实变函数论课后答案第二章1

实变函数论课后答案第二章1

第二章第一节

1.证明'0p E ∈的充要条件是对于任意含有0p 的邻域()0,N p δ（不一定以0p 为中心）中，恒有异于0p 的点1p 属于E （事实上这样的1p 其实还是有无穷多个）而0p 为E 的内点的充要条件则上有含有0p 的邻域()0,N p δ（同样，不一定以0p 为中心）存在，使()0,N p E δ⊂. 证明：先设'0p E ∈，则()00,,N p E δδ∀> 中有无穷多个点。现在设()00,p N p δ∈，这表明()00,p p ηρδ≤=<，

故()0,y N p δη∀∈-，有()()()00,,,y p y p p p ρρρδηηδ≤+<-+= 故()()0,,N p N p δηδ-⊂

故()0,N p E δη- 有无穷个点，自然有异于0p 的点()10,p N p E δη∈-

(),N p δ⊂.这就证明了必要性，事实上，(){}00,N p E p δη-- 是无穷集，故()

,N p δ

中有无穷多个异于0p 的E 中的点.

反过来，若任意含有0p 的邻域(),N p δ中，恒有异于0p 的点1p 属于E ，则0δ∀>， (),N p δ中，有异于0p 的点1p 属于E ，

记()101,p p ρδ=，则显然1δδ<

由条件()01,N p δ中有异于0p 的点2p E ∈，()2021,p p ρδδ=<

由归纳法易知，有{}11,1,2,,n n n n δδδδ+∀=<<< 和()01,n n p E N p δ-∈ ，

0,1,2,n p p n ≠=

这表明()0,N p δ中有无穷个E 中的点.由0δ>的任意性知，'0x E ∈

若0p 为E 的内点，则0,δ∃>使()0,N p E δ⊂，故必要性是显然的. 若存在邻域(),N p E δ⊂，使()0,p N p δ∈，则从前面的证明知 ()()()00,,,N p p p N p E δρδ-⊂⊂，故0p 为E 的内点.

2.设1

n

R R =是全体实数，1E 是[]0,1上的全部有理点，求'

11,E E .

解：[]0,1x ∀∈，由有理数的稠密性知，()()0,,,N x x x εεεε∀>=-+中有无穷个1E 中的点，故'1x E ∈，故[]'

10,1E ⊂.

而另一方面，[]0,1x ∀∉，必有0δ>，使()[]0,0,1N x δ=∅ ，故'01x E ∉ 故[]'

10,1E ⊂，所以[][]'

10,10,1E ⊂⊂.

表明[]'

10,1E =

而[][]'

11110,10,1E E E E ===

故[]'

110,1E E ==.

1. 设2n R R =是普通的xy 平面(){}222,;1E x y x y =+<，求'22,E E . 解：(){}'222,;1E x y x y =+≤

事实上，若()'

0002,p x y E =∈，则由于()2

2

,f x y x y =+是2R 上的连续函数，必存在

0δ>，使()()0,,x y N p δ∀∈有()2

2

,1f x y x y =+>.

故()02,N p E δ=∅ ，故0p 不是'

2E 中的点矛盾. 故22

001x y +≤时(){}220,;1p x y x y ∈+≤

反过来，若()(){}22000,,;1p x y x y x y =∈+≤ 则0δ∀>，作[]0,1上的函数()()()

()2

2

000000,f t tp p tx x ty y ρ==-+-

()

2

22

22

000011

t x y t x y =

-+=-+

则()f t 是[]0,1上的连续函数，()2

2

0001f x y =+≤，()10f =，01δ∀<<，

[]0,1t δ∃∈使()f t δδ=

现在任取()0,0min 1,ηδη>∃<<，使()()00,,N p N p δη⊂. 由上面的结论，存在01t δ<<，使()1f t δδ=<.

故0t p δ满足（1）00t p p δ≠；（2）0001t p t p t p t δδδδ==≤<.故02t p E δ∈ （3）()00,t p p δρδη=<，故()0,t p N p δη∈

所以(){}020,t p N p E p δη∈-

由习题1的结论知'02p E ∈，所以(){}'222,;1E x y x y =+≤. 而(){}''222222,;1E E E E x y x y ===+≤ .

2. 设2n R R =是普通的xy 平面，3E 是函数1sin 000

x y x

x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩

的图形上的点所作成的集

合，求'3E .

解：设函数的图形是()(){}{}'

1

31,;,,sin

;0x f x x R E x x R x ⎧⎫⎛⎫∈=∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭

(){}0,0 . 下证(){}'

330,;11E E δδ=-≤≤

()'

0003,p x y E =∈⇔存在()(){}300,,n n n p x y E x y =∈-，

()000,,n n n n n p x y p x x y y =→⇔→→，()0,0n p p ρ→

设()'

0003,p x y E =∈，则存在()(){}300,,n n x y E x y ∈-使00,n n x x y y →→

若00x ≠，则0n x ≠（当n 充分大） 则00

11sin

sin

n n

y y x x =→=

所以()003,x y E ∈

若00x ≠，则0n x →，01sin

n n

y y x =→，011y -≤≤

所以()(){}00,0,;11x y δδ∈-≤≤ 故(){}'

330,;11E E δδ⊂-≤≤

反过来：()(){}0003,0,;11p x y E δδ∀=∈-≤≤ ， 若00x ≠，00

1sin

y x =，

故存在0n x x ≠，使0n x ≠，0n x x →