优化方法及应用 第一章
x
a4 a5
其中a1，a2，a3，a4和a5为待定参数,为确定这些参数，对x、
y测得m个实验点(x1,y1),(x2,y2),…, (xm,ym).试将确定参数的问
题表示成最优化问题.
y
解: 决策变量是参数a1，a2，a3，a4，a5。
显然任意给定的一组数值a1，a2，a3，a4
和a5，就由上式确定了 y关于x的一个函数
因此，无论继续深造还是工作，学好优化理论和方法具有重要的现 实意义。
最优化问题举例
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最优化主要是研究在一定限制条件下，选取某种方案以使某目 标达到最优的一门学科，属于数学和运筹学的范畴。 最优方案：使目标达到最优的方案称为最优方案。 最优化方法：获取某种方案的方法称为最优化方法。 最优化理论：这种方法的数学理论称为最优化理论。
优化算法设计与 分析
课程简介
最优化是一个重要的数学分支，它所研究的问题是：讨论在 众多的方案中什么样的方案最优，以及怎样找出最优方案。
工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案既满足设计要求 又能降低成本； 资源分配中，怎样分配资源，使得分配方案既能满足各方面的 基本要求，又能获得好的经济效益； 城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户 和其他单位的合理布局，才能方便群众； 军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人， 保存自己，有利于战争的全局胜利等等。
20世纪40年代以来，随着科学技术的日益发展，很多工程的核心 问题最终都归结为求解一个优化问题；特别是计算机的普及，使得 一些大规模的优化问题的求解可以在一台普通的计算机上实现，最 优化理论和方法迅速发展起来，形成一门独立的学科。
1947年，Dantzig 提出解线性规划问题的单纯形法。单纯形法的提 出为线性规划的理论和算法奠定了基础，被称为“20世纪最伟大的 创作之一”；
1847年，法国数学家 Cauchy 研究了函数值沿什么方向下降最快 的问题，提出了最速下降法；
1939年，前苏联数学家提出解决下料问题和运输问题这两种线性 规划问题的求解方法；
虽然最优化可以追朔到十分古老的极值问题，然而由于历史条件 的限制，直到20世纪30年代，它并未成为一门独立的学科。
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解：两个决策变量：圆柱体底面半径r、高h
问题的约束条件是所铸圆柱体质量与球质量相等。即
r2 h 4 R3
3
为金属比重. 0.R 1
即
r2h 4 0
3
问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即
min 2 rh 2 r2
则得原问题的数学模型：
min 2 rh 2 r2
关系式,在几何上它对应一条曲线。
x
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曲线不一定通过那m个测量点，而要产生“偏差”，将测量点沿
垂线方向到曲线的距离的平方和作为这种“偏差”y的度量. 即
2
S
m i 1
yi
a1
1
a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
h
L r2h 4 0
3
h 2r
2 r3 .
3
2 h 23
3
此时圆柱体的最小的表面积为:
2
S
6
2 3
3
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例2.2(多参数曲线拟合问题) 已知两个物理量x和y之间的依赖
关系为:
y
a1
1
a3
a2 ln1 exp
x
显然偏差S越小,曲线拟合得越好,说明参数值就选择得越好，因此
目标函数是偏差，我们的问题就转化为5维无约束优化问题. 即
2
min
f
(a1, a2 , a3 , a4 , a5 )
min
m i 1
yi
a1
1
1948年，Fritz John 提出最优性条件；
1950~1965年，匈牙利数学家Kuhn和Tucher 建立了线性规划的对 偶理论、提出最优性条件……
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由于优化学科的迅猛发展，至今已经出现线性规划、整数规划、 非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流、多目标规 划等许多分支，最优化的理论和算法正在发挥越来越大的作用。 如今，大数据时代的到来，使得最优化方法得到了比以往任何时 候都更加广泛的应用，最优化方法已经成为工程技术人员所必须具 备的研究工具。
最优化理论与方法具有重要的理论意义和应用价值。
绪论
§1 最优化的发展历程
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最优化(Optimization)，广义上称为 “运筹学” (Operational Research)，狭义上称为“数学规划” (Mathematical
Pr最og优ra化m是mi个ng古) 老的课题。长期以来，人们对最优化问题进行着深 入的探讨和研究。早在17 世纪，英国数学家Newton & 德国数学家 Leibniz 发明微积分的时代，就已经提出了函数的极值问题；后来 出现了Lagrange乘数法;
a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
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例2.3 现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛 坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何设计方案才能既满足 需要，又能使总的用料最少？
给一个实际的优化问题，首先得建立优化模型，然后利用优化方 法去求解。
建立最优化模型的三要素：目标函数、决策变量、约束条件。
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最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经济管 理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不强的 实例。
例2.1 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
s.t.
