广东海洋大学线性代数复习套题及答案(仅供参考)
线性代数期末复习题及参考答案
线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
大学物理、数学本科《线性代数》考试题及答案(八套)试卷
XXX学年第一学期期末考试试卷本科《线性代数》考试题及答案（H）本科试卷课程代码：适用班级：计算机科学与技术命题教师：任课教师：第一套试卷一、判断是非（每小题2分，共16分）。
1 若行列式等于零，则其中必有两行对应元素成比例。
2 线性无关的向量组的任意部分组必线性无关。
3 等价的两个向量组必含有相同个数的向量。
4 两个矩阵的乘积不满足交换律和消去律。
5 非齐次线性方程组有解的充要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等。
6 正交矩阵必是可逆矩阵。
7 相似矩阵的秩一定相等。
注：两个矩阵相似或合同，则两个矩阵一定等价。
因而，他们有相同的秩。
8 在可逆的线性变换下，二次型的标准型一定是唯一的。
二、填空题（每小题2分，共16分）。
1 排列6152734的逆序数是________________。
2 若矩阵A 可逆，则=-1*)(A ___________。
3 设=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则),654(321——————。
4 若向量____________),0,1,1,0(),0,1,0,1(='==βαβα则。
5 若三阶实对称矩阵A 的特征值为-1，2，3，则A -1的特征值为______。
6 对于四阶矩阵A ，。
则__________2,1==A A7 若四阶矩阵：。
则且___________),,,,(,2),,,,(432214321=+===B B A A ααααααααα 8 若向量组）（，，，（），，，（5,4,0)02121321-==-=αααt 线性无关，则t=————————。
三、计算下列行列式（12分）。
1 29930030119920020199100101=D22222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a四、（8分）设：B A A AB B A ''-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=及求2,101121121101010101。
线性代数题库及答案
试 卷 六一.单项选择题（每题3分，共18分）1．向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，向量组s βββ，，， 21能线性表示 向量组s ααα，，，21，则以下结论中不能成立的是 (A). 向量组s βββ，，，21线性无关； (B). 对任一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C). 存在一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D). 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价． 2．设B A ，为n 阶可逆矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00，则C 的伴随矩阵=*C (A)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A 00； (B)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*-*-B A A B 11||00||； (C)．⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A A B 00； (D)．⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A 00． 3．设向量组321,,ααα是三维线性空间V 的基，则 也是V 的基.(A). 32133122112,,αααβααβααβ++=+=+=； (B)．213212112,,ααβααβαβ-=+==；(C)．32133222113,,2αααβααβααβ++=+=+=； (D)．3213322211,,αααβααβααβ++=-=-=． 4．设A 为n m ⨯实矩阵，n A r =)(，则 ．(A)．A A T 必合同于n 阶单位矩阵； (B)．T AA 必等价于m 阶单位矩阵；(C)．A A T 必相似于n 阶单位矩阵； (D)．T AA 是m 阶单位矩阵． 5．设A 为n m ⨯矩阵，0)(≠=b m A r ，，则线性方程组b Ax = ．(A)．可能无解； (B)．一定无解； (C)．可能有解； (D)．一定有解．6．已知向量组s ααα，，，21可由向量组t βββ，，， 21 线性表示，则 ． (A)．当t s >时，向量组s ααα，，，21必线性相关； (B)．当t s >时，向量组t βββ，，，21必线性相关； (C)．当t s <时，向量组s ααα，，，21必线性相关； (D)．当t s <时，向量组t βββ，，，21必线性相关． 二.填空题（每题3分，共18分）1．设B A ，为三阶方阵，行列式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-==02012B A C B A 矩阵，，，则行列式=C ．2．已知B A ，为n 阶方阵，1±=λ不是B 的特征值，且E B A AB =--，则=-1A ．3．实二次型322123222132122),,(x x a x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则常数 a 的取值范围为 ．4．若三阶方阵A 有特征值 2,1,1，则行列式=+*-A A 21 ．5．设A 为三阶方阵，2)(=A r ，321ααα，，是线性方程组)0(,≠=b b Ax 的解， 已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+13121αα，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0103α，则线性方程组b Ax =的通解为=α ．6．已知b 为一常数，设集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++==R b a a b a a a a V ，，，212121αα， 若V 是向量空间3R 的子空间，则=b ．1．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301220211A ，已知多项式12)(23--=x x x g ，求行列式)(A g . 2．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111， (1) 常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ (2) 当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111111111A ，(1) 若矩阵B 满足AB B A =+，试求矩阵B ； (2) 若列向量α满足T A αα=，试求ααT ． 4．求正交变换Qy x =,将二次型23212221321433),,(x x x x x x x x f +-+=化为标准形．