江西省南昌市八年级(上)期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
1. 若一个三角形的三角条边长为 2，5，x，则 x 的取值范围是（ ）
A. 2<x<5
B. 3<x<7
C. 2≤x≤5
D. 3≤x≤7
2. 如图，一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图所示的残片，对 图中的哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三
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21. 如图，已知直线 l1∥l2，且 l3 和 l1，l2 分别交于 A，B 两点， 点 P 在直线 l3 上，且不和点 A，B 重合． （1）当点 P 在 A、B 两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3 之间 的数量关系，请说明理由 （2）如果点 P 在 A、B 两点外侧运动时，试探究∠1，∠2， ∠3 之间的关系，（直接写出结论即可）
是（ ）
A. (2,−3) B. (2,3) C. (3,−2)
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D. (3,2)
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 9. 在△ABC 中，若∠A+∠B=∠C，则△ABC 是______三角形． 10. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=20°，∠B=40°，∠C=30°，
角形玻璃（ ）
A. ∠A，∠B，∠C B. ∠A，线段 AB，∠B C. ∠A，线段 BC，线段 AB D. ∠B，∠C，线段 AD
3. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张
纸片原来的形状不可能是（ ）
A. 六边形
B. 五边形
C. 四边形
D. 三角形
4. 如图，直线 l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=35°，则
∠β 等于（ ）
A. 35∘
B. 30∘若一个三角形的外角和为 a，一个五边形的内角和为 b，则 a，b 的关系是（ ）
A. a=b
B. b−a=90∘
C. b=2a
D. b−a=180∘
6. 如图，若 AB=AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定
△ABE≌△ACD 的是（ ）
19. 在平面直角坐标系中，有点 A（a，1）、点 B（2，b）． （1）当 A、B 两点关于直线 y=-1 对称时，求△AOB 的面积； （2）当线段 AB∥x 轴，且 AB=4 时，求 a-b 的值．
20. 如图，已知 AB∥BC，点 E 为 CD 上一点，AE、BE 分 别平分∠DAB、∠CBA、BE 交 AD 的延长线于点 F． （1）求证：△ABF 是等腰三角形； （2）求证：AD+BC=AB．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：根据“两边之差＜第三边＜两边之和”得：5-2＜x＜5+2， 即 3＜x＜7， 故选：B． 根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边 的和． 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的 两边的差，而小于两边的和． 2.【答案】B
则∠ADC 的度数是______．
11. 若点 A（m+1，2）与点 B（4，n-1）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是______． 12. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E
在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则∠E=______ 度．
13. 在△ABC 中，AB=AC=4，∠C=15°，则△ABC 的面积是______． 14. 已知点 A（2，0）、B（2，4），以点 A、B、P（点 P 不与点 O 重合）为顶点的三
22. 如图 1，已知线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AC、BD，则我们把形如这样的图形 称为“8 字型”． （1）求证：∠A+∠C=∠B+D； （2）如图 2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线 AP 和 DP 相交于点 P，且与 CD、AB 分 别相交于点 M、N． ①以线段 AC 为边的“8 字型”有______个，以点 O 为交点的“8 字型”有______个； ②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P 的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB”，试探究∠P 与 ∠B、∠C 之间存在的数量关系，并证明理由．
【解析】
解：测量∠A，∠B 的度数和线段 AB 的长度， 做∠A′=∠A，A′B′=AB，∠B′=∠B， 在△A′B′C′和△ABC 中，
，
∴△A′B′C′≌△ABC（ASA）， 则可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃． 故选：B． 利用全等三角形的判定方法得出△A′B′C′≌△ABC（ASA），进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的应用，正确利用全等三角形的判定方法是解题 关键． 3.【答案】A
角形与△ABO 全等，则符合要求的点 P 坐标可以是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58.0 分） 15. 如图是 7×6 的正方形网格，点 A、B、C 在格点上，在图中确定格点 D，并画出以
A、B、C、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形（三个图形各不相同）．
16. 如图，将△ABC 沿直线 BC 向右平移到△A1B1C1 的位置， 延长 AC、A1B1 相交于点 D． （1）求证：∠A=∠D； （2）请写出图中 3 条不同类型的正确结论．
A. ∠B=∠C
B. AE=AD
C. BE=CD
D. ∠AEB=ADC
7. 若点 A（3，2）、B（3，-2），则点 A 与点 B 的关系是（ ）
A. 关于 x 轴对称
B. 关于直线 x=−1 对称
C. 关于 y 轴对称
D. 关于直线 y=−1 对称
8. 如图，正五边形 ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点 A （0，a）、B（-3，2）、C（c，m）、D（d，m），则点 E 的坐标
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17. 如图，△ABE 是等腰直角三角形，∠ABE=90°，BC=BD， ∠FAD=25°． （1）求证：△ABC≌△EBD； （2）求∠AEF 的度数．
18. 已知△ABC 中，AB=AC=8cm，∠A=50°，AB 的垂直平分线 MN 分别交 AB 于 D，交 AC 于 E，BC=6cm．求： （1）∠EBC 的度数； （2）△BEC 的周长．
2022-2023学年江西省南昌市十校联考八年级(上)期中数学试卷 含解析
2022-2023学年江西省南昌市十校联考八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．若点A（a﹣1，3）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）A．0B．﹣1C．1D．﹣23．下列四组线段，不能组成三角形的是（ ）A．2cm，3cm，3cm B．3cm，3cm，3cmC．2cm，6cm，5cm D．5cam，6cm，13cm4．如图，∠DAC＝∠BAC，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（ ）A．DC＝BC B．AB＝AD C．∠D＝∠B D．∠DCA＝∠BCA5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）A．41°B．42°C．43°D．44°6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF．正确的是（ ）A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．五边形ABCDE的内角都相等，则该五边形的一个内角的度数为 ．8．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，CM＝4，则点C到射线OA的距离为 ．9．如图所示，若一块三角形的玻璃被打碎成3块，你只能拿一块去玻璃店划一块和原玻璃一样的，你选 去，理由是 ．（只写判定定理）10．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝ ．11．如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 ．12．如图，△ABC中，∠C＝40°，D为△ABC中AC边上一点，将△ABC沿BD折叠得到△A′BD，若DA'∥BC，那么∠ADB＝ °．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．（6分）如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．BD和CE有怎样的关系？请说明理由．14．（6分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AB∥DE，AC∥DF．求证：AB＝DE，AC＝DF．15．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）线段CC′被直线l ．16．（6分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求∠A的度数；（2）若BD＝2，DE＝1，求CE的长．17．（6分）如图，蓝色的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．（8分）用24cm长的绳子围成一边长为6cm的等腰三角形，求这个等腰三角形的底边长．19．（8分）如图，已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．求证：（1）PO平分∠APB；（2）OP是AB的垂直平分线．20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于D．，，求△ABC 的面积．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，，点D是BC边上的任意一动点，点B与点B'关于直线AD对称．（1）求△ABC的面积；（2）当，且满足，求此时∠BDB'的度数；（3）连接BB'，当△BDB'中存在一个内角为100°时，求此时∠BAD的度数．22．（9分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且有BF＝CD，BD＝CE．（1）求证：△BDF≌△CED；（2）若设∠FDE＝α，则用α表示∠A．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）阅读下列材料，完成探究过程：若规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．那么，我们借助学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法对“全等四边形的判定”进行探究．【初步思考】在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．满足4个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等．类似地，我们容易知道两个四边形全等至少需要5个条件．某探究小组的同学在探究时发现：如果对图中的四边形ABCD与四边形A1B1C1D1先给出如下条件：AB＝A1B1、∠B＝∠B1、BC＝B1C1，并在此基础上又给出“AD＝A1D1，CD＝C1D1”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1”．请根据他们给出的条件，说明“四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1”的理由．【深入探究】（1）若在条件“AB＝A1B1、∠B＝∠B1、BC＝B1C1”的基础上，又添加两个条件“AD＝A1D1、∠BCD＝∠B1C1D1”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．（2）在条件“AB＝A1B1、∠B＝∠B1、BC＝B1C1”的基础上，再添加两个关于原四边形的条件（要求：不同于【初步思考】中给出过的条件），使四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．你添加的条件是① ，② ．（3）由以上探究过程，该小组的同学们得出结论：“四条边和一个角对应相等的两个四边形一定全等”，但是“三条边和二个角对应相等的两个四边形不一定全等”．随着进一步探究，该小组的同学们发现也可以对“二条边和三个角对应相等”进一步分类，如以四边形ABCD 和四边形A1B1C1D1为例，可以分为以下几类：①AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．上述分类中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是 （填序号），概括可得“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是 ．2022-2023学年江西省南昌市十校联考八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．2．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵点A（a﹣1，3）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣3，解得a＝3，b＝﹣2，所以，（a+b）2021＝（3﹣2）2021＝1．故选：C．3．【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．【解答】解：A、2+3＞3，能组成三角形，故此选项不符合题意；B、3+3＞3，能组成三角形，故此选项不符合题意；C、2+5＞6，能组成三角形，故此选项不符合题意；D、5+6＝11＜13，不能组成三角形，故此选项符合题意；故选：D．4．【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．【解答】解：A、DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，不能判定△ABC≌△ADC，故此选项符合题意；B、AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；C、∠B＝∠D，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，能利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；D、∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，能利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；故选：A．