jk
x= y= z 0
φθ
这是直线L与其在平 面π上投影的交角
L
L:xx0 =yy0 =zz0
mn
p
π
π Ax+By+Cz+D=0
四.直线与平面的夹角
已知直线L的方向向量为（m, n, p） n={A,B,C}
平面π的法向量为（A，B，C），则有
φ
s={m,n,p
θ
夹角公式：
cos =
| mAnBpC|
m2 n2 p2 A2 B2 C2
=cos( )=sin
2
两个结论：
1.若直线 L与平面π平行，则n⊥s，于是
L // m n A B p= C 0
L // π图示
L：
xx0 =yy0 =zz0
m
n
p
s={m,n,p}
πAx+By+Cz+D=0
π
s={m,n,p}
n={A,B,C}
2.若直线 L与平面π 垂直，则则n∥s，于是
co= s |m m 2nn2pp2|
m 2n2p2 m 22n22p22
两个结论：
1.若直线 L1与直线 L2平行，则有
L 1/L /2 s 1= k s 2 m m 1 2=n n 1 2=p p 1 2= k
两直线平行图示
π
2.若直线 L1与直线 L2 垂直，则有
L 1 L 2 c= o 0 m s 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 = 0
两直线垂直图示
图示
例题
已知直线
L L 2 1::x 2 x1 = 1= y 2 y2 4= =z z1 13求两直线的夹角.
解 由所给方程知 s1={1，-4，1},s2={2，-2，-1}，
代入夹角公式可得
co= s |1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 )| 1 2 ( 4 )2 1 2 2 2 ( 2 )2 ( 1 )2