5．设三维列向量 T），，121(=α，(1) 求三维列向量γβ，，使γβα，，为正交向量组；(2) 证明γβα，，是3R 的基，并求向量T），，111(=η在γβα，，下的坐标.6．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111101011321ααα，，； ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10010001321a βββ，，(1) 问：a 取何值时向量组321βββ，，是向量空间3R 的基，为什么？ (2) 求3R 中基321ααα，，到基321βββ，，的过渡矩阵．1. 设=f Ax x T 是n 元实二次型,存在n 维实列向量21x x ，,使11x A x T0>， 22x A x T0<, 证明: 存在n 维实列向量00≠x ,使00x A x T =0.2．设n 阶方阵A 即是正交矩阵又是正定矩阵，证明：A 为n 阶单位矩阵．试 卷 六------答案一．B C D A D A二．1．16- 2．1))((-+-E B E B 3．2<a 4．2125 5．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111010k 6．0三．1．A 的特征值为4,1,1 ………4分)(A g 的特征值为 31,2,2-- …7分124)(=A g …………8分2．（1）A E A B A B E A 1)(,)(--==- ……2分A B 21212121212121212121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----= …………4分（2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111111111αααTA ……6分3111)111(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴ααT…………8分或 A A T T T T T TT)()()(2αααααααααααααα==== …6分333333333332=∴=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=ααT AA ………8分3．（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→120001101011b a A ………………2分 1,2==b a 无穷多解； 2≠a 唯一解； 1,2≠=b a 无解 ……5分（2）R k k x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,111001321 ……………………8分4．特征值为5,1,1 ……………………2分对应的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,100,011 …………5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0100021212121Q ， 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=2332112123211211y x y y x y y x ……7分标准形为 2322215y y y f ++= ………………8分5．（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++101,0120221321ξξx x x 正交化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521012γβ, 4分（2）说明γβα,,线性无关，是3R 的基 ………………5分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-15151321321321111501212121x x x x x x ,)(γβαη ……8分 注：答案不唯一6．（1）a 为任意值都使321,,βββ线性无关，所以是基 …………3分 （2）A )()(321321αααβββ= …………5分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+------==-a a a A 11111121)()(3211321βββααα……8分四．1．因为 00>>q p 且，，所以f 的规范形为22122221r p p y y y y y f ---+++=+ ………………4分取T y ），，，，，，，001001(0 =，则有000≠=Py x ，使0001001000=----+++== Ax x f Tx ……7分 ……8分2．A 为正交阵E A A T =∴ 又A 正定A E A A A T ⇒=∴=∴2的特征值为1± A 正定，A ∴的特征值只为1 ………………4分 因A 是实对称阵，∃∴可逆阵P ，有E PP A E AP P ==∴=--11……8分试 卷 七一、单项选择题（每题3分，共15分）1._____________2)(2101210211的值为则，的秩若矩阵a A r a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 1或者1．-(D)1；-(C)1；-0或(B)0；(A)2._____________1||*=-=A A A 伴随矩阵则，，且为正交矩阵设 A．-(D)••••••••••••••A； (C)；A -(B)•••••••••••； A (A)T T3.设βα，是n 维列向量,0≠βαT ,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的n 个特征值中,必然______________(A) 有n 个特征值等于1； (B) 有1-n 个特征值等于1； (C) 有1个特征值等于1； (D) 没有1个特征值等于1．4.______________)()(，则阶方阵，且秩相等，既为，设B r A r n B A = ．r(B)r(A)B),r(A (D)；r(A)2B),r(A (C)；r(A)2B)r(A (B)；0r(A－B)(A)+≤==+=5．设n A 为阶矩阵，且0232=+-E A A ，则矩阵A E A E --与2(A) 同时为可逆矩阵； (B) 同时为不可逆矩阵； (C) 至少有一个为零矩阵； (D) 最多有一个为可逆矩阵．二、填空题（每题3分，共15分）1．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2||=A ，则 |2|*A =___________． 2. 行列式D 中第二行元素的代数余子式的和∑=412j j A =__________ ,其中1111111111111111---=D3. 已知实二次型32212322213212224)(x x x ax x x x x x x f ++++=，，为正定二次型，则实常数a 的取值范围为________________． 4. 2n 阶行列式 AB BA D =＝ ,其中n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 0000000， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000b b b B 。
线性代数复习习题(含详细解析与答案)
一、1、=-601504321。
