理科数学单元测试(九)

理科数学单元测试（九）——直线、平面、简单多面体（A 、B ）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的,请将正确答案代号填在下面的答题框内.)1. (A)关于两条异面直线在同一平面内的射影，叙述正确的是 ( ) A.不可能是两条相交直线 B.不可能是两条平行直线C.不可能是两条重合的直线D.不可能是一点与一条直线(B)空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线，那么这四点中 ( )A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线2.(A)下列命题：①三个点确定一个平面；②经过一条直线和一个点的平面有且只有一个；③一条直线与两条平行直线都相交，则经过这三条直线的平面有且只有一个.其中正确的 命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(B)以下四个命题中正确的是 ( )A.若3121+=，则P 、A 、B 三点共线 B.△ABC 为直角三角形的充要条件是∙=0C.点(x 、y 、z)关于x 轴对称点的坐标是(x 、－y 、－z)D.若O 、A 、B 、C 四点中无三点共线,则可构成空间的一个基底3.已知异面直线a 、b 的公垂线是直线m ，n 是异于m 的直线，甲：m ∥n ，乙：n ⊥a ，n ⊥b ，那么甲是乙成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α与β所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条5.α是一个平面，a 是一条直线，则α内至少有一条直线与a ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,点M 、N 分别在AB 1、BC 1上,且AM=BN.那么①AA 1⊥MN;②A 1C 1∥MN;③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1;④MN 与A 1C 1异面.以上4个结论中,不正确的结论个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.47.给出下面四个命题：正确命题的个数是 ( ) ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②直平行六面体一定是直四棱柱；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个二面角的两个面所在平面分别平行于另一个二面角的两个面所在平面，则它们的大小相等.A.0个B.1个C.2个D.3个8.(A)对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 ( ) A.m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B.m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC.m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD.m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β(B) (创新题)设两平面α、β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α;②l ⊥β；③α⊥β.以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为 ( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个9.(创新题)不共面的三条定直线l 1,l 2,l 3互相平行，点A 在l 1上，点B 在l 2上，C 、D 两点在l 3上，若CD=a(定值)，则三棱锥A —BCD 的体积 （ ） A.由A 点的变化而变化 B.由B 点的变化而变化C.有最大值，无最小值D.为定值10.(A) (创新题)如图（1），在△ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC,则AB 2=BD ·BC ；类似地有命题：如图（2），三棱锥A —BCD 中，AD ⊥面ABC ，若A 点在△BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC =S △BCM ·S △BCD .上述命题是( )A.真命题B.增加条件AB ⊥AC 后才是真命题C.假命题D.增加条件三棱锥A —BCD 是正三棱锥后才是真命题11.正方体中ABCD-A 1B 1C 1D 1，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 ( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形12.