第九讲 三共定理之共边定理
六年级上册第9讲 共边定理讲义
A ECBD【学习目标】1、掌握共边定理的特征及性质；2、会运用共边定理分析底、高及面积关系。
【知识与方法】【经典例题】【例1】在△ABC 中，AD=DC ，2AE=EB ，△ABC 的面积是△AED 的几倍？【例2】△ABC 面积是30cm ²，D 是BC 的中点AE=2ED ，阴影部分的面积是多少？【例3】三角形ABC 中，如图，D ，E 为两个三等分点，F 为AB 中点，若△EDF 的面积是12平方厘米，求△ABC 的面积。
练一练：图中三角形ABC 中，D 是BC 的中点，AE=EF=FC ，已知三角形ABC 的面积是120平方厘米，三角形DFC 的面积是多少？AEDCFB【例4】如图，长方形ABCD的长为8厘米，宽为6厘米，E、F分别为所在边的中点。
阴影部分的面积是多少平方厘米？【例5】在边长是12厘米的正方形内取一点P，将P点和边AD，BC的三等分点及AB，CD的中点连接起来（如图）。
求阴影部分的面积。
【例6】下图中，O是平行四边形ABCD内的一点，AD=3BE。
已知三个空白三角形面积分别是19，20，35平方厘米，三角形BOC的面积是多少平方厘米？【例7】如图，已知S△ABC=1，AE=ED，BD=32BC，求阴影部分的面积。
【例8】如下图，已知BO=2×DO，CO=5×AO，阴影部分面积的和是11平方厘米，四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【例9】梯形ABCD中，AE与DC平行，S△ABE=15，S△BCF等于多少？练一练：如图所示，将△ABC的三条边三、四、五等分，得E、F、G点，已知△AEF的面积为18平方厘米，求阴影部分的面积。
最新中考数学共边定理及其应用与推广
共边定理及其应用与推广几何一直是初中数学的重难点，初中几何主要研究边角关系，并要求对边，角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难，难在思维的深度，尤其难在辅助线的添加，许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具，以供广大读者参考.一、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上，它是指，共边三角形的面积比等于第三个顶点的连线被公共边所截得的线段比.定理 如图1，设直线AB 与CD 交于M ，则有ABC ABD S CM S DM ∆∆= (共有四种情形).这个定理的证明基于一个基本的事实:共高三角形的面积比等于底的比.具体证明如下.证明 ABC ABC ACM ADM ABD ACM ADM ABD S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆=g gAB CM AM CM AM DM AB DM ==g g .由于共边定理有四种位置情形却对应同一个比值，所以，如何选择两个合适的三角形，是运用共边定理解决间题的关键，而图形的选择差异使得解法往往不唯一共边定理虽然是对等高等底三角形面积相等这一基本性质的推广，但是它的用途却相当的广泛.它在线段和面积之间建立了天然的桥梁，由此可利用这两种几何量的反复转化，证明一大批几何问题，尤其是在没有特别条件下只涉及直线相交、平行、同一直线上的线段比以及面积比等问题中，运用共边定理会得到易想不到的效果.下面通过几个例题来说明共边定理的应用.二、共边定理的应用1.有关线段的问题例1 凸四边形ABCD 的两边,AD BC 延长后交于点K ；两边,AB CD 延长交于L ，对角线,BD AC 延长后分别与直线KL 交于,F G ，如图2.求证:KF KG LF LG =.该题的叙述比较复杂，但其实不看文字，只看图也是一目了然的，即为几条直线相交后证同一直线的线段比.此题是数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题》前言中提到的有趣的几何题.