重庆市部分区县高一上数学期末考试试题汇编
第一章 集合与函数的概念1．已知集合{}1,0=A ，{}30,1-+=a B ，，且B A ⊆，则=a （ ） A. 1 B. 0 C. -2 D. -3 2．设集合{}2,a a M =，其中{}1,0,1-=∈N a ，则( )A . N M ∈B .N M =C . N M ⊂D . N M ⊇3.设全集{}4,3,2,1=U ，集合{}4,2=A ，{}3,2,1=B ，则()=⋂B A C U ( )A.ΦB.{}3,1C.{}4,3,1D.{}3,2,14.设集合{}42<≤=x x A ，{}3≥=x x B ，则B A 等于 . 5.函数()()x x f -=4ln 的定义域为集合A ，()322--=x x x g 的定义域为 集合B .()1分别求：B A ,； ()2试求：B A B A ⋃⋂,.6.设全集U 为R ，已知{}60<≤=x x A ，(){}x x f x B -==8. 求（1）B A ； （2）()B A C U .7.设全集R U =，集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+==13|log 32x y x A ，{}A x x x y yB ∈+==,2|2 （1）求B A ,集合 （2）计算：()B AC U ⋂。
第二章 基本初等函数1.在下列函数中，与函数x y =是同一个函数的是（ ） A. ()2x y =B. 33x y = C. xx y 2= D. 2x y =2.已知3.0log 2=a ，3.02=b ，2.03.0=c ，则c b a ,,三者的大小关系是（ ） A. b c a << B. b a c << C. a b c << D. c b a << 3.若28.0=a ,8.0ln =b ,8.02=c ,则c b a ,,之间的大小关系是（ ） A.b c a << B.c b a << C.a c b << D.c a b << 4．设766=P ,67.0=Q ，R=log 0.76，则( )A. R<P<QB. P<R<QC. Q<R<PD. R<Q<P5.在同一坐标系中画出函数x y a log =，xa y =，a x y +=的图像，可能正确的是（)6.函数()x x f 2log 1+=的定义域为 . 7．函数x xy lg 21+-=的定义域为( ) A 、(0,2] B 、（0，2） C 、[0,2) D 、[1,2]8.党的“十八大”提出，最迟到2020年要实现城乡居民人均收入比2010年翻一番。
若我市从2010年起城乡居民收入满足函数关系式20Q Q =0.31t其中0Q 为2010年城乡居民人均收入，t 为年数，则我市实现这一目标的具体时间是（ )年A 、2014B 、2016C 、2018D 、2020 9.已知()x f 是幂函数，其图像过点()16,2，则（ ）A.()4x x f =B.()x x f 4=C.()x x f 4log =D.()32x x f =10.设()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1211x x xx f x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛31f f = .11.函数()()10,1log ≠>-=a a x y a 且的图像必过定点（ ） A.()0,2 B.()0,1 C.()1,2 D.()1,112.()x f y =为奇函数，当0<x 时，()ax x x f +=2，且()62=f ；则当0≥x 时，()x f 的解析式为 .13．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1a ，则使函数a x y =的定义域为R ，且为奇函数的所有a 值为A . 1,3B . 1,21,1- C . -1,3 D . -1,1,314．若函数3)1()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，则)(x f 的递减区间是 .15.下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞-上单调递增的是（ ） A.()xx f 2= B.()x x f 1-= C.()x x f -= D.()12+-=x x f16.方程a x =-|12|有唯一实数解，则正数a 的取值范围是____________ 17.若点()1,k M ，()1,3-N 是定义在R 上的减函数()x f 图像上的两点，且不等式()112≤+x f 的解集为[]1,1-，则=k .18.已知⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=1,21,4)3()(x x ax x a x f 是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A 、（0,3） B 、（0,1] C 、（0,1） D 、（0,3]19.对于函数()xx f 2=定义域中的任意的()2211,x x x x ≠，有如下结论：()()()()21211x f x f x x f +=； ()()()()21212x f x f x x f =+； ()()()032121>--x x x f x f ； ()()()042121<--x x x f x f ； ()()()2252121x f x f x x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+.其中正确的是 .20.对实数n m ,，定义运算“*”：=*n m ()()⎩⎨⎧>-≤-11n m n n m m ，设函数()()()R x x x x f ∈-*-=,232.若函数()c x f y +=的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A. ()1,3-B. ](1,3-C. ](](102-3-，，D. [)[)0,1-3,221.（本大题共13分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≤x 时，x x x f 4)(2+=. （1）现已画出函数)(x f 在y 轴左侧的图像，如图所示，请补)(x f 出的完整图像，并根据图像写出函数)(x f 的增区间。
（2）求函数)(x f 的解析式。
