共边比例定理
共边比例定理
共边比例定理摘要：一、共边比例定理的概述二、共边比例定理的证明三、共边比例定理在实际应用中的案例分析四、共边比例定理与其他相关定理的联系与区别五、总结与展望正文：【提纲】一、共边比例定理的概述共边比例定理，又称共线段比例定理，是三角形中一个重要的比例定理。
它指出在三角形ABC中，如果有一条共边的线段AB与另外两条不共边的线段AC、BC相交，那么线段AB与线段AC、BC之间的比例关系满足：$frac{AB}{AC}=frac{BC}{AB}$。
【提纲】二、共边比例定理的证明证明：设$angle A = alpha$, $angle B = beta$, $angle C = gamma$，则有：1.根据三角形内角和定理，$alpha + beta + gamma = 180^circ$。
2.由于$angle A$、$angle B$、$angle C$是三角形ABC的内角，所以它们的角度都小于180^circ。
3.根据角度比例定理，$frac{angle A}{angle B} = frac{angle C}{angle A}$。
4.整理得：$angle A^2 = angle B cdot angle C$。
5.由于$angle A + angle B + angle C = 180^circ$，所以$angle A cdot angle B + angle A cdot angle C = angle A^2$。
6.将$angle A^2$替换为$angle B cdot angle C$，得到$angle A cdot angle B + angle A cdot angle C = angle B cdot angle C$。
7.整理得：$angle A cdot (angle B - angle C) = 0$。
8.由于$angle A$、$angle B$、$angle C$是三角形ABC的内角，所以$angle B - angle C < 180^circ$。
4.3 三角形中与比例线段有关的几个定理-共边比例定理及应用--沈文选
4.3共边比例定理及应用共边比例定理 若线段PQ 所在直线与线段AB 所在直线相交于点M ，则⋅=∆∆QM PMs S QAB PAB (4.3-1)证明如图4-13，图形有四种情形：对于图4-13(a)，由P 作PE⊥直线AB 于E ，由Q 作QF⊥直线AB 于F ，则由Rt△PEM ∽ Rt△QFM，有⋅=QMPMQF PE 于是 ⋅==⋅⋅=∆∆QM PMQF PE QF AB PEAB s sQABPAB2121同理，可证得其他三种情况．共边比例定理可以看作是同底三角形面积之比等于其高之比的推广． 例1 用共边比例定理证明塞瓦定理及其逆定理．证明 仅证共点情形．如图4-14，在△ABC 中，若AD 、BE 、CF 相交于点P ，则由共边比例定理，有,.,,APBBPC APC APB BPC APC s s AE CE s s CD BD s s BF AF ∆∆∆∆∆∆⋅=⋅=⋅⋅= 以上三式相乘，即得.1.....=⋅⋅⋅⋅=∆∆∆∆∆∆APBBPC APC APB BPC APC s s s s s s EA CE CD BD FB AF 反之，若有.1..=EACE DC BD BF F A 记⋅===μρλEACEDC BD FB AF ,,设CF 与BE 交于P ，AD 与BE 交于./P 由共边比例定理，有PB C PAC CPA PE L CPBCPE s s s s S S PB PE ....∆∆∆∆∆∆==,1..μλμ+=+==FB AF EA CE CE FB AF CA CE B AP CAP C AP E AP BAP E AP s s S S S s B P E P /1////.//∆∆∆∆∆==∧ ⋅+=+==ρμ)1(1..BD DC EC AE AE BD DC AC AE 由已知有,1=λμρ故,1ρλμ=于是⋅=B P EP PB PE //可见P 与/P 重合，即AD 、BE 、CF 三线共点． 注 用共边比例定理也可证明梅涅劳斯定理，如图4-1，由=BC AC //ABA A CBA BBA xA ABA s s A B CB s s C A BA s s ∆∆∆∆∆∆==ω////1,,三式相乘，即证．其逆定理的证明也类似于上例． 例2 设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且⋅=31AB AD 若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为,43则EA CE的值为( )． 21.A 31.B 41.C 51.D （2003年全国联赛题）解 选B ．