题目的证明较难，难点在于图中没有相似三角形和全等的三角形，只有几条线段相交的条件.但此题倘若利用共边定理来解决会变得很简单，具体证法如下.证明 KBD KBD KBL LBD KBL LBDS S S KF LF S S S ∆∆∆∆∆∆==g =ACD ACK ACL ACD S S CD AK CL AD S S ∆∆∆∆=g g =ACK ACL S KG S LG ∆∆=注 该题将共边定理面积比用于证明线段成比例，相反也可以利用线段成比例来证明面积比.2.有关面积的问题例2 在ABC ∆的三边,,BC CA AB 上，分别取点,,X Y Z ，使13CX BC =，13AY AC =，13BZ AB =.连,,AX BY CZ 三条线，围成LMN ∆，如图3.问LMN ∆的面积是ABC ∆面积的几分之几? 解由于LMN ∆与ABC ∆不是公边三角形，为计算LMN ∆，将其转化为与ABC ∆公边的三角形MBC ∆，NCA ∆，LMN ∆来计算.先求MBC S ∆.ABC ABM BCM ACM MBC MBC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=712AY AZ CY BZ =++=. 又27NCAABC S S ∆∆=，∴27MBC ABC S S ∆∆=. 同理，27LAB ABC S S ∆∆=， ∴17LMN ABC S S ∆∆=. 3.有关平行的问题现在我们反过来思考，共边定理的前提是直线AB 与CD 交于一点M ，但是如果AB 与CD 不相交呢，会有什么情况?首先会不会有AB 与CD 不相交的情况呢?当然会.当ABC ABD S S ∆∆=，且CD 与AB 同侧的时候，它们会平行从而不相交，如图4:通过上述反向的思考得到了一个新的思路，即把共边三角形与平行直线联系到一起了.这个几何事实描述为:若点,C D 在AB 的同侧，//CD AB 的充要条件为ABC ABD S S ∆∆=.有了这一定理就可以不用平行线的性质来证明两直线的平行，张景中教授把这种方法称为“平行线面积判定法”.下面我们通过一个例题来说明其应甩例3 已知线段AB 与一条平行于AB 的直线l ，取不在AB 上也不在l 上的一点P ，作,PA PB 分别与直线l 交于点,M N ，连结,AN BM 交于O ，连PO 交直线AB 于Q ，如图5.求证:AQ BQ =.证明：AOP AOP AOB POB AOB PPOBS S S AQ BQ S S S ∆∆∆∆∆∆==g PMN AMN BMN MNP S S PN AM NB PM S S ∆∆∆∆==g g 1AMN BMNS S ∆∆==. 注在证明最后一步中运用了//AB l ，推导出了AMN BMN S S ∆∆=.实际上此题还解决了在平面内给定两点,A B 和平行于AB 的一条直线，仅利用没有刻度的直尺如何作出AB 的中点的操作方法.类似的方法还可以证明出PQ 平分l .如此一来，便得到了梯形中常见的一个结论，即延长梯形两腰的交点与梯形对角线的连线平分梯形的上下底. 此外，在这个过程中还有一个结论1PN AM NB PM =g ，实际上得到了平行线分线段成比例定理. 共边定理不仅能推导出以上的定理，它还可以推导出相似形基本定理，平行四边形的性质，三角形重心的性质，“共角定理”等.还有一些用传统方法比较难证的定理如“赛瓦定理”，“帕普斯定理”，“德沙格定理”等等，在这里就不一一赘述了，有兴趣的读者可以尝试证明.三、共边定理的推广下面将共边定理进行空间上的推广，即得到共面定理.共面定理：设直线PQ 与平面ABC 交于一点S ，如图6，则有P ABC Q ABC V PS V QS --=.该定理可用于立体几何的计算与证明.此外，共边定理还可以用于解决应用题.例如在行程问题当中，时间不变就等价于三角形中一的高不变，一般涉及正比例的应用题都可以考虑用共边定理来解决，而不仅限于解决平面几何的问题.那么，相比传统方法，共边定理有哪些优点呢?