22.已知定义域为R 的函数()x f 是以2为周期的周期函数，当2,0∈x 时，1-=x x f .(1)求()2015f 的值； (2)求()x f 的解析式；(3)若()()x x f x g lg -=，求函数()x g 的零点的个数.23.已知函数()4241+⋅+=+x xa x f .()1当1=a 时，求函数()x f 的值域；()2若关于x 的方程()0=x f 有两个大于0的实根，求a 的取值范围； ()3当[]2,1∈x 时，求函数()x f 的最小值.24.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600时，能租用多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益为多少元？25.2013年春节晚会现场无数次响起响亮的掌声，专家用仪器测量到一次音量达到了90.1分贝（分贝是计量声音强度相对大小的单位）.物理学家引入了声压级（spl ）来描述声音的大小：把一很小的声压50102-⨯=P （a P帕，压强单位）作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压0P 的比值P P取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级，声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB ）.声压级在60分贝以下为无害区，60-110分贝为过渡区，110分贝以上为有害区.()1请根据上述材料，列出声压级y 与声压P 的函数关系式； ()2某地声压a P P 2.0=，请问该地处在什么区？第三章 函数的应用1.函数()12log 2-+=x x x f 的零点所在区间是（ ）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛4181，B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛2141，C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛121， D. ()2,12.方程023=--x x 的实数解所在的区间是（ ）A.()0,1-B.()1,0C.()2,1D.()3,2 3.有表可知,函数3--=x e y x 的一个零点所在区间为（ ）. （-1,0） .（0，1) . (1,2) . (2,3)第一章 三角函数1.︒300tan 的值为（ ） A.33 B. 3- C. 3 D. 33-2． 330sin 的值是( )B. A ．23 B ．23- C ．21 D ．21-3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是()22,1-，则αsin 的值为（ ）A.1-B.22C.33 D.332 4.要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（ ） A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位5.将函数x y sin =的图像上所有的点向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） A. ⎪⎭⎫⎝⎛-=321sin πx y B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin πx yC. ⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y 6.把函数()φω+=x y sin ⎪⎭⎫⎝⎛<>2||,0πφω的图像向左平移3π个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为 （ ）A 3,1πB 、 3,1π-C 、3,2πD 、3,2π-7.函数1cos 2sin 2+-=x x y 最小值为 . 8．函数)32sin(3π+=x y 的递增区间是________________.9.如图A ,B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限，记θ=∠AOB 且54sin =θ.（1）求B 点坐标；（2）求()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-θπθπ2sin 2sin 的值.10. 已知函数()()x x x f cos sin 2-=π. ()1求()x f 的最小正周期； ()2求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值.第二章 平面向量1.已知向量()2,1=a ，()1,3=b ，则=+b a（ ）A. ()1,2-B. ()3,4C. ()0,2D. ()2,32.若2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为︒60，则b a ⋅为（ ）B. A.3 B.21 C.1 D.233.在△ABC 中， 90=∠C ，)1,(k AB =→，)3,2(=→AC ,则k 的值是( )A 、5B 、-5C 、23 D 、23- 4.已知向量()2,2-=→a ，()mb ,1-=→,若→→b a //，则m= .5.已知向量()1,2-=a，()2,x b = ，若b a ⊥，则=x .6.已知向量a 和b 的夹角为︒120，且2=a ，5=b ，则()=⋅-a b a2 .7.已知O 为△ABC 内一点，且→→→→=++02OB OC OA ，则△AOC 与△ABC 的面积之比为____________.8.已知O 点为坐标原点，向量()4-3，=，()3-6，=，()m m --=3,-5. (1)若点C B A ,,共线，求实数m 的值；(2)若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值.9.已知向量2143e e a -=，212e e b+=，其中()0,11=e ，()1,02=e .()1分别求：b a ⋅,b a+；()2试求：a 与b的夹角的余弦值.10.已知三点A （2,3），B （-1，-1），C （6，k ），其中k 为常数.||||→→=AC AB(1)求k 的值（2）求→AB 与→AC 的夹角的余弦值第三章 三角恒等变换1.若21tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 21-+的值为（ ）A. 3-B. 31-C. 31D. 3 2.若2cos sin cos sin =+-αααα，则=α2cos （ ）A.43-B.54- C.43 D.533.计算=-12sin 12cos22ππ.4.已知函数()x x x f 2sin 22sin 3-=.()1求函数()x f 的单调递增区间； ()2求函数()x f 的零点的集合.5.（1）已知53sin =α，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，求α2sin 的值； （2）已知2tan =x ，求()()απαπαπ-⎪⎭⎫⎝⎛+++3cos 23sin 2sin 的值。