2、设A 为4阶矩阵，且==|2|,31||A A ，=|21|T A 。
3、,,5443⨯⨯B A 则AB 是 行 列矩阵。
4、n 维空间的一组基含有 个线性无关的向量。
5、已知一个非齐次线性方程组的增广矩阵经初等变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤--⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--1211000003000102002111λλλλλ，则当λ为 时，方程组有无穷多解，其导出方程组的基础解系含 个向量，当λ为 时，方程组无解。
6、()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--312131= 。
7、若矩阵A 满足,1-=A A T 则矩阵A 一定是 矩阵。
8、n 阶行列式展开后，一共有 项。
9、已知,)(33⨯=ij a A ,)(*33⨯=ij A A ij A 为ij a 的代数余子式，且,1)(=A r 则=*)(A r 。
10、矩阵A 的特征方程是 。
11、设A 为3阶矩阵，且==-|2|,2||1A A ，=*||A 。
12、已知行列式,3333231232221131211=a a a a a a a a a 则=---333132312321222113111211333a a a a a a a a a a a a 。
13、,3022,1021⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 则=-B A 3 。
二、1、判别向量组()1,1,4,21--=α，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=25,2,1,32α，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1,21,5,63α是否线性相关。
2、xa a a a x aa a a x a a a a x3、ba a a ab a a a a b a n n n ---2121214、用初等变换法求矩阵的逆矩阵=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---145243121，B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5230121015、用克莱姆法则求下面方程组的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+--=++=+-=-+-4221234422243213214314321x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++-=----=+++=+++10225342332532134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x答案： 一、1．解：令601504321-=A ，则A6012900321-29601100920-29001100020-=02010000129--=01010000158--=1000100158-=58×(-1)=-58 答案：-582. 解：|2A|=24|A|=16×31=31648131)21(||)21(||)21(|21|444=⨯=⨯=⨯=A A A T T 答案：316,4813. 解： 由矩阵的乘法A ×B=[a ij ]m ×n ×[b ij ]n ×t =[c ij ]m ×t 可知 答案：3 , 54. 答案： n5. 解：该非齐次线性方程组的未知数个数为6。
(已阅)广东海洋大学线性代数历年考题_答案
广东海洋大学 2010 ——2011 学年第一学期《 线性代数 》课程试题答案课程号： 19221201★ 考试 ★ A 卷★ 闭卷 □ 考查□ B 卷□ 开卷题 号 一 二 三 四 五 六 总分 阅卷教师各题分数40 12 10 20 10 8 100 实得分数一、填空（每小题4分，共40分）（1）;54413522135--+）：或所带的符号是（展开式中，a a a a a D（2）A 为三阶方阵， 1-A =2，A 2= 4 ；（3）05402021=kk，k = 0或4 ；（4）*A 是可逆4阶矩阵A 的伴随矩阵，R(A)=1，R(*A )= 0 ；（5）34100010001010100001E或⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡；（6）n 阶矩阵A 可逆，其标准形是nE ；（7）T T )3,3,2(2,)3,3,1(-=+-=-βαβα，()T001，，=α ；（8）向量组：γβα,, 线性无关，向量组：γαβαα++,, 的线性相关性是： 线性无关 ；（9）n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩r(A)=r,则其解空间的维数是 n-r ； （10）。
有解的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()(==班级：姓名：学号：试题共页加白纸张密封线GDOU-B-11-302()()()()()分分解的值。
的余子式，计算是元素）（的值；）计算（如下：分二611000010000101111211112111121111126510000100001011115211112111121111152111121111211112121111211112111122112.1413121114131211441413121144===+++=-+-=====-+-A A A A M M M M D D M M M M a M D D ij ij三、（10分） A X AX A +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2,101110111，求X 。
线性代数(经管类)12-13-1(A)试题
广东海洋大学寸金学院 2012 — 2013 学年第 一 学期 《线性代数》课程考试试卷 命题教师：陈增雄 考试班级：11级会计、财管、国贸、工商、市营、公管、旅游等本科 ■ 考试 ■ A 卷 ■ 闭卷 □ 考查 □ B 卷 □ 开卷一、单项选择题：（每题4分，共24分） 1、齐次线性方程组30300kx y x ky x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩有非零解的充分必要条件是( ) （A ）3k =-； （B ）3k =-或3=k ； （C ）3=k ； （D ）3k ≠-且3k ≠. 2、设,A B 都是同阶方阵，则下列结论成立的是（ ） （A ）A B A B +=+； （B ）若A B =，则A B =； （C ）AB BA = ； （D ）若A B ≠，则A B ≠ 3、若,A B 是同阶可逆方阵，则下列等式中正确的是（ ） （A ）111()AB B A ---=； （B ）()T T T AB A B =； （C ）111()AB A B ---= ； （D ）111()A B A B ---+=+.4、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3512A ，则它的伴随矩阵A *的逆矩阵1)(-*A =（ ）（A ）3512⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3512； （C ）3152-⎛⎫⎪-⎝⎭； （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛35125、若1X 、2X 为非齐次线性方程组B AX =的两个解，则（ ）也是它的解。