5．【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据线段的垂直平分线的性质得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠C，由直角三角形的性质得出∠C+∠BAC＝90°，求出x即可．【解答】解：设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．6．【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，再由三角形外角性质即可判断；③根据等腰三角形的判定即可判断；④根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，再根据三角形角平分线定义即可判断．【解答】解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE＝S△BCE，故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；根据已知条件不能提出∠HBC＝∠HCB，故③错误；∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是角平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故④正确，故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．【分析】根据五边形的各个内角都相等，可知五边形的各个外角都相等，多边形的外角和为360°，可得结论．【解答】解：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°．故答案为：108°．8．【分析】过C点作CN⊥OA于N，如图，根据角平分线的性质得到CN＝CM＝4，然后根据点到直线的距离的定义求解．【解答】解：过C点作CN⊥OA于N，如图，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，CN⊥OA，∴CN＝CM＝4，即点C到射线OA的距离为4．故答案为4．9．【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形即可得到结论．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．最省事的方法是应带③去，理由是：两角和夹边对应相等的两个三角形全等．故答案为：带③去，两角和夹边对应相等的两个三角形全等．10．【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝130°，∴∠ABF＝50°，∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，∴∠A＝20°．故答案为：20°．11．【分析】利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDF，则其对应角相等：∠3＝∠1，则∠2+∠3＝∠2+∠1＝90°．【解答】解：如图，在△ABC与△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SAS），∴∠3＝∠1，则∠2+∠3＝∠2+∠1＝90°．故答案为：90°．12．【分析】由平行线的性质得到∠A′BC＝∠A′，由折叠的性质得∠A＝∠A′＝∠A′BC，∠ABD＝∠A′BD，由三角形内角和定理求出∠A′BC+∠A′BD＝70°，根据三角形外角定理即可求出∠ADB．【解答】解：∵DA'∥BC，∴∠A′BC＝∠A′，由折叠的性质得∠A＝∠A′＝∠A′BC，∠ABD＝∠A′BD，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∠C＝40°，∴∠A+∠ABD+∠A′BD+∠C＝180°，∴2（∠A′BC+∠A′BD）+40°＝180°，∴∠A′BC+∠A′BD＝70°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝∠A′BC+∠A′BD+∠C＝70°+40°＝110°，故答案为：110．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．【分析】方法一：由AB＝AC，利用等边对等角得到一对角相等，同理由AD＝AE得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换可得出一对角相等，利用ASA得出三角形ABD与三角形AEC全等，利用全等三角形的对应边相等可得证；方法二：过A作AH垂直于BC于H点，由AB＝AC，利用三线合一得到H为BC中点，同理得到H为DE中点，利用等式的性质变换后可得证．【解答】方法一：证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），又∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE（等量代换），在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）；方法二：证明：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合），同理可证，DH＝EH，∴BH﹣DH＝CH﹣EH，∴BD＝CE．14．【分析】证明△ABC≌△DEF（ASA），由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BC＝EF，∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE，AC＝DF．15．【分析】（1）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用轴对称图形的性质得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）线段CC′被直线l垂直平分．故答案为：垂直平分．16．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；（2）首先利用勾股定理求得BE的长，再根据垂直平分线的性质可求解．【解答】解：（1）连接CD，∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）∵DE⊥BC，BD＝2，DE＝1，∴BE＝，∵DE垂直平分BC，∴CE＝BE＝．17．【分析】直接利用轴对称图形的性质得出答案．【解答】解：蓝色的三角形与三角形2，3，4成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有4条对称轴．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．【分析】分6是底边和腰长两种情况讨论求解．【解答】解：若6cm为底时，腰长＝（24﹣6）＝9cm，三角形的三边分别为6cm、9cm、9cm，能围成等腰三角形，若6cm为腰时，底边＝24﹣6×2＝12（cm），三角形的三边分别为6cm、6cm、12cm，∵6+6＝12，∴不能围成三角形，综上所述，底边长是6cm．19．【分析】（1）根据角平分线的性质得到PA＝PB，证明Rt△AOP≌Rt△BOP，根据全等三角形的性质证明；（2）根据线段垂直平分线的判定定理证明即可．【解答】证明：（1）∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PA＝PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴∠APO＝∠BPO，即PO平分∠APB；（2）∵Rt△AOP≌Rt△BOP，∴OA＝OB，又PA＝PB，∴OP是AB的垂直平分线．20．【分析】根据垂直定义可得∠ADC＝∠BDC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACD＝60°，进而可得∠BCD＝45°，然后再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝∠BCD＝45°，从而可得CD＝BD＝cm，进而求出AB的长，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠A＝30°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，∵∠ACB＝105°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝45°，∴∠B＝90°﹣∠BCD＝45°，∴∠B＝∠BCD＝45°，∴CD＝BD＝cm，∵AD＝cm，∴AB＝AD+BD＝（+）cm，∴△ABC的面积＝AB•CD＝×（+）×＝（+1）cm2，∴△ABC的面积为（+1）cm2．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．【分析】（1）作高线AH，根据直角三角形含30度角的性质可得AH的长，由三角形面积公式可得答案；（2）如图2，分别计算∠ADB＝∠ADB'＝60°，可得答案；（3）分两种情况：如图3：当BD＜BC时，如图4：当时，分别根据对称性和三角形内角和定理可得结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵AB＝8，∴AH＝4，∵，∴；（2）∵，∠BAC＝120°，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝90°，由（1）知：∠ABC＝30°，∴∠ADB＝60°，∵点B与点B'关于直线AD对称，∴∠ADB'＝∠ADB＝60°，∴∠BDB'＝∠ADB+∠ADB'＝60°+60°＝120°；（3）∵点B与点B'关于直线AD对称，∴∠DBB'＝∠DB'B≠100°，∴∠BDB'＝100°，①如图3，当，∵∠BDB'＝100°，BD＝DB'，∴∠DBB'＝40°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABB'＝30°+40°＝70°，由对称得：∠BAD＝∠DAB'，AB＝AB'，∴∠AB'B＝∠ABB'＝70°，∴∠BAB'＝180°﹣2×70°＝40°，∴∠BAD＝20°；②如图4，当，∵∠BDB'＝100°，∴∠BDA＝50°，∵∠ABC＝30°，∴∠BAD＝100°；综上所述，∠BAD＝20°或100°．22．【分析】首先证明∠B＝∠C，然后再利用SAS定理判定△BDF≌△CED即可，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF与△CED中，，∴△BDF≌△CED；（2）∵△BDF≌△CED，∴∠BFD＝∠CDE，∵∠FDE+∠CDE＝∠B+∠BFD，∴∠B＝∠FDE＝α，∴∠A＝180°﹣2∠B＝180°﹣2α．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．【分析】【初步思考】连接AC、A1C1，证△ABC≌△A1B1C1（SAS），得∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC＝A1C1，证△ADC≌△A1D1C1（SSS），得∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∠D＝∠D1，则∠BAD＝∠B1A1D1，∠BCD＝∠B1C1D1，由全等四边形的判定即可得出结论；【深入探究】（1）由【初步思考】得：△ABC≌△A1B1C1（SAS），则∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC ＝A1C1，得∠ACD＝∠A1C1D1”，但SSA不能证明△ADC≌△A1D1C1，即可得出结论；（2）由全等三角形的判定与性质和全等四边形的判定即可得出结论；（3）①连接BD、B1D1，由全等三角形的判定与性质和全等四边形的判定即可得出结论；②解法同①；③解法同①；④不能得到全等三角形，两个四边形不能全等；概括总结即可．【解答】【初步思考】证明：连接AC、A1C1，如图1所示：在△ABC和△A1B1C1中，，∴△ABC≌△A1B1C1（SAS），∴∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC＝A1C1，在△ADC和△A1D1C1中，，∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），∴∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∠D＝∠D1，∴∠BAD＝∠B1A1D1，∠BCD＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．【深入探究】解：（1）不能得到四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，理由如下：由【初步思考】得：△ABC≌△A1B1C1（SAS），∴∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC＝A1C1，添加两个条件“AD＝A1D1、∠BCD＝∠B1C1D1”时，则∠ACD＝∠A1C1D1”，但SSA不能证明△ADC≌△A1D1C1，则两个四边形不能满足四条边对应相等，四个角对应相等，∴不能得到四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，故答案为：不能；（2）添加条件为：∠BAD＝∠B1A1D1，AD＝A1D1，理由如下：由【初步思考】得：△ABC≌△A1B1C1（SAS），∴∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC＝A1C1，∵①∠BAD＝∠B1A1D1，∴∠DAC＝∠D1A1C1，在△ADC和△A1D1C1中，，∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），∴DC＝D1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∠D＝∠D1，∴∠BCD＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；故答案为：∠BAD＝∠B1A1D1，AD＝A1D1；（3）①连接BD、B1D1，如图2所示：同【初步思考】得：△ABD≌△A1B1D1（SAS），∴∠ABD＝∠A1B1D1，∠ADB＝∠A1D1B1，BD＝B1D1，∵∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∴∠ADC＝∠A1D1C1，∴∠CBD＝∠C1B1D1，∠BDC＝∠B1D1C1，在△BCD和△B1C1D1中，，∴△BCD≌△B1C1D1（ASA），∴BC＝B1C1，CD＝C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；②同①得：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；③同①得：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；④不能证出四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；概括可得“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是：有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等；故答案为：①②③，有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．。
