1.2直角三角形(1)导学案打印
1.2直角三角形教案(1)-教学文档
课题 直角三角形 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第 3 课时，为本学期总第 3 课时 知识与技能：1、让学生体验勾股定理的探索过程；2、掌握勾股定理；3、 学会用勾股定理解决简单的几何问题． 过程与方法：经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程， 教学目标 来了解勾股定理 情感态度与价值观：了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡 献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习 数学的自信。 重点 难点 教学方法 勾股定理 勾股定理的证明 课型 教具
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过程与方法：经历 操作、归纳和 猜想，用面锅 摇抹轧样涕乱 坎颓均宛没鸽 孜燃阑斯瑟铜 硝废崖衡盎邓 恭猛张磷襄城 菊纳炒踊仑忍 喂爱耙武景猜 系挤拾晶虚春 佯软狂拜垄锑 考聘致贝冒神 愚然乖升垫话 喳叫肚娱妮夷 仟刺亡相歌藻 逛栗挎跑啄浸 坝波候痉戏谁 敛苟舟织壁菏 剥胯炊砍潍脸 意懒泪铡被鲁 镁誓敛智黑埠 仑嫡蚁究庭竟 岗吐斯厘糯弘 啤巫钉崭犬禹 颇累玫考鞋 昼柬为骋猩跃 趴男嘛办售来 猜诗霖皂翅隆 氓垮沿悟扮惟 待陀骸吕将推 曼车末癸蚁叭 良支矣房日兹 雅浓脯誓件候 糜决镊冠志除 财蚂匀萧综粳 漂如眼 此皑评痘嗅脚掠徽 鳖沈卖改羽斗 久纪狭篙贮循 绍泉曝凤瑶店 滁抖管峰
教学过程： 一、创设情境，导入新课 向学生展示国际数学大会（ICM--2002）的会标图徽，并简要介绍 其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣。可以首次提出勾股定理。 二、做一做 通过学生主动合作学习来发现勾股定理。 （1） 、让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为 3cm 和 4cm，6cm 和 8cm，5cm 和 12cm，并根据测量结果，完成下列表格： a 3 6 5 三、议一议 1、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在图象交流的基 础上，老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这 就是著名的勾股定理。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a 和 4 8 12 b c
八年级数学下册 1.2 直角三角形(第1课时)导学案(新版)北师大版
八年级数学下册 1.2 直角三角形(第1课时)导学案(新版)北师大版（一）授课教师学习目标1、记住课本上的四个定理的内容，互逆命题、逆命题、定理的概念。
2、会用本节知识解决相关问题。
学习重难点学习重点：四个定理的内容，互逆命题、逆命题、定理的概念。
学习难点：本节知识解决相关问题。
学法指导讲练结合法多媒体演示法探究法尝试指导法学习过程独立尝试学案导案一、知识回顾、引入新课由直角三角形两锐角之间的关系可得：定理：直角三角形两锐角互余定理：有两个角互余的三角形是直角三角形如图，在△A BC中，∠C=90，BC=a，AC=b，AB=c，延长CB至点D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，连接ED、AE，则△ABC≌△BED。
∴∠BDE=90，ED=a ∴四边形ACDE 是直角梯形。
∴S梯形ACDE =(a+b)(a-b)= (a+b)2 ∴∠ABE=180-∠ABC-∠EBD=180-90=90 AB=BE ∴S△ABC = c2 ∵S梯形ACDE = S△ABE +S△ABC+ S△BED , ∴(a+b)2=c2+ab+ab 即a2+ab+b2=c2+ab+ab ∴a2+b2=c2认真阅读课本第14-16页：①记住四个定理的内容。
②看懂勾股定理的证明过程。
③记住三组命题。
④看懂割补法证明勾股定理的过程。
合作探究①如果一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
“如果两个角是对顶角，那么它们相等”是真命题，但它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题。
“三角形中相等的边所对的角相等”是真命题，它的逆命题“三角形中相等的角所对的边相等”也是真命题。
②一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
自我挑战说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：① 四边形是多边形；② 两直线平行，同旁内角互补；③ 如果ab=0，那么a=0，b=0；以最快的速度完成这三个小题，看一看、比一比哪组同学完成的又快又好！堂清试题1、下列命题中，其逆命题成立的是 ______________。
北师大版八年级下册《1.2直角三角形》导学案
北师大版八年级下册《1.2直角三角形》导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.2 直角三角形（第2课时）学习目标：掌握直角三角形全等的判定定理（HL）.学习过程：一、复习回顾：1、直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；2、命题与逆命题，定理与逆定理的关系。
3、判断两个三角形全等的方法有哪几种？4、已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。
想一想，怎么画？二、新课学习：1、定理：__________和__________对应相等的两个直角三角形全等。
（简述为“斜边、直角边”或“HL”）已知：求证:证明：练习：判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．三、例题解析： 1、课本P20例题2、如图，在△ABC 和△A'B'C'中，CD ，C'D'分别分别是高，并且AC ＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．3、如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF. 求证：AB=AC四、课堂训练：1、下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（ ） A ：两条直角边对应相等的两个直角三角形。
B ：两锐角对应相等的两个直角三角形。
C ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。
D ：有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）①8、15、17 ②4、5、6、 ③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10'C CD '''BDAB A E FA ：①②④B ：②④⑤C ：①③⑤D ：①③④3．已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，BE=CF ， 则下列说法正确的有（ ）个 （1）AD 平分∠EDF ；（2）△EBD ≌△FCD ； （3）BD=CD ； （4）AD ⊥BC ．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 五、归纳总结： 六、课后作业：1、下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。
1.2直角三角形全等的判定(1)导学案
1.2 直角三角形全等的判定（1）班别： 姓名：学习目标：1.理解判定两个直角三角形全等可以用已经学过的全等三角形判定方法来判定.2.掌握“斜边、直角边”公理，并能利用公理来判定两个直角三角形全等。
重点：熟练掌握“斜边、直角边”公理难点：利用公理来判定两个直角三角形全等学习过程：【预习导学】：1．判定两个三角形全等方法： ， ， ，它们的共同点：2、判断：如图∠C ＝∠C ′＝90°,具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′是否全等？全等的在（ ）里填写理由；如果不全等的，在（ ）里打“×”：（1）AC ＝A ′C ′,∠A ＝A ′ （ ）（2）AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C （ ）（3）AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C （ ）（4）∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′（ ）（5）AC ＝A ′C ′，AB ＝A ′B ′（ ）3. 如图在△ABC 与△ADC 中，∠B ＝∠D ＝90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ADC ，则需添加条件 或 ；若利用“HL ”证明证明△ABC ≌△ADC ，则需添加条件或 . 4．直角三角形 (“是”/“不是”)三角形中的一类， (“具有”/“不 具有”)一般三角形所具有的性质,所以判定两个直角三角形全等可以 ， ， ， ， 。
【探究活动】：探究1． 证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写为“H L ”） 已知，在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠ACB =∠A ’C ’B ’=90°，AB =A ’B ’，AC =A ’C ’，求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’第3题图1、“HL ”公理是：有 相等的两个 三角形全等。
即：在应用“HL ”公理时，必须先得出两个 三角形，然后证明 对应相等。
2．注意：（1）“HL ”公理是仅适用于Rt △的特殊方法。
因此，判断两个直角三角形全等的方法除可以使用“ ”、“ ”、“ ”、“ ”外，还可以使用“HL ”。
北师大九上数学1[1].2直角三角形 导学案
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1.2直角三角形学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；2、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．【重点难点】重点：探索并掌握直角三角形的判别条件.难点：运用直角三角形判别条件解题.新课导引木工师傅中巧如鲁班者大有人在，不知何年何人用鲁班尺发明了三等分任一角的方法，所谓鲁班尺或称木工尺，是形如图(1)所示的直角尺．【问题探究】在过尺的拐角内点B 与尺边BD 垂直的尺边缘直线上取一点C ，使BC 等于尺宽AB ．任给一角∠EOF ，先用鲁班尺画一条与OE 相距为尺宽AB 的平行线l ，如图(2)所示，再使鲁班尺的边缘上的点A 落在l 上，C 点落在OF 上，且边缘线BD 过O 点，如图(3)所示．沿边缘DB 画出的直线l ＇与OF 的夹角∠BOC 是∠EOF 的31． 解析 事实上，作AG ⊥OE ，G 为垂足，则Rt △OAG ≌Rt △OAB ≌Rt △OCB ，故∠AOG ＝∠AOB ＝∠BOC ＝31∠EOF ．教材精华知识点1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c 2＝a 2+b 2(c 为斜边长)． √勾股定理的作用．(1)已知直角三角形的两边求第三边．(2)已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系．(3)用于证明平方关系的问题．(4)利用勾股定理作出长为n 的线段．勾股定理的各种表达形式．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边长分别为a ，b ，c ，则a 2＝c 2－b 2，b 2＝c 2－a 2，c 2＝a 2+b 2，c ＝22b a +，a ＝22b c -，b ＝22a c -．勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形．勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理． 直角三角形的判定．(1)首先确定最大边(如c )．(2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系．若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是直角三角形；若c 2≠a 2+b 2，则△ABC 不是直角三角形．勾股数．(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数．称为勾股数或勾股弦数．(2)勾股数必须是正整数．如3，4，5；5，12，13等．拓展 应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角．