(A)三棱锥P —ABC 的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°,M,N 分别在BC 和PO 上，且CM=x ，PN=2CM ，下面的四个图象中能表示三棱锥N —AMC 的体积V 与x （x ∈(0,3)）的关系的是 （ ）(B)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为棱AA 1的中点，直线l 过E 点与异面直线BC ，C 1D 1分别相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为 （ ） A.4 B.3 C.23 D.不确定 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题 (本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在下面的横线上.)13.(A)在120°的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个半平面各仅有一个公共点，则这两点间的球面距离为 .(B)如图，在棱长为2的正方体中，O 是底面ABCD-A 1B 1C 1D 1的中心，第10题图第13题图（B ）E 、F 分别是CC 1、AD 的中点.那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于 .14.空间四边形PABC 中，若∠PAB=∠PAC=60°，AB=AC=5,BC=6,则PA 与平面ABC 所成角的余弦值为 .15. (A)关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）.(B)设P 是60°的二面角α-l-β内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A 、B 为垂足，则 PA=4,PB=2,则AB 的长为 .16.(A)正三棱椎S —ABC 的侧棱长为1，两条侧棱的夹角为45°，过顶点A作截面交SB 于D ，交SC 于E ，则其周长的最小值为 .(B)如图，在底面边长为2的正三棱锥V-ABC 中，E 是BC 的中点，若△VAE 的面积是41，则侧棱V A 与底面所成角的大小为 . (结果用 反三角函数值表示).三、解答题：(本大题6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)(A)已知平面α∥平面β，直线a 与平面α相交，求证：直线a 与平面β相交．(B)如图，已知：直线a ⊥平面α，且直线a ∥平面β，求证：平面α⊥平面β.18. (本小题满分12分)(A)如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且AF=21AD=a,G 是EF 的中点. （1）求证平面AGC ⊥平面BGC ；（2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值.（3）求二面角B —AC —G 的大小. (B)如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1.（1）求证：BE=EB 1；（2）若AA 1=A 1B 1，求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角（锐角）的度数.19. (本小题满分12分)(甲) (A)在菱形ABCD 中,∠A=60°,AB=2.(1)如图,沿对角线BD 将△ABD 折起,问A 、C 之间距离为多少时,二面角A —BD —C 为直二面角?(2)在(1)的基础上,求二面角A —CD —B 的大小?(3)在(1)的基础上,求点B 到平面ACD 的距离.(甲) (B)如图，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形,平面V AD ⊥底面ABCD.（Ⅰ）证明：AB ⊥平面V AD ； （Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．(乙)如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面ABC 1F 所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.第16题图（B ）第17题图（B ）第18题图（A ）第18题图（B ） 第19甲题图（A ） 第19甲题图（B ）（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离. 20. (本小题满分12分)(甲) (A)如图，ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 中点．(1)求证：MN ⊥AB ；(2)若平面PDC 与底面ABCD 所成角为 ，能否确定MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线，若能求出θ；若不能说明理由．(甲) (B)如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：（1）求 EF [TX →]和点G 的坐标；（2）求异面直线EF 与AD 所成的角；（3）求点C 到截面AEFG 的距离. (乙)如图,在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，DC ＝23，AA 1＝3，AD ⊥DC ，AC ⊥BD,垂足为E.