恒定电场3.1-3.5电气

v v J = ρv
体电流密度还有另一种定义。 体电流密度还有另一种定义。 还有另一种定义
体电流密度的另一种定义： 体电流密度的另一种定义：在导电媒质的某一空间区 域中某点处（如图），取一电流穿过的任一面S ），取一电流穿过的任一面 域中某点处（如图），取一电流穿过的任一面S，在S上 任取一面积元ΔS 若通过该面积元ΔS的电流为Δ ΔS， ΔS的电流为 任取一面积元ΔS，若通过该面积元ΔS的电流为ΔI， 则： 定义该点的体电流密度大 定义该点的体电流密度大 小为：I =∫ຫໍສະໝຸດ Sv v J ⋅ dS
面S
当电荷分布在很薄（厚度可以忽略） 当电荷分布在很薄（厚度可以忽略）的导电 媒质中，即认为按面分布 媒质中，即认为按面分布ρS ，当它们以速度v 运动时形成的电流可视为在一个面上流过， 运动时形成的电流可视为在一个面上流过，称为 面电流。如图所示。定义面电流密度 面电流密度为 面电流。如图所示。定义面电流密度为：
∫
l
v v E ⋅dl = 0
对于电源内部除等效的局外电场（非库仑电场） 对于电源内部除等效的局外电场（非库仑电场） 局外电场 还存在恒定电场 库仑电场） 恒定电场（ 外，还存在恒定电场（库仑电场）E，可将电源电动 势用总电场（库仑电场和非库仑电场之和） 势用总电场（库仑电场和非库仑电场之和）的回路 积分表示： 积分表示：
∂ρ = 0 ∂t
v v J ⋅ dS = 0 ∫
S
恒定电场中的电 流连续性方程
3.3.2 恒定电场的环路积分定律 以电源和外接的导电回路为例加以说明。 以电源和外接的导电回路为例加以说明。 电源是一种将其它形式的能量（ 电源是一种将其它形式的能量（如 化学能等）转换成电能的装置。 化学能等）转换成电能的装置。电源 内部的非静电力能把电源内导体中的 正负电荷分开， 正负电荷分开，并维持正负电极之间 + 的电压恒定， 的电压恒定，则与电源两极相连的导 体之间的电压恒定， 体之间的电压恒定，从而导体内部及 E’ 周围的电场恒定。 周围的电场恒定。将电源内部正负电 — 荷分开至两极归结于受一等效的局外 场强作用的结果。 场强作用的结果。
∫
V
ρ dV
v v ∂q ∂ J ⋅ dS = − = − ρ dV ∫S ∫V ∂t ∂t ∂ρ
= −∫
V
∂t
dV
v v v ∫ J ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ JdV
S V
v ∂ρ ∫V∇ ⋅ JdV = − ∫V ∂t dV
电流连续性方 程的微分形式 程的微分形式
v ∂ρ ∇⋅ J = − ∂t
∆S P I
J =
lim
∆S → 0
∆I dI = ∆S dS
面S
其方向为该点处正电荷的运动方向。 方向为该点处正电荷的运动方向。
J =
如果电流密度均匀， 如果电流密度均匀，则： 电流密度均匀
lim
∆S → 0
∆I dI = ∆S dS
I J = S
P
∆S I
很显然，如果穿过面元 很显然，如果穿过面元 dS 穿过整个面S 的电流为 dI，则穿过整个面S 的电流为 的电流为：
∆S
i(t ) =
lim
∆ t→ 0
∆ q dq = ∆ t dt
P
( A )
I
面 S
面的电荷量随时间变化， 如果 Δt时间内穿过ΔS 面的电荷量随时间变化， 这样的电流称为时变电流； 这样的电流称为时变电流；如果Δt时间内穿过ΔS 面的电荷量不随时间变化，这样的电流称为恒定电流 恒定电流， 面的电荷量不随时间变化，这样的电流称为恒定电流， 即：
ρv
单位体积的电荷 量，即 ρ
v J
即：
v v dW = J ⋅ EdVdt
v v dW dP = = J ⋅ E dV dt
如果这些功全部转化为热能，于是导电媒质元体 如果这些功全部转化为热能，于是导电媒质元体 内的功率损耗为 积 dV 内的功率损耗为：
单位体积内
v v p = J ⋅E
v v P = ∫ J ⋅ EdV
3.1电流密度 3.1电流密度 通常我们把导电媒质中电荷定向运动形成的电流称为 通常我们把导电媒质中电荷定向运动形成的电流称为 导电媒质 传导电流。 传导电流。 事实上，在自由空间如真空中， 事实上，在自由空间如真空中，如果有电荷的定向 运动，也必然形成电流，称这种电流为运流电流 运流电流。 运动，也必然形成电流，称这种电流为运流电流。这里 主要讨论导电媒质中的电流 即传导电流）。 导电媒质中的电流（ 主要讨论导电媒质中的电流（即传导电流）。 电荷流动的区域如导电媒质中，任取一个小面积 在电荷流动的区域如导电媒质中，任取一个小面积 ΔS，如果Δt时间内穿过S的电荷量为Δq，则定义穿 时间内穿过 内穿过S 则定义穿 的电流强度为 过ΔS 的电流强度为：
通常把产生热损耗的导电媒质称为有耗媒质。 通常把产生热损耗的导电媒质称为有耗媒质。 产生热损耗的导电媒质称为有耗媒质