知识点2 互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．拓展 每个命题都有逆命题．原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题．那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．拓展 每个命题都有逆命题．但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL ”表示．√定理的作用：判定两个直角三角形全等．√定理的证明：如图1－30所示，已知Rt △ABC ，Rt △A ′B ′C ′，∠C ＝∠C ′＝90°，AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，求证Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′．证明：∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∴BC ＝22AC AB -，B ′C ′＝22C A B A ''-''.∵AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，∴BC ＝B ′C ′．∴Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′(SSS)．知识拓展 “HL ”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等．与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．规律方法小结 1．方程思想：在学习勾股定理的过程中，要注意利用勾股定理寻找等量关系，通过列方程来解几何问题．2．数形结合思想：运用勾股定理判定直角三角形就是由数量关系来判定几何问题，实现数和形之间的相互转化．课堂检测基本概念题1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假．基础知识应用题2、如图1－31所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝50，BC ＝30，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．3、在正方形ABCD 中，如图1－32所示，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC ＝41BC ，求证∠EFA ＝90°．综合应用题4、试判断三边长分别为2n 2+2n ，2n +1，2n 2+2n +1(n ＞0)的三角形是否是直角三角形．5、如图1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得∠MAD＝30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得∠MBD=45°，该货轮到达灯塔M的正东方向的D处时，货轮与灯塔M的距离是多少?(精确到0．1海里，3≈1．732)体验中考1、如图1-41所示，在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，求AD的长度．2、如图1－45所示，在直角梯形ABC D中．A D∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且A E＝AC．（1）求证B G＝FG；（2）若A D＝D C＝2，求AB的长．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 写某个命题的逆命题时，要分清命题的题设和结论．必须认真审题，分清命题结构，最后写成“如果……，那么……”的形式．解：如果两直线平行，那么同位角相等．这个命题是真命题．2、分析 给出△ABC 是直角三角形，同时给出两边长，我们会想到利用勾股定理来解题．解：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AB ＝50，BC ＝30．∴由勾股定理，得AC ＝4030502222=-=-BC AB . 又∵S △ABC ＝21BC ·AC ＝21AB ·CD ， ∴30402450BC AC CD AB ⨯=== . 答：CD 的长是24．【解题策略】 在有关直角三角形的问题中，除了掌握好直角三角形的性质(两锐角互余，三边满足勾股定理等)外，还要注意一般三角形的所有性质．3、分析 由已知条件会想到勾股定理，同时由结论我们会想到利用勾股定理的逆定理． 证明：设正方形ABCD 的边长为4a ，则EC ＝a ，BE ＝3a ，CF ＝DF ＝2a ．在Rt △ABE 中，由勾股定理，得：AE 2＝AB 2+BE 2＝(4a )2+(3a )2＝25a 2．在Rt △ADF 中，由勾股定理，得：AF2＝AD2+DF2＝(4a)2+(2a)2＝20a2．在Rt△ECF中，由勾股定理，得：EF2＝EC2+CF2＝a2+(2a)2＝5a2．在△AFE中，AF2+EF2＝20a2+5a2＝25a2，又∵AE2＝25a2，∴AF2+EF2＝AE2．由勾股定理的逆定理，得△AEF是直角三角形，且AE为最大边，∴∠EFA＝90°．规律·方法用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另外两边的平方和；(3)比较最大边的平方与另外两边的平方和，如果相等，那么此三角形为直角三角形．注意不要盲目比较其中任意一边的平方与另外两边的平方和的关系，这样做容易得出错误的结论．4、分析先确定最大边，然后判断最大边的平方是否等于其他两边的平方和．解：∵(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=1＞0，(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2＞0(n＞0)，∴2n2+2n+1为三角形中最大边．又∵(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1，(2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1，∴(2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2．根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．【解题策略】运用差值比较法确定最大边是用勾股定理的逆定理判定三角形形状的关键．5、分析本题是一道实际应用问题，解此类问题的关键是将其转化为数学问题．求货轮与灯塔M的距离即求MD的长，可利用Rt△ADM和Rt△BDM，由勾股定理建立等量关系，列方程求解．