（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）求二面角A 1－BD －C 1的大小；（Ⅲ）求异面直线AD 与BC 1所成角的大小．21. (本小题满分12分) 如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求证：EF ⊥CD ；(3)若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．22. (本小题满分14分)(A)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点 E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点.（Ⅰ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1－EF －A 的大小（结果用反三角函数值表示）.(B)如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1)求证AM ∥平面BDE ；(2)求证AM ⊥平面BDF ；(3)求二面角A-DF-B 的大小．参考答案1. (A) C 由异面直线的定义利用排除法可得.(B) B 对于A 、C 、D 都可以构造反例，对于B 可用反证法证明其正确性. 第19乙题图第20甲题图（A ） 第20甲题图（B ） 第20乙题图第21题图第22题图（A ）第22题图（B ）2. (A) B 由确定平面的公理及定理可得.(B) D 由确定平面的公理及定理可得.3. C 甲 乙.4.D 这是湖北2004年理科第11题，考查学生空间想象能力和运用知识的能力. 5 D 利用排除法可得.6.B 过M 作MP ∥AB 交BB 1于P,连结NP,则平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1,所以MN ∥平面A 1B 1C 1D 1,又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以AA 1⊥平面MNP,所以AA 1⊥MN,即①③正确.因为若M 点与B 1重合,N 点与C 1重合,则A 1C 1与MN 相交,所以②④都不一定正确,故选B.点评：利用比例线段证明面面平行即可推出①或③.注意不要忽视特殊情况,否则就错了,小心!7.D8. (A)C 因为m ∥n ，n ⊥β，因此m ⊥β，又由m α，所以α⊥β.故应选C.点评：通过画图判断A 、B 、D 不成立.选C.本题需要综合灵活运用基础知识，是对能力有较高要求的题目.解答本题需要用到课本的知识.解题时首先应将符号语言翻译成文字语言，弄懂题意，搞清选择支的内容，然后画出相应的图形，也就是将文字语言翻译成图形语言帮助思考.(B)C 以①②为条件，③为结论的命题是正确的，其它两个是错误的.点评:本题考查线面垂直、线面平行、面面垂直的概念.要求学生能够应用它们之间的相互 关系，分析解决问题.解题方法是用概念分析判断解题.9.D 如图，把△BCD 当作三棱锥的底面，AO ⊥面BCD 于O ，∵l 2∥l 3,∴无论B 点在l 2上什么位置，△BCD 的面积总不变.又∵l 2∥l 3,∴l 2、l 3确定一个平面α,∵l 1∥l 2,且A 不在l 2、l 3确定的平面α上，∴l 1平行于l 2、l 3确定的平面α,从而不论A 在l 1的什么位置，高AO 的长总不变. 又V=31×高×底面积，故无论A 、B 在什么位置时，其体积不变. 点评：此题是一道关于棱锥体积计算的开放题，通过三条不共面的直线将三棱锥的各顶点以动态的方式给出，但由于线段CD 的定值性和l 2∥l 3，确定了△BCD 的面积也是一个定值，又根据A 点在与面BCD 平行的直线l 1上，故而不论A 点处于何位置，点A 到平面BCD 的距离保持不变，故而三棱锥的体积是一个不变量，此题很好地考查了直线与直线平行、平面与平面平行的性质以及空间想象能力.10.A 在题图（2）中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE ⊥BC.因为AD ⊥面ABC ，所以AD ⊥AE,又AM ⊥DE,所以AE 2=EM ·ED ，于是S 2△ABC =(21BC ·AE)2=（21BC ·EM ）·（21BC ·ED ）=S △BCM ·S △BCD ，故应选A. (B)B 取AS 的中点为G ，连结GE 、GF ，在三角形GEF 中，可求得.11.D12.(A)A 如图所示，V N —AMC =31NO ·S △AMC =31（8-2x ）·21AC · CMsin30°=31 (8-2x)·21·3x ·21=-21x 2+2x,x ∈(0,3),故图象为 (0,3)上的一段抛物线.应选A. 第9题解图第12题解图(B)B 取BB 1的中点为F ，C 1F 与CB 的延长线交于G 点，连结GE 并延长交C 1D 1的延长线于H 点，则由对称性可知HG=2EG ,EG 2=EF 2+GF 2=EF 2+BF 2+BG 2∴HG=2×23＝3. 点评:本题要求较高，考查学生对面面交线知识的深刻理解.对空间想象能力有较高要求.13.