江西省南昌市十校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
江西省南昌市十校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列各组线段中，能构成三角形的是（）A．2，5，7B．4，4，8C．4，5，6D．4，5，10 3．若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．到三角形各顶点距离相等的点是（）A．三条边垂直平分线交点B．三个内角平分线交点C．三条中线交点D．三条高交点5．如图，ABC DEF≌△△，点A与,D B与E分别是对应顶点，且测得5cm,7cmBC BF==，则EC长为()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm6．如图，在等边三角形ABC中，BD平分ABC∠交AC于点D，过点D作DE BC⊥于点E，且 1.5CE=，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5二、填空题10．如图，已知∠1=11．如图，在由边长为要在小方格的顶点确定一点满足条件的点C 的个数有12．如图所示，AC 7cm AB =，那么DE 三、解答题13．如图，在Rt ABC △中、90B Ð=°，AC DF =，BF EC =，且AB DE ∥．求证：AB DE =．16．如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是(1)格点ABC （顶点均在格点上）的面积(2)在DE 上画出点P ，使PB PC +17．如图，在ABC 中，AD 是BC F ，若BF AC =，3CD =，BD =18．如图，在△ABC ∆中，点D 、列三个条件：①∠EBO =∠DCO ；②BE CD =；③OB OC =．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC ∆是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．19．如图，ABC 中，点D 在边AC 延长线上，100ACB ∠=︒，BAC ∠的平分线交BD 于点E ，过点E 作EM AD ⊥，垂足为M ，且50CEM ∠=︒(1)求BCE ∠的度数．(2)求证：BE 平分CBF ∠．20．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，点D 是AC 的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ．（2）试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．21．如图，ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB BC 、方向匀速移动．(1)当点P 的运动速度是1cm/点都停止运动，设运动时间为(1)特例探索：若50A ∠=︒，则PBC PCB ∠+∠=______度；ABP ACP ∠+∠(2)类比探索：求ABP ∠，ACP ∠，A ∠的关系，并说明理由．(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P 在ABC 外，三角尺的两边经过点B 和点C ，求ABP ∠，ACP ∠，A ∠的关系，并说明理由．23．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又ACB ∠到ABC DAE △≌△.进而得到AC =，BC AE =．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；[模型应用]如图2，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________．[深入探究]如图3，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点．。
江西省南昌市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含答案)
南昌市2023—2024学年第一学期期中形成性测试八年级（初二）数学试卷说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．2023年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，是线段的垂直平分线，为直线上的一点，已知线段，则线段的长度为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在Rt 中，是角平分线，，则的面积为（）CD AB P CD 5PA =PB 3332b b b ⋅=()()2222x x x +-=-22(2)4a a -=222()a b a b +=+D AP BAC ∠SAS SSS AAS ASAABC △90,C AF ∠=︒35,2AB CF ==AFB △A ．5 B． C ． D ．6．如图，在Rt 中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为______________．8．分解因式：______________．9．如图所示，已知是上的一点，，请再添加一个条件：______________，使得．10．已知：，则______________．11．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交于点，若点为底边的中点．点为线段上一动点，则的周长的最小值为______________．11．已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．如图1，Rt 中，显然直线是的关于点的二分割线．在图2的中，，若直线是的关于点154152132ABC △90C ∠=︒ABC △ABC △()2,5y 22ax ay -=P AD ABP ACP ∠=∠ABP ACP △≌△2,3m na a ==2m n a +=ABC BC AB EF ,AB AC E F 、D BC M EF BDM △ABC △B ABC △B ABC △BD ABC △B ABC △110ABC ∠=︒BD ABC △B的二分割线，则的度数是______________．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）计算：（2）如图，点在一条直线上，，．求证：．14．先化简，再求值：，其中．15．如图所示，的顶点分别为．（1）画出关于直线（平行于轴且该直线上的点的横坐标均为2）对称的图形，则的坐标分别为（______________），（______________），（______________）；（2）求的面积．16．如果，那么我们规定，例如：因为，所以．（1）【理解】根据上述规定，填空：______________，______________；（2）【应用】若，试求之间的等量关系．17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅CDB ∠()()424242y y y y +÷--,,,B E C F ,B DEF BE CF ∠=∠=A D ∠=∠AB DE =()()()2232a b ab b b a b a b --÷-+-1,12a b ==-ABC △()()()2,3,4,1,1,2A B C ---ABC △2x =y 111A B C △111,,A B C 1A 1B 1C 111A B C △nx y =(),x y n =239=()3,92=()2,8=()2,4=()()()4,12,4,5,4,60a b c ===,,a b c 66⨯ABC △用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图．（1）在图1中，作边上的中线；（2）在图2中，作边上的高．四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，求楼高是多少米？19．如图，甲长方形的两边长分别为，面积为；乙长方形的两边长分别为．面积为（其中为正整数）．（1）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数；（2）试比较与的大小．20．如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，垂足为．AC BH AC BD AB CD P C PC 17DPC ∠=︒A PA 73APB ∠=︒P PB 33DB =AB 1,7m m ++1S 2,4m m ++2S m S 1S 1S S -1S 2S ABC △D AC E BC ,CE CD DM BC =⊥M（1）试问和有何数量关系？并证明之；（2）求证：是的中点．五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于______________；（2）观察图2，请直接写出下列三个代数式之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，试求的值；（4）如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．22．课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______________．问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接．DM DE M BE 2a 2b 22(),(),a b a b ab +-m n 、3,4mn m n =-=m n +C AB AC BC 、8AB =1226S S +=︒AOB 90,,AOB AO BO C ∠=︒=AB ,A B OC AOC △O 90︒BOD △A B CD①填空：______________；______________．②若，求的度数．结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．六、（本大题共12分）23．【探究发现】（1）如图1，中，，点为的中点，分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是______________．【类比应用】（2）如图2，中，，点为的中点，分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）在中，，点为的中点，分别为直线上两点，若满足，请直接写出的长．OC OD COD ∠=30AOC ∠=︒BDC ∠C AB ,A B AOC ∠BDC ∠ABC △,90AB AC BAC =∠=︒D BC E F 、AC AB 、90EDF ∠=︒AE AF AB 、、ABC △,120AB AC BAC =∠=︒D BC E F 、AC AB 、60EDF ∠=︒AE AF AB 、、ABC △5,120AB AC BAC ==∠=︒D BC E F 、AC AB 、1,60CE EDF =∠=︒AF南昌市2023—2024学年第一学期期中形成性测试八年级（初二）数学试卷参考答案一．选择题（共6小题）1.D2.B ．3.C ．4.B5.B6.C二．填空题（共6小题）7．（﹣2，5）．8． ． 9. ∠BAP=∠CAP 或∠APB=∠APC 或AP 平分∠BAC(答案不唯一) ．10. 12 11. 9． 12. 140°或90°或40°三．解答题13．（1）计算：解：（1）y 4+（y 2）4÷y 4﹣（﹣y 2）2＝y 4+y 8÷y 4﹣y 4＝y 4+y 4﹣y 4＝y 4；……………………3分（2）证明：∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF……………………1分在△ABC 和△EDF 中，∴△ABC ≌△DEF （AAS ），∴AB=DE……………………3分14.解：原式…………………1分…………………3分…………………4分将代入上式得，原式…………………6分15.，，，则为所求作的三角形，…………………4分如图所示：()()y x y x a -+⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC DEFB D A 22222()a ab b a b =----22222a ab b a b =---+2ab =-112a b ==-，12(1)2=-⨯⨯-1=()16,3A ()18,1B ()15,2C 111A B C △1111111111A B C DA C EB C FA B DEB F S S S S S =--- 矩形…………………6分16.解：（1）23＝8，（2，8）＝3，，（2，4）＝2，故答案为：3；2；……………………2分（2）证明：∵（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ，∴4a ＝12，4b ＝5，4c ＝60，∴4a ×4b ＝60，∴4a ×4b ＝4c ，∴a +b ＝c ；………………6分17.即中线BH 为所求 ………………3分即高BD 为所求 ………………6分18.，，，，………………2分在和中，，∴（ASA ）， (5)分11132132211222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯2=17CPD ∠=︒ 73APB ∠=︒90CDP ABP ∠=∠=︒73DCP APB ∴∠=∠=︒CPD ∆PAB ∆CDP ABP DC PBDCP APB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩CPD PAB ≅，米，米，………………7分（米)，答：楼高是25米．………………8分19.解：（1）图中的甲长方形周长为2（m +7+m +1）4＝4m +16，∴该正方形边长为m +4，∴S ﹣S 1＝（m +4）（m +4）﹣（m +1）（m +7）=(m 2+8m +16) -（m 2+8m +7）＝9，∴该正方形面积S 与图中的甲长方形面积S 1的差是一个常数9；……………4分（2）S 1＝（m +1）（m +7）＝m 2+8m +7，S 2＝（m +2）（m +4））＝m 2+6m +8，S 1﹣S 2＝（m 2+8m +7）﹣（m 2+6m +8）＝2m ﹣1，∵m 为正整数，∴2m ﹣1＞0，∴S 1＞S 2.……………………8分20.（1）DM 和DE 有何数量关系为：DE=2DM证明：∵三角形ABC 是等边△ABC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE ，又∵∠ACB ＝∠E +∠CDE ，∴∠E=∠ACB ＝30°；又∵∠DME=90°∴DE=2DM………………………4分（2）证明：连接BD ，∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC=∠ABC ＝30°由（1）知∠E ＝30°∴∠DBC ＝∠E ＝30°∴DB ＝DE又∵DM ⊥BC∴M 是BE 的中点．………………………8分21.