4PL物流的车辆路径模型及其Lingo求解
Lingo 求解运输问题
对冒号“：”前面的集合的每个元素（下标），冒号“：”后 面的约束关系式都要成立 。
2020/5/23
18
例5 分配问题（指派问题，Assignment Problem）
（1）集合段（SETS）：以“ SETS:” 开始， “ENDSETS” 结束，定义必要的集合变量（SET）及其元素（MEMBER， 含义类似于数组的下标）和属性（ATTRIBUTE，含义类似于 数组）。
基本集合的定义语法
基本集合的定义格式为(方括号“[ ]”中的内容是可选项, 可以没 有):
setname [/member_list/] [: attribute_list];
例2 直接用LINGO来解如下二次规划问题：
Max 98x1 277x2 x12 0.3x1x2 2x22 1
s.t. x1 x2 100
2
x1 2x2
3
x1, x2 0 为整数
4
输入窗口如下：
程序语句输入的备注：
•LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”寻找目标函数，而除注 释语句和TITLE语句外的其他语句都是约束条件，因此语句的 顺序并不重要 。 •限定变量取整数值的语句为“@GIN(X1)”和“@GIN(X2)”， 不可以写成“@GIN(2)”，否则LINGO将把这个模型看成没有 整数变量。 •LINGO中函数一律需要以“@”开头，其中整型变量函数 （@BIN、@GIN）和上下界限定函数（@FREE、@SUB、 @SLB）与LINDO中的命令类似。而且0/1变量函数是@BIN函 数。
例1 如何在LINGO中求解如下的LP问题：
min 2x1 3x2 s.t.
x1 x2 350
用lingo解决运输问题
用lingo解决运输问题（一）实验目的1. 运输问题求解的编程实现2．掌握使用matlab、Lingo、Excel的求解功能求解运输问题，并对结果进行分析。
（二）实验内容《运筹学》清华三版P98页 3.3题Lingo程序代码及运行结果（选取部分）：<1>3.3（1）：程序代码：model:sets:xiao/1..4/:s;chan/1..3/:h;link(chan,xiao):x,y;endsetsdata:y=3 7 6 42 43 24 3 8 5;h=5 2 3;s=3 3 2 2;enddatamin=@sum(link:x*y);@for(xiao(j):@sum(chan(i):x(i,j))=s(j));@for(chan(i):@sum(xiao(j):x(i,j))=h(i));运行结果及结果分析：Objective value: 32.00000产地1分别将数量为3和2的产品运往销地甲和丁；产地2将数量为2的产品运往销地丙；产地3将数量为3的产品运往销地乙；该运输问题的最小费用为32.<2>3.3（2）：model:sets:xiao/1..4/:s;chan/1..3/:h;link(chan,xiao):x,y;endsetsdata:y=10 6 7 1216 10 5 95 4 10 10;h=4 9 4;s=5 2 4 6;enddatamin=@sum(link:x*y);@for(xiao(j):@sum(chan(i):x(i,j))=s(j));@for(chan(i):@sum(xiao(j):x(i,j))=h(i));运行结果及结果分析：Objective value: 118.0000产地1将数量为1、2、1的产品分别运往销地甲、乙、丙；产地将数量为3、6的产品运往销地丙、丁；产地3将数量为4的产品运往销地甲。
最小费用为118.<3>3.3（3）：程序代码：model:sets:xiao/1..5/:s;chan/1..4/:h;link(chan,xiao):x,y;endsetsdata:y=10 20 5 9 102 10 8 30 61 20 7 10 4h=5 6 2 9;s=4 4 6 2 4;enddatamin=@sum(link:x*y);@for(xiao(j):@sum(chan(i):x(i,j))=s(j));@for(chan(i):@sum(xiao(j):x(i,j))<=h(i));运行结果及结果分析：Objective value: 90.00000产地1分别将数量为1、2的产品运往销地丙、丁；产地2分别将数量为4、2的产品运往销地甲、戊；产地3将数量为2的产品运往销地戊；产地4分别将数量为4、5的产品运往销地乙、丙；最小运费为90.