(A)35n 易知，过两切点的球的大圆夹在两点间的劣弧所对的圆心角为3π，故两点间的球面距离为θr=3π×5=35π. (B)515 建立空间坐标系，用向量知识即可算得. 14.85 取BC 的中点M ，则可证∠PAM 即为PA 与平面ABC 所成角．由cos ∠MAB=54，cos ∠PAB=21，及cos ∠PAM ·cos ∠MAB=cos ∠PAB ，得cos ∠PAM=85． 15.(A) ①②③④⑤解：①直角AOB 在平面α的射影为直线l ，如图1所示.因此，判断①是正确的.②直角AOB 在平面α的射影为∠ASB ，∠ASB 为锐角，如图2.因此判断②是正确的.③直角AOB 在平面α的射影为∠A ′O ′B ′而∠A ′O ′B ′ 为直角，如图3.因此判断③是正确的.判断④、⑤如图4、图5分析.点评:这是考核空间想象能力的一个较好问题.(B)2716.(A)22+ 沿线段SA 将三棱椎的侧面“剪开”，将侧面展开在同一平面内，这时 A 点分成两个点A 与A 1，AA 1的长就是最小周长，在△SAA 1中用余弦定理可求得其值为 22+.(B) arctan 41 在正三棱锥V-ABC 中，V 在底面ABC 内的射影为H ，由△ABC 的面积可求得AE=3,AH=332，由△V AE 的面积为41可求得VH=63,从而∠V AH=arctan 41. 17.(A)证法一：设直线a 与平面α相交于点A ，在平面β取一点B.若点B 在直线a 上，则直线a 与平面β相交于点B;若点B 不在直线a 上，则直线a 和点B 确定一个平面γ,且平面α与平面γ相交于过A 点的直线b ，平面β与平面γ相交于过B 点的直线c.∵α∥β∴b ∥c.又在平面γ内，直线a 与直线c 相交∴直线a 与直线c 相交于一点C. 第15题解图第15题解图∵α⊄β，∴C ∈β，故直线a 与平面β相交于C 点．证法二：设a 与β不相交，则a ∥β或a ⊂β.(1)若a ⊂β∵α∥β∴a ∥β，与“a 与相α交矛盾”.(2)若a ∥β，过a 作平面γ，使α∩γ＝b ，β∩γ＝c.∵a ∥β∴a ∥c ，因此，a ∥b.又∵b ⊂α，∴a ∥α，与“a 与α相交矛盾”.由(1)(2)可得：a 与β相交.点评:基本概念题，这类问题学生容易疏忽，重点考查学生对基本概念理解和掌握的程度.(B)证明：∵ 直线a ∥平面β,∴过直线a 可作一平面与平面β相交于直线b ，由线面平行的性质定理得：直线a ∥直线b ，又直线a ⊥平面α，∴直线b ⊥平面α，而直线b ⊂平面β，∴平面α⊥平面β.点评:本题虽说简单，但学生非常易错，错在不会应用线面平行的性质定理，不能正确地作出直线b 导致错误.18.(A)（1）证明：正方形ABCD ⇒CB ⊥AB.∵面ABCD ⊥面ABEF 且交于AB ，∴CB ⊥面ABEF.∵AG ，GB ⊂面ABEF ，∴CB ⊥AG ，CB ⊥BG .又AD=2a ，AF= a ，ABEF 是矩形，G 是EF 的中点，∴AG=BG=2a ，AB=2a ， AB 2=AG 2+BG 2，∴AG ⊥BG.∵CG ∩BG=B,∴AG ⊥平面CBG ,而AG ⊂面AGC ，故平面AGC ⊥平面BGC.（2）解：由（1）知面AGC ⊥面BGC ，且交于GC ，在平面BGC 内作BH ⊥GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ，∴∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角,∴在Rt △CBG 中BH=33222=+∙=∙BG BC BG BC CG BG BC a. 又BG=2a ，∴sin ∠BGH=36=BG BH （3）由（2）知，BH ⊥面AGC,作BO ⊥AC ，垂足为O ，连结HO ，则HO ⊥AC ，∴∠BOH 为二面角B —AC —G 的平面角,在Rt △ABC 中，BO=2a,在Rt △BOH 中， sin ∠BOH=BO BH = 36,∠BOH=arcsin 36,即二面角B —AC —G 的大小为arcsin 36. 点评:本题考查面面垂直、线面角、二面角的有关知识.同时考查学生空间想象能力和推理 运算能力.(B)解：（1）在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足．∵面A 1EC ⊥面AC 1, ∴EG ⊥侧面AC 1，取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB=BC 得BF ⊥AC ．∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，得BF ∥EG ．由BF ，EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG.∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE=FG ． ∵BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1．又△AA 1C ∽△FGC ，且AF=FC ，∴FG=AA 1=BB 1，即BE=BB 1，故BE=EB 1．（2）分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ．第17题解图（B ）∵EB 1∥CC 1，EB 1=21BB 1=21CC 1，∴DB 1=21DC 1=B 1C 1=A 1B 1． ∵∠B 1A 1C 1=∠B 1C 1A 1=60°，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21(180°－∠DB 1A 1)=30°， ∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即DA 1⊥A 1C 1.∵CC 1⊥平面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C 1，∴∠CA 1C 1是所求二面角的平面角.∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1,∠A 1C 1C=90°，∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°.点评:本题主要考查面面垂直和二面角的相关知识，并要求学生能熟练运用.在方法上突出 转化的思想.19.(甲) (A)(1)当AC=6时,符合题意.取BD 中点S,连结AS,CS.∵△ABD 中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∴△ABD 为等边三角形.同理△BCD 为等边三角形, ∴AS ⊥BD,CS ⊥BD,∴∠ASC 为二面角A —BD —C 的平面角.当∠ASC=90°时,二面角A —BD —C 为直二面角.由AS=CS=3,得AC=6.即当AC=6时,二面角A —BD —C 为直二面角.(2)作SP ⊥CD,交CD 于P,连结AP.由二面角A —BD —C 为直二面角,且AS ⊥BD,可得AS ⊥平面BCD.∴SP 为AP 在平面BCD 内的射影,由三垂线定理可得AP ⊥CD,∴∠APS 为所求二面角的平面角.在Rt △PSD 中,PS=23,又AS=3,∴在Rt △APS 中, tanAPS=233=PS AS =2.∴∠APS=arctan 2,二面角A —CD —B 的大小为arctan 2. (3)设B 到平面ACD 的距离为h,在△ADC 中,AD=CD=2,AC=6,所以S △ACD =515. 在△BCD 中,BC=CD=BD=2,所以S △BCD =3.又V B-ACD =V A-BCD ,即31S △BCD ·AS=31S △ACD h, ∴h=5152,即点B 到平面ACD 的距离为5152. (B)证明：方法一：（1）证明：⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊥⊥ABCD VAD AD ABCD AB AD AB ABCD VAD 平面平面平面平面平面 AB ⊥平面V AD. （Ⅱ）解：取VD 的中点E ，连结AF ，BE ，第19甲题解图（B）∵△V AD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE=23AD. ∵AB ⊥平面VAD ，∴AB ⊥AE. 又由三垂线定理知BE ⊥VD.因此，tan ∠AEB=332=AE AB . 即得所求二面角的大小为arctan 332. 方法二：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.（1）证明：不防设A （1，0，0），则B （1，1，0），V(21，0，23)， AB =(0,1,0),VA =(21,0,-23) 由AB ·VA =0,得AB ⊥V A.又AB ⊥AD ，因而AB 与平面V AD 内两条相交直线V A ，AD 都垂直.∴AB ⊥平面V AD.（2）解：设E 为DV 中点，则E(41,0,43)，=(43,0,-43),=(43,1,-43), =(21,0, 23). 由·=0,得EB ⊥DV ，又EA ⊥DV.因此，∠AEB 是所求二面角的平面角， cos(,721=,解得所求二面角的大小为arccos 721. 点评:这是2005年全国卷(Ⅲ)(理科)试题.本题主要考查线面垂直和二面角的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.(乙)解法1：（Ⅰ）过E 作EH ∥BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH ∥AD ，且EH=AD.又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.∴DF=C 1H=2.∴BF=6222=+DF BD .（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ，则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG .过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.第19甲题解图（B ）2 第19乙题解图1在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离. 从而CGBG CC EB =1,BG=1,AG=1722=+BG AB . 由于∠GAB=∠MCG ,CM=3cos ∠MCG=3cos ∠GAB=3×174=1712,∴CQ= 11334)1712(3171232211=+⨯=⨯MC CC CM . 