（1）阴影部分的正方形边长为a -b ，故周长为4(a -b )=4a -4b ；故答案：4a -4b ；………………………1分（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab +(a -b )2，大正方形边长为a+b ，故面积也可表达为：(a +b )2，因此(a +b )2=(a -b )2+4ab ；故答案为:(a +b )2=(a -b )2+4ab ； (3)分为DP AB ∴=33DB = 8PB =33825AB ∴=-=AB（3）由(2)知：(m +n )2=(m -n )2+4mn ；………………………4分已知m -n =4，mn =-3；所以(m +n )2=42+4×(-3)=16-12=4；所以m +n =2或一2；………………………6分（4）设AC =a ，BC =b ；因为AB =8，S 1+S 2=26；所以a +b =8，a 2+b 2=26；因为(a +b )2=a 2+b 2+2ab ，所以64=26+2ab ，解得ab =19，由题意：∠ACF =90°，所以S 阴影=ab =，故答案为：．………………………9分22.解：（1）∵三角形的内角和为180°，等腰直角三角形的两个锐角相等，∴它的两个锐角都是；故答案为：．………………………1分（2）①根据旋转可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，故答案为：．………………………3分②∵等腰直角三角形中，，∴，∵，∴∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴………………………7分（3）当在上时，1219219245︒45ACO BDO ≌AOC BOD ∠=∠OC OD=90COD AOB ∠=∠=︒COD △90=︒，AOB 90,AOB AO BO ∠=︒=45A ∠=︒30AOC ∠=︒105ACO ∠=︒ACO BDO≌105BDO ∠=︒COD △45CDO ∠=︒60BDC BDO CDO ∠=∠-∠=︒C AB∵，∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴即；………………………8分当在的延长线上时，如图所示，∵，∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴即；当在的延长线上，如图所示，∵，∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴即；………………………9分综上所述，或．23.（1）()180135ACO A AOC AOC ∠=︒-∠+∠=︒-∠ACO BDO≌135BDO AOC AOC∠=∠=︒-∠COD △45CDO ∠=︒90BDC BDO CDO AOC∠=∠-∠=︒-∠90AOC BDC ∠+∠=︒C BA 45ACO AOC ∠=︒-∠ACO BDO≌45BDO AOC AOC∠=∠=︒-∠COD △45CDO ∠=︒454590BDC BDO CDO AOC AOC ∠=∠+∠=︒+︒-∠=︒-∠90AOC BDC ∠+∠=︒C AB 180135ACO BAC AOC AOC ∠=-∠-∠=︒-∠ACO BDO≌135BDO AOC AOC∠=∠=︒-∠COD △45CDO ∠=︒()4513590BDC CDO BDO AOC AOC ∠=∠-∠=︒-︒-∠=∠-︒90AOC BDC ∠-︒=∠90AOC BDC ∠+∠=︒90AOC BDC ∠-︒=∠如图1，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，∴∠ADB ＝∠ADF +∠BDF ＝90°，∵∠EDF ＝∠ADE +∠ADF ＝90°，∴∠BDF ＝∠ADE ，∵BD ＝AD ，∠B ＝∠CAD ＝45°，∴△BDF ≌△ADE （ASA ），∴BF ＝AE ，∴AB ＝AF +BF ＝AF +AE ；故答案为：AB ＝AF +AE ；………………………2分（2）AE +AF＝AB ．理由是：………………………4分如图2，作AG=AD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝60°，AD ⊥BC又∵AG=AD∴△AGD 为等边三角形∴DG ＝AG ＝AD∴∠GDA ＝∠BAD ＝60°，即∠GDF +∠FDA ＝60°，又∵∠FAD +∠ADE ＝∠FDE ＝60°，∴∠GDF ＝∠ADE ，在和中，12GDF ∆ADE ∆，∴（ASA ）∴GF ＝AE ，∵AD ⊥BC ，∠BAD=60°∴∠B=90°-60°=30°又∵∠AGD=60°∴∠GDB=∠AGD-∠B=60°-30°=30°∴BG=GD又∵GD=AG∴AG=BG∴AG＝AB ＝AF +FG ＝AE +AF ，∴AE +AF ＝AB ；………………………8分（3）当点E 在线段AC 上时，如图3，作AH=AD 同理可得△AD H 为等边三角形当AB ＝AC ＝5，CE ＝1，∠EDF ＝60°时，AE ＝4，此时F 在BA 的延长线上，∴∠DAF=180-∠BAD=180°-60°=120° ∠DHC=180-∠AHD=180°-60°=120°∴∠FAD=∠CHD=120°同（2）可得：△ADF ≌△HDE （ASA ），∴AF ＝HE ，同（2）可得：DH=HC ，AH=DH∴AH=HC∵AH ＝CH ＝AC ＝，CE ＝1，∴，GDF ADE DG ADAGD DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩GDF ADE ≅ 1212125253122AF HE CH CE ==-=-=当点E 在AC 延长线上时，如图4，同理可得：；综上：AF 的长为或．………………………12分57122AF HE CH CE ==+=+=3272。
江西省南昌市七校联考2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷
江西省南昌市七校联考2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形第三边长可能是（）A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．10cm3．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去4．如图，ABC V 中，70C ∠=︒，若沿图中虚线截去C ∠，则12∠+∠=（）A ．140B ．130C ．230D ．2505．如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15°，再前进10m ，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了米数是（）A ．120B ．150C ．240D ．3606．如图，△ABC ≌△ADE ，点D 在BC 上，且∠B ＝60°，则∠EDC 的度数等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°7．如图，DE 是△ABC 中边AC 的垂直平分线，若BC ＝18cm ，AB ＝10cm ，则△ABD 的周长为（）A ．16cmB ．28cmC ．26cmD ．18cm8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ，若CD ＝5，AB ＝18，则△ABD 的面积是（）A ．15B ．30C ．60D ．45二、填空题9．如图，120ACD ∠=︒，20B ∠=︒，则A ∠的度数是度．10．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是边形．11．等腰三角形的一个外角为100︒，那么它的一个底角为．12．如图，在△ABC 中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=．13．如图，在ABC V 中，D ，E ，F 分别为BC ，A ，C 的中点，且24cm ABC S = ，则BEF S =2cm ．14．如图，60AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE △是等腰三角形，那么OEC ∠的度数为．三、解答题15．如图，在平面直角坐标系中，(3,2)A -，(4,3)B --，(1,1)C --．(1)在图中作出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △并写出点1A 、1B 、1C 的坐标（直接写答案）：1A ______1B ______1C ______(2)在y 轴上画出点P ，使PB PC +最小．16．王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(),90AC BC ACB =∠=︒，点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．17．如图，AD 是ABC V 的高，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ．若7664C BED ∠=︒∠=︒，．求BAC ∠的度数．18．图，AC ⊥CB ，DB ⊥CB ，垂足分别为C ，B ，AB ，CD 相交于点O ，AB =DC ．求证：OB =OC ．19．已知点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB AC =，.ABE ACD ∠=∠(1)如图①，求证：.AD AE =(2)如图②，若BE CD 、交于点P ，连接BC ，求证：.PB PC =20．已知，如图，ABC V 是等边三角形，AE CD =，BQ AD ⊥于Q ，BE 交AD 于点P ，求证：(1)ABE CAD ≌；(2)2.BP PQ =21．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：AD ⊥EF ．22．在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作△ADE ，使AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC =90°，则∠BCE =度；（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．。
八年级数学(上)期中试卷和答案详解
2021-2022学年江西省南昌八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．3cm，4cm，9cm B．5cm，6cm，11cmC．4cm，5cm，6cm D．4cm，10cm，4cm3．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为（）A．48°B．54°C．74°D．78°4．（3分）下列方法中，不能判定三角形全等的是（）A．SSA B．SSS C．ASA D．SAS5．（3分）正六边形的每个内角都是（）A．60°B．80°C．100°D．120°6．（3分）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…，按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则∠A2021B2021O 等于（）A．度B．度C．度D．度二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为．8．（3分）如图，线段AC与BD交于点O，且OA＝OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，这个条件是．9．（3分）已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为．10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝25cm，则△DEB的周长为cm．11．（3分）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有个．12．（3分）已知：P（0，4），PQ＝5，点Q在坐标轴上，则点Q的坐标为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．14．（6分）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边，若a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，求△ABC的周长．15．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．16．（6分）如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在每一个图中，作出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形．（画两个，不能重复）17．（6分）如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM 交BN于点P．求证：△ABM≌△BCN．四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，△ABE为等腰直角三角形，∠ABE＝90°，BC＝BD．（1）求证：△ABC≌△EBD；（2）求证：AF⊥DE．19．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，BF∥AC，交ED的延长线于点F．（1）若AD恰好平分BC．求证：DE＝DF；（2）若BC恰好平分∠ABF．求证：DE＝DF．20．（8分）如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，已知：∠APB＝135°．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）过点P作PH⊥AD交AC于点H，PH与BC的延长线相交于点F．求证：PA＝PF．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）在数学活动课上，小华用一块等腰直角三角板AEB进行探究：其中AE＝BE，∠AEB＝90°．【发现】如图1，小华把△AEB的直角顶点E放置在直线m上，使点A、B分别位于直线m的同侧，作AC⊥m，BD⊥m，分别交直线m于点C、D，这时，小华通过观察发现△ACE与△EDB全等，请说明理由；【探究】小华借助发现中的结论，发现当点A、B位于直线的同侧时，线段AC、CD和BD之间满足一个等量关系，请你写出这个等量关系式，并说明理由；【拓展】如图2，小华把三角板的直角顶点E放在直线m上旋转，使点A、B分别位于直线m的两侧，作AC⊥m，BD⊥m，分别交直线m于点C、D，请直接写出AC、CD和BD这三条线段之间的数量关系：．22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B（2，0），C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直线DB交y 轴于点P．（1）求证：AO＝AB；（2）求证：△AOC≌△ABD；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？六、解答题（本大题共12分）23．（12分）【概念学习】如图1，2，已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．【理解应用】（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①等边三角形存在等角点：；②等腰直角三角形存在等角点：；③内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点：；④任意的三角形都存在等角点：；【深入理解】（2）如图1，点P是锐角△ABC的等角点，且△PBC与△ABC的三个内角分别相等，已知：若∠BAC＝50°，∠PBA＝∠PCA＝10°，求∠ABC的度数；（3）如图2，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PCB，探究∠BPC、∠ACB、∠ABP之间的数量关系，并说明理由．