<4>3.3（4）：程序代码：model:sets:xiao/1..5/:s;chan/1..5/:h;link(chan,xiao):x,y;endsetsdata:y=10 18 29 13 2213 10000 21 14 160 6 11 3 100009 11 23 18 1924 28 36 30 34;h=100 120 140 80 60;s=100 120 100 60 80;enddatamin=@sum(link:x*y);@for(xiao(j):@sum(chan(i):x(i,j))=s(j));@for(chan(i):@sum(xiao(j):x(i,j))<=h(i));运行结果及结果分析：Objective value: 5520.000产地1将数量为100的产品运往销地甲；产地2分别将数量为40、80的产品运往销地丙、戊；产地3分别将数量为的产品运往销地乙、丙、丁；产地4将数量为80的产品运往销地乙；产地5将数量为20的产品运往销地乙。
车辆路径问题模型及算法研究
车辆路径问题模型及算法研究车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）是指对于一些地点的需求，如何安排一定数量的车辆在给定的时间内从仓库或中心出发，服务这些地点并返回仓库或中心，使得总运输成本最小的优化问题。
该问题是组合优化领域中的NP-hard问题，对于大规模问题，需要高效的求解算法，以实现实际应用的可行性。
本论文旨在探讨车辆路径问题模型及算法研究，介绍其应用领域和目前的研究现状，探究主要的求解策略和方法，分析其优缺点并比较其结果。
一、车辆路径问题的应用领域车辆路径问题有着广泛的应用领域，如物流配送、货物集中运输、公共交通车辆的调度等。
在工业中，车辆路径问题常被用来确定设备或原材料的运输路线，以最少的时间和成本满足客户的需求，实现物资顺畅流通和经济效益最大化。
在城市交通领域，车辆路径问题被应用于公共交通和出租车的调度，通过优化路线和时间，减少运营成本和不必要的耗时，提升效率和服务质量。
此外，车辆路径问题还被应用于邮政快递配送、应急救援等领域。
二、车辆路径问题建模车辆路径问题的建模一般分为节点表示和弧表示两种。
在节点表示中，将车辆路径问题抽象为有向无环图（DAG），其中每个节点表示一个客户点或者仓库，每个边表示从一个节点到另一个节点的连线，代表可行的路径集合。
在弧表示中，将车辆路径问题表示为一张图，其中边权表示该路径需要花费的时间或者距离，该图同样也可能存在环。
1.节点表示法以Capacitated Vehicle Routing Problem（CVRP）为例，将每个顾客的需求为Q[i]，仓库的容量为C，每个顾客的坐标为(x[i],y[i])，仓库的坐标为(x[0], y[0])，顾客之间的欧氏距离为d[i,j]。
则模型可以表示为：\begin{aligned} min\left\{\sum_{(i,j) \in A}d_{i,j}X_{i,j} : \sum_{j = 1}^{n} X_{i,j} = 1, \sum_{i=1}^{n} X_{i,j} = 1\\ \sum_{j \in S} Q_{j} X_{i,j} <= C, X_{i,j} =\{0, 1\} \end{aligned}其中，X[i,j] = 1表示第i个点到第j个点有连线，0表示没有连线，S为与仓库联通的点集合。
Lingo 求解运输问题
定义了三个集合，其中links在前两 输入程序 个集合warehouses 和vendors的基 础上定义 data: model: 表示集合 links中的元素就是集合 capacity=60 55 51 43 41 52; !6发点8收点运输问题; warehouses 和vendors demand=35 37 的元素组合 22 32 41 32 43 38; sets: cost=6 2 6 7 4 2 9 5 成的有序二元组，从数学上看 link warehouses/wh1..wh6/: capacity; 49和 53 8 5 8 2 的笛卡儿 是warehouses vendors vendors/v1..v8/: demand; 52197433 积，也就是说 links(warehouses,vendors): cost, volume; 76739271 links={ （ S |Swarehouses ， endsets 2， 3T 9） 57 265 !