初中八年级数学教案-课题学习 最短路径问题-公开课比赛一等奖
全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：最短路径--教学设计
全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：最短路径–教学设计一. 教材分析“最短路径”是初中数学中的一重要内容，主要让学生了解最短路径的概念，掌握求解最短路径的方法。
通过本节课的学习，学生能够理解最短路径的定义，学会使用图论中的迪杰斯特拉算法求解最短路径问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念，如顶点、边、路径等。
但他们对最短路径的概念和求解方法可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过已有的图的知识，去理解和掌握最短路径的相关知识。
三. 教学目标1.理解最短路径的定义。
2.学会使用迪杰斯特拉算法求解最短路径问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.最短路径的定义。
2.迪杰斯特拉算法的理解与应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题情境，引导学生主动探究；通过分析实际案例，让学生理解和掌握最短路径的求解方法；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例资料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题情境，如两个人从同一城市出发，到达另一个城市，如何选择路径使得距离最短。
引导学生思考最短路径的概念。
2.呈现（15分钟）呈现最短路径的定义，以及迪杰斯特拉算法的原理和步骤。
通过图例，让学生直观地理解最短路径的求解过程。
3.操练（20分钟）学生分组，每组选择一个案例，运用迪杰斯特拉算法求解最短路径。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，检验自己对于最短路径知识的理解和掌握。
教师选取部分题目进行讲解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考最短路径在实际生活中的应用，如地图导航、网络路由等。
让学生举例说明最短路径在实际问题中的应用。
6.小结（5分钟）总结本节课的主要内容，强调最短路径的定义和迪杰斯特拉算法的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置课后作业，巩固最短路径的相关知识。
最短路径问题市公开课一等奖省优质课获奖课件
问题1 归纳
B A
l
处理实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知处理新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
第12页
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处 可使从A到B路径AMNB最短？（假定河两岸是平 行直线，桥要与河垂直.）
思索： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？
在处理最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平 移等变换把不在一条直线上两条线段转化到一条直线上 ，从而作出最短路径方法来处理问题.
第29页
布置作业
必做题 教材第91页复习题13第15
题.
第30页
第6页
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧两个点， 怎样在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 距离和最短？
B A
l
C
B
两点之间，线段最短.
第7页
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不一样点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 异侧呢？
（3）利用什么知识能够实现转化目标？
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边什么地方饮马，可使所走路 径最短？
B A
l
第4页
精通数学、物理学海伦稍加思索，利用轴对称 知识回答了这个问题．这个问题以后被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
第5页
分析：
B B
全国初中数学优秀课一等奖教师说课稿：最短路径--说课稿
全国初中数学优秀课一等奖教师说课稿：最短路径–说课稿一. 教材分析《最短路径》是人教版初中数学八年级上册的一章内容，主要介绍了最短路径问题的相关知识。
本章内容是学生在学习了图论的基础上，进一步探究图的应用。
通过本章的学习，学生能够理解最短路径的概念，掌握最短路径的求解方法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力。
但是，对于复杂的最短路径问题，学生还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，我将会以学生为主体，注重培养学生的动手操作能力和思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解最短路径的概念，掌握最短路径的求解方法。
2.过程与方法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径的概念，最短路径的求解方法。
2.教学难点：对于复杂的最短路径问题，如何引导学生找到解决方法。
五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究最短路径问题。
同时，我会利用多媒体教学手段，以动画、图片等形式，直观地展示最短路径问题的解决过程。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对最短路径的兴趣。
2.探究：引导学生分组讨论，自主探究最短路径的求解方法。
3.展示：各小组展示自己的探究成果，其他小组进行评价。
4.讲解：对学生的探究成果进行总结，讲解最短路径问题的解决方法。