重庆市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．化成弧度为（ ） 750 A ．B ．C ．D ．25π614π3112π17π3【答案】A【分析】直接利用弧度与角度的转化公式即可 【详解】根据角度制转化弧度制公式得. π25750π1806︒⨯=︒故选：A.2．已知集合，，则（ ）{}1,2,3,4,5A ={}22150B x x x =--<A B = A ． B ． C ． D ．{}1{}1,2{}1,2,3{}1,2,3,4【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由，而，()()221502530 2.53x x x x x --<⇒+-<⇒-<<{}1,2,3,4,5A =所以， A B = {}1,2故选：B3．已知：正整数能被6整除，，则是的（ ）p x {}*:3,q x x x k k ∈=∈N p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分析出命题表示正整数能被3整除，根据能被6整除的正整数一定能被3整除，反之q x 不成立，即可得到答案.【详解】由题知在命题表示正整数能被3整除，q x 而能被6整除的正整数一定能被3整除，故前者能够推出后者， 而能被3整除的正整数不一定能被6整除，如9，故后者无法推出前者， 故是的充分不必要条件. p q 故选：A.4．已知，，，则（ ） 0.2log 3a =0.20.3b =ln πc =A ． B ．C ．D ．a b c <<a c b <<b a c <<b<c<a 【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得， 0.20.2log 3log 10a =<=，0.2,031).(0b ∈=，ln π>lne=1c =所以， a b c <<故选：A.5．命题，使得函数在上不单调，则命题的否定是（ ） :p α∃∈R y x α=()0,∞+p A ．，函数在上不单调 :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+B ．，函数在上单调 :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+C ．，函数在上单调 :p α⌝∃∈R y x α=()0,∞+D ．，函数在上单调 :p α⌝∃∉R y x α=()0,∞+【答案】B【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定是“，函数在上单调”. p :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+故选：B6．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（ ） A ． B ．21xy x =-35y x -=C ．D ． 12,0,11,0.2x x x y x ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩1e ln 1exxy -=+【答案】C【分析】对A ，B 项：举反例说明不是减函数； 对C 项，可判断为奇函数且为减函数； 对D 项，从定义域的不对称性说明不是奇函数. 【详解】对A ：当时，，而当时，，在定义域内一定不是减函数； 0x =0y =2x =23y =对B ：当时，，而当时，，在定义域内一定不是减函数；0x <0y <0x >0y >对C ：，12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩当时，， 0x <()12()21,()()x x f x f x f x f x =--=-∴-=-，当时， ， 0x >()21()12,()()x x f x f x f x f x --=--=-∴-=-，当时，也成立，0x =()()0f x f x -=-=故对，都有，故为奇函数，R x ∀∈()()f x f x -=-12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩当时，为减函数，当时，为减函数，0x ≤()120x f x =->0x >()210xf x -=-<所以为上减函数，故C 正确；12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩R 对D ：定义域为，故不可能为奇函数.1e ln 1e xx y -=+(,0)-∞故选：C7．已知函数，，，则的取值范围是（ ） ()lg f x x =()()f a f b =a b <2023a b +A ．B ．C ．D ．)∞⎡+⎣()2023,+∞()2024,+∞()0,∞+【答案】C【分析】由题得，则有，首先解出的范围，则，设()lg 0ab =1b a=a 20232023a b a a +=+，，利用对勾函数的图象与性质即可得到其范围. 2023y a a=+01a <<【详解】由题知，显然， 0,lg lg a b a b <<=lg lg a b ≠则，即， lg lg a b -=()lg 0ab =则，则，，即，解得， 1ab =1b a =a b < 1a a<01a <<，设，，20232023a b a a+=+2023y a a =+01a <<令，解得， 2023a a=a =根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减， 2023y a a=+()0,1故其值域为. ()2024,+∞故选：C.8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） ()244x f x x+=()()132f a f a +<-a A ． B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭233,,4322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()4,+∞()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】判断的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的()2414f x x x =+限制.