（A ）21X X +； （B ）212X X -； （C ）21X X -； （D ）212X X +班级：姓名： 学号：试题共4页加白纸2张密封线6、n 阶矩阵A 的列向量组12,,,n αααL 线性相关的充要条件是（ ）（A ）0A ≠； （B ）秩()A n =；（C ）秩()A n <； （D ）0AX =只有零解二、填空题：（共24分，每题3分）1、五阶行列式的展开式中，1322354154a a a a a 前面所带的符号是2、设A 是四阶方阵，且12A -=，则2A =3、行列式134135231的第一列元素的代数余子式之和112131A A A ++=4、若n 阶可逆矩阵A 与B 等价，则T B 的标准形是5、已知向量组γβα,,线性无关，则向量组γβα21,3,2-线性 6、设131073,21A a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭若,2)(=A r 则=a7、n 元线性方程组AX b =有解的充要条件是8、已知四阶方阵A 的秩为2，则伴随阵*A 的秩为三、计算题：（共46分）1、(10分)计算：13333233333333342、（本题满分12分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，且2AX E A X +=+。
广东海洋大学10-11第一学期高数考试A卷
、《 高 等 数 学 》课程试题课程号： 19221101x1 □√ 考试 □√ A 卷 □√ 闭卷 □ 考查 □ B 卷 □ 开卷题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 18 42 40 100 实得分数 一 . 填空（3×6=18分） 1. 函数x xe x f -=)(的拐点是. 2. =⎰dx x e x 212/1. 3. 设)1( )ln (2>='x x x f ，则)(x f =. 4. 曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为. 5. 设⎰=Φx tdt x 0sin )(，则=Φ)4('π. 6. 设x x x f 1)1()(+=，则)1(f '等于. 二 .计算题（7×6=42分） 1. 求30sin 22sin lim x x x x -→. 2. 求不定积分dx x x ⎰cos sin 13. 3. 已知x x sin 是)(x f 的原函数，求dx x xf ⎰)('. 4. 设方程05232=-+-+y x e y x 确定函数)(x y y =，求dx dy . 5. 求x e x f x cos )(=的三阶麦克劳林公式.6. 求由曲线Inx y =与直线Ina y =及Inb y =所围成图形的面积0>>a b .三.应用及证明题（10×4=40分）1. 证明：当0>x 时，x x +>+1211.2. 若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导函数，且班级：姓名： 学号：试题共５页加白纸3张密封线)()()(321x f x f x f ==)(321b x x x a <<<<,证明：在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(''=ξf .3. 当x 为何值时，函数dt te x I x t ⎰-=02)(有极值.4. 试确定a 的值，使函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在),(+∞-∞内连续．。
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一.单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.如果123123123a a a b b b m c c c =，则123123123222333a a a b b b c c c --- =( ). A.6m ； B.6m -； C.3323m ； D.3323m -。
2. 设A B 、是m n ⨯矩阵，则( )成立.A.R A B R A ()()+≤；B. R A B R B ()()+≤；C.R A B R A R B ()()()+<+；D. R A B R A R B ()()()+≤+。
3. 设A 是s n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( ). A.A 的行向量组线性无关 B. A 的列向量组线性无关 C.A 的行向量组线性相关 D. A 的列向量组线性相关4. 设3523512142a ba b -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭，则,a b 分别等于（ ）． A. 12, B. 13, C. 31, D. 62,5. 若1x 是方程=AX B 的解，2x 是方程=AX O 的解，则（ ）是方程=AX B 的解（c 为任意常数）.A.12x cx +B. 12cx cx +C. 12cx cx -D. 12cx x + 二.填空题（每小题3分，共15分）1.设A B ,均为n 阶方阵，且A a B b ,==，则2TA B ()= .2. 11101-⎛⎫ ⎪⎝⎭= .3. 若对任意的3维列向量12123132T x x x x x x Ax x x (,,),+⎛⎫==⎪-⎝⎭，则A = ．4．设140223a b ,,-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭c 与a 正交，且b a c =+λ则λ= ，c = ． 5. 设向量组123100130121T T T (,,),(,,),(,,)==-=-ααα线性 关. 三.计算行列式（10分）2141312112325062-四.（10分）设12341345141211232231,,,.⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a a 求向量组1234,,,a a a a 的秩和一个最大无关组.五.（10分）已知矩阵满足XA B =，其中130261011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，120013B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求X .六.（8分）设方阵A 满足220,A A E --=证明A 可逆，并求A 的逆矩阵.七.(8分）已知向量组123,,a a a 线性无关，1122b a a =+，2233b a a =+，3134b a a =+，证明向量组123,,b b b 线性无关.八.（12分）求矩阵110430102-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值和对应于特征值的所有特征向量。
九.（12分）λ取何值时，下列非齐次线性方程组1231231232125541λλ-++=⎧⎪-+=⎨⎪-++=-⎩x x x x x x x x x(1)无解，（2）有唯一解，（3）有无穷多解？并在有无穷多解时写出通解。