(1)可接受性共边定理基于一个基本的事实，即共高三角形的面积比等于底的比.这个道理在小学就接触过，学生学起来简单，相比相似三角形和全等三角形，需要判定相似或全等的条件比较多，学生的可接受性较强一(2)通用性平面几何中的基本图形是三角形，从统计学的角度来看，一般几何图形中出现全等三角形或相似三角形的可能性太小了.为了能利用相似三角形和全等三角形性质来解题，就需要添加辅助线，但辅助线的添加往往无章可循，而共边三角形却比比皆是，因而它的性质具有通用性.(3)对等性利用相似三角形和全等三角形性质解决问题，需要三个判定条件证明全等或相似.相比之下，共边定理则是一个条件对应一个结论，正是这种对等性，往往能简化几何证明的过程.在这里需要说明的是，共边定理的应用并不排斥传统几何方法中那些有效的方法，相反，它能为传统方法提供更简捷的证明思路一个定理的用途越广，就越能凸显该定理的重要性从上述的例题可以看出，共边定理的作用不容小觑，掌握好这个定理，对初中几何学习是大有帮助的.。
第九讲 三共定理之共角定理
第九讲“三共定理”——共角定理新知探索共角定理思考：如图在前面两讲中，两个三角形有共同的高或者有公共的边，我们能够请两个三角形的面积比，若两个三角形既没有公共的高也没有公共边，能求其面积比吗？现我们还是给定一个条件，如果两个三角形有一对角相等或互为补角，我们来求一求两三角形的面积比！如下图：第一种情况：如图1，当有一组角对应相等，即:∠ABC=∠DAE时。
【分析】：连接DB。
构造两组共高三角形解：由共高定理得：ADACSSDABABC=∆∆；AEABSSDAEDAB=∆∆∴AEABADACSSSSDAEDABDABABC⨯=⨯∆∆∆∆∴AEABADACSSDAEABC⨯=∆∆想一想：在这种情况下，两个三角形的面积比与它们的边有何关系？第二种情况：如图1，当有一组角互补，即:∠ABC+∠DAE=180°时。
【分析】：连接DB 。
构造两组共高三角形解：由共高定理得：AD AC S S DAB ABC =∆∆；AEAB S S DAE DAB =∆∆ ∴AEAB AD AC S S S S DAE DAB DAB ABC ⨯=⨯∆∆∆∆ ∴AE AB AD AC S S DAE ABC ⨯=∆∆ 想一想：在这种情况下，两个三角形的面积比与它们的边有何关系？通过思考，可以把这个事实概括为一个重要的结论：共角定理【知识应用探究】题型I 共角定理的应用【例1】（三角形角平分线性质）如图，AD 是ΔABC 的角平分线，求证：CDBD AC AB = 证明：∵AD 是ΔABC 的角平分线∴ACAB AD AC AD AB S S ACD ABD =⨯⨯=∆∆（共角定理） 又∵∠ADB+∠ADC=180°∴CDBD AD CD AD BD S S ACD ABD =⨯⨯=∆∆（共角定理） ∴CD BD AC AB = 【同步提升训练】基础训练1、（等腰三角形等角对等边）已知△ABC 中，∠B=∠C ，求证：AB=AC综合演练2、如图，已知AB ∥DC ，AB=4，CD=8，梯形的面积为36。
三角形三边关系定理(共6张PPT)
如（图3），能任．意因画为一5个+解△6A＞得B1C0，，x一1=0只3+小.66虫.＞从5，点1B0 出+ 5发＞，6沿，三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？各条线路的长一样吗？你能运用所
学解知得识x 解= 1释0你. 的结果吗？你能由此推出三条边之间有怎样的关系？
B即C三＞角A形C两-A边B的．和所大于以第，三边三．边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm．
（1）3，4，5；（2）5，6，11；（3）5，6，10．
解：（1）能．因为3 + 4＞5，3 + 5＞4，4 + 5＞3，
符合三角形两边的和大于第三边.
（2）不能．因为5 + 6 =11，
不符合三角形两边的和大于第三边.
（3）能．因为5 + 6＞10，10 + 6＞5，10 + 5＞6，
符合三角形两边的和大于第三边.