r2h 4 0
3
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利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
L
r
,
h,
2
rh
2
r
2
r
2h
4 3
分别对 r, h,λ 求偏导数,并令其等于零. 有:
L
r
2
h
4
r
2rh
0
L 2 r r 2 0
物流行业物流网络优化方案
物流行业物流网络优化方案第一章：物流网络优化概述 (3)1.1 物流网络优化背景 (3)1.2 物流网络优化意义 (3)1.3 物流网络优化方法 (3)第二章：物流网络节点优化 (4)2.1 节点布局优化 (4)2.2 节点规模优化 (4)2.3 节点功能优化 (5)第三章：物流运输线路优化 (5)3.1 运输线路规划 (5)3.1.1 运输距离与时间 (5)3.1.2 运输成本 (5)3.1.3 运输需求 (5)3.1.4 运输能力 (5)3.2 运输线路优化算法 (6)3.2.1 启发式算法 (6)3.2.2 贪心算法 (6)3.2.3 动态规划算法 (6)3.2.4 混合算法 (6)3.3 运输线路调整策略 (6)3.3.1 实时监控与预警 (6)3.3.2 动态调整 (6)3.3.3 多式联运 (6)3.3.4 路线优化与调整 (6)第四章：物流仓储优化 (7)4.1 仓储布局优化 (7)4.2 仓储设施优化 (7)4.3 仓储管理优化 (7)第五章：物流配送优化 (8)5.1 配送中心选址优化 (8)5.2 配送路线优化 (8)5.3 配送效率优化 (8)第六章：物流信息技术优化 (9)6.1 物流信息系统优化 (9)6.1.1 系统架构优化 (9)6.1.2 功能模块优化 (9)6.1.3 系统集成优化 (9)6.2 物流数据挖掘与分析 (10)6.2.1 数据挖掘技术优化 (10)6.2.2 数据分析方法优化 (10)6.2.3 数据可视化优化 (10)6.3.1 互联网物流 (10)6.3.2 人工智能在物流中的应用 (10)6.3.3 大数据在物流中的应用 (11)第七章：物流成本优化 (11)7.1 成本控制策略 (11)7.1.1 成本控制原则 (11)7.1.2 成本控制方法 (11)7.2 成本分析模型 (11)7.2.1 成本结构分析 (11)7.2.2 成本效益分析 (11)7.2.3 成本敏感性分析 (12)7.3 成本优化措施 (12)7.3.1 采购成本优化 (12)7.3.2 运输成本优化 (12)7.3.3 仓储成本优化 (12)7.3.4 信息技术应用 (12)第八章：物流服务质量优化 (12)8.1 服务质量评价体系 (12)8.1.1 评价体系构建原则 (12)8.1.2 评价体系构成 (13)8.2 服务流程优化 (13)8.2.1 流程优化目标 (13)8.2.2 流程优化方法 (13)8.3 客户满意度提升 (13)8.3.1 客户满意度影响因素 (13)8.3.2 提升客户满意度策略 (13)第九章：物流网络协同优化 (14)9.1 企业内部协同 (14)9.1.1 内部协同的必要性 (14)9.1.2 内部协同的策略 (14)9.2 企业间协同 (14)9.2.1 企业间协同的必要性 (14)9.2.2 企业间协同的策略 (15)9.3 行业协同 (15)9.3.1 行业协同的必要性 (15)9.3.2 行业协同的策略 (15)第十章：物流网络优化实施与评价 (15)10.1 物流网络优化实施步骤 (16)10.1.1 明确优化目标 (16)10.1.2 数据收集与分析 (16)10.1.3 制定优化方案 (16)10.1.4 实施优化方案 (16)10.1.5 监控与调整 (16)10.2.1 评价指标选取 (16)10.2.2 评价方法 (16)10.2.3 评价结果分析 (17)10.3 物流网络优化持续改进 (17)10.3.1 建立持续改进机制 (17)10.3.2 加强信息化建设 (17)10.3.3 培训与人才储备 (17)10.3.4 深化合作与交流 (17)第一章：物流网络优化概述1.1 物流网络优化背景全球经济的发展和我国市场经济体制的不断完善，物流行业作为连接生产与消费的重要桥梁，其地位日益凸显。
机械优化设计方法第一章
2、现代设计法 现代设计法是一个科学的、理性的、动态的和计算机化 的过程。 （1）动向预测 （2）信号分析 （3）科学类比 （4）系统分析 （5）逻辑分析 （6）相似分析 （7）模拟分析 （8）优化设计 （9）有限元分析 （10）动态分析 （11）可靠性分析
3 最优化问题
最优化技术是一门较新的学科分支。它是上世纪五十年代初在 电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为一门直到目 前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题是在众多的可行 方案中怎样选择最合理的一种以达到最优目标。
配料
石灰石 谷物 大豆粉
钙
0.380 0.001 0.002
蛋白质
0.00 0.09 0.50
纤维
0.00 0.02 0.08
成本（元/ kg） 0.0164
0.0463
0.1250
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1，x2，x3是生产100kg混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的 量（kg）。
例5 如图所示，有一块边长为6m的正方形铝板，四角 截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子， 问如何截法(x取何值)才能获得最大容积的箱子?