理由：如图4-15，连结⋅=-=∆41431,ADE s BE 设,x ACCE=则由共边比例定理，有 .x AC CEs s ABC BEC ==⋅∆∆从而 .1x S ABE -=∆又,31==∆∆AB AD s s ABE ADE 则 ⋅=-=∆4131x S ADE 解得 ⋅=41x 故⋅=31EA CE例3 如图4-16，在等腰直角△ABC 中，=AB ,90,1=∠A 点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF⊥BE.求：△CEF 的面积． （1998年全国联赛题）解 过C 作CD⊥CE 与EF 的延长线交于D ． 因 ,90=∠+∠AEB ABE,90.o B AE CED =∠+∠则 ,CED ABE ∠=∠故 Rt△ABE ∽ Rt△CED. 于是.2,41)(2====∆∆AEABCD CE AB CE S s ME CED 注意到FC 平分∠ECD，有,CDCEFD EF =由共边比例定理，知 ,2==∆∆FDEFS s CDF CEF 故 ⋅====∆∆∆∆24121.41.3241.3232ABC ABE CDE CEF s s s s 例4 设D 、E 分别在△ABC 的边AC 和AB 上，BD 与CE 交于F ，.40,32,=⋅==∆ABC s DC AD EB AE 求⋅AEFD S （1990年部分省市通讯赛题）解法1 如图4-17，连结DE.设△AED、△EFD、△BFE、△BC F 、△CDF 的面积分别为z 、y 、z 、u 、t ，则由共边比例定理，求得：,20.21=⋅⋅=++∆ABC S t y x ),20(32)(32x t y x -=+=即x ＝8．.2453,1652==+=⋅∝∆=++∆ABC s t u S z y x设,s y x s AEFD =+=则.4,20,8,16s u s t s y s z +=-=-=-=又由共边比例定理，有,u tz y =即⋅+-=--ss s s 420168 解得 .11=s 故.11=AEFD S解法2 注意到直线BFD 截△AEC，由梅涅劳斯定理，有.1..=DACD FC EF BE AB 而,23,2==DA CD BE AB 则 .3.==DACDBE AB EF FC 从而 .4131EC FC EF ==由共边比例定理，有,2021=⋅=⋅=∆∆ABC EBC s S ,5,41==∆∆EBC F EB s s .16.52(==∆∆AB ADBs s 从而 .11516.=-=-=∆∆EBF ADB FD AE s s S例5 在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、CA 上的点，且BD ：DC ＝m ：1，CE ：EA ＝n:1，AD 与BE 交于F ，则△ABF 的面积等于△ABC 的面积的多少倍？ （1984年上海市竞赛题） 解 如图4-18，连CF 并延长交AB 于G.对△ABC 与点F ，由塞瓦定理，有,1..=⋅⋅=n m GBAGEA CE DC BD GB AG 则 ⋅=mnGB AG 1对△AGC 与截线BFE ，由梅涅劳斯定理，有,1..1..=+=n FCGF mn mn EA CE FC GF BG AB 则 ⋅+=1mn mFC GF由共边比例定理，知⋅++==⋅∆∆1m mn mGC GF s s AK ABF例 6如图4 -19，在筝形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，过AC 、BD 的交点O 引EF 、GH ，其中EF 交AB 、CD 于E 、F ，GH 交DA 、BC 于G 、H. EH 、GF 分别交BD 于P 、Q ，则OP ＝OQ.（1990年IMO 国家队集训选拔赛题，同习题1.4第10题）证明 在AB 、BC 上分别取,//F G 、使.,//CF CF AG AG ==则利用三角形全等，知,/OA G GOA ∠=∠又,HOC GOA ∠=∠则,/OA G HOC ∠=∠即⋅=γβ同理=+⋅∠β1,4γ+∠故.32,41∠=∠∠=∠（其中=∠=∠=∠HOC OA G GOA ,,/βα,2,1,/∠=∠∠=∠EOB OE G γ .)4,3//∠=∠∠=∠OH F BOF连H G /交BD 于K ，在/BHG ∆中，注意到共边比例定理，则OKG oHK oFH OBF oEB xE s s s s s S KGHKH F BF EB E G ∆∆∆∆∆∆=..../(//// .4sin 213sin 21.2sin .211sin 21///∠⋅⋅∠⋅⋅∠⋅∠⋅⋅=OH OF OF OB OB OE OE OG )21sin(21)43sin(21∠+∠⋅⋅⋅∠+∠⋅⋅OG OK OK OH .1=故由塞瓦定理的逆定理，知、、BO F G //HE 三直线共点，即//F G 过点P ．