2020届高三数学一轮复习 4.1 立体几何学案

专题四：立体几何

【备考策略】

根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：

1．全面掌握空间几何体的概念及性质，特别是常见几何体如正方体、长方体、棱柱、棱锥、球的概念和性质，这是进行计算和证明的基础。

2．多面体画图、分析图，用自己的语言描述图，提高借助图形分析问题的能力，培养空间观念。

3．注重三视图与直观图的相互转化及等积转化的思想。

4．特别关注空间三种角落计算问题以及涉及到探究点的位置的问题。

第一讲空间几何体

【最新考纲透析】

1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4．会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

5．了解球、棱柱、棱锥的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

【核心要点突破】

要点考向1：空间几何体的三视图

考情聚焦：1．三视图是新课标教材的新增内容，是高考中新的增加点及亮点。

2．常与表面积、体积计算综合出现，多以选择题或解答题的形式呈现，属较容易的题。

考向链接：1．解答此类问题，首先由三视图想象出原几何体的形状，并由相关数据得出几何体中的量。

2．掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向。

例1：（2020·陕西高考理科·Ｔ7）若某空间几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积是（）

(A) 1

3

(B)

2

3

(C) 1 (D) 2

【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中等题。

【思路点拨】三视图⇒几何体是直三棱柱⇒该几何体的体积

【规范解答】选C 由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为2和1的直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积

1(21)2 1.2

V =⨯⨯⨯= 要点考向2：几何体的表面积与体积

考情聚焦：1．几何体的表面积与体积一直是高考的热点内容，应引起重视。

2．多以选择题、填空题的形式考查，有时也以解答题的形式考查，属较容易题。

考向链接：1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在。求三棱锥的体积，等积转化法是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上。

2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解。

例2：（2020·上海高考文科·Ｔ20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.

(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该

最大值（结果精确到0.01平方米）;

(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出

用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.

【命题立意】本题是个应用题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，涉及函数求最值、几何体的三视图等相关知识.

【思路点拨】（1）建立S 关于r 的函数，根据函数的性质求最值；

（2）确定几何体的有关数据后，按三视图的要求画图．

【规范解答】（1）设圆柱形灯笼的高为h ，则4(42)9.6r h +=，所以 1.22h r =-

所以2222(.22)S S S r rh r r r ππππ=+=+=+-侧底2

2.43r r ππ=-(00.6)r <<．

所以，当4.0)3(24.2=-⨯-=ππr 时S 有最大值． 最大值为51.1)4.0(34.04.22≈-⨯ππ（平方米）

（2）由（1）0.3r =时，0.6h =其正视图与侧视图均为边长是0.6的正方形，俯视图是半径为0.6的圆．如图：

要点考向3：球鞋与空间几何体的接、切问题

考情聚焦：1．有关球的知识的考查也是高考中常出现的问题，特别是球与多面体、旋转体等组合的接、切问题。

2．多以客观题的形式呈现，属中档题目。

例3：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球鞋面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为

思路分析：确定球与正六棱柱的关系→求球的半径→求得体积。

解析：由已知正六棱柱的底面边长为

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，而外接球的直径恰好为最长的体对角线长。设球的半径为R ，则222344(2)1(3)4,1,33

R R V R ππ=+=∴=∴==球 答案：43π 注：（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。

（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且

则，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体（或其他图形），从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法。

【高考真题探究】

1．（2020·辽宁高考文科·Ｔ11）已知SABC 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ，SA =AB =1 BC 2,则球O 的表面积等于（ ）