解法2：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.∵AEC 1F 为平行四边形， ∴由1EC =得，(-2,0,z)=(-2,0,2),∴z=2.∴F(0,0,2).∴=(-2,-4,2).于是||=2 6,即BF 的长为26. （2）设n 1为平面AEC 1F 的法向量，显然n 1不垂直于平面ADF ，故可设n 1=(x,y,1) 由⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,011n n 得⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯,0202,0140y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 又1CC =(0,0,3),设1CC 与n 1的夹角为α，则cos α= 333341161133||||1111=++⨯=∙n n CC . ∴C 到平面AEC 1F 的距离为d=|1CC |cos α=3×1133433334=. 点评:这是2005年湖北文科试题.本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.20.(甲) (A)方法一：(1)取CD 边中点R ，连结MR 、NR ，则NR ∥FD ，MR ∥AD. ∵AB ⊥AD ⇒AB ⊥MR.又PA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理知AB ⊥PD ⇒AB ⊥NR ，∴AB ⊥平面MNR ⇒AB ⊥MN.(2)PA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理知PD ⊥CD ，∴∠PDA ＝θ要使MN 是AB 与PC 的公垂线，由(1)知MN ⊥AB ， 第19乙题解图2∴只需MN ⊥PC 即可，又N 是PC 的中点，故只需CM ＝PM 即可，这时由于BM ＝AM ，∠ABC ＝∠PAD ＝︒90，∴△CBM ≌△PAM ，故PA ＝BC ＝AD ， ∴△PAD 为等腰直角三角形，∴∠PAD ＝︒45.即当θ＝︒45时可满足题意. 方法二：以为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，AD=b ，AP ＝c ，则B(a ，0，0)，C(a ，b ，0)，D(0，b ，0)，P(0，0，c)， ∴M(2a ,0,0),N(2a ,2b ,2c ),R(2a ,2b ,0).故MN =(0, 2b ,2c ),AB =(a,0,0),PC =(a,-b,c). (1)∵·=0,∴AB ⊥MN.(2)由(1)知MN ⊥AB ，要使MN 是AB 与PC 的公垂线，只需MN ⊥PC 即可．若MN ⊥PC ，则MN ·PC =2222c b -=0，∴b ＝c, 即AD ＝AP ，因此∠PDA ＝45°PA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理知PD ⊥CD,∴∠PDA ＝θ，即当θ＝45°时可满足题意．点评:本小题主要考查线面关系和棱椎等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.(甲) (B) (1)由图可知:A(1,0,0),B(1,4,0),E(1,4,3),F(0,4,4),∴EF =(-1,0,1), 又∵=,设G （0，0，z ），则（-1，0，z ）=（-1，0，1），∴z=1，即G （0，0，1）.(2)解法一：∵AD ∥BC,作EH ∥BC 且交CF 于H 点，则∠FEH 为所求角，∵FH=4-3=1，EH=BC=1，∴∠FEH=45°，即所求角为45°. 解法二：∵=(-1,0,0),=(-1,0,1),∴cos<,22=, ∴AD 和EF 所成的角为45°.（3）设n 0⊥面AEFG ，n 0=（x 0,y 0,z 0）,∵n 0⊥AG ,n 0⊥AE ,而AG =（-1，0，1），=（0，4，3）， ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+-00000000430340z y z x z y z x ,∴n 0 (z 0,-43z 0,z 0),取z 0=4,则n 0=（4，-3，4）， ∵=(0,0,4),∴d=41411641)4,3,4()4,0,0(||00=-∙=∙n n ，∴d=414116. (乙)解法一：（1）在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∵AA 1⊥底面ABCD ．∴AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影．∵BD ⊥AC ．∴BD ⊥A 1 C.第20乙题解图1（2）连结A 1E ，C 1E ，A 1C 1．与（1）同理可证BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，∴∠A 1EC 1为二面角A 1－BD －C 1的平面角． ∵AD ⊥DC ，∴∠A 1D 1C 1=∠ADC ＝90°，又A 1D 1=AD ＝2，D 1C 1=DC ＝23，AA 1=3且AC ⊥BD ，∴A 1C 1＝4，AE ＝1，EC ＝3，∴A 1E ＝2，C 1E ＝23，在△A 1EC 1中，A 1C 12＝A 1E 2＋C 1E 2，∴∠A 1EC 1＝90°，即二面角A 1－BD －C 1的大小为90°．