静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测 数学试卷(理科)

静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测
数学试卷（理科）
（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2013.1
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知函数)7
22sin(21)(π+=
ax x f 的最小正周期为π4，则正实数a = . 2．等比数列{}n a （*N n ∈）中，若1612=a ，2
1
5=a ，则=12a .
3．两条直线0943:1=+-y x l 和03125:2=-+y x l 的夹角大小为 .
4．设圆过双曲线
116
92
2=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .
5．某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有 种游览选择．
6．求和：n
n
n n n nC C C C ++++ 32132= .（*N n ∈） 7．设数列{}n a 满足当2n a n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21)1(+>+n a n 成立．下列四个命题：
（1）若93≤a ，则164≤a ． （2）若103=a ，则255>a ．
（3）若255≤a ，则164≤a ． （4）若2)1(+≥n a n ，则21n a n >+．
其中正确的命题是 .（填写你认为正确的所有命题序号）
8．已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=．若以极点为原点，极轴为x
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+⋅=⋅=2
3,
2t y t x （t
为参数），则此直线l 被曲线C 截得的线段长度为 . 9．请写出如图的算法流程图输出的S 值 .
理第9题
10．已知α、β为锐角，且2sin cos sin 1sin cos sin 1=-+⋅-+β
β
βααα，
则βαtan tan = .
11．机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西13
12
arcsin
方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上．则在以圆心O 为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中圆O 的方程为 .
12．过定点)0,4(F 作直线l 交y 轴于Q 点，过Q 点作QT FQ ⊥交x 轴于T 点，延长TQ 至P 点，使QP TQ =，则P 点的轨迹方程是 .
13．已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数
x
x y 1
+
=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 .
14．在复平面内，设点A 、P 所对应的复数分别为i π、)3
2sin()3
2cos(π
π
-
+-t i t （i 为
虚数单位），则当t 由
12π连续变到4
π
时，向量AP 所扫过的图形区域的面积是 . 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．若复数021≠z z ，则2121z z z z =是12z z =成立的（ ）
(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件
16．等差数列}{n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则数列}{n a 前n 项和n S （*N n ∈）中最小的是（ ）
(A) 7S 或8S (B) 12S (C)13S (D)14S
17．函数])5,3[(2
12
6)(2∈-+-=
x x x x x f 的值域为（ ） (A) ]3,2[ (B) ]5,2[ (C) ]3,37[ (D) ]4,3
7[
18．已知O 是△ABC 外接圆的圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若
m B
C
C B ⋅=+2sin cos sin cos ，则m 的值为 （ ）
南
理第11题
(A) 1 (B) A sin (C) A cos (D) A tan
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分．
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸
缩横杆．
（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；
（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边长，a ，b ，c 成等比数列． （1）求B 的取值范围；
（2）若x = B ，关于x 的不等式cos2x -4sin(24
x +
π
)sin(2
4x
-π)+m ＞0恒成立，求实数m 的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知数列}{n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有
3
3231221)(n n a a a a a a +++=+++ ．
（1）当3=n 时，求所有满足条件的三项组成的数列1a 、2a 、3a ；
（2）试求出数列}{n a 的任一项n a 与它的前一项1-n a 间的递推关系.是否存在满足条件
C
（理19题）
的无穷数列}{n a ，使得20122013-=a ？若存在，求出这样的无穷数列}{n a 的一个通项公式；若不存在，说明理由．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
已知椭圆12222=+b
y a x 的两个焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，2c 是2a 与2
b 的等差中项，
其中a 、b 、c 都是正数，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为2
3
． （1）求椭圆的方程；
（2）点P 是椭圆上一动点，定点)2,0(1A ，求△11PA F 面积的最大值；
（3）已知定点)0,1(-E ，直线t kx y +=与椭圆交于C 、D 相异两点．证明：对任意的
0>t ，都存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
函数)(x f y =，D x ∈，其中≠D ∅．若对任意D x ∈，)()(x f x f =，则称)(x f y =在D 内为对等函数．
（1）指出函数x y =
，3x y =，x y 2=在其定义域内哪些为对等函数；
（2）试研究对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使x y a log =在所给集合内成为对等函数；
（3）若{}D ⊆0，)(x f y =在D 内为对等函数，试研究)(x f y =（D x ∈）的奇偶性．。