利用三角形全等性，即知OP ＝OQ ．习 题 4.31 设M 、N 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，CM 与BN 交于点P ，且⋅==21,λλNC AN MB AM 求比值⋅PMCP2 在△ABC 内任取一点P ，连AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F ，求证：.1=++CFPFBF PE AD PD3 凸四边形ABCD 中，AD ＝BC ，另两边AB 、CD 的中点分别为M 、N ，延长AD 、BC 分别与直线MN 交于P 、Q ．求证：PD ＝QC. 4 在△ABC 中，D 、E 是BC 上的三等分点，F 是AC 的中点，BF 交AD 于G ，交AE 于H.求⋅∆.:ABC DEHG s s 5 如图，△ABC 被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分成六个小的三角形，其中四个小三角形的面积在图中标出．求△ABC 的面积． （第3届美国邀请赛题） 6 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上分别取点D 、E 、F ，且满足.,,321λλλ===BFAFAE CE CD BD 连结AD 、 BE 、CF ，AD 交BE 于P ，交CF 于R ，BE 交CF 于Q 求⋅⋅∆∆ABL FQR s s .答案。
最新中考数学共边定理及其应用与推广
最新中考数学共边定理及其应用与推广共边定理及其应用与推广几何一直是初中数学的重难点，初中几何主要研究边角关系，并要求对边，角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难，难在思维的深度，尤其难在辅助线的添加，许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具，以供广大读者参考.一、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上，它是指，共边三角形的面积比等于第三个顶点的连线被公共边所截得的线段比.定理如图1，设直线AB 与CD 交于M ，则有ABC ABD S CM S DM ??= (共有四种情形).这个定理的证明基于一个基本的事实:共高三角形的面积比等于底的比.具体证明如下.证明 ABC ABC ACM ADM ABD ACM ADM ABD S S S S S S S S =g gAB CM AM CM AM DM AB DM ==g g .由于共边定理有四种位置情形却对应同一个比值，所以，如何选择两个合适的三角形，是运用共边定理解决间题的关键，而图形的选择差异使得解法往往不唯一共边定理虽然是对等高等底三角形面积相等这一基本性质的推广，但是它的用途却相当的广泛.它在线段和面积之间建立了天然的桥梁，由此可利用这两种几何量的反复转化，证明一大批几何问题，尤其是在没有特别条件下只涉及直线相交、平行、同一直线上的线段比以及面积比等问题中，运用共边定理会得到易想不到的效果.下面通过几个例题来说明共边定理的应用.二、共边定理的应用1.有关线段的问题例1 凸四边形ABCD 的两边,AD BC 延长后交于点K ；两边,AB CD 延长交于L ，对角线,BD AC 延长后分别与直线KL 交于,F G ，如图2.求证:KF KG LF LG =.该题的叙述比较复杂，但其实不看文字，只看图也是一目了然的，即为几条直线相交后证同一直线的线段比.此题是数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题》前言中提到的有趣的几何题.题目的证明较难，难点在于图中没有相似三角形和全等的三角形，只有几条线段相交的条件.但此题倘若利用共边定理来解决会变得很简单，具体证法如下.证明 KBD KBD KBL LBD KBL LBDS S S KF LF S S S ==g =ACD ACK ACL ACD S S CD AK CL AD S S =g g =ACK ACL S KG S LG ??=注该题将共边定理面积比用于证明线段成比例，相反也可以利用线段成比例来证明面积比.2.有关面积的问题例2 在ABC ?的三边,,BC CA AB 上，分别取点,,X Y Z ，使13CX BC =，13AY AC =，13BZ AB =.连,,AX BY CZ 三条线，围成LMN ?，如图3.问LMN ?的面积是ABC ?面积的几分之几解由于LMN ?与ABC ?不是公边三角形，为计算LMN ?，将其转化为与ABC ?公边的三角形MBC ?，NCA ?，LMN ?来计算.先求MBC S ?.ABC ABM BCM ACM MBC MBC S S S S S S ++=712AY AZ CY BZ =++=. 