5.练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
6.总结：对本节课的内容进行总结，强调最短路径在实际生活中的应用。
七. 说板书设计板书设计如下：最短路径问题1.定义：从图中一个顶点到另一个顶点的最短路径。
2.求解方法：a.迪杰斯特拉算法b.贝尔曼-福特算法c.动态规划法八. 说教学评价本节课的评价方式主要有两种：一是课堂表现，包括学生的参与度、思考问题的深度等；二是课后作业，包括练习题的完成情况、对知识的掌握程度等。
初中八年级数学教案- 课题学习 最短路径问题-冠军奖
§最短路径问题教学简案南京市浦口区第三中学邵传经一、内容解析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时候还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究本节课以数学史中的一个经典问题－“将军饮马问题”和“造桥选址问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称和平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）的问题基于以上分析，确定本节课的重点为：利用轴对称、平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，本节内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
在教学中教师不应只注重传授知识、解题方法和技巧，更应注重创造机会，培养学生的实践探究及应用能力。
二、教学目标：（1）知识与技能1．会利用两点之间线段最短解决两点在直线同侧的最短路径问题；2．解决造桥选址使路径最短问题．（2）过程与方法让学生经历运用所学知识解决问题的过程培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想和方法．（3）情感态度与价值观在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系．四、教学重难点重点：应用所学知识解决最短路径问题；难点：数形结合思想与数学建模思想的培养．五、教学过程：1创设情景引入课题2自主探究合作交流建构新知问题一:将军饮马问题从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短将实际问题抽象为数学问题思考画图：将 A , B两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线追问1:A点到B点路程最短（两点）追问2:A点到直线l的距离最短（一点一线）追问3:点A与点B在直线l的异侧（两点一线，异侧）lBAABC l追问4:点A 与点B 在直线l 的同侧（两点一线，异侧）追问5:点A 在两相交直线l 、m 的内部，从A 出发先到直线l ，然后到直线m 再回到A ，如何使路程最短（一点两线）问题二:造桥选址问题如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直追问1:如果有两条平行的河流，从A 到B 如何使造两座桥可使从A 到B 的路径最短 追问2:如果有两条不平行的河流，从A 到B 如何使造两座桥可使从A 到B 的路径最短3．课堂小结在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称，平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而解决了问题一：将军饮马问题和问题二：造桥选址问题，要使所得到的路径最短，就是要通过轴对称和平移变换，使所得到的其他路径经平移后在一条直线上。
初中八年级数学教案- 课题学习 最短路径问题-一等奖
教师姓名赵志香
单位名
称乌鲁木齐市第
四十四中学
填写时间2022年8月
学科数学
年级/
册
八年级上册教材版本人教版课题名称课题学习最短路径问题
难点名称利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点分析从知识角度分
析为什么难
填写示例
本课题包含两个极值问题，通过这两个问题要使学生了解解
决最短路径的一些基本方法。
对于这样的极值问题，学生初
次接触，难度较大，在证明中要选一点，学生想不到。
从学生角度分
析为什么难
为了解决这些难点，教学中要注意，首先让学生回忆我们学
过那些有关线段最短问题和线段比较大小的基本事实。
难点教学
方法1.通过学生动手画图体会异侧转化为同侧，在利用“两点之间，线段最短”
来解决
2.直线同侧两点中的一点映射到另一侧，而不改变路径的总长度
教学环节教学过程
导入学生已经对轴对称有了基本的理论基础知识，通过以下三个活动回顾基础理论知识
1、知识回顾：
（1）两点的所有连线中，最短；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短
2、如图，已知点A和直线l
（1）作点A 关于直线l的对称点A’
（2）直线l是线段AA’的
若点
,N，使△PMN的周长最小
C层：（教材P93第15题）如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧
马,再到河边l饮马，然后回到B处,请画出最短路径
小结。
课题学习最短路径问题教案市公开课一等奖省优质课获奖课件
2．教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点 与直线上各点全部线段中，垂线段最短”等问题，我们称 之为最短路径问题．
探究二：河边饮马问题 多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直河边l 饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所 走路径最短？
第6页
提出问题：假如点A和点B分别位于直线两侧，怎样在直 线l上找到一点，使得这个点到点A和点B距离和最短？
第11页
第8页
尝试选址作出图形． 多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导 学生分析、观察，让学生依据刚才分析，完成证实过 程． 依据问题1和问题2，你有什么启示？ 三、知识拓展 已知长方体长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂 蚁假如沿长方体表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最 近，最短旅程是多少？