请注意优化设计目标：箱子容积最大。 这个简单的最优化问题可把箱子的容积V表成变量参数 x的函数，V=x(6-2x)2，令其一阶导数为零(即dV/dx=0)，求 得极大点x=1、函数极 大值Vmax=16，从而获 得四角截去边长1m的 正方形使折转的箱子 容积最大(16m3）最优 方案。
圆杆截面图
2L
桁杆示意图
解：桁杆的截面积为 ： S dB 桁杆的总重量为： W 2dB L2 h 2
2 2 p p L h 负载2p在每个杆上的分力为： p 1 cos h
最优化计算方法第1章
具体内容
• 第一章 绪论 • 第二章 基本概念和理论基础 • 第三章 线性规划 • 第四章 最优化搜索算法结构与一维搜索 • 第五章 无约束最优化方法 • 第六章 约束最优化方法
路漫漫其悠远
教材及主要参考书目
《最优化计算方法》陈开周编，西电出版社 《最优化理论与方法》袁亚湘等编，科学出版社 《最优化理论与算法》陈宝林编，清华大学出版社 《数学规划讲义》马仲蓄等编，人大出版社 《实用线性规划》D.M希梅尔布劳著 《无约束最优化计算方法》邓乃杨等编
可能的方案 追求的目标
最优化就是从所有可能的方 案中选择最合理的一种以达 到最优目标的学科
后者是前者的函数. 如果第一要素与时间无关就称为静态最优化问题，否则 称为动态最优化问题。
本课程主要讨论静态最优化问题。
路漫漫其悠远
历史与现状
• 公元前500年，古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方 形长与宽的最佳比例为1.618,称为黄金分割比。其倒数 至今在优选法中仍得到广泛应用。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是 用约束的数学函数形式来表示的。 目标函数
其作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效 率，即系统追求的目标。
路漫漫其悠远
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类 无约束最优化问题 约束最优化问题
• 等式约束优化问题
性的。
根据函数性质分类 动态与静态 随机与确定 单目标与多目标
路漫漫其悠远
优化模型的分类
解法的分类 解析方法:利用函数的分析性质去构造迭代公式，使之收敛
到极值点。 直接方法：按一定的数学原理，用尽量少的计算量，直接比
较函数值的大小。
最优化方法第一章最优化问题与凸分析基础
4.2 凸函数
定义: 设集合 S Rn 为凸集，函数 f :SR， 若 x(1), x(2) S, ( 0 , 1 ) ，均有
f( x(1)＋(1- ) x(2) ) ≤f(x(1))+(1- )f(x(2)) ， 则称 f(x) 为凸集 S 上的凸函数。
hi x 0 等式约束
称满足所有约束条件的向量 x为可行解，或可行点，全体
可行点的集合称为可行集，记为D 。
D {x | hi x 0, i 1, 2, m, g j x 0,
j 1, 2, p, x Rn } 若 hi ( x), g j ( x) 是连续函数，则D 是闭集。
2.3 Hesse矩阵
Hesse 矩阵：多元函数 f (x) 关于 x 的二阶偏导
数矩阵
2
f
X
x12
2
f
X
f
X
2 f X
x1 x2
2
f
X
x1xn
2 f X
x2x1
2 f X
x22
2 f X
x2 xn
2
f
X
xnx1
2
f
X
xnx2
2
f
X
xn2
例：求目标函数 f (x) x12 x22 x32 2x1x2 2x2x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。
若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则称
f(x) 为凸集 S 上的严格凸函数。 当- f(x) 为凸函数（严格凸函数）时，则称 f(x) 为
凹函数（严格凹函数）。
严格凸函数
第1章最优化方法的基本知识
Pattern Recognition and Intelligent System Institute, BIT
最优化方法的地位
为应用数学的一个分支，是新兴的数学理论之一； 是现代工程分析最佳设计的四种主要方法之一：