目标函数; 5 Tvendors} 5 2 2 8 1 4 3; min=@sum(links: cost*volume); enddatacost和volume也就是 因此，其属性 end !需求约束; 一个6*8 的矩阵（或者说是含有48 @for(vendors(J): 个元素的二维数组）。 @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); MATRIX LINGO 建模语言也称为矩阵生成器（ !产量约束; GENERATOR）。类似warehouses 和vendors直接把元素列举 @for(warehouses(I): 出来的集合，称为基本集合 (primary set),而把links这种基于其 @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); 它集合而派生出来的二维或多维集合称为派生集合 (derived set)。 !这里是数据 ;
车辆路径问题详解课件
多目标优化
将多目标优化技术应用于车辆路径问 题，以实现运输成本、碳排放、时间 等多个目标的平衡优化。
车辆路径问题详 解课件
• 车辆路径问题概述 • 车辆路径问题的数学模型 • 车辆路径问题的优化算法 • 车辆路径问题的扩展问题 • 车辆路径问题的实际应用案例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
车辆路径问题概述
定义与特点
• 定义：车辆路径问题（Vehicle Routing Problem，VRP）是一种组合优化问题，旨在确定一组最优路径，使得一定数量的 车辆能够在给定的时间窗口内从配送中心出发，完成一系列的客户配送任务，最终返回配送中心。
多目标车辆路径问题
总结词
同时优化多个目标函数，如运输成本、运输时间、车辆空驶时间等。
详细描述
多目标车辆路径问题是在车辆路径问题的基础上，考虑了多个目标函数的优化。这些目标函数可能包括运输成本、 运输时间、车辆空驶时间等。通过权衡这些目标函数的取舍，可以找到一个最优解，使得各个目标函数都能得到 一定程度的满足。
03
CATALOGUE
车辆路径问题的优化算法
精确算法
精确算法是一种求解车辆路径问题的 算法，它能够找到最优解，但计算复 杂度较高，需要消耗大量的时间和计 算资源。
常见的精确算法包括分支定界法、回 溯法等。这些算法通过穷举所有可能 的解来找到最优解，因此计算量较大， 只适用于小型问题。
启发式算法
• 多目标性：通常需要考虑最小化总运输成本、最小化车辆行驶总距离、最小化车辆空驶时间等多个目标。 • 约束条件：需满足车辆装载量、时间窗口、车辆数量等约束条件。 • 组合优化：需考虑多个路径和多个车辆之间的组合优化。
问题的起源和背景
LINGO求解运输问题
一.实验目的1、学会使用LINGO 软件求解运输问题的步骤与方法。
2、掌握使用LINGO 对运输问题的求解功能，并对结果进行分析。
二.实验内容1.已知某企业有甲、乙、丙三个分厂生产一种产品，其产量分别为7、9、7个单位，需运往A 、B 、C 、D 四个门市部，各门市部需要量分别为3、5、7、8个单位。
已知单位运价如下表。
试确定运输计划使总运费最少。
2.现在要在五个工人中确定四个人来分别完成四项工作中的一项工作。
由于每个工人的技术特长不同，他们完成各项工作所需的工时也不同。
每个工人完成各项工作所需工时如下表所示，试找出一个工作分配方案，使总工时最小。
三. 模型建立1.由题设知，总产量为：7+9+7=23个单位，总销量为：3+5+7+8=23个单位，所以这是一个产销平衡的运输问题。
设)4,3,2,1;3,2,1(==j i x ij 代表从第i 个产地运往第j 个销地的数量，z 为总运费。
i a 表示第i 个产地的产量，j b 表示第j 个销地的销量ij c 表示从第i 个产地运往第j 个销地的单位产品运输费用。