（3）过B 作BF ∥AD 交AC 于F ，连结FC 1，则∠C 1BF 就是AD 与BC 1所成的角． ∵AB ＝AD ＝2，BD ⊥AC ，AE ＝1，∴BF=2，EF ＝1，FC ＝2，BC ＝DC ，∴FC 1=7，BC 1＝15，在△BFC 1中，cos ∠C 1BF=51515227415=∙∙-+,∴∠C 1BF=arccos 515 即异面直线AD 与BC 1所成角的大小为arccos515． 解法二：(1)同解法一.(2)如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 连结A 1E ，C 1E ，A 1C 1.与(1)同理可证，BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，∴∠A 1EC 1为二面角A 1-BD-C 1的平面角. 由A 1(2，0，3)，C 1(0，23，3)，E(23，23，0)， 得1EA =(21,-23,3), 1EC =(-23, 233,3), ∴1·1EC =-4943-+3=0,∴1EA ⊥1EC ，即EA 1⊥EC 1. ∴二面角A 1-BD-C 1的大小为90°.(3)如图，由D(0，0，0)，A(2，0，0)，C 1(0，23,3)，B(3，3，0)， 得=(-2,0,0),1BC =(-3,3,3),∴·1BC =6,||=2,|1BC |=15,∴cos(,1BC )= 5151526||||11==BC AD . ∴异面直线AD 与BC 1所成角的大小为arccos515. 解法三：(1)同解法一：第20乙题解图2 第20乙题解图3(2)如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E.连结A 1E ，C 1E ，A 1C 1.与(1)同理可证：BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，∴∠A 1EC 1为二面角A 1-BD-C 1的平面角. 由E(0，0，0)，A 1(0，-1，3)，C 1(0，3，3)，得1EA =(0,-1,3),1EC =(0,3,3). ∵1·1EC =-3+3=0,∴1⊥1EC ，即EA 1⊥EC 1，∴二面角A 1-BD-C 1的大小为90°.点评:这是2005年北京理科试题.本小题主要考查线面关系(三垂线定理)和空间角(二面角 和线线角)的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.21.证法一：连AC ，设AC 中点为O ，连OF 、OE.(1)在△PAC 中，∵F 、O 分别为PC 、AC 的中点,∴FO ∥PA. ①在△ABC 中，∵E 、O 分别为AB 、AC 的中点,∴EO ∥BC.又∵BC ∥AD,∴EO ∥AD ②综合①、②可知：平面EFO ∥平面PAD.∵EF ⊂平面EFO,∴EF ∥平面PAD ． (2)在矩形ABCD 中，∵EO ∥BC ，BC ⊥CD,∴EO ⊥CD.又∵FO ∥PA ，PA ⊥平面AC,∴FO ⊥平面AC,∴EO 为EF 在平面AC 内的射影,∴CD ⊥EF ．(3)若∠PDA ＝45°，则PA ＝AD ＝BC.∵EO 21BC ，FO 21PA,∴FO ＝EO. 又∵FO ⊥平面AC ，∴△FOE 是直角三角形，∴∠FEO ＝45°．证法二：建立空间直角坐标系A －xyz ，设AB ＝2a ，BC ＝2b ，PA ＝2c ，则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c).∵E 为AB 的中点，F 为PC 的中点∴E(a,0,0)，F(a,b,c).(1)∵＝(0,b,c)，＝(0,0,2c)，＝(0,2b,0)， ∴=21(+),∴与、共面 又∵E ∉平面PAD,∴EF ∥平面PAD ．(2)∵＝(-2a,0,0),∴·＝(-2a,0,0)·(0,b,c)＝0,∴CD ⊥EF ．(3)若∠PDA ＝45°，则有2b ＝2c ，即b ＝c ，∴＝(0,b,b)，＝(0,0,2b),∴cos(EF ，AP )=222222=∙b b b ,∴cos(EF ，AP )=45° ∵⊥平面AC ，∴是平面AC 的法向量∴EF 与平面AC 所成的角为：90°－〈，〉＝45°．点评:本题考查学生线面平行、线线垂直及线面角等知识.要求学生能利用面面平行的性质 第21题解图定理来判断线面平行及三垂线定理等知识.22. (A)解法一：（1）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A 1内的射影.∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1.于是D 1E ⊥平面AB 1FD 1E ⊥AF.连接DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影.∴D 1E ⊥AFDE ⊥AF.∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ，既当点F 是CD 的中点时，D 1F ⊥平面AB 1F.