又27NCAABC S S ??=，∴27MBC ABC S S ??=. 同理，27LAB ABC S S ??=，∴17LMN ABC S S ??=. 3.有关平行的问题现在我们反过来思考，共边定理的前提是直线AB 与CD 交于一点M ，但是如果AB 与CD 不相交呢，会有什么情况?首先会不会有AB 与CD 不相交的情况呢?当然会.当ABC ABD S S ??=，且CD 与AB 同侧的时候，它们会平行从而不相交，如图4:通过上述反向的思考得到了一个新的思路，即把共边三角形与平行直线联系到一起了.这个几何事实描述为:若点,C D 在AB 的同侧，//CD AB 的充要条件为ABC ABD S S ??=.有了这一定理就可以不用平行线的性质来证明两直线的平行，张景中教授把这种方法称为“平行线面积判定法”.下面我们通过一个例题来说明其应甩例3 已知线段AB 与一条平行于AB 的直线l ，取不在AB 上也不在l 上的一点P ，作,PA PB 分别与直线l 交于点,M N ，连结,AN BM 交于O ，连PO 交直线AB 于Q ，如图5.求证:AQ BQ =.证明：AOP AOP AOB POB AOB PPOBS S S AQ BQ S S S ==g PMN AMN BMN MNP S S PN AM NB PM S S ==g g 1AMN BMNS S ??==. 注在证明最后一步中运用了//AB l ，推导出了AMN BMN S S ??=.实际上此题还解决了在平面内给定两点,A B 和平行于AB 的一条直线，仅利用没有刻度的直尺如何作出AB 的中点的操作方法.类似的方法还可以证明出PQ 平分l .如此一来，便得到了梯形中常见的一个结论，即延长梯形两腰的交点与梯形对角线的连线平分梯形的上下底. 此外，在这个过程中还有一个结论1PN AM NB PM =g ，实际上得到了平行线分线段成比例定理. 共边定理不仅能推导出以上的定理，它还可以推导出相似形基本定理，平行四边形的性质，三角形重心的性质，“共角定理”等.还有一些用传统方法比较难证的定理如“赛瓦定理”，“帕普斯定理”，“德沙格定理”等等，在这里就不一一赘述了，有兴趣的读者可以尝试证明.三、共边定理的推广下面将共边定理进行空间上的推广，即得到共面定理.共面定理：设直线PQ 与平面ABC 交于一点S ，如图6，则有P ABC Q ABC V PS V QS --=.该定理可用于立体几何的计算与证明.此外，共边定理还可以用于解决应用题.例如在行程问题当中，时间不变就等价于三角形中一的高不变，一般涉及正比例的应用题都可以考虑用共边定理来解决，而不仅限于解决平面几何的问题.那么，相比传统方法，共边定理有哪些优点呢?(1)可接受性共边定理基于一个基本的事实，即共高三角形的面积比等于底的比.这个道理在小学就接触过，学生学起来简单，相比相似三角形和全等三角形，需要判定相似或全等的条件比较多，学生的可接受性较强一(2)通用性平面几何中的基本图形是三角形，从统计学的角度来看，一般几何图形中出现全等三角形或相似三角形的可能性太小了.为了能利用相似三角形和全等三角形性质来解题，就需要添加辅助线，但辅助线的添加往往无章可循，而共边三角形却比比皆是，因而它的性质具有通用性.(3)对等性利用相似三角形和全等三角形性质解决问题，需要三个判定条件证明全等或相似.相比之下，共边定理则是一个条件对应一个结论，正是这种对等性，往往能简化几何证明的过程.在这里需要说明的是，共边定理的应用并不排斥传统几何方法中那些有效的方法，相反，它能为传统方法提供更简捷的证明思路一个定理的用途越广，就越能凸显该定理的重要性从上述的例题可以看出，共边定理的作用不容小觑，掌握好这个定理，对初中几何学习是大有帮助的.。
共边比例定理
共边比例定理摘要：1.共边比例定理的概念2.共边比例定理的证明方法3.共边比例定理的应用4.总结正文：一、共边比例定理的概念共边比例定理，又称共边定理，是指在平面几何中，两条直线被一条第三条直线所截，所形成的四个三角形中，对应边之间的比例关系。
具体来说，设直线AB 与PQ 交于点M，那么有SP/AB = SM/PM 和SP/PQ =SM/MQ，其中SP、SM、MQ分别为三角形SPM、SAM、MQP的高。
二、共边比例定理的证明方法共边比例定理的证明方法有多种，这里我们介绍两种比较常见的证明方法：证法1：分别作三角形高，由相似三角形可证。
证法2：等高底共线，面积比底长比。
三、共边比例定理的应用共边比例定理在几何学中有广泛的应用，例如在解决相似三角形问题、比例线段问题、面积问题等。
以下是一个典型的应用例子：已知直线AB 与PQ 相交于点M，且SP/AB = 2/3, PM/MQ = 3/4，求SM的长度。