有限元分析 将问题从几何上看作有限个小单元（结点） 将问题从几何上看作有限个小单元（结点）相互连接而成的集 合体，使连续体离散化，然后用结构矩阵分析的方法处理， 合体，使连续体离散化，然后用结构矩阵分析的方法处理，得 到一组以结点场量为未知量的代数方程组， 到一组以结点场量为未知量的代数方程组，再用计算机及相应 最优化方法 无穷维系统，一般由偏微分方程、积分方程、 无穷维系统，一般由偏微分方程、积分方程、泛函微分方程 的计算方法，可以得到需求结点处未知量的近似值。 的计算方法，可以得到需求结点处未知量的近似值。 或抽象空间中的微分方程所描述。 或抽象空间中的微分方程所描述。我国学者在细长体弹性振 动系统的建模和振动控制、振动系统的谱分析、 动系统的建模和振动控制、振动系统的谱分析、能控性和反 动态设计 一般地， 一般地，系统的数学模型与实际系统存在着参数或结构等方 由于实际系统的复杂性，人们往往很难(或不可能 由于实际系统的复杂性，人们往往很难 人口系统控制、人 馈镇定、一般无穷维系统的极大值原理、或不可能)从基本的 人口系统控制、 馈镇定、一般无穷维系统的极大值原理、或不可能 从基本的 面的差异， 面的差异，而我们设计的控制律大多都是基于系统的数学模 物理定律出发直接推导出系统的数学模型， 物理定律出发直接推导出系统的数学模型，这就需要利用可 口预测和控制等方面都做出了重要贡献。 口预测和控制等方面都做出了重要贡献。 为了保证实际系统对外界干扰、 型，为了保证实际系统对外界干扰 以量测的系统输入和输出数据， 、系统的不确定性等有尽 以量测的系统输入和输出数据，来构造系统内部结构及参数 数值仿真 可能小的敏感性，导致了研究系统鲁棒控制问题。 可能小的敏感性，导致了研究系统鲁棒控制问题 的估计，并研究估计的可靠性和精度等问题， 。 的估计，并研究估计的可靠性和精度等问题，这就是系统辨 近几年，非线性系统、时滞饱和系统、 近几年，非线性系统、时滞饱和系统、时滞故障系统的鲁棒 识的任务。系统辨识领域有3个热点研究方向 个热点研究方向: 识的任务。系统辨识领域有 个热点研究方向 综合控制问题已经成为新的热点研究方向， 综合控制问题已经成为新的热点研究方向，而且已经有不少 1.基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识； 基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识； 基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识 应用事例。例如，核反应堆的温度跟踪鲁棒控制、 应用事例。例如，核反应堆的温度跟踪鲁棒控制、导弹系统 2.基于特殊信号驱动下的系统辨识； 基于特殊信号驱动下的系统辨识； 基于特殊信号驱动下的系统辨识 Pattern Recognition and Intelligent System Institute, 。 的鲁棒自适应最优跟踪设计、机器人操作的鲁棒神经控制。 的鲁棒自适应最优跟踪设计、机器人操作的鲁棒神经控制。 3.基于智能信息处理的非线性系统辨识 BIT 基于智能信息处理的非线性系统辨识。 基于智能信息处理的非线性系统辨识
最优化理论与算法(第一章)
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章引论前言一、历史与现状最优化理论最早可追忆到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在 20世纪四十年月末至五十年月初。
其奠定性工作包含FritzJohn最优性条件（ 1948），Kuhn-Tucker最优性条件（1951），和Karush最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分快速，应用也愈来愈宽泛。
现在已形成一个相当宏大的研究领域。
对于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的有关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动向规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包含变分、最优控制等动向优化内容。
本课程所波及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式1、无拘束最优化问题minf(x)（）xR n2、拘束最优化问题minf(x)c i(x)0,i E（）st..i Ic i(x)0,这里E和I均为指标集。