即三角形两边的和大于第三边．
B
C
探索三角形三边的关系
• 问题：
由不等式②③移项可得 BC ＞AB -AC，
BC ＞AC -AB． 由此你能得出什么结论？
AB + AC ＞BC， ① AC + BC ＞AB， ② AB + BC ＞AC． ③
三角形两边的差小于第Biblioteka 边．三角形三边关系定理的应用
例1 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（〔31） 〕能如．果因腰为长是5 +底6边＞的102，倍1，0那+ 么6＞各5边，的10长+是5＞多6少，？
（ 三3角）形能三．边因关为系5定+理6＞的1应0，用10 ABC + ABCC ＞＞BACB， ①②
(完整版)共边定理及共角定理
首先是从三角形面积公式开始，12S =⨯底高 于是出现两种等面积模型：（1） （2）两个图中均有面积ABD ACD S S ∆∆=，这是最基本的模型，由它延伸出来的有：（1）推论：ABD ACD S a S b∆∆= ABE ACE S a S b∆∆=（也叫风筝模型） ABF ACF S a S b∆∆=（也叫燕尾模型）注意此模型的应用！ ABH ABC S b S ∆∆=，AGH ABHS a S ∆∆=，故AGH ABC S ab S ∆∆=（也叫共角模型） BD :CD=1 : 1B m ∥nnmBD :CD=a : bB BD :CD=a : bBBD :CD=a : bB AH :AC=b : 1AG :AB=a : 1B举例 连结CE （题目中第一空所求应为阴影面积之和） 由2BD CD =知23ABD ABC S S ∆∆=，13ACD ABC S S ∆∆= 又AE ED =，故13ABE DBE ABC S S S ∆∆∆==， 16CDE ACE ABC S S S ∆∆∆==， 23ABE ABE BCE BDE CDE S S AF FC S S S ∆∆∆∆∆===+ 15AEF ACD S AE AF S AD AC ∆∆=⋅=，即115AEF ABC S S ∆∆=一半模型：ABCD 中，12ABE ABD ABCD S S S ∆∆== E 为梯形ABCD 腰上中点，1122ADE ADF ABCD S S S ∆∆== E 、G 为中点，12ABCD S S =阴影 共边定理（ （2）的重要推论 ）：ABD BDE S AC S CE ∆∆=E AAB。
共边定理和共角定理
共边定理和共角定理
共边定理和共角定理是几何学中两个重要的定理，它们都是关于多边形的定理。
这两个定理分别描述了多边形边数和内角数之间的关系。
共边定理指出，相邻两条边之间会有一个内角，那么在n条边的多边形中，边数和内角数之间的关系是n（n-3）/2，也就是说，当n 边形中有n条边时，内角数为n（n-3）/2。
这就是共边定理。
共角定理指出，多边形的n个内角之和为（n-2）180°，这就是共角定理。
以上就是共边定理和共角定理的基本定义，接下来我们将研究它们之间的关系。
共边定理和共角定理之间有一定的关联，当已知n条边多边形的内角数之和时，可以推导出它的边数。
因为我们已经知道共角定理：多边形的n个内角之和为（n-2）180°，且共边定理：n条边的多边形的内角数为n（n-3）/2。
所以若要求出边数，应当将（n-2）180°和n（n-3）/2分别等于，然后求解出n的值，即可求出多边形的边数。
此外，共边定理和共角定理还可以用于检验多边形是否有效。
一个多边形若是有效的，那么它应该符合共边定理和共角定理。
也就是说，若一个多边形边数和它的内角数之和不符合共边定理和共角定理，则该多边形是无效的。
共边定理和共角定理也可以用来求解多边形的面积，这里提出的
方法叫做“三角法”：如果一个多边形的所有边都可以通过已知的点形成三角形，那么通过共边定理和共角定理就可以将这些三角形重新拼接成一个完整的多边形，这样，就可以根据每个三角形的面积计算出整个多边形的面积。
总之，共边定理和共角定理是几何学中重要的定理，它们与多边形有着紧密的联系，可以帮助我们求解多边形的边数、内角数、面积等问题。
初中数学 共边定理的应用专题辅导
初中数学 共边定理的应用专题辅导张景中 彭翕成我们在上一期引入了共边定理，并对共边定理的应用进行了举例说明。
接下来我们将给出更多的例子，你会发现难题并不一定非要用复杂的方法才能解决。
共边定理看似平凡，但只要运用得当，也会成为解题的利器。
我们先来回顾一下这个定理。
共边定理 若直线AB 和PQ 相交于点M （如图1，有四种情形），则有：QMPM S S QAB PAB =∆∆。
例1. （2002年“希望杯”初一竞赛题）如图2，已知ABC ∆的面积是1，AF=2FC ，BD=DE=EC 。
求四边形GDEH 的面积。
解：四边形GDEH 不是规则四边形，不能直接求其面积，可先求出BGD BEH S S ∆∆和，相减即得。
由共边定理，32S S 32S S AH EH ABF CBF ABF EBF ===∆∆∆∆312132AF FC =⋅=⋅，得61S 3241S 41S A B C A B E B E H =⋅==∆∆∆。