解：由共边比例定理，我们可以得到两个等式：SP/AB = SM/PM，即SM = SP * PM / ABPM/MQ = SM/MQ，即SM = PM * MQ / AB将已知条件带入上述两个等式，得到：SM = SP * PM / AB = (2/3) * PMSM = PM * MQ / AB = (3/4) * MQ所以，我们可以得到PM * MQ = (3/4) * SP再根据面积比的性质，我们有：(SP * AM) / (PQ * BM) = (SP * PM) / (AB * MQ)代入已知条件，得到：(2/3) * (AM / BM) = (SP * PM) / (AB * MQ) = (2/3) * (PM / MQ)化简后，得到：AM / BM = PM / MQ = 3 / 4所以，我们可以得到SM 的长度为：SM = SP * PM / AB = (2/3) * PM = (2/3) * (AM / BM) * AB = (2/3) * (3/4) * AB = (1/2) * AB四、总结共边比例定理是平面几何中的一个基本定理，它为我们解决直线与直线相交时对应边之间的比例关系提供了有力的工具。
高中数学面积问题和面积方法
面积问题和面积方法基础知识1.面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用.设A ABC,恥,c分别为角A,B,C的对边，％为。
的高,R、r分别为△ ABC外接圆、内切圆的半径，p = ^(a + b + c).则△ABC的面2积有如下公式：(1)S SABC = g 叽；(2)sin A(3)S Mli c =jp(p-a)(p-b)5-c)(4)S AABC=^f'(a + b + C)= P r(5)_ abc AOC 4R(6)S RBC =2R\ sin Asin BsinC(7)c a2 sin BsinC 2sin(B + C)(8)S MBC=£乙(方+ c_d)(9)1 7S RBC =—斤(sin2A + sin2B + sin2C)2.面积定理(1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和；(2)两个全等形的面积相等；(3)等底等髙的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等；(4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比；(5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；(6)共边比例定理：若和△"3的公共边所在直线与直线PQ交于M,则S阳：S^B =PM:QM;(7 )共角比例定理：在△ ABC和△ A'B'C中，若ZA = Z/V或ZA + ZA f = \8(r,贝I」也!=.八〃竺.S M*A® •AC3.张角定理：如图，由P点出发的三条射线PA、PB、PC,设ZCPB=J3 , ZAPB=a + p<\^ ,则A,3,C三点共线的充要条件是：sin a sin p sin(a + 0)---- 1 ---- = ---------- •PB PA PC例题分析例1・梯形ABCD的对角线AC.BD相交于0 ,且S M = m , S”。
共边定理典型题解析
D APB 面积︰D AQB 面积＝PM ︰QM1如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，用面积方法证明：DE ∥BC 且DE ＝12BC ． 证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，边上的中点， ∴△ADE ﹕△BDE ＝△ADE ﹕△CDE ＝1﹕1 ∴△BDE ＝△CDE ∴DE ∥BC ∴∠DBC ＝∠ADE由共角定理得：△ADE/△ABC ＝AD·AD·DE/AB·DE/AB·DE/AB·BC BC ＝1/4 ∵AD ＝12AB ∴DE ＝12BC ．这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．似、或平行四边形．例2：(1983年美国中学数学竞赛题) 如图的三角形ABC 的面积为10，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且BD ＝2，DC ＝3，若△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，则这个面积是（的面积相等，则这个面积是（） A ．４．４ C ．５．５ D ．６．６ B ．5103 Ｅ．不确定Ｅ．