（2）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（1）知点F 是CD 的中点.又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD.连接AC ；设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF.连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影. ∴C 1H ⊥EF ，即∠C 1HC 是二面角C 1－EF －C 的平面角.在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=41，AC=42.∴tan ∠C 1HC=224211==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan22，从而∠AHC 1=π-arctan22.故二面角C 1－EF －A 的大小为π-arctan22.解法二：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）设DF=x ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0），A 1（0，0，1），B 1（1，0，1），D 1（0，1，1），E(1，21，0)，F （x ，1，0）， ∴E D 1=(1,-21,-1), A 1 =(1,0,1), =(x,1,0). 于是D 1E ⊥平面AB 1F ⇔D 1E ⊥AF ⇔D 1E ·AF=0⇔x-21=0. 既x=21.故当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F. （2）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，F 是CD 的中点.又E 是BC 的中点， 连接EF ，则EF ∥BD.连接AC ，设AC 与EF 交于点H ，则AH ⊥EF.连接C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影.∴C 1H ⊥EF ，即∠AHC 1是二面角C 1－EF －A 的平面角. ∵C 1（1，1，1），H(43，43，0)，D 1E ⊥平面AB 1F ⇔D 1E ⊥AF ⇔D 1E ·AF=0⇔x-21=0.∴1HC =(41,41,1),=(-43,-43,0). ∴cos ∠AHC 131898983||||11-=⨯-=∙HC HA第22题解图（A ）1 第22题解图（A ）2既∠AHC 1=arccos(-31)=π-arccos 31. 故二面角C 1－EF －A 的大小为π-arccos31. 点评:这是2004年湖北理科试题.本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推是运算能力.(B)方法一：(1)证：记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形，∴AM ∥OE ．∵OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)解：∵BD ⊥AC ，BD ⊥AF 且AC 交AF 于A ， ∴BD ⊥平面ACEF ，故BD ⊥AM.∵在正方形ABCD 中，AD ＝2，∴OA ＝1.又AF ＝1，∴AOMF 是正方形，因此AM ⊥OF,∴AM ⊥平面BDF ．(3)解：设AM 与OF 相交于H ，过H 作HG ⊥DF 于G ，连结AG 由三垂线定理得AG ⊥DF,∴∠AGH 是二面角A －DF －B 的平面角.∵AH=22，AG=36,∴sin ∠AGH=23，∴∠AGH ＝60° 即二面角A －DF －B 的大小为60°．方法二：(1)同方法一(2)解：以为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A(2，2，0)，B(0，2,0)，D(2，0，0)，E(0，0，1)， F(2，2，1)，M(22，22，1), =(-22,-22,1)， =(0, 2 ,1)，∵·=0，∴⊥.⊥. ∴AM ⊥平面BDF ．(3)解：∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ADF ．=(-2,0,0)为平面DAF 的法向量．设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，1)，则⎪⎩⎪⎨⎧=-∙=∙⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0)0,2,2()1,,(0)1,2,0()1,,(,00y x y x DF 即n n ， 解得x ＝y ＝-22，∴n ＝(-22，-22，1)， ∴cos<AB ，n >＝21，∴AB 与n 的夹角是60°．第22题解图（B ） 1 第22题解图（B ）2即所求二面角A-DF-B的大小是60°．点评:本题考查学生线面平行、线面垂直及二面角等知识.要求学生能利用面面平行的性质定理来判断线面平行，会用向量来证明线面垂直，会利用平面的法向量来求二面角的大小.。