2021-2022学年江西省南昌八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（3分）下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．3cm，4cm，9cm B．5cm，6cm，11cmC．4cm，5cm，6cm D．4cm，10cm，4cm【考点】三角形三边关系．【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得A、3+4＝7＜9，不能组成三角形，故此选项错误；B、5+6＝11，不能组成三角形，故此选项错误；C、4+5＞6，能够组成三角形，故此选项正确；D、4+4＜10，不能组成三角形，故此选项错误．故选：C．3．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为（）A．48°B．54°C．74°D．78°【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．【分析】由对称得到∠C＝∠C′＝48°，由三角形内角和定理得∠B＝54°，由轴对称的性质知∠B＝∠B′＝54°．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝78°，∠C＝∠C′＝48°，∴∠B＝180°﹣78°﹣48°＝54°∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠B＝∠B′＝54°．故选：B．4．（3分）下列方法中，不能判定三角形全等的是（）A．SSA B．SSS C．ASA D．SAS【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定定理可直接得到答案．【解答】解：SSA不能判定三角形全等，故选：A．5．（3分）正六边形的每个内角都是（）A．60°B．80°C．100°D．120°【考点】多边形内角与外角．【分析】先利用多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，然后除以6即可；或：先利用多边形的外角和除以正多边形的边数，求出每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算．【解答】解：（6﹣2）•180°＝720°，所以，正六边形的每个内角都是720°÷6＝120°，或：360°÷6＝60°，180°﹣60°＝120°．故选：D．6．（3分）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…，按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则∠A2021B2021O 等于（）A．度B．度C．度D．度【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论．【解答】解：∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，∴∠A2B2O＝α，同理∠A3B3O＝∠A2B2O＝α，∠A4B4O＝α，∴∠A n B n O＝α，∴∠A2021B2021O＝，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣3）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可．【解答】解：∵点P（2，3）∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．8．（3分）如图，线段AC与BD交于点O，且OA＝OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，这个条件是∠A＝∠C，∠B＝∠D，OD＝OB，AB∥CD．【考点】全等三角形的判定．【分析】本题要判定△OAB≌△OCD，已知OA＝OC，∠AOB＝∠COD，具备了一组边对应相等和一组角对应相等，故添加∠A＝∠C，∠B＝∠D，OD＝OB，AB∥CD后可分别根据ASA、AAS、SAS、AAS判定△OAB≌△OCD．【解答】解：∵OA＝OC，∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD（ASA）．∵OA＝OC，∠B＝∠D，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD（AAS）．∵OA＝OC，OD＝OB，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD（SAS）．∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D（两直线平行，内错角相等），∵OA＝OC，∴△OAB≌△OCD（AAS）．故填∠A＝∠C，∠B＝∠D，OD＝OB，AB∥CD．9．（3分）已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为20°或80°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】题中没有指明这两个角是都是底角还是一个底角一个顶角，故应该分两种情况进行分析：100°是顶角和一底角的和；100°是两底角的和．【解答】解：①当100°是顶角和一底角的和，则另一个底角＝180°﹣100°＝80°，所以顶角＝100°﹣80°＝20°；②当100°是两底角的和，则顶角＝180°﹣100°＝80°；综上所述，此等腰三角形的顶角为：20°或80°．故答案为：20°或80°10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝25cm，则△DEB的周长为25cm．【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】证明△ACD≌△ECD，根据全等三角形的性质得到AC＝EC，AD＝ED，根据等腰直角三角形的性质得到BE＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，在△ACD和△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（AAS），∴AC＝EC，AD＝ED，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∴BE＝DE，∴△DEB的周长＝DE+BE+BD＝AD+BD+BE＝AB+BE＝AC+BE＝EC+BE＝BC＝25cm，故答案为：25．11．（3分）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个．【考点】等腰三角形的判定．【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【解答】解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8．故答案为8．12．（3分）已知：P（0，4），PQ＝5，点Q在坐标轴上，则点Q的坐标为（3，0），（﹣3，0），（0，9），（0，﹣1）．【考点】点的坐标．【分析】分点P在x轴和y轴两种情况讨论解答即可．【解答】解：如图，当点P在x轴上时，点Q的坐标为（﹣3，0）或（3，0）；当点P在y轴上时，点Q的坐标为（0，9）或（0，﹣1）；故答案为：（3，0），（﹣3，0），（0，9），（0，﹣1）．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．【解答】解：设这个多边形的边数是n，依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，n﹣2＝6﹣1，n＝7．∴这个多边形的边数是7．14．（6分）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边，若a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，求△ABC的周长．【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据等腰三角形的性质以及三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c，再计算△ABC的周长即可求解．【解答】解：由题意知：a﹣7＝0，b﹣1＝0，解得a＝7，b＝1，∵a，b，c是等腰△ABC的三条边，∴c＝7，∴△ABC的周长＝7+7+1＝15．15．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．【考点】三角形内角和定理．【分析】在直角△ACD中，求得∠CAD，然后利用角平分线的定义求得∠CAE的度数，根据∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD可以求解．【解答】解：∵AD是高线，∴在直角△ACD中，∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°；∵在△ABC中，∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵AE是角的平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝50°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°．16．（6分）如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在每一个图中，作出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形．（画两个，不能重复）【考点】作图﹣轴对称变换．【分析】根据轴对称图形的概念作图即可．【解答】解：如图所示，△BDE和△AMN即为所求（答案不唯一）．17．（6分）如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM 交BN于点P．求证：△ABM≌△BCN．【考点】全等三角形的判定．【分析】利用正五边形的性质得出AB＝BC，∠ABM＝∠C，再利用全等三角形的判定即可证明△ABM≌△BCN．【解答】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，∴在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（SAS）．四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，△ABE为等腰直角三角形，∠ABE＝90°，BC＝BD．（1）求证：△ABC≌△EBD；（2）求证：AF⊥DE．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据SAS即可证明；（2）利用全等三角形的性质即可解决问题．【解答】证明：（1）∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠ABE＝90°，∴∠EBD＝90°，∴∠ABE＝∠EBD，在△ABC与△BDE中，，∴△ABC≌△EBD（SAS）．证明：（2）∵△ABC≌△EBD，∴∠BAC＝∠BED，∵∠BED+∠D＝90°，∴∠BAC+∠D＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠AFE＝90°，∴AF⊥DE．19．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，BF∥AC，交ED的延长线于点F．（1）若AD恰好平分BC．求证：DE＝DF；（2）若BC恰好平分∠ABF．求证：DE＝DF．【考点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】（1）由已知条件可得DB＝DC，再由平行线的性质得∠CED＝∠BFD＝90°，从而有∠ACB＝∠FBC，则可证得△CDE≌△BDF，即有DE＝DF；（2）证明△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到DB＝DC，根据全等三角形的判定定理和性质定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD恰好平分BC，∴DB＝DC，∵DE⊥AC，BF∥AC，∴∠CED＝∠BFD＝90°，∠ACB＝∠FBC，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（AAS），∴DE＝DF；（2）∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠FBC，∵BF∥AC，∴∠ACB＝∠FBC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴DB＝DC，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF．20．（8分）如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，已知：∠APB＝135°．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）过点P作PH⊥AD交AC于点H，PH与BC的延长线相交于点F．求证：PA＝PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】（1）根据直角三角形的判定解答即可；（2）根据ASA证明△ABP与△FBP全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°，∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠PAB＝∠PAC＝∠BAC，∠ABP＝∠PBC＝∠ABC，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠PAB+∠PBA）＝90°，∴△ABC为直角三角形；（2）∵∠APB＝135°，∴∠BPD＝45°，∵PH⊥AD，∴∠APH＝∠FPD＝90°，∴∠BPF＝135°，，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴PA＝PF．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）在数学活动课上，小华用一块等腰直角三角板AEB进行探究：其中AE＝BE，∠AEB＝90°．【发现】如图1，小华把△AEB的直角顶点E放置在直线m上，使点A、B分别位于直线m的同侧，作AC⊥m，BD⊥m，分别交直线m于点C、D，这时，小华通过观察发现△ACE与△EDB全等，请说明理由；【探究】小华借助发现中的结论，发现当点A、B位于直线的同侧时，线段AC、CD和BD之间满足一个等量关系，请你写出这个等量关系式，并说明理由；【拓展】如图2，小华把三角板的直角顶点E放在直线m上旋转，使点A、B分别位于直线m的两侧，作AC⊥m，BD⊥m，分别交直线m于点C、D，请直接写出AC、CD和BD这三条线段之间的数量关系：AC＝BD+CD．【考点】几何变换综合题．【分析】【发现】根据同角的余角相等，可证∠CAE＝∠BED，通过AAS即可证明△ACE ≌△EDB；【探究】由△ACE≌△EDB得，AC＝ED，CE＝BD，即可得出CD＝AC+BD；【拓展】同理可证△AEC≌△BED，则AC＝ED，EC＝BD，从而AC＝BD+CD．【解答】解：【发现】∵∠ACE＝∠BDC＝∠AEB＝90°，∴∠CAE+∠AEC＝90°，∠CEA+∠BED＝90°，∴∠CAE＝∠BED，，∴△ACE≌△EDB（AAS）；【探究】CD＝AC+BD，理由如下：∵△ACE≌△EDB，∴AC＝ED，CE＝BD，∵CD＝CE+DE，∴CD＝AC+BD；【拓展】AC＝BD+CD，理由如下：∵∠AEB＝∠ACE＝∠BDE＝90°，∴∠EAC＝90°﹣∠AEC，∠AEC＝90°﹣∠BED，∴∠EAC＝∠BED，又∵AE＝BE，∴△AEC≌△BED（AAS），∴AC＝ED，EC＝BD，∴AC＝BD+CD；故答案为：AC＝BD+CD．