则该问题的数学模型为：34114131max 0,1,2,3;1,2,3,4ij iji j ij i j ij j i ij Z c x x a x b x i j =====⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑2. 设0-1变量，1,0ij i x i ⎧=⎨⎩当第个人完成某j 项工作，当第个人不完成某j 项工作则该问题的数学模型为：54115141min 1,1,01ij iji j ij i ij j ij Z c x x j x i x i j =====⎧= =1,2,3,4⎪⎪⎪= = 1,2,3,4,5⎨⎪⎪= =1,2,3,4,5;=1,2,3,4⎪⎩∑∑∑∑或，四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1、编写程序1-1.m 如下：model : sets :warehouses/wh1..wh3/: capacity; vendors/v1..v4/: demand;links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets data :capacity=7 9 7； demand=3 5 7 8； cost= 12 13 10 11 10 12 14 10 14 11 15 12； enddatamin =@sum (links(I,J): cost(I,J)*volume(I,J));@for(vendors(J):@sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J));@for(warehouses(I):@sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I));end2、编写程序2-1.m如下：model:sets:workers/w1..w5/;jobs/j1..j4/;links(workers,jobs): cost,volume;Endsetsdata:cost=9 4 3 74 65 65 4 7 57 5 2 310 6 7 4;enddatamin=@sum(links: cost*volume);@for(workers(I): @sum(jobs(J): volume(I,J))<=1);@for(jobs(J): @sum(workers(I): volume(I,J))=1);@for(links(i,j): @bin(volume(i,j)));End五．结果分析最优调运方案为：甲→C：7单位；甲→D：0单位；乙→A：3单位；乙→D：6单位；丙→B：5单位；丙→D：2单位。
数学建模_线性规划_运输问题lingo程序
X56 0.000000 32.00000
X64 30.00000 0.000000
X65 0.000000 3.000000
X66 0.000000 7.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 1620.000 -1.000000
x12+x22+x32+x42+x52=50;
x13+x23+x33+x43+x53=40;
x14+x24+x34+x44+x54+x64=30;
x15+x25+x35+x45+x55+x65=30;
x16+x26+x36+x46+x56+x66=20;
LINGO求解结果：
Global optimal solution found.
供应限制：x11+x12+x13+x14+x15+x16=20
x21+x22+x23+x24+x25x+26=30
x31+x32+x33+x34+x35+x36=50
x41+x42+x43+x44+x45+x46=40
x52+x53+x54+x55+x56=30
x64+x65+x66=30
需求限制：x11+x21+x31+x41=30
10 0.000000 -10.00000
国家级精品课程中南大学数学建模lingomatlab优化建模数模培训全国赛论文物流车辆调度问题研究
物流车辆调度问题研究摘要物流车辆优化调度是物流系统优化中关键的一环，也是电子商务活动不可 缺少的内容。
通过对配送车辆进行优化调度，企业可以降低运输成本，提高顾 客服务水平和经济效益，从而获得更多的利润, 而该类问题的解决在于寻找有效的装配方案和行车路线。
本文以基本车辆路径问题(VRP)为基础，通过建立数学模型，寻找车辆调度的最优方案，从而为中心仓库提供明确的车辆调度方案。
在中心仓库所收到客户订单的货物需求量是已知固定不变的情况下，通过对基本车辆路径问题的分析，分别建立模型Ⅰ和模型Ⅱ，得到在有时间窗问题下，车辆调度的最优方案。
模型Ⅰ：带软时间窗的车辆路径优化模型带软时间窗的车辆路径问题由于与车辆数目及时间(装卸货时间和每项任务执行时间)有关，因此我们首先对需要的车辆数目进行一个估计，并使线路安排具有一定的弹性。