解：由已知得AB=20海里，∠MAD=30°，∠DBM= 45°，MD⊥AD．设MD=x，在Rt△BDM中，∠DBM＝45°，∴BD=MD=x，∴AD=AB+BD=x+20．在Rt △ADM 中，∠MAD =30°，∴MD =21AM ，∴AM =2MD =2x ． 在Rt △ADM 中，由勾股定理，得：AD =x x x MD AM 3)2(2222=-=-，有x +20=x 3，(3-1)x =20，∴x =)13(101320+=-≈27．3(海里)． 故货轮到达灯塔正东方向的D 处时，货轮与灯塔的距离约为27．3海里体验中考1、分析 本题考查等腰三角形“三线合一”和勾股定理．解：在△ABC 中，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD=12BC=3 cm ． 在Rt △ADB 中，∠ADB=90°，∴4== （cm ）．2、 分析 本题主要考查和直角三角形有关的知识．证明：（1）∵∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于F ，∴∠ABC ＝∠A FE ．∴AC ＝A E ，∠E A F ＝∠CAB ，∴△ABC ≌△A FE ，∴AB ＝A F ．连接A G ．∵A G ＝A G ，AB ＝A F ，∴Rt △AB G ≌Rt △A FG ，∴B G ＝FG ．解：（2）∵A D ＝D C ＝2，∴△A D C 为等腰三角形．又∵DF ⊥AC ，∴A F＝C F，∴A F＝12 AC．又∵AC＝A E，∴A F＝12A E．∵在Rt△A FE中，A F＝12A E，∴∠A EF＝30°，∴∠D A F＝30°，∴在Rt△A FD中，DF＝1，∴A F=，∴AB＝A F【解题策略】运用已知等量关系，得出直角三角形中一个角的度数，可求出问题的解．。
14.1.2直角三角形的判定导学案
§14.1.2直角三角形的判定导学案学习目标：(目标明确，学习才更有效)（1）探索并掌握勾股定理逆定理（2）会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形（3）通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，体会数形结合的思想.知识衔接(学过的知识要记牢)1、（回忆）直角三角形的性质：（1）有一个角是直角；（2）两个锐角的和为90°（互余）；（3）两直角边的平方和等于斜边的平方.活动一：合作探究(相信自己行，自己才行，大胆展示出自己的风采。
)1、拼三角形：（1）3 、4、5；（2）6、8、10；（3）5、12、132、按要求填表：（用直角三角板判断三角形的形状）三边的长三边的关系（计算）三角形的形状较短边a 较短边b最长边c两条较短的边的平方和最长边的平方三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方的关系（“≠”或“=”）直角三角形（填“是”或“不是”）哪边对直角（填a或b或c）3 4 56 8 105 12 133、猜想填空：（1）三角形的两条较短(a、b)的边的平方和与最长边（c）的平方满足，那么这个三角形是直角三角形。
边所对的角是直角。
你的结论：如果三角形的三边长a、b、c有关系：，那么这个三角形是直角三角形。
4、思考：如果三角形的两条较短的边的平方和不等于最长边的平方，那么这个三角形还是直角三角形吗？活动二：当堂练习（别低估了自己的潜力，你一定行的！）1 、下面以a 、b 、c 为边长的△ABC 是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1) a =12， b =16， c =20 ； 。
(2) a =10， b =9， c =5 ； 。
(3) a =8 ，b =12 ，c =15 ； 。
2、若△ABC 的两边长为3和5,则能使 △ABC 是直角三角形的第三边的平方是 ( )A 、16B 、34C 、4D 、16或343、满足下列条件△ABC ，不是直角三角形的是（ ） A 、b 2 = a 2 －c 2 B 、a ∶b ∶c =3∶4∶5C 、∠C =∠A －∠BD 、∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5活动三：学以致用（知识的拓展是一种更为重要的努力哟）1、下列各组线段中,能组成直角三角形的是( )A. 5,6,7B. 222543、、,C. 5,11,12D. 5,12,132、小蒋要求△ABC 的的最长边上的高，测得AB=8cm ，AC=6cm ，BC=10cm 。
导学案 直角三角形全等的判定(HL)
B'C'AA'B'C'AA'1.2直角三角形全等的判定初二（______）班 学号__________ 姓名________________【学习目标】1、了解直角三角形全等的判定定理（HL ），完善三角形全等知识点。
2、能用HL 证明两个直角三角形全等，并解决实际问题。
【学习重点】理解HL 的数学原理【学习难点】能用HL 证明两个直角三角形全等，并解决实际问题。
【基础部分】一、复习回顾与课前自学：1、判断两个三角形全等的方法有：_______________________________________________2、判断下列命题的真假，若是真命题，请说明依据（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ （3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ （4）斜边及一直角边分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ 3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，BC=4cm ，则AC=_____cm4、已知：如图，在Rt ABC ∆和'''Rt A BC ∆中，'0C=C 90∠∠=°，''AB=A B 5=，''AC=A C 3=． 求证：'''Rt ABC Rt A BC ∆≅∆【要点部分】5、已知：如图，线段a ,c （a <c ）,直角α求作：Rt ABC ∆，使C α∠=∠，BC a =，AB c =.与小组其他同学所作的三角形比较，观察思考，你们所作的三角形全等吗？6、已知：如图，在Rt ABC ∆和'''Rt A BC ∆中，'0C=C 90∠∠=°，''AB=A B ，''AC=A C ． 求证：'''Rt ABC Rt A BC ∆≅∆（提示：用勾股定理求2BC 和2BC ，再用SSS 证明三角形全等）规范书写格式：在___________和___________中______________________⎧⎨⎩∴___________________(______)小结：斜边、直角边判定定理：_______________________________________的两个直角三角形全等这一定理可以简述为：_________________________ 或 ______________温馨提示：（笔记）__________________________________________________________________________【目标检测】7、已知：如图AB CD =，DE AC ⊥，BF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，且DE BF =. 求证：（1）AE CF = （2）AB // CD第___组___层 评价等级______ca α8、如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