经过对最短路径问题探索，深入了解和掌握两点之间线 段最短和垂学知识处理最短路径问题． 难点 选择合理方法处理问题．
第3页
一、创设情境 多媒体展示：如图，一个圆柱底面周长为20 cm，高AB 为4 cm，BC是底面直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱 侧面爬行到点C，试求出爬行最短路径．
第9页
[让学生讨论有几个爬行方法，计算出每种方案中旅 程，再进行比较]
四、归纳总结 1．本节课你学到了哪些知识？ 2．怎样处理最短路径问题？
第10页
本节课以数学史中一个经典问题——“将军饮马问题”为载 体开展对“最短路径问题”课题学习，让学生经历将实际问 题抽象为数学问题线段和最小问题，再利用轴对称将线段 和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行最短路径，就是要把圆 柱侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路 径．那么怎样求平面图形中最短路径问题呢？
初中八年级数学教案-最短路径问题教学设计-市赛一等奖
最短路径问题教学设计【教学目标】1理解并掌握如何选址造桥能使路径最短的问题2能利用轴对称和平移的相关知识解决实际问题中路径最短的问题3在运用轴对称和平移知识解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力【重点难点】重点：利用轴对称和平移将造桥选址问题转化为“两点之间，线段最短”问题难点：最短路径问题的解决思路及证明方法┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？问题：1此问题转化成数学问题是：________2如何找到泵站的位置，N，使得AM＋MN＋与河岸是垂直的如图所示教师紧接着提出：“如何找到M，N这两个点就是我们要研究的问题了？”为此我们不妨先走一个桥的宽度，沿什么方向呢？学生容易看出沿与河岸垂直的方向，作AA1垂直于直线b并且使得AA1＝MN，然后只要A1，B之间距离最短就可以了自己尝试作图后小组内交流，找两名学生黑板上完成，然后师生共同订正问题2：你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥M1N1，距离是怎样的吗？能证明我们的做法AM＋MN＋NB的和是最短距离吗？试一下问题3：还有其他的方法选两点M，N，使得AM＋MN＋NB的和最小吗？试一试上面的方法是从A沿与河岸垂直的方向走一个河岸的距离，学生不难想到也可以从B沿与河岸垂直的方向走一个河岸的距离从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙地化解开去，分析出“AM＋BN”最短距离为A1N＋BN也就是点A1到点B之间的线段最短，从而实现了问题的求解体现了化繁为简，转化的数学思想同时这个问题有着非常好的实际背景，情境贴近生活实际让学生在证明中更加确定作图的正确性，也让学生体会到演绎推理的必要性体会到合情推理和演绎推理是相辅相成的三、运用新知，解决问题如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到四边形四个顶点的距离和最小引导学生猜想，要使OA＋OB＋OC＋OD最小，O在哪儿？易猜到O是线段AC，，证明一下学生自己独立思考写出证明过程，先找两名学生板演，再师生订正通过拓展应用让学生充分地感受在不同条件下解决路径最短问题的多种方法，开阔了学生的思维四、课堂小结，提炼观点1通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？学到了哪些解决问题的思路2你还有什么疑惑？在小组内提出来共同解决，解决不了的小组提出来全班解决3这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验让学生从各个方面总结自己的收获，真正达到了小结的作用五、布置作业，巩固提升把今天的收获写到数学日记上包括例题和拓展题目的分析方法和作图的方法、证明方法布置作业，让学生养成及时复习的好习惯，让不同层次的学生都能有所发展。
初中八年级数学教案- 课题学习 最短路径问题-“黄冈赛”一等奖
134 课题学习最短路径问题阿瓦提县第三中学王竞教学目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学习难点：会用轴对称知识解决实际问题。
教学准备：多媒体课件教学方法：实践操作法课型课时：新授课1课时教学过程：一、复习引入、B两点的所有线中，哪条最短？为什么？外一点，点MNAN最短3、牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径七、小结解决最短路径问题的方法在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择布置作业：数学小练习册最短路径内容板书设计：教学反思：最短路径问题对学生而言是第一次接触，难度较大，为了突破难点，我让分了两个课时去学习。
在此过程中，我为学生创设情景，提供问题串，就牧马人牧马问题常设不同的场景，让学生感受以不变应万变的思路——“两点之间，线段最短。
”和“吹线段最短。
”。
不管背景题目如何复杂，只要让学生掌握最短路径问题的分析方法，利用轴对称达到化折为直的目的就能够解决问题。
在此过程中，让学生充分感受到“转化”的神奇所在。
再有，我按照循序渐进，先从“一点一线”到“两点”到“两点一线（两点异侧）”到“两点一线（两点同侧）”再到“一点两线（最终到线）”到“一点两线“（最终回到点）”再到“两点两线”，让学生从这个过程中体会到以不变应万变，所有这个类型的最短路径最终都转化为两点之间，线段最短来解决，转化的策略就是轴对称。
本堂课设计的题型有点多，所以整堂课很紧凑，学生稍有走神就会跟不上。
再有本堂课是难点，部分水平差的学生只能留下一点印象，还是无法处理最短路径问题（课后作业就可以反映出来）。
全国优质课一等奖人教版初中八年级数学上册《课题学习-最短路径问题》课件
1. 如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短。
②
A
③B
2. 如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P PC 最短，因为垂线段最短.