由共边定理，612131AF FC 31S S 31S S AG DG ABF CBF ABF DBF =⋅=⋅===∆∆∆∆，得211S 3171S 71S ABC ABD BGD =⋅==∆∆∆。
所以42521161S S S BGD BEH GDEH =-=-=∆∆四边形。
例2. （2003年“希望杯”数学邀请赛试题）如图3，ABC ∆的面积等于25，AE=ED ，BD=2DC ，则B D E A E F ∆∆与的面积之和等于_________，四边形CDEF 的面积等于______。
解：利用共边定理，32321BC BD ED AE S S S S S S FC AF CBF DBF DBF ABF CBF ABF =⋅=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆， 10S 154S 31S 31S S S S S ,32025154S 154S 31S 53S S S ,S 31S 3221S 21S ABC ABC ABC CDEF ADC BDE BDE AEF ABC ABC ABC BDE CBF CDEF ABC ABC ABD BDE =-+=-+=+=⋅==-=-=∴=⋅==∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆四边形四边形例3. 如图4，ABC ∆中，31CF ,BC 31BE ,AB 31AD ===CA 。
燕尾模型
共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则SPM PABSQM QAB∆=∆特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB 知识框架【例 1】 如图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【例 2】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA例题精讲【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.EFB A【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA【例 4】 如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPAB C4411XQPCBA【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．ABCDE F【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？M N【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE DCB A【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE O【例 6】 如图，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。
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第九讲三共定理之共边定理第九讲三共定理之共边定理
共边定理是三共定理中的一个重要定理，它与三角形的边长和内角之间的关系密切相关。
在本文档中，我们将详细介绍共边定理的定义、性质和应用。
1. 定义
共边定理是指在一个三角形中，两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
也就是说，对于三角形ABC，有以下条件成立：
- AB + BC > AC
- AB - BC < AC
2. 性质
共边定理具有以下主要性质：
- 共边定理可以用于判断三角形是否存在。
如果三边的和大于
任意一边，且任意两边的差小于第三边，则该三角形存在；否则，
该三角形不存在。
- 共边定理可以用于判断是否可以构成锐角三角形、钝角三角
形或直角三角形。
如果三边的和平方小于等于两边的平方和，则构
成锐角三角形；如果三边的和平方大于两边的平方和，则构成钝角
三角形；如果三边的和平方等于两边的平方和，则构成直角三角形。
- 共边定理可以用于计算三角形的边长。
已知两边和夹角的情
况下，可以通过共边定理计算第三边的长度。
3. 应用
共边定理在实际问题中具有广泛应用，主要包括以下方面：
- 地理测量学：共边定理可以用于测量不便直接测量的距离，
例如测量两座山峰之间的距离。
- 建筑设计：共边定理可以用于设计和检测各种角度的房屋、
桥梁和其他结构的稳定性。
- 金融领域：共边定理可以用于计算投资回报率和风险与收益
的平衡。
在实际应用中，我们需要充分理解共边定理的定义和性质，并善于运用它来解决实际问题。
以上就是第九讲三共定理之共边定理的内容。
通过学习共边定理，我们可以更好地理解三角形的边长和内角之间的关系，以及如何应用共边定理解决实际问题。
深入掌握共边定理对我们的学习和工作都具有重要意义。