22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B（2，0），C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直线DB交y 轴于点P．（1）求证：AO＝AB；（2）求证：△AOC≌△ABD；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？【考点】三角形综合题．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE⊥OB于点E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD＝∠OAB，得出∠OAC＝∠BAD，再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB；（3）设∠AOB＝∠ABO＝α，由全等三角形的性质可得出∠ABD＝∠AOB＝α，故∠OBP ＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣2α为定值，再由OB＝2，∠POB＝90°可知OP的长度不变，故可得出结论．【解答】（1）证明：作AE⊥OB于点E，∵A（1，3），B（2，0），∴OE＝1，BE＝2﹣1＝1，∴OE＝EB，在△AEO与△AEB中，，∴△AEO≌△AEB（SAS），∴AO＝AB；（2）证明：∵∠CAD＝∠OAB，∴∠CAD+∠BAC＝∠OAB+∠BAC，即∠OAC＝∠BAD，在△AOC与△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS）；（3）解：点P在y轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB＝∠ABO＝α（定值），∵由（2）知，△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOB＝α，∵OB＝2，∠OBP＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣2α为定值，∠POB＝90°，∴OP长度不变，∴点P在y轴上的位置不发生改变．六、解答题（本大题共12分）23．（12分）【概念学习】如图1，2，已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．【理解应用】（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①等边三角形存在等角点：假命题；②等腰直角三角形存在等角点：假命题；③内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点：真命题；④任意的三角形都存在等角点：假命题；【深入理解】（2）如图1，点P是锐角△ABC的等角点，且△PBC与△ABC的三个内角分别相等，已知：若∠BAC＝50°，∠PBA＝∠PCA＝10°，求∠ABC的度数；（3）如图2，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PCB，探究∠BPC、∠ACB、∠ABP之间的数量关系，并说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据点P为△ABC的等角点的定义判断即可；（2）分两种情形：当∠BAC＝∠PBC＝50°时，∠ABC＝60°．当∠BAC＝∠PCB＝50°时，分别求解即可；（3）结论：∠BPC＝∠ABP+∠ACB．利用三角形内角和定理，解决问题即可．【解答】解：（1）①等边三角形存在等角点，是假命题；②等腰直角三角形存在等角点，是假命题；③内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，是真命题；④任意的三角形都存在等角点，是假命题．故答案为：假命题，假命题，真命题，假命题；（2）当∠BAC＝∠PBC＝50°时，∠ABC＝60°．当∠BAC＝∠PCB＝50°时，∠ACB＝∠PCA+∠PCB＝10°+50°＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，综上所述，满足条件的∠ABC＝60°或70°；（3）结论：∠BPC＝∠ABP+∠ACB．理由：∵∠BAC＝∠BCP，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACB﹣∠PCB＝∠ABP+∠BAC+∠ACB﹣∠BAC＝∠ABP+∠ACB，∴∠BPC＝∠ABP+∠ACB．。
江西省南昌市八年级(上)期中数学试卷(含解析)
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，有A（3，3）、B（3，﹣3）两点，则A与B关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称3．若△ABC中，2（∠A+∠C）＝3∠B，则∠B的外角度数为何（）A．36B．72C．108D．1444．如图，若△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是（）A．∠2＝∠1B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．BC＝DC5．有四根长度分别为3，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则组成的三角形的周长（）A．最小值是11B．最小值是12C．最大值是14D．最大值是156．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．67．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个直角，那么打开以后的形状是（）A．六边形B．八边形C．十二边形D．十六边形8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝度．10．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝．11．一个等腰三角形的一个角为100°，则这个等腰三角形的底角的度数是．12．如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是．13．在平面直角坐标系中，有A（﹣2，4）、B（4，2）两点，若在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是．14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”其中角α称为“倍角”．若“倍角三角形”中有一个内角为36°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是三、解答題（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．如图，AB＝AC，BD＝CD．（1）求证：∠B＝∠C（2）若∠A＝2∠B，求证：∠BDC＝4∠C．16．已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？17．如图，在棋盘中有A（﹣1，1）、O（0，0）、B（1，0）三个棋子，若再添加一个棋子A、O、B、P四个棋子成为一个轴对称图形，请在三个图中分别画出三种不同的对称轴分别写出棋子P的坐标．18．如图，已知AD平分∠BAC，且∠1＝∠2．（1）求证：BD＝CD（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，∠CAB与∠BD的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．20．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝AE．（1）如图1，当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，求∠EDC的度数；（2）如图2，当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的关系，并加以证明．21．如图，AD平分∠BAC，且∠B+∠C＝180°（1）在图1中，当∠B＝90°时，求证：BD＝CD；（2）在图2中，当∠B＝60°时，求证：AB﹣AC＝BD；五、探究（本大题共1小题，共10分）22．【问题探究】将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；【拓展延伸】（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、B、D都是轴对称图形，C不是轴对称图形，故选：C．2．在平面直角坐标系中，有A（3，3）、B（3，﹣3）两点，则A与B关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称【解答】解：∵A（3，3）、B（3，﹣3）两点，∴A与B关于关于x轴对称，故选：A．3．若△ABC中，2（∠A+∠C）＝3∠B，则∠B的外角度数为何（）A．36B．72C．108D．144【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2（∠A+∠B+∠C）＝360°，∵2（∠A+∠C）＝3∠B，∴∠B＝72°，∴∠B的外角度数是180°﹣∠B＝108°，故选：C．4．如图，若△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是（）A．∠2＝∠1B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．BC＝DC【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∴∠1＝∠2，AC＝CA，∠B＝∠D，BC＝AD，故只有选项D，BC＝DC错误．故选：D．5．有四根长度分别为3，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则组成的三角形的周长（）A．最小值是11B．最小值是12C．最大值是14D．最大值是15【解答】解：由题意知，3，4，x和3，5，x都能组成三角形，∴2＜x＜7，∵x为正整数，∴x取3或4或5或6，要组成三角形的周长最小，即：x＝3时，三边为3，3，4，其最小周长为3+3+4＝10；要组成的三角形的周长最大，即：x＝6，三边为4，5，6，其周长最大值为4+5+6＝15．故选：D．6．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝4，故选：B．7．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个直角，那么打开以后的形状是（）A．六边形B．八边形C．十二边形D．十六边形【解答】解：此题需动手操作，因为剪去的角是直角，通过折叠可知是八边形．故选：B．8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣α）＝180°﹣α，则∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣α）＝α．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝70度．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°．10．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝132°．【解答】解：正五边形的内角为＝108°，正六边形的内角为＝120°，∠BAC＝360°﹣108°﹣120°＝132°，故答案为：132°．11．一个等腰三角形的一个角为100°，则这个等腰三角形的底角的度数是40°．【解答】解：∵100°为三角形的顶角，∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°．故答案为：40°．12．如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是80°．【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS），∴∠BAC＝∠EAD，∵∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；故答案为：80°．13．在平面直角坐标系中，有A（﹣2，4）、B（4，2）两点，若在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（2，0）．【解答】解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小，∵A（﹣2，4），∴C（﹣2，﹣4），设直线CB的解析式是y＝kx+b，把C、B的坐标代入得解得：k＝1，b＝﹣2，把y＝0代入得：0＝x﹣2，解得x＝2，即P的坐标是（2，0），故答案为（2，0）14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”其中角α称为“倍角”．若“倍角三角形”中有一个内角为36°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是36°或72°或96°【解答】解：设三角形的三个内角为∠A，∠B，∠C，当∠A＝36°，∠A是∠C的2倍，则∠C＝18°，如果∠B是∠C的2倍，∵∠B+∠C＝144°，∴∠B＝96°，∠C＝48°，如果∠B是∠A的2倍，∵∠B＝2∠A＝72°，∴这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是36°，72°，96°，故答案为：36°或72°或96°．三、解答題（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．如图，AB＝AC，BD＝CD．（1）求证：∠B＝∠C（2）若∠A＝2∠B，求证：∠BDC＝4∠C．【解答】（1）证明：连接AD并延长至E，如图所示：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠B＝∠C；（2）在△ABD中，∠BDE＝∠BAD+∠B，在△ACD中，∠CDE＝∠BAD+∠C，∴∠BDE＝+∠CDE＝∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，∵∠BAC＝2∠B，∠B＝∠C，∴∠BDC＝4∠C．16．已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？【解答】解：（1）由三角形的构造条件，得2＜x＜10，∵x为最小，∴x的取值范围是2＜x≤4．（2）当x＝4时，三角形的周长最大，且最大值是4+6+4＝14．17．如图，在棋盘中有A（﹣1，1）、O（0，0）、B（1，0）三个棋子，若再添加一个棋子A、O、B、P四个棋子成为一个轴对称图形，请在三个图中分别画出三种不同的对称轴分别写出棋子P的坐标．【解答】解：如图所示，棋子P的坐标分别为（﹣1，﹣1），（2，1），（0，﹣1），（﹣1，2）．（答案不唯一）18．如图，已知AD平分∠BAC，且∠1＝∠2．（1）求证：BD＝CD（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴BD＝CD；（2）解：AD⊥BC，理由如下：由（1）得：△ABD≌△ACD，∴AB＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，∠CAB与∠BD的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．