3. 三角形的三边关系是？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边.
l
A BC
D
如何把前面我们提到的“将军饮马”问题抽象成我们熟知的数学问题？
AB AC+BC .
l
l
C
B
A
？
C
l
数学问题
现在假设点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到 一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？
如图，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、 F，使得 E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出 E、F 两点， 并说明理由.
P' P'' P'
A
P'P''
E
P
O
F
B
P''
如图，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、M、N 四点组成的四边形的周长最短，找出 E、 F 两点，并说明理由．
两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B 的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后， 再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行
初中八年级数学教案- 最短路径问题-全国一等奖
最短路径问题设计教师活动学生活动设计意图 【活动一】讲授启发 复习旧识将军饮马问题：相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题 问题1 如图，A 为马厩，B 为帐篷 某一天牧马人要从马厩A 出发，牵出马到一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B ．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短 从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．其实用我们所学的知识就能解决，你知道怎么做吗【活动二】任务导向、合作探究 问题1 两点在一条直线异侧 已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点，使得lCB'BA在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。
学生以小组为单位，进行讨论，并将解决办法展示。
讨论解法 解决将军饮马问题的理论基础从最简单的问题入手，为学生后面的问题探究做好铺垫图(2)EBD AC P第1题 第2题第3题 第4题2、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，N 和CD 两条路间的一个邮局,要在这两条路上各建一个邮筒,使邮递员取信往返路程最短,邮筒应建在哪里6建桥问题：A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥建造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短（说明：1河的两岸平行，桥要与河垂直 2利用平移知识 ，画出符合要求的桥MN 的位置，使AMNB 最短要画图和说明 ）【活动四】作业布置练习 有两棵树位置如图，树脚分别为A ，B 地上有一只昆虫沿A →B 的路径在地面上爬行．小树顶D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小鸟飞至AB 之间何处时，图(3)D BA O C P。
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课题学习最短路径问题
【教学目标】
1．了解最短路径问题。
掌握解决最短路径问题的方法。
2．通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力。
3．通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心。
【教学重难点】
最短路径的选择。
【课时安排】
2课时。
【第一课时】
【教学过程】
一、情景导入。
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。
同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径。
二、思考探究，获取新知。
问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。
牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短
将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。
设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。
联想：如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短
两点之间，线段最短。
连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求。
如果我们能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况。
作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质可以得到CB′=CB。
连接AB′，与直线l相交于点C。
则点C即为所求。
学生小组合作交流。
三、巩固练习。
1．如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）。
【第二课时】
【教学过程】
一、造桥选址问题。
问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。
桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。
）
（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。
作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求。
（2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AMMNNB最小
将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN。
二、思考探究，获取新知。
1．牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。
2．如图，已知牧马营地在、N分别是△ABC的边AB．AC上的点，在边BC上求作一点N的周长最小。
三、师生互动，课堂小结。
这节课主要学习了最短路径问题，让学生相互交流体会与收获，并总结本课所学知识。