不确定解：由△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，在四边形BCEF 中分别减去这两个面积，得△BFD 与△BFE 同底且面积相等，所以BF ∥DE ，可以得到AB 为边的两个三角形△ABD 与△ABE 面积相等，因为三角形ABC 的面积为10，且BD ＝2，DC ＝3，所以△ABD 的面积等于4，即△ABE 面积等于4，所以△BCE 的面积等于10－4＝6，故选C ．这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目．这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目． 例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，由共角定理得：△AOB/△COD ＝OA·OA·OB OB ＝OC·OC·ODOD ＝1 即△AOB ＝△COD ，∴共底的两个三角形△ACB ＝△CBD ，∴AD ∥BC ； 同理可证AB ∥CDAA AABBBBPPPPQMMMM 共边定理图：四种位置关系共边定理图：四种位置关系QQQ AB CD EFABCDO问：共边定理怎么证线段相等？答：常常是共边与共角两个定理都会用到。
最新高中数学竞赛平面几何定理证明大全
Gerrald 加油坚持住Gerrald 加油坚持住Gerrald 加油坚持住莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。
設△ABC中的∠B,∠C的两条三等分角线分別交于P, D两个点（图1），按照莫利定理，D是莫莱三角形的一個頂点，当然D就是△BPC的內心，因為BD, CD正好是∠CBP, ∠BCP 的角平分线。
莫利三角形的另两个頂点E, F应该分別落在CP和BP上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在CP, BP上找到E, F这两个点，使△DEF是个正三角形，再证AE、AF正好是∠BAC的三等分线就行了为此，先把DP连起來，在CP, BP上分別取两点E, F使∠EDP＝∠FDP＝30°,于是就得到一个三角形△DEF。
为什么它是一个正三角形呢？因为D是△BPC的內心，所以DP是∠BPC的角平分线，即∠DPE＝∠DPF，由作图知∠EDP＝∠FDP ＝30°,在△DPE和△DPF中，DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，所以△DPE≌△DPF。
于是DE＝DF,即△DEF是个等腰三角形，它的腰是DE和DF，而它的頂角又是60°，所以它当然是个正三角形。
接下來，我们的目标就是希望能证明△DEF真的是莫利三角形，亦即AE, AF 的确会三等分∠BAC。
如图2所示，在AB, AC上各取一点G,H,使得BG＝BD, CH＝CD，把G、 F、E、H各点依次连起來，根据△BFD≌△BFG，△CED≌△CEH，我们就得到GF＝FD ＝FE＝ED＝EH。
下面，如果能夠证明G,F,E,H，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为∠GAF,∠FAE,∠EAH这三个圆周角所对的弦GF, FE, EH都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。
为了证明G,H,E,F，A共圓，必须证明∠FGE＝∠FHE＝∠A/3。
看图2，首先我们注意到△GFE是个等腰三角形，∠GFE是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角∠FGE也就能求出来了。
共边比例定理求线段值
共边比例定理求线段值1 向量法求线段比值 例1 如图所示， 在ABC ∆中，点M 是BC 的中点， 点N 在边AC 上， 且NC AN 2=，AM 与BN 相交于点P ， 求=PN BP :?解 设b AB =，c AC =， 则c b AM 2121+=，c AN 32=，b c BN -=32.AM AP // ，BN BP //，∴存在R ∈μλ,，有AM AP λ=，BN BP μ=.而b BP AP =-，化简可得b c b =-++)3221()21(μλμλ， 又b 与c 不共线，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+03221121μλμλ，解得53=μ. 故，2:3:=PN BP .2 共边比例定理[1]若直线AB 与CD 交于点M ，则DMCMS S DAB CAB =∆∆，如下图（等底的两三角形面积之比等于高之比）.直线AB 与CD 交于点M 的所有情况有图2的四种，我们只需简单证明图2-1的情况，其他三种情况可以类似证明. 证 如图2-1，分别过C 、D 点作AB 的垂线，垂足分别为E 、F .