【解答】证明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∴∠B+∠C＝2∠P．20．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝AE．（1）如图1，当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，求∠EDC的度数；（2）如图2，当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的关系，并加以证明．【解答】解：（1）∵AD是边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）∠BAD＝2∠EDC，理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠∠EDC＝∠C+2∠EDC，∴∠BAD＝2∠EDC．21．如图，AD平分∠BAC，且∠B+∠C＝180°（1）在图1中，当∠B＝90°时，求证：BD＝CD；（2）在图2中，当∠B＝60°时，求证：AB﹣AC＝BD；【解答】（1）证明：∵B+∠C＝180°，∠B＝90°，∴∠C＝90°，∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD；（2）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图2所示：则∠DEB＝∠DFC＝90°，∵∠B+∠ACD＝180°，∠DCF+∠ACD＝180°，∴∠B＝∠DCF，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BD＝CD，BE＝CF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴AB﹣AC＝AE+BE﹣（AF﹣CF）＝2BE，在Rt△BDE中，∠B＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD，即2BE＝BD，∴AB＝AC＝BD．五、探究（本大题共1小题，共10分）22．【问题探究】将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；【拓展延伸】（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A；（2）如图2，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）如图3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由：∵∠2+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，理由：∵∠1+2∠AEF＝180°，∠2+2∠DFE＝180°，∴∠1+∠2+2∠AEF+2∠DFE＝360°，∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，∴2∠A+2∠D+2∠AEF+2∠DFE＝720°，∴∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°．11。
江西省南昌民德学校2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
2023~2024学年度八年级上学期期中综合评估数学►上册11.1~13.3.1◄说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.2. 必须使用黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分.1. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 已知一个三角形三边的长分别为7，a，3，则a的值可能为（）A. 2B. 4C. 8D. 103. 如果一个多边形的边数增加2，那么关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（）A. 内角和、外角和均增加B. 外角和不变，内角和增加C. 内角和不变，外角和增加D. 内角和、外角和均不变4. 如图，已知，，要使，可添加的条件是（）A. B. C. D.5. 已知点与点关于y轴对称，则的值为（）A. －7B. －1C. 1D. 76. 两个底角为、顶角为的等腰三角形，叫做“黄金三角形”，这种三角形既美观又标准.如图，在中，，，BD，CE为的角平分线，则图中“黄金三角形”的个数是（）A. 1B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 在中，，则的度数为______.8. 正n边形的一个内角为，则n的值是______.9. 如图，这是由4个相同的小正方形组成的田字格，则的度数为______.第9题图10. 如图，P是的平分线AD上一点，过点P作于点E.若，则点P到AB的距离是______.第10题图11. 如图，在钝角中，CD是的平分线，CE是的高，若，，则的度数为______.第11题图12. 在平面直角坐标系中，点，点，点，若是以OA为直角边的等腰直角三角形，则点B的坐标为______.三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）如图，若正方形和正八边形的一边重合，求的度数.（2）如图，已知，，求证：.14. 如图，F是内一点，过点F作于点A，于点B，连接AB，若.求证：OF平分.15.（1）小贤露营时带着如图1所示的折叠凳，打开时坐着舒适、稳定.这种设计所运用的数学原理是____________.（2）图2是折叠凳打开后的侧面示意图，凳腿AB和CD的长度相等，交点O是AB，CD的中点.经过实验，厂家将打开后的折叠凳的宽度AD设计为，求此时BC的宽度，并说明理由.图1 图216. 如图，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.图1 图2（1）在图1中作，使得与关于x轴对称.（2）在图2中作AB边上的高CD.17. 课本再现如图，直线l垂直平分线段AB，，，，…是l上的点，分别量一量点，，，…到点A与点B 的距离，你有什么发现？可以发现，点，，，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.定理证明（1）为了证明该性质，珍珍画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.已知：如图1，直线，垂足为C，，点P在直线l上，求证：.知识应用（2）如图2，在中，，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线，与的交点分别为D，E，F，G，连接AD，AF，求的周长.图1 图2四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 如图，与关于直线l对称，其中，，，.（1）连接AD，写出线段AD与直线l的关系.（2）求的度数.（3）求的周长和的面积.19. 如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别是边BC，CD上的点，且，AM与BN交于点Q.（1）求证：；（2）求的度数.20. 如图，在四边形ABCD中，，连接对角线AC，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，AF平分.（1）求证：.（2）判断AF与CD的位置关系，并说明理由.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 如图1，CD是的高，.图1 图2（1）证明：是直角三角形.（2）如图2，若AE是角平分线，AE与CD相交于点F.请判断是否为等腰三角形，并说明理由. 22. 阅读信息：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数.解：设.∵是等腰三角形，∴.又∵，∴，∴.同理，∵是等腰三角形，∴，∴.请根据阅读信息解决问题.如图2，在中，，，D是外一点，且，求的度数.图1 图2六、解答题（本大题共12分）23. 综合与实践问题提出如图1，在中，AD平分，交BC于点D，且，则AB，CD，AC之间存在怎样的数量关系？并说明理由.方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题.如图2，延长AC至点E，使得，连接DE，……，请判断AB，CD，AC之间的数量关系并补充完整解题过程.（2）以上方法叫做“补短法”.我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构造全等三角形来解题.如图3，在线段AB上截取AF，使得①______，连接②______.请补全空格，并在图3中画出辅助线.延伸探究（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图4，在五边形ABCDE 中，，，，若，求的度数.图1 图2 图3 图42023~2024学年度八年级上学期期中综合评估数学参考答案1. A2. C3. B4. D5. D6. C7. 8. 5 9. 10. 12 11. 12. 或或13.（1）解：∵正八边形每个内角的度数是，∴……1分∵,∴.……3分（2）证明：在和中，，∴，∴.……3分14. 证明：∵，∴.……2分∵，，∴点F在的平分线上，∴OF平分.……6分15. 解：（1）三角形具有稳定性.……2分（2）.……3分理由：∵O是AB，CD的中点，∴，.在和中，，∴，……5分∴.又∵，∴.……6分16. 解：（1）如图1，为所求.……3分（2）如图2，线段CD为所求.……6分图1 图217. 解：（1）证明：∵直线，∴.……1分又∵，，∴，∴.……3分（2）∵DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线，∴，，∴的周长.……6分18. 解：（1）直线l垂直平分AD.……2分（2）∵与关于直线l对称，∴，∴.……4分（3）∵，，，，∴，，，∴的周长，……6分的面积.……8分19. 解：（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴，.……1分∵，∴，即.……2分在和中，，∴.……4分（2）∵，∴.……5分已知，∴，∴.……8分20. 解：（1）证明：∵，∴.……1分∵AF平分，∴，∴，∴.……4分（2）.……5分（方法不唯一）理由：∵E为CD的中点，∴.在和中，，∴，∴.……7分又∵，∴（三线合一）.……8分21. 解：（1）证明：∵CD是的高，∴，∴.……1分∵，∴，……3分∴是直角三角形.……4分（2）是等腰三角形.……5分理由：∵AE是角平分线，∴.∵，∴在中，，在中，，∴.……7分∵，∴，∴，∴是等腰三角形.……9分22. 解：设.……1分∵，∴是等腰三角形，∴.……3分又∵，……4分∴，即.……6分∵，∴是等腰三角形，∴，……7分∴.……9分23. 解：（1）.……1分理由：∵AD平分，∴.又∵，，∴，∴.……2分∵，∴.又∵，∴，∴.……3分∵，∴.……5分（2）①AC ②DF.……7分辅助线如图1所示.……8分图1 图2（3）如图2，延长BA至点G，使，连接BE，GE.∵，，∴.……9分∵，，，∴，∴，.∵，∴.……10分又∵，，∴，∴.……11分又∵，∴.……12分。
江西省南昌市八年级上学期数学期中考试试卷
江西省南昌市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）(2017·东光模拟) 下列四个图形中，对称轴最多的图形是（）A .B .C .D .2. （1分）下列说法正确的是（）A . 有理数都是有限小数B . 无限循环小数都是无理数C . 有理数和无理数都可以用数轴上的点表示D . 无理数包括正无理数，0和负无理数3. （1分） (2020八上·石景山期末) 如图，△ABC中，AB =AC，过点A作DA⊥AC交BC于点 D ．若∠B=2∠BAD，则∠BAD的度数为（）A . 18°B . 20°C . 30°D . 36°4. （1分） (2019七上·威海期末) 将△ABC各顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，顺次连接这三个点，得到另一个三角形，下列选项正确是（）A .B .C .D .5. （1分）(2019·赤峰模拟) 用一把带有刻度的直角尺，①可以画出两条平行的直线a与b ，如图（1）②可以画出∠AOB的平分线OP ，如图（2）③可以检验工件的凹面是否成半圆，如图（3）④可以量出一个圆的半径，如图（4）上述四个方法中，正确个数是（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个6. （1分）以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A . 4，8，7B . 5，12，14C . 2，2，4D . 7，24，257. （1分） (2019八上·固镇月考) 函数的图象与的图象的交点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限8. （1分）如图，一架长为10m的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6m，如果梯子的顶端下滑了2m，那么梯子底部在水平方向滑动了（）A . 2mB . 2.5mC . 3mD . 3.5m9. （1分）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是（）A . x＞-4B . x＞0C . x＜-4D . x＜010. （1分） (2019九上·汉滨月考) 直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A . 24B . 24或30C . 48D . 30二、填空题 (共18题；共26分)11. （1分） (2017八下·汇川期中) 已知直角三角形两边x、y的长满足|x2﹣4|+ =0，则第三边长为________．12. （1分） (2020八上·门头沟期末) 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE ，则△ABE的周长等于________.13. （1分） (2016七下·洪山期中) 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上，其位置如图所示．现将△ABC沿AA′的方向平移，使得点A移至图中的点A′的位置，写出平移过程中线段AB扫过的面积________．14. （1分） (2019九上·靖远期末) 已知函数y＝y1+y2 ， y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5． y与x之间的函数关系式________，当x＝4时，求y＝________．15. （1分）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是________16. （1分）如图,直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式-2<kx+b<1的解集为________17. （1分） (2019九下·桐乡月考) 如图，点E，F在正方形ABCD内，且∠EAF=∠ECF=45°，则线段BE，EF，FD之间的数量关系是________ ．18. （1分） (2019八上·河东期中) 如图，，，，，，则 ________．19. （2分）(2019·湖州模拟) 计算：（1）；（2） x2-4x=-320. （2分） (2020八上·吴江期中) 计算：（1）（2）21. （1分）求下列各式中的x：（1）（x+2）2=4；（2）1+（x﹣1）3=﹣7．