§数学基础一、范数向量范数xx1x2maxx i（l范数）（）ni1x i（l1范数）（）n1(x i2)2（l2范数）（）i11/30n1x p(x i p)p（l p范数）（）i11x A(x T Ax)2（A正定）（椭球范数）（）事实上1－范数、2－范数与范数分别是p－范数当p＝1、2和p时情况。
2．矩阵范数定义方阵A的范数是指与A有关系并记做A的一个非负数，它拥有以下性质：①对于A0都有A0，而A0时A0；②对于随意k R，都有kA kA；③AB A B；④AB A B；若还进一步知足：⑤Ax p A x p则称之为与向量范数p相协调（相容）的方阵范数。
若令AxAmaxx （这里x是某一直量范数）（）x0可证这样定义的范数是与向量范数相协调的，往常称之为由向量范数引诱的方阵范数。
特别地，对方阵A(a ij)nn，有：nA1max a ijj1inA max a iji1j1A2(A T A)2（（列和的最大者）（）（行和的最大者）（）T表示A T A的特点值的最大者）(1.11) AA称为谱范数（注：方阵A的特点值的模的最大者称为A的谱半径，记为(A)）。
优化方法及应用 第一章
min n
xR
f x
约束优化问题的标准形式
min s.t.
f x gi x 0. i 1, 2,, m
根据目标函数及约束类型的不同特点分类
Page 23
线性规划 优化问题 非线性规划
•线性规划：目标函数 f(x)和约束函数 gi(x) 皆为线性函数。 •非线性规划:目标函数 f(x) 和约束函数 gi(x) 不全是线性函数
x
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曲线不一定通过那m个测量点，而要产生“偏差”，将测量点沿 垂线方向到曲线的距离的平方和作为这种“偏差”的度量. 即
y
m a2 S yi a1 x i a4 i 1 1 a3 ln 1 exp a 5
(III)根据变量类型分类„
根据约束类型的不同特点分类
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无约束优化 等式约束问题 优化问题 约束优化 不等式约束问题 混合约束问题
设Rn 为n维欧氏空间，x R n , x x1 , x2 , xn , 向量变量实值 函数 f : R n R1. gi，hj 均为向量x 的实值函数.
Page 16
例2.5.（混合饲料配合）以最低成本确定满足动物所需营养的 最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲 料必须含：至少达到0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋 白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、 大豆粉。这些配料的主要营养成分为：
配料 石灰石 谷物 大豆粉 每磅含钙 0.380 0.001 0.002 每磅含蛋 白质 0.00 0.09 0.50 每磅含 纤维 0.00 0.02 0.08 每磅成本 0.0164 0.0463 0.1250
蚁群算法在路径规划与优化中的应用
蚁群算法在路径规划与优化中的应用第一章：引言在现实生活中，路径规划和优化一直是一个重要且具有挑战性的问题。
无论是城市道路的交通拥堵还是物流配送中心的最优路径选择，路径规划和优化能帮助我们节约时间和资源。
近年来，蚁群算法作为一种基于自然现象的模拟优化方法，已经被广泛应用于路径规划和优化问题中。
本文将重点介绍蚁群算法的原理和应用，以及其在路径规划与优化中的作用。
第二章：蚁群算法原理蚁群算法是由Marco Dorigo等人于1992年提出的一种模拟蚂蚁觅食行为的计算方法。
蚁群算法模拟了蚂蚁在寻找食物时的行为规律，其中包括信息素释放和信息素挥发等行为。
蚂蚁通过释放信息素，与其他蚂蚁进行信息交流，并根据信息素浓度来选择路径。
信息素会随着时间的推移而挥发，从而不断影响蚂蚁的行为选择。
通过这种方式，蚁群算法能够找到一条较优的路径。
蚁群算法的原理类似于人类社会中的群体智慧，即通过合作与信息交流来寻找最优解。
第三章：蚁群算法在路径规划中的应用蚁群算法在路径规划中的应用主要包括：城市道路交通规划、无人车路径规划和物流配送路径规划等。
例如，在城市道路交通规划中，蚁群算法可以帮助确定最佳的路网连接方式，以及解决交通拥堵问题。