然后确定在软时间窗条件下的时间函数，同时，在考虑行驶线路的连通性以及一辆车所承担的任务量之和不大于车的容量等约束条件的情况下，建立总派送费用最小的车辆路径优化模型。
最后提出一种可以求解这一模型且效果较好的粒子群算法(PSO)。
模型Ⅱ：带硬时间窗的车辆路径优化模型基于模型Ⅰ的带软时间窗的车辆路径优化模型，我们在对模型简化中将客户对任务执行时间的要求增加，要求车辆必须在一定的时间范围[],i i a b 内到达，不能提前也不能拖后，从而建立了带硬时间窗的车辆路径优化模型。
在假设车辆数为3的前提下，利用lingo8.0软件求解该模型，得到最优化路径的总运行最短距离min Z=910，同时求得车辆的路径分配方案：车1：0->6->4->0； 车2：0->3->1->2->0； 车3：0->8->5->7->0。
模型Ⅲ：带时间窗的随机需求的车辆路径优化模型由于带时间窗的随机需求VRP 问题中，客户i 的货物需求量为随机参数，情况更贴近实际但却使得问题的复杂程度大大增加，为此我们引入了的概率分布函数，并考虑了客户需求量小于车辆k 剩余运输能力的可能性以及满足车辆在时间窗内到达第i 个客户的置信水平β，从而在基本的车辆路径问题(VRP)基础上建立了带时间窗的随机需求的车辆路径优化模型。
4PL路径优化问题01规划模型与求解
2013年3月控制工程Mar．20 1 3第20卷第2期Control Engineering of China V01．20，No．2文章编号：1671-7848(2013)02-0239-044PL路径优化问题0-1规划模型与求解薄桂华，黄敏，王洪峰(东北大学信息科学与工程学院；流程工业综合自动化国家重点实验室，辽宁沈阳110819)摘要：研究带有时间窗的第四方物流(f o ur th·p ar t y log is ti cs，4PL)路径优化问题，在满足罔客户对配送时间要求的同时实现物流运输成本最小，以提供最优的配送方案。
根据问题本身的特点，建立了带有时间窗的4P L路径优化问题的0—1整数规划模型，采用C P L EX软件分别求解了7节点、15节点和30节点的算例。
将算例结果与基于路进行建模的和声搜索算法和枚举算法进行了对比，结果表明C P L E X可以为带有时间窗的4P L路径优化问题提供最优的解决方案，验证了模型的有效性．关键词：第四方物流；路径优化；0—1规划；C P LE X中图分类号：TP27文献标识码：A0-1Programming Mo del and Solution t o Fourth—party LogisticsRou ti ng Problem with TimeWindowsBO Gui-hua，HUANG施n，WANG舶增毋昭(College of I nf o r m a ti o n S ci en ce a nd Engin eer in g，Nor th eas ter n Univers ity；St a t e K e y Laboratory o f S yn t h et i c al A ut om at io n for P ro c e$s Indu st rie s(No rth ea st er n University)，Shenyan8,110819，China)Abstract：Fourt h-party logistics mu tin g problem w i th ti m e windows w a s st ud i e d，t o m inimize th e tra ns po rt ati on cost andsatisfy c u s t o m-e r s’t i m e requ irement．0-1p 州anins mathematical mod el Was set up，b as ed o n the cha rac teri sti cs of fourth—par ty logistics mu tingprob lem with ti me windows．CPLEX w a s adopted to solv e 7 nod e，15node and30node examples，respectively．Results w e r e eom-pared with harmo ny se a rc h and emu mer ati on a l go ri th m．C PL EX C a l l pro v id e th e o pt i m al so lut ion to ol／F problem a nd0-1 pro gr amm in g mode l iS ef f ec ti v e．Key wo r d s：f o u rt h·p a r t y lo g i st i cs；R o u ti n g pro blem；0-1p r og r a m m in g；C P L E X性，给模型的求解带来一定的困难。