22. （1分） (2018八上·林州期末) 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）画出△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1；（其中A1、B1、C1是A、B、C的对应点，不写画法）（2）写出A1、B1、C1的坐标；（3）求出△A1B1C1的面积．23. （1分） (2018七上·利川期末) 等腰三角形两腰上的中线相等吗？试证明你的结论24. （2分） (2017八上·梁子湖期末) 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）在y轴上找出一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，找出一点A2 ，使△A2BC与△ABC关于直线BC对称，直接写出点A2的坐标．25. （1分） (2017九上·三明期末) 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积．26. （2分）(2020·青白江模拟) 如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）求抛物线的解析式；（2） x轴上是否存在点P，使PC+ PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+ PB的最小值；若不存在，请说明理由；（3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．27. （3分） (2016八上·萧山期中) 如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=10cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒2厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）当t为多少时，△ABD的面积为15cm2？（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（请在备用图中画出具体图形）28. （3分） (2019八上·哈尔滨期中) 如图，在平面直角坐标系中，点是轴上一点，点、在轴上，且、满足等式 .（1）求、的值；（2）若点坐标为，动点从点出发沿射线运动，连接，设点的纵坐标为，的面积为，求与的关系式，并直接写出的取值范围；（3）当点在线段上，点是线段的延长线上一点，连接、，，若与的周长差为 2，点是轴上一点，若是以为顶角的等腰三角形，求点的坐标．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共18题；共26分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、答案：24-3、考点：解析：答案：25-1、考点：解析：答案：26-1、。
江西省南昌市八年级上学期数学期中试卷
江西省南昌市八年级上学期数学期中试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2018八上·台州期中) 已知四条线段的长分别为13 cm，10 cm，7 cm，5 cm，从中任取三条线段为边组成三角形，则这样的三角形共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （2分） (2020八上·青山期末) 下列四个命题中的真命题有（）①两条直线被第三条直线所截同位角相等；②三角形的一个外角等于它的两个内角之和；③两边分别相等且一组内角相等的两个三角形全等；④直角三角形的两锐角互余A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分） (2018八上·无锡期中) 如图．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M．PN⊥OB于N，当PM＝2cm时，则PN是（）A . 1cmB . 2cmC . 4cmD . 不确定5. （2分） (2017八上·西湖期中) 已知下列命题：①若，则；②若，则；③有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中是真命题的个数是（）．A . 个B . 个C . 个D . 个6. （2分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个7. （2分）(2018·宣化模拟) 如图，正方形OABC对角线交点为D，过D的直线分别交AB，OC于E，F，已知点E关于y轴的对称点坐标为（﹣，2），则图中阴影部分的面积是（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）(2018·安徽模拟) 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG等于（）A . 47°B . 46°C . 11.5°D . 23°9. （2分） (2019九上·庆阳月考) 如图，在中，，分别以的边向外作正方形，连接EC、BF，过B作于M，交AC于N，下列结论：≌ ；；；，其中正确的是（）A .B .C .D .10. （2分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共6题；共7分)11. （1分） (2019八上·玉泉期中) 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是________边形．12. （2分） (2019八下·杜尔伯特期末) 如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积等于________ .13. （1分） (2019八下·永寿期末) 一个多边形的内角比四边形内角和多，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角的度数是________．14. （1分） (2019八上·郑州开学考) 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB 的延长线于点E，若∠E=35°，求∠BAC的度数________.15. （1分） (2019九上·巴中期中) 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值________．16. （1分） (2019七下·丰县月考) 如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠P=20°，∠D=100°，则∠C=________°.三、解答题 (共7题；共43分)17. （2分） (2020八下·扬州期中) 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长.18. （2分） (2018八上·广东期中) 如图：点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，证明AB=AC.19. （7分） (2016八上·港南期中) 作图题（1）如图，已知△ABC，请你作出AB边上的高CD，AC边上的中线BE，角平分线AF（不写作法，保留痕迹）（2）如图，直线l表示一条公路，点A，点B表示两个村庄．现要在公路上造一个车站，并使车站到两个村庄A，B的距离之和最短，问车站建在何处？请在图上标明地点，并说明理由．（要求尺规作图，不写作法）20. （10分） (2020九上·南昌期末) 已知⊙O1经过A（－4，2）、B（－3，3）、C（－1，－1）、O（0，0）四点，一次函数y＝－x－2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D．（1）在右边的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为________；（2）若⊙O1上存在点P，使得△APD为等腰三角形，则这样的点P有________个，试写出其中一个点P坐标为________．21. （5分） (2020七上·山东月考) 为在池塘两侧的A ， B两处架桥，要想测量A ， B两点的距离，如图所示，找一处看得见A ， B的点P ，连接AP并延长到D ，使PA=PD ，连接BP并延长到C ，使BP=CP．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；22. （2分） (2018八上·芜湖期中) 如图所示，已知△DAB≌△DCB ，∠A = 80°，∠ABC = 70°，试求∠ADC 的度数．23. （15分） (2019九上·青羊期中) 在中，，，是上一点，连接（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点 .①如图2，若，求证：②如图3，若是的中点，直接写出的值（用含的式子表示）参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共43分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
江西省南昌市第一中学等校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷
江西省南昌市第一中学等校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷一、单选题1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（）A ．B ．C ．D ．2．下面各组线段中，能组成三角形的是（）A ．5，11，6B ．8，8，16C ．10，5，4D ．6，9，143．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A ．4B ．5C ．6D ．74．等腰三角形的一个角是30︒，则它的底角是（）A ．30︒B ．30︒或75︒C ．75︒D ．65︒5．如图，由12∠=∠，BC DC =，AC EC =，得ABC EDC △≌△的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 6．如图，ABC V 中，点E 、F 分别是BA BC 、延长线上一点，ABC ∠、EAC ∠的角平分线BP AP 、交于点P ，连接PC ，过点P 作PM BE ⊥，PN BC ⊥垂足分别是点M 、N ，则下列结论中正确的个数（）①CP 平分ACF ∠；②PC AP =；③AM CN AC +=；④2180ABC APC ∠+∠=︒．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．在平面直角坐标系中，点(1,5)P -关于x 轴对称点的点的坐标是．8．在Rt ABC 中，90C ∠=︒．若37A ∠=︒，则∠B 的度数为．9．如图，在ABC V 中，50,70A C ∠=︒∠=︒，BD 平分ABC ∠，则BDC ∠的度数是．10．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，DE 垂直平分AB 交BC 于点D ．若ACD 的周长为15cm ，则AC BC +=．11．如图，ABC 中，100AB AC BAC =∠=︒，，A 是BC 边上的中线，且BD BE =，则 ADE ∠=．12．如图，已知60MON ∠=︒，在射线OM 上取一点A ，过点A 作AB OM ⊥交ON 于点B ，以A 为端点画射线交线段OB 于点C （点C 不与点O 、点B 重合）．若AOC △中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则ACB ∠的度数是．三、解答题13．一个三角形的两边b ＝2，c ＝7．（1）当各边均为整数时，有几个三角形？（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？14．如图，已知AB CD ∥，AC 平分BAD ∠．(1)求证：AD DC =；(2)若120D ∠=︒，AC CB ⊥，求B ∠的度数．15．放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB AC =，DB DC =，他发现AD 不仅平分BAC ∠，且平分BDC ∠，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．16．（1）如图1，已知BE CD ，是ABC V 的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出BAC ∠的平分线；（2）如图2，已知ABC DCB ∠=∠，且BD CA ，分别平分ABC ∠与DCB ∠，AC 与BD 相交于O ，请你仅用无刻度的直尺作出BOC ∠的平分线．17．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点的坐标分别为(3,4)A -，(4,1)B -，(1,2)C -．(1)在图中作出ABC V 关于x 轴的对称图形111A B C △；(2)请直接写出点C 关于y 轴的对称点C '的坐标：；(3)在y 轴上找一点P ，使得PAC 周长最小．18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，于点E（1）求证：△ACD ≌△AED ；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．19．如图，点B 、C 、D 在同一条直线上，AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥，AB CD =．(1)求证：ABC CDE △≌△．(2)若37ACB ∠=︒，求AED ∠的度数．20．如图，ABC V 为等边三角形，D 为BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作等边三角形CDE ，连接AE ．(1)求证：BD AE =；(2)判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由．21．如图1，在ABC V 中，AD 是它的角平分线．求证：ABD ACD S S ABAC =△△：：．(1)请你完成这道题的证明；(2)若添加一个条件2C B ∠∠＝，如图2，请同学们去探究线段AB AC CD 、、三者的数量关系，请猜想它们的数量关系，并完成证明过程．22．在ABC V 中，=60B ∠︒，D 是边AB 上的动点，过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，将ADE V 沿DE 折叠，点A 的对应点为点F ．(1)如图1，若点F 恰好落在边BC 上，判断BDF V 的形状，并证明；(2)如图2，若点F 落在ABC V 内，且DF 的延长线恰好经过点C ，CF EF =，求A ∠的度数；(3)若9AB =，当BDF V 是直角三角形时，直接写出AD 的长．23．CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面三个问题：①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，则BCE ∠CAF ∠，BE CF ；（填“>”，“<”或“=”）；并证明这两个结论．②如图2，若80BCA ∠=︒，要使BCE ∠与CAF ∠有①中的结论，则α∠=．③如图2，若0180BCA ︒<∠<︒，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．(2)如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．。