一、填空题 （共5 小题，每题 3 分，共计15 分）1. 2n ab ;2. 1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 110201A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭; 4 . 2λ=-,(2,2,1)Tc =--; 5. 无关二、选择题 （共 5 小题，每题 3 分，共计15 分1. (B);2. (D) ;3. (D); 4．(C) ; 5. (A). 三、（10分）解： 2605232112131412-260503212213041224--=====c c 3分 041203212213041224--=====r r 3分 0003212213041214=--=====r r . 4分四 （10分）解：10A =-≠，所以A 可逆，有 1X BA -=， 4分1533211210A ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3分1533120111211013421210X BA ---⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪-⎝⎭3分 五. （10分）解：12341345134514120153(,,,)112302222231081111αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2分134513451340153015301530111006400118111100330002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6分向量组的秩为4， 1234,,,αααα为最大无关组。
2分 六、 证明：恒等变形22A A E -=，()2A A E E -=， 3分 1[()]2A A E E -=，所以A 可逆，且11()2A A E -=-。
3分七、证法一 ：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式()()123123201,,,,130,014b b b a a a B AK ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭记， 3分 设0BX =，以B AK =代入得()0A Kx =，因为矩阵A 的列向量组线性无关，根据向量组线性无关的定义知0Kx =，3分又因250K =≠，知方程 0Kx =只有零解0x =。
所以矩阵B 的列向量组123,,b b b 线性无关。
4分证法二： 把已知条件合写成 ()()123123201,,,,130,014b b b a a a B AK ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭记， 3分因 250K =≠，知 K 可逆， 根据上章矩阵性质4知()()R A R B = 3分因矩阵A 的列向量组线性无关，根据定理4 知()3R A =，从而 ()3R B =， 再由定理4知矩阵B 的三个列向量组123,,b b b 线性无关。
4分 八 （12分）解: 2110 430(2)(1)12A A E λλλλλλ---=--=---的特征多项式为232, 1.A λλλ===1所以的特征值为 4分2,(2)0.A E x λ=-=1当时解方程由3101002410~010100000A E -⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥-=- ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10 p 0,1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭得基础解系1(0)2.k p k λ≠=1所以是对应于的全部特征向量 4分23 1.,(1)0.A E x λλ==-⋅=当时解方程由210101420012,101000~A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21 p 2,1-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭得基础解系223(0)1k p k λλ≠==所以是对应于的全部特征向量。
4分 九．（12分）解：21315121121()1120123554105566r r r r Ab λλλλλλ+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−−→-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+--⎝⎭⎝⎭325121012300549r r λλλλ+-⎛⎫ ⎪−−−→-+ ⎪ ⎪+⎝⎭ 4分 （1） 当45λ=-时，()2,(=3R A R Ab =），方程组无解； （2）当4,15λλ≠-≠且时， ()(=3=n R A R Ab =），方程组有唯一解； （3）当1λ=时，()(=2n=3R A R Ab =<），方程组有无穷多个解。
4分 原方程组同解于12332133x x x x -++=⎧⎨=⎩，12311x x x =+⎧⎨=⎩，通解123111001x x c x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c R ∈）。
4分线性代数试卷2一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
c)(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1 )(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B)(C TT T B A AB =)( )(D 22))((B A B A B A -=-+三、计算题（本题总计60分。
1-3每小题8分,4-7每小题9分）1. 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 21222-n n2222 。
2．设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且21=A ，求*A A 2)3(1--. 3．求矩阵的逆111211120A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组21231231231x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。
5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++522132243143214321x x x x x x x x x x x 6.已知向量组()T 32011=α、()T 53112=α、()T 13113-=α、()T94214=α、()T 52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示．7. 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量．四、证明题（本题总计10分）设η为b AX =()0≠b 的一个解，12,n r ξξξ- 为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，证明12,,n r ξξξη- 线性无关。