【详解】为偶函数，且在上递减. ()2414f x x x =+()0,∞+∵，()()132f a f a +<-∴，()()222132,132,,43a a a a a ⎛⎫+>-∴+>-∴∈ ⎪⎝⎭∵，，∴且，∴.10a +≠320a -≠1a ≠-32a ≠233,,4322a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B二、多选题9．下列说法中正确的是（ ） A ．任何集合都至少有两个子集B ．设为全集，，，是的子集，若，则 U A BC U ()U A B C ⊆⋃ðA B C =∅ C ．命题“，”的否定为“，”x ∀∈R e e x x ≥x ∃∈R e e x x ≤D ．若是的必要不充分条件，的必要不充分条件是，则是的充分条件 p q r q r p 【答案】BD【分析】根据子集的概念判断选项；根据集合的运算判断选项；根据全称命题的否定判断选项A B ；根据充分条件，必要条件的判定，判断选项.C D 【详解】由子集的概念可知：空集是它本身的子集，所以空集只有一个子集，故选项错误； A 因为，，是的子集，，则与没有公共元素，所以，故A B C U ()U A B C ⊆⋃ðA ,B C A B C =∅ 选项正确；B 因为命题“，”的否定为“”，故选项错误；x ∀∈R e e x x ≥R,e e x x x ∃∈<C 因为是的必要不充分条件，则能推出，又因为的必要不充分条件是，则能推出，所p q q p r q r q 以能推出，则是的充分条件，故选项成立， r p r p D 故选：.BD 10．已知幂函数，则（ ）()()2ln 22m m f x x --=A ．，函数的图像与坐标轴没有交点 m ∀∈R ()f xB ．，使得是奇函数m ∃∈R ()f x C ．当时，函数在上单调递增 4m ≥()f x ()0,∞+D ．当时，函数的值域为 1m =-()f x {}1【答案】BCD【分析】对A ，B 项：当时可说明A 错误B 正确；()2ln 221m m --=对C 项： 分析的取值范围，根据幂函数的单调性判断；()2ln 22m m --对D 项： 当时求定义域与值域即可.1m =-()0f x x =【详解】设可知可取遍全体正数，()()()()22ln 22ln 13g m m m m =--=--()213m --所以可取遍全体实数，()g m ∴当时，，，A 错误，B 正确；()213e m --=()2ln 221m m --=()f x x =当时，， 4m ≥()2ln 13ln60m ⎡⎤--≥>⎣⎦由幂函数性质，在上单调递增，C 正确；()f x ()0,∞+时，，定义域为，值域为，D 正确.1m =-()0f x x ={}R 0x x ∈≠{}1故选：BCD11．已知，则（ ） 1a b >>A B ．C ．D ．>1123b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 5log 3a b >tan tan a b >【答案】AB【分析】根据指数、对数、幂函数性质判断ABC ，根据正切函数性质判断D. 【详解】解：对于A 选项，由得，故，故正确； 1a b >>1101a b<<<111b a a a a b >>对于B 选项，由于，故，故正确；1a b >>111223baa⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C 选项，若，，则，故错误； 5a =3b =log 5log 31a b ==对于D 选项，若，，故错误. 2πa =πb =故选：AB12．已知函数和函数，关于的方程有个()1,0,1,0.x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩()()21g x x k x =++x ()()0g f x k +=n 实根，则下列说法中正确的是（ ） A ．当时， B ．当时， 2n =2k <-4n =2k <-C ．， D ．，k ∀∈R 1n ≥k ∃∈R 5n ≥【答案】BC【分析】由解得或，结合图象分析根的个数与()()0g f x k +=()1f x =-()f x k =-()f x ()f x k =-的取值关系.k 【详解】令，若，则，解得或，()t f x =()g t k =-()21t k t k ++=-1t =-k -∴或，对于，该方程有一解，故C 正确；()1f x =-()f x k =-()1f x =-图象如图，若，可知且，所以且，故A 错误；()f x 2n =2k -<1k -≠-2k >-1k≠若，需要有三个根,由图可知，，故B 正确； 4n =()f x k =-2k ->2k <-由图可知至多三个解，所以，故D 错误. ()f x k =-4n ≤故选:BC三、填空题 13．函数的定义域是______.()2ln 2y x =-【答案】()(),11,2-∞ 【分析】使函数有意义应满足分母不为0，真数恒大于0. 【详解】函数有意义应满足，解得，()2ln 2y x =-()20ln 20x x ->⎧⎨-≠⎩()(),11,2x ∈-∞故答案为：()(),11,2-∞ 14．______. cos16cos104sin16cos14-= 【答案】##12-0.5-【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】()cos16cos104sin16cos14cos16sin14sin16cos14cos16sin14sin16cos14-=--=-+，()sin 161431sin 20=-+=-=- 故答案为：12-15．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为3π2π3______. 【答案】2π【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而r a C r CO a =+a 求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为，∴ r 21π3π,3232r r ⋅=∴=如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴,a C 2πsin 6a CO a==，故， 33r CO DC a ==+=1a =所以最大的圆周长为. 2π故答案为：2π四、双空题16．已知函数.