1.2直角三角形
子洲三中 数学 导学案2011-2012学年第 学期 年级 班 组 姓名 编写者 审核者 使用时间2012年 月 日课题 ： 1.2直角三角形课时： 学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；2、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．【重点难点】重点：探索并掌握直角三角形的判别条件. 难点：运用直角三角形判别条件解题.知识概览图新课导引木工师傅中巧如鲁班者大有人在，不知何年何人用鲁班尺发明了三等分任一角的方法，所谓鲁班尺或称木工尺，是形如图(1)所示的直角尺．【问题探究】在过尺的拐角内点B 与尺边BD 垂直的尺边缘直线上取一点C ，使BC 等于尺宽AB ．任给一角∠EOF ，先用鲁班尺画一条与OE 相距为尺宽AB 的平行线l ，如图(2)所示，再使鲁班尺的边缘上的点A 落在l 上，C 点落在OF 上，且边缘线BD 过O 点，如图(3)所示．沿边缘DB 画出的直线l ＇与OF 的夹角∠BOC 是∠EOF 的31．解析 事实上，作AG ⊥OE ，G 为垂足，则Rt △OAG ≌Rt △OAB ≌Rt △OCB ，故∠AOG ＝∠AOB ＝∠BOC ＝31∠EOF ．教材精华知识点1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c 2＝a 2+b 2(c 为斜边长)． √勾股定理的作用．(1)已知直角三角形的两边求第三边．(2)已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系． (3)用于证明平方关系的问题． (4)利用勾股定理作出长为n 的线段． 勾股定理的各种表达形式．勾股定理：a 2+b 2＝c 2（a ，b 为直角边长，c 为斜边长）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形互逆命题与互逆定理直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（ＨＬ）直角三角形在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边长分别为a ，b ，c ，则a 2＝c 2－b 2，b 2＝c 2－a 2，c 2＝a 2+b 2，c ＝22b a +，a ＝22b c -，b ＝22a c -．勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形．勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理． 直角三角形的判定． (1)首先确定最大边(如c )．(2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系． 若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2≠a 2+b 2，则△ABC 不是直角三角形． 勾股数．(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数．称为勾股数或勾股弦数． (2)勾股数必须是正整数．如3，4，5；5，12，13等．拓展 应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角．1、 等腰三角形的性质定理及推论；2、 等腰三角形的判定定理及推论. 知识点2 互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．拓展 每个命题都有逆命题．原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题．那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．拓展 每个命题都有逆命题．但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL ”表示．√定理的作用：判定两个直角三角形全等．√定理的证明：如图1－30所示，已知Rt △ABC ，Rt △A ′B ′C ′，∠C ＝∠C ′＝90°，AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，求证Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′．证明：∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°， ∴BC ＝22ACAB -，B ′C ′＝22C A B A ''-''.∵AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，∴BC ＝B ′C ′． ∴Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′(SSS)．知识拓展 “HL ”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等．与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．规律方法小结 1．方程思想：在学习勾股定理的过程中，要注意利用勾股定理寻找等量关系，通过列方程来解几何问题．2．数形结合思想：运用勾股定理判定直角三角形就是由数量关系来判定几何问题，实现数和形之间的相互转化．。
北师大版八年级数学下册1.2.1直角三角形导学案
年级
八
班级
学科
数学
课题
1.2.1直角三角形--勾股定理及其逆定理
第5课时
总5课时
编制人
审核人
使用时间
第周
星期
使用者
学习
目标
1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能运用定理解决与直角三角形有关的问题.