在无人车路径规划中，蚁群算法可以根据交通流量和道路状况等因素，选择合适的行驶路径。
在物流配送路径规划中，蚁群算法可以帮助确定最优的配送路线，以减少成本和提高效率。
第四章：蚁群算法在路径优化中的应用蚁群算法在路径优化中的应用主要包括：路线优化、资源调度和路径搜索等。
例如，在路线优化中，蚁群算法可以帮助优化货车的行驶路线，以减少行驶距离和时间成本。
在资源调度中，蚁群算法可以帮助优化人员的分配和任务调度，以提高工作效率和资源利用率。
在路径搜索中，蚁群算法可以帮助找到最短路径或者最优解，以满足用户需求。
第五章：蚁群算法的优缺点蚁群算法作为一种模拟生物行为的优化算法，具有一些优点和缺点。
其优点包括：能够寻找复杂问题的较优解、容易实现和灵活性强。
最优化方法 1第一章
2 2
比较以上三式可得 3a yz 3a zx 3a xy 从而x=y=z=a，右侧面积固定的长方 体的最大体积客观存在，因此侧面积固定 的长方体中以正方体体积最大．
j 1
18
按经典极值问题解法可能出现不能解决的情况：
（1）当变量个数增加且方程组又是非线性，求解此方程 只有在相当特殊情况下才能人工解出．通常高等数学中的 求极值问题的变量个数一般不超过三个． （2）当限制条件出现不等式，无论变量数多少，按经典 极值方法求解根本无法解决． 要解决上述问题，直到本世纪50年代最优化理论建立 以及电子计算机的迅速发展才为求解各种最优化问题提供 了雄厚的基础和有效手段．而且最优化方法作为一门崭新 的应用学科，有关理论和方法有待于进一步发展与完善。
解设长方体的长宽高分别为体积为则依题意知体积为限制条件为由拉格朗日乘数法考虑函数xyzvvfxyzxyz??2260xyzyzxzxya??????62222?13令62222axyzxyzxyzzyxf??????202020xyzfyzyzfxzzxfxyxy??????????????????由题意可知应是正数由此将上面三个等式分别乘以并利用条件得到222230230230xyzayzxyzazxxyzaxy?????????????????
2 x1 5 x 2 40
x1 0 ， x2 0
即求
max f ( x1 , x 2 ) x1 x 2 ，
2 x1 5 x2 40， x1 0，x2 0．
16
第一个例子代表无约束极值问题： 一般地可表示为 min f ( x1 , x 2 , , x n )或 max f ( x1 , x 2 , , x n ) n 这里 f ( x1 , x 2 , , x n ) 是定义在 R 上的可微函数． 求极值的方法是从如下含有n个未知数的非线性方程组
运筹学与最优化方法 第3版 第1章 运筹学思想与运筹学建模
1.5基本概念和符号
2.多元函数及其导数
(1) n元函数：f (x): Rn R
线性函数：f (x) = cTx + b = ci xi + b 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b
= (1/2) aij xi xj + ci xi + b 向量值线性函数：F(x) = Ax + d Rm
其中， A为 mn矩阵，d为m维向量
F(x)=( f1(x), f2(x), … , fm(x) )T 记 aiT为A的第i行向量，f(x) = aiTx
1.5基本概念和符号
(2) 梯度（一阶偏导数向量）： f (x)＝( f / x1 , f / x2 , … , f / xn )TRn 线性函数：f (x) = cTx + b , f (x) = c
x , y 的距离： ‖x－y ‖= [(x － y)T(x － y)](1/2)
x 的长度： ‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式： ‖x + y ‖≤‖x‖＋‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝ Rn , x Rn
点列｛x(k)｝收敛到 x ，记
lim
k
x(k)
=
x
lim‖x(k)
1.5基本概念和符号
规定：x , y Rn，x ≤ y xi ≤ yi ，i ； 类似地规定 x ≥ y，x = y，x < y , x > y 。
一个有用的定理
设 xRn，R，L为Rn 的线性子空间。 若 xTy ≤ , yRn 且 y ≥ 0， 则
x ≤ 0， ≥ 0 若 xTy ≤ , y L Rn ， 则