欧姆定律的微分形式 实验表明，各向同性、线性、均匀媒质中有： 实验表明，各向同性、线性、均匀媒质中有：
v v J = σE
标量形式： 标量形式：
它给出了导电媒质内某一点处 它给出了导电媒质内某一点处 电流密度与场强的关系。 电流密度与场强的关系。通常 又称为导电媒质中欧姆定律的 微分形式
v v J l = ρl v
I
显然， 显然，导线中线电流密度大小就等于导线中流 过的电流（强度） 过的电流（强度）。即：
Jl = I
3.2 导电媒质的欧姆定律及焦耳定律
自由电荷在导电媒质内移动时， 自由电荷在导电媒质内移动时，会与其它粒 子发生碰撞，将动能转换为热能， 子发生碰撞，将动能转换为热能，造成能量损 这就是电流的热效应 载流导线发热， 电流的热效应。 耗，这就是电流的热效应。载流导线发热，产 生功率损耗就是缘于此。 生功率损耗就是缘于此。
ε =∫
A
B
v v v v r E ′ ⋅ dl = ∫ ( E ′ + E ) ⋅ dl
l
式中的积分是沿整个电流回路的积分。 式中的积分是沿整个电流回路的积分。 整个电流回路的积分
3.4 恒定电场的边界条件 当恒定电流通过两种导电媒质σ 的分界面时， 当恒定电流通过两种导电媒质σ1和 σ2 的分界面时， 在分界面上J 和E 以及电位函数各自满足的关系称为恒定 电场的边界条件。采用与静电场推导边界条件相同的方法， 电场的边界条件。采用与静电场推导边界条件相同的方法， 由积分形式的恒定电场基本方程导出。 由积分形式的恒定电场基本方程导出。 v v 由
J = σE
通过例题来加深电流密度的概念以及焦耳定 律和欧姆定律微分形式的应用。 律和欧姆定律微分形式的应用。
恒定电场可视导电媒质内电流密度均匀，因此电 恒定电场可视导电媒质内电流密度均匀，因此电 可视为单位面积上的电流强度 单位面积上的电流强度， 流密度J 可视为单位面积上的电流强度，电场强度 E 可视为场强方向上单位长度的电压。 可视为场强方向上单位长度的电压 场强方向上单位长度的电压。
lim
∆t→ 0
∆q dq = = I ∆t dt
（定值）
电流的方向规定为正电荷运动的方向。 电流的方向规定为正电荷运动的方向。
按照电荷密度的概念， 按照电荷密度的概念，即一定空间内分布的电 电荷密度的概念 可以用电荷密度来描述。很容易想到， 电荷密度来描述 荷可以用电荷密度来描述。很容易想到，一定空间 内分布的运动电荷量（即电流）可以用电流密度 电流密度来 内分布的运动电荷量（即电流）可以用电流密度来 描述。通常， 运动， 描述。通常，以体分布的电荷ρ，以速度v 运动， 则定义体电流密度为： 则定义体电流密度为：
v v v v v v dWe = f ⋅ dl = eE ⋅ dl = eE ⋅ vdt
则移动元体积 dV 内的所有电荷（ NdV），需要 则移动元体积 内的所有电荷（ NdV） 做功为： 做功为：
dW = ( NdV )dWe
v v v v dW = ( NdV ) ⋅ eE ⋅ v dt = Nev ⋅ EdVdt
∂q i = − ∂t
于是： 于是：
v v ∂q i = ∫ J ⋅ dS = − S ∂t
为闭合面S包围的电荷量， 式中q为闭合面S包围的电荷量，可用体密度 表示为： 表示为： 电荷守恒定律
q =
综合上述： 综合上述：
∫
V
ρ v dV
（也称电流连 也称电流连 续性方程） 续性方程）
v v ∂q ∂ J ⋅ dS = − = − ∫S ∂t ∂t
导体回路中 的恒定电场
A E B
E
将单位正电荷从负极搬运到正极， 将单位正电荷从负极搬运到正极，非静电力做的 功称为电源电动势： 功称为电源电动势： v A v
ε =
∫
B
E ′ ⋅ dl
由于导体内部电荷量恒定，电场分布也恒定，恒 由于导体内部电荷量恒定，电场分布也恒定， 定电场与静电场相同都遵循守恒定律， 定电场与静电场相同都遵循守恒定律，有：
第三章 恒定电流的电场
前面我们讨论的是静止电荷引起 的电场，即静电场。 的电场，即静电场。运动电荷周围 也会引起电场。导电媒质中（ 也会引起电场。导电媒质中（如导 I P 含有大量的自由电荷， 体）含有大量的自由电荷，在外电 场作用下，自由电荷会定向运动， 场作用下，自由电荷会定向运动， 形成电流，此电流不仅在导电媒质 形成电流，此电流不仅在导电媒质 中引起电场和磁场， 中引起电场和磁场，还在导电媒质 周围的介质中引起电场和磁场。 周围的介质中引起电场和磁场。 如果导电媒质中的电流是恒定的， 如果导电媒质中的电流是恒定的，将引起恒定的 电场和磁场。 电场和磁场。 导电媒质周围的介质中引起电场可用前面的方法。 导电媒质周围的介质中引起电场可用前面的方法。 这一节讨论导电媒质中恒定电流在导电媒质中以 及导电媒质周围的介质中引起的电场。 及导电媒质周围的介质中引起的电场。