则DM CM DF CE DF AB CEAB S S DABCAB ==⋅⋅=∆∆2121. 现在有了共边比例定理，我们再来求解例1：解 AM 与BN 相交于点P ，由共边比例定理知NPBPS S NAM BAM =∆∆， 23213221=⨯=∆∆∆∆ABCABCNAM BAM S S S S ， 故2:3:=PN BP .例2 如图所示，在ABC ∆中，点F 是AC的中点，D 、E 是BC 边的三等分点，BF 分别交AD 、AE 于G 、H ， 求=HF GH BG ::?解法一 设b AB =，c AC =， 则c b AD 3132+=，b c AE 3132+=，b c BF -=21.BF BH // ，AE AH //，∴存在R ∈μλ,，有BF BH λ=，AE AH μ=. 而b AH BH -=-，化简可得b b c -=+--)31()3221(μλμλ， 又b 与c 不共线，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+03221131μλμλ，图1图3解得54=λ，即BF BH 54=. 同理可得BF BG 21=.BF GH 103=∴，BF HF 51=.故2:3:5::=HF GH BG .解法二 设BG 、GH 、HF 的长度分别为x 、y 、z ， AD 与BF 相交于点G ，由共边比例定理知1213231=⨯==+∆∆∆∆ABCABCFAD BAD SS S S z y x ， 同理，由AE 与BF 相交于点H 可得4=+z y x ，解得，z x 25=，z y 23=， 故2:3:5::=HF GH BG .比较两种解法，解法二明显比解法一更简捷.所以在解题时，不要用固定的思维模式去求解数学问题.用共边比例定理求解线段比值问题，关键在于找到合适的两条相交线.该题我们并没有一开始找AD 与BH ，如果我们一开始找到这两条线，虽然可以直接得到线段BG 与GH ，但是所对应的三角形面积之比无法求解.而要得到三角形的面积之比，联系题目，我们所找的直线就应该与ABC ∆的边有公共点，从而找到合适的相交线.3 共边比例定理的应用拓展例3（46届匈牙利数奥题） 如图所示，在ABC ∆三边BC 、CA 、AB 分别取点D 、E 、F ，使得DC BD 3=，EA CE 3=， FB AF 3=.连接AD 、BE 、CF 相交得PQR ∆， 已知13=∆ABC S ， 求PQR S ∆.解 BE 与CF 相交于点Q ，∴12414143=⨯==∆∆∆∆ABC ABCFBECBE S S S S FQ CQ ，则34113121312=⨯==∆∆∆ABC BCF BCQ S S S ，同理可得3==∆∆CAR ABP S S .∴43313=⨯-=∆PQR S .学习数学，除了学习基本的概念、公式、性质、定理外，还有一点非常重要，就是多总结.共边比例定理，可能教材没有提出，但是我们发现，它的证明过程只需要初中所学的三角形的面积公式以及三角形相似的知识.这个定理不仅可以用来解决线段比值问题，还可以解决有关的三角形面积问题、几何证明题，甚至还可以证明其他重要定理：如，锡瓦（Ceva ）定理.学习数学一定要思维灵活，不要固化思维.随着我们学习的知识越来越多，解决问题时的选择就会更多，如何在众多的道路中选择一条最好的路就是我们的追求.并不是解决问题一定要新学的知识，我们一定要有所思量.图4。
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共边比例定理
（实用版）
目录
1.共边定理的概念
2.共边定理的证明
3.共边定理的应用
4.结论
正文
一、共边定理的概念
共边定理是指在两个相交线段组成的两个三角形中，如果这两个三角形有一个公共边，那么这两个三角形的面积之比等于这个公共边的长度与它到另一个公共顶点的距离之比。
这个定理在解决一些几何问题时非常有用，尤其是在求解一些比例问题时。
二、共边定理的证明
为了证明共边定理，我们可以将问题分为四种情况进行讨论：
1.当两个三角形的高相等时，两个三角形的面积之比就等于它们的底边长度之比。
2.当两个三角形的底边相等时，两个三角形的面积之比就等于它们的高之比。
3.当两个三角形的高和底边都不相等时，我们可以通过相似三角形的性质来证明两个三角形的面积之比等于它们的高和底边长度之比。
4.当两个三角形的高和底边都不相等，且它们的顶点也不在同一条直线上时，我们同样可以通过相似三角形的性质来证明两个三角形的面积之比等于它们的高和底边长度之比。
三、共边定理的应用
共边定理在实际应用中非常广泛，它可以用来求解一些比例问题，例如在求解三角形的面积比例时，我们可以通过共边定理来求解。
另外，共边定理还可以用来证明一些几何问题，例如证明两个三角形的面积之和等于另一个三角形的面积等。
四、结论
共边定理是几何学中的一个基本定理，它对于解决一些比例问题和几何问题非常有用。