4PL物流的车辆路径模型及其Lingo求解
4PL物流的车辆路径模型及其Lingo求解摘要本文结合多种车辆路线问题（FSMVRP），分析了第四方物流的运输需求与特点，建立了物流企业的带多个集货中心，多种车型，多种运输方式的组合优化模型，使用实际的数据进行实验，利用LINGO求解相应的0-1混合整数规划，最终的得到车队组合与线路规划的优化解。
关键词FSMVRP；LINGO；第四方物流；混合整数规划0 引言第四方物流（4PL）是1998年美国埃森哲咨询公司率先提出的，是专门为第一方、第二方和第三方提供物流规划、咨询、物流信息系统、供应链管理等活动。
第四方并不实际承担具体的物流运作活动。
第四方物流作为方案集成商为货主服务，是货主和第三方物流提供商及其他提供商联系的中心。
相对于第三方物流而言，第四方物流更加需要借助于信息技术。
对于第四方物流系统，存在许多决策优化问题。
在考虑路线优化以及第三方物流选择时，首先需要解决的问题就是选择运输方式，车辆路线和车辆组合问题。
张媛媛和李建斌提出了多周期的FSMVRP的问题的动态算法[1]。
Paolo Toth 和Daniele Vigo在2001年对VRP问题进行了总结[2]。
Patr’cia Belfiore 和Hugo Tsugunobu Yoshida Yoshizaki给出了实际物流中如何去运用FSMVRP模型[3]。
最近本文将介绍一种基于车辆路径问题的4PL数学模型，用于指导4PL企业，如何进行线路选择，工作分配，第三方物流车辆选择。
车辆是物流当中的基本运输单位，本文假设通过车辆的选择，来对3PL物流公司进行选择。
通常这一系列的模型最终将运输问题归结为数学中的线性规划问题，而求解这些线性规划问题，则需要运筹软件Lingo的帮助。
Lingo是由美国LINDO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包，提供了一整套强大的用于求解线性、非线性、二次和整数规划问题的求解器。
1 问题描述与数学模型1.1 问题描述在给定的网络图中，其中本文模型中有三类分别为客户，集货中心，以及目的地(用顶点0表示)。
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4PL物流的车辆路径模型及其Lingo求解摘要本文结合多种车辆路线问题（fsmvrp），分析了第四方物流的运输需求与特点，建立了物流企业的带多个集货中心，多种车型，多种运输方式的组合优化模型，使用实际的数据进行实验，利用lingo求解相应的0-1混合整数规划，最终的得到车队组合与线路规划的优化解。
关键词 fsmvrp；lingo；第四方物流；混合整数规划
中图分类号f252 文献标识码a 文章编号 1674-6708（2011）55-0068-02
0 引言
第四方物流（4pl）是1998年美国埃森哲咨询公司率先提出的，是专门为第一方、第二方和第三方提供物流规划、咨询、物流信息系统、供应链管理等活动。
第四方并不实际承担具体的物流运作活动。
第四方物流作为方案集成商为货主服务，是货主和第三方物流提供商及其他提供商联系的中心。
相对于第三方物流而言，第四方物流更加需要借助于信息技术。
对于第四方物流系统，存在许多决策优化问题。
在考虑路线优化以及第三方物流选择时，首先需要解决的问题就是选择运输方式，车辆路线和车辆组合问题。
张媛媛和李建斌提出了多周期的fsmvrp的问题的动态算法[1]。
paolo toth和daniele vigo在2001年对vrp问题进行了总结[2]。
patr’cia belfiore 和hugo tsugunobu yoshida yoshizaki给出
了实际物流中如何去运用fsmvrp模型[3]。
最近本文将介绍一种基于车辆路径问题的4pl数学模型，用于指导4pl企业，如何进行线路选择，工作分配，第三方物流车辆选择。
车辆是物流当中的基本运输单位，本文假设通过车辆的选择，来对3pl物流公司进行选择。
通常这一系列的模型最终将运输问题归结为数学中的线性规划问题，而求解这些线性规划问题，则需要运筹软件lingo的帮助。