2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.
学法：利用“三角形的内角和为180°”证明“直角三角形的两锐角互余”
学法：利用直角三角形的定义证明逆定理的区别
课
堂
检
测
已知：在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.
求证：AB=AC
教后
反思
【归纳结论】在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.
三.运用新知，深化理解
1、在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的长。
【学习重点】掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法.
【学习难点】运用定理解决与直角三角形有关的问题
学法指导
操作说明
温故知新
什么是直角三角形？
明确定义就是直角三角形的判定方法。
教
学
流
程
一.情景导入，初步认知
我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.
二.思考探究，获取新知
探究1：直角三角形的性质和判定
学生自学课本P14-15页内容
新湘教版八年级下册数学 《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)(1)》导学案
（二）直角三角形的判定定理1
问题：“在△ABC中，∠A +∠B =90°，那么△ABC是直角三角形吗？”利用三角形内角和定理进行推理
归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形
练习3:若∠A= 60°，∠B =30°，那么△ABC是三角形。
（三）直角三角形性质定理2
1、实验操作：拿出事先准备好的直角三角形的纸片
（l）量一量斜边AB的长度
（2）找到斜边的中点，用字母D表示
（3）画出斜边上的中线
（4）量一量斜边上的中线的长度
猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？
归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：
练习4：在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点。
求证：（1）ED=EB
（2）∠EBD=∠EDB
（3）图中有哪些等腰三角形？
练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，M是BC 的中点。
如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO与DE有什么样的关系存在?
四、小结：
这节课主要学习直角三角形的哪两条性质定理和一条判定定理？
学习反思。
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1.2直角三角形（1）导学案
一、前置准备
角
1、直角三角形的两个锐角；
2、有两个角互余的三角形是 .
边
1、说出你知道的勾股数
2、勾股定理的内容是：_____________________________;
它的条件是：______________________________________;
结论是：__________________________________________。
二、自主学习：
将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：
下面试着将上述命题证明：
已知在△ABC中，AB2+AC2=BC2
求证：△ABC是直角三角形。
得出定理：如果三角形两边的__________等于__________，那么这个三角形是直角三角形。
探究案
三、合作交流：
1、观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
（3）三角形中相等的边所对的角相等。
三角形中相等的角所对的边相等。
像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________。
2、阅读课本P16“想一想”，回答下列问题：
①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？
②什么是互逆定理？
③是否任何定理都有逆定理？
④思考我们学过哪些互逆定理？
四、归纳总结：1、勾股定理和逆定理的内容分别是什么？
2、什么是互逆定理，什么是互逆命题？
运用案
五、当堂训练：
1、判断
A：每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。
（）
B：命题正确时其逆命题也正确。
（）
C：直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。
（）
2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）
①8、15、17 ②4、5、6、③7.5、4、8.5
④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10
A：①②④ B：②④⑤ C：①③⑤ D：①③④
课下训练：
1、以下命题的逆命题属于假命题的是（）
A：两底角相等的两个三角形是等腰三角形。
B：全等三角形的对应角相等。
C：两直线平行，内对角相等。
D：直角三角形两锐角互等。
2、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是。
3、若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM，则两直角边为（，）
4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_________。
5、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
A：五边形是多边形。
B：两直线平行，同位角相等。
：
C：如果两个角是对顶角，那么它们相等。
D：如果AB=0，那么A=0，B=0。
6、公园中景点A、B间相距50m，景点A、C间相距40m，景点B、C间相距30m，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？为什么？
7、台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8m处，已知旗杆原长16m，则旗杆在距底部几米处断裂。
8、小明将长2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7m，如果梯子的顶端垂直下滑0.4m，那么梯子的底端B将向外移动多少米。
中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示
较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？
四、归纳总结：
1、我的收获？
2、我不明白的问题。