lingo是由美国lindo系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包，提供了一整套强大的用于求解线性、非线性、二次和整数规划问题的求解器。
1 问题描述与数学模型
1.1 问题描述
在给定的网络图中，其中本文模型中有三类分别为客户，集货中心，以及目的地(用顶点0表示)。
且为集货中心，其中tk表示第k个集货中心。
不考虑车辆数量限制。
在计算之前，通过将货物重量除以每种车型的容量，来评估每种车型的最大需求量。
根据第三方物流提供的运价，由低到高进行初步的筛选。
应此我们可以得到，所有车型的最大需求序列。
相应的车辆的容量和最大可访问客户数分别为qv 和mv。
出于安全性以及效率的方面的考虑，在现实生活中小容量车型通常用于短距离运输收集货物到集货中心，大容量车型通常用于长距离运输。
在本文模型中，也将用于集货和送货的车型分开。
本
文考虑主要考虑有4种运输方式。
1）用于集货的不同车型的车队，从集货中心出发，最后也将会回到集货中心；
2）长距离运输的大型车辆也从集货中心出发，在集货中心之间进行拼货，达到最大容量之后送达目的地；
3）当每个客户运转的货物比较多时，大型车辆也可以直接前往提货点进行提货，然后直达目的地或者继续其他集货中心进行拼货。
但出于对运达时间的考虑，大型车通常只会服务很少数的几个客户和集货中心；
4）集货中心的另一种货运方式是通过火车进行零担运输。
尽管有多种运输方式，但是每个提货点只会被一辆车服务一次。
由于集货中心货物量比较大，通常货物会进行分割运输。
火车零担运输，和汽车运输的计费方式并不相同。
火车零担运输在确定地点之后，通常以每千克重量进行计费。
而汽车运输在地点确定以后基本上是以里程计费。
模型中还用到以下符号：
如果车辆从客户i行驶到j
车辆v从客户i行驶到j的费用；
ht=从集货中心t经火车运输到目的地的货物重量；
v1=为用于长距离运输的大型车辆的集合；
v2=为用于短距离集货小型车辆的集合；
为由车辆v从集货中心拼货运走的货物；
w为一个很小的小数；
m为一个足够大的数；
为车辆v已访问过的顶点数。
1.2 数学模型
（1）为目标函数，总体费用包括三部分，分别是客户到集货中心的小型车的运费，集货中心到目的地的大型车的运费，从集货中心到目的地的零担费用。
（2）（3）为集货车辆的网络流限制及每辆车只进行单次运输。
（4），（5），（6），（7）保证长途运输车辆从集货中心出发最后到达目的地且只进行一次运输与网络流平衡。
（8）只有在拼货车辆经过提货点和集货中心时，拼货才会发生。
（9）防止路径产生子循环。
（10）每个接货点只会被一辆车辆访问一次（11）（13）为车辆容量限制。
（12）集货中心货物重量平衡。
（14）为车量访问提货点限制。
2 4pl物流配送方案实例
2.1 德莎物流公司数据
现以德莎物流公司货运数据为例，本例中共有两个集货中心，7个客户，目的地为大连。
总共由5种车型，分别是用于集货的2t、5t、10t的小型车和用于长途运输的15t、30t的大型车。
客户需求如下：
上海发往大连的干线价格分别为火车0.85元/kg，15t卡车13
200元，30t卡车17 300元。
苏州发往大连的干线价格分别为火车0.80元/kg，15t卡车13 000元，30t卡车17 000元。
15t车跨多个提货点提货时，在本地区的集货区域内每增加一个提货点费用增加400元，上海和江苏之间拼货费用增加2 500元。
30t车跨多个提货点提货时，在本地区的集货区域内每增加一个提货点费用增加500元，上海和江苏之间跨区域拼货费用增加3 500元。
小型车辆区域内提货，2t车型每服务一个提货点费用增加100元，5t车型每服务一个点费用增加150元，10t车型每服务一个提货点费用增加250元。
最后到达集货中心也算是一个提货点。
2.2 结果表达
使用lingo求解，优化结果总共有5条配送路径，使用3种车型，首先使用10t和5t的车辆对苏州和上海区域内的客户进行集货，再通过30t的车辆对客户7、苏州集货中心和上海集货中心的货物进行拼货运送至目的地。
从表2看出：路径1:-1-，10t车；路径2：-2-3-，5吨车；路径3：-4-，10t车；路径4：-5-6-，5t 车；路径5：-7--0，30t车。
lingo优化结果相对企业原来的运输计划节约费用5 079.73元。
参考文献
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