若，则的值域是______；若恰有2个()22,1,11,1x a x f x x a x x a ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩1a =()f x ()f x零点，则实数的取值范围是______. a 【答案】()1,-+∞()(]0,11,2 【分析】时，当时, ，当时，，利用函数的单1a =1x ≤()21x f x =-1x >()22()211f x x x x =-+=-调性求值域;当且时,当时求得的两个零点只有一个满足,另一个要在时产0a >1a ≠1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1x ≤生,列出满足的条件;当时，当时求得没有零点, 时不可能有两个零点.0<a 1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1x ≤【详解】时，，当时, ，当时，1a =()221,1,21,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩1x ≤()21(1,1]x f x =-∈-1x >，故值域为；()22()2110f x x x x =-+=->()1,-+∞若，由上知此时只有一个零点；1a =()f x 当且时，当时有两个零点，，0a >1a ≠1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭a 1a 其中，必是一个大于1，另一个小于1，故此时只有一个零点满足，1aa ()f x 而时，此时需要有一个零点，只需，1x ≤(]2,2xy a a a =-∈--20a -≥∴，()(]0,11,2a ∈⋃当时，当时，对称轴为，在上为增函数， 0<a 1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭102a a x +=<()1,+∞∴，21112,y x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-++∈--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，知在上无零点，120a a-->()f x ()1,+∞而时，在上单调，∴不可能有两个零点. 1x ≤2x y a =-(],1-∞综上实数的取值范围是. a ()(]0,11,2 故答案为: ;()1,-+∞()(]0,11,2五、解答题17．已知，集合，.a ∈R {}0A x x a =-≥{}13B x x =-≤≤(1)当时，求，； 2a =A B ⋂A B ⋃(2)若，求的取值范围. ()R A B ⊆ða 【答案】(1)， []2,3[)1,-+∞(2) 3a >【分析】（1）根据集合的交并运算求解；（2）求出，根据列出应满足的条件.B R ð()R A B ⊆ða 【详解】（1）当时，，，； 2a =[)2,A =+∞[]2,3A B = [)1,A B =-+∞ （2），，， ()(),13,B =-∞-⋃+∞R ð[),A a =+∞R A B ⊆ð∴.3a >18．（1）求的值；()14625lg0.025lg4+（2）已知，求的值. ()1sin π3α+=()()3ππcos sin sin 3π22tan αααπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-【答案】（1）2；（2）827【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解. 【详解】（1）原式； ()144252545lg lg453lg10001000⨯⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭153lg 53210=+⨯=-=（2）∵，∴，()1sin π3α+=1sin 3α=-原式. ()()()22sin cos sin 118sin cos sin 1sin 1tan 3927αααααααα-⋅-⎛⎫==-=-⋅-=⨯-= ⎪-⎝⎭19．已知，.,0x y >132x y+=(1)求的取值范围； 21x y+(2)求的最小值.12y x+【答案】(1)4,29⎛⎫⎪⎝⎭(2)52【分析】(1)根据已知条件得到，将式子中的换成，结合二次函数的图象和203x <<21x y +1y 23-x 性质即可求解；(2)结合将式子变形，利用基本不等式即可求解. 132x y +=12y x+【详解】（1）因为，则，又因为，所以，132x y +=1230x y =->,0x y >203x <<则，因为，22213132()24x x x x y +=-+=--203x <<由二次函数的图象和性质可得：. 214(,2)9x y +∈（2）111122233265y y x xy x x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴且，解得1522y x +≥16xy xy =132x y +=x =y =∴的最小值为12y x+5220．已知，集合，.a ∈R (){}222220A x x a x a a =-+--≤()12log 211B x x ⎧⎫⎪⎪=->⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)求集合；B (2)若，求实数的取值范围.B A ⊆a 【答案】(1)13,24⎛⎫⎪⎝⎭(2)31,,42⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据对数函数的性质求出不等式的解集，即可得解；()12log 211x ->（2）由可得，分和两种情况讨论，()222220x a x a a -+--≤()()220x a x a +--≤23a ≥-23a <-求出集合，根据得到不等式组，解得即可.A B A ⊆【详解】（1）解：由，即，所以，解得()12log 211x ->()11221log 21log 2x ->10212x <-<1324x <<，所以； ()121313log 211,2424B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=->=<<=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭（2）解：由，即，()222220x a x a a -+--≤()()220x a x a +--≤当即时，，22a a -≤+23a ≥-{}22A x a x a =-≤≤+当即时，， 22a a ->+23a <-{}22A x a x a =+≤≤-若，当时，，解得， B A ⊆23a ≥-132224a a -≤<≤+12a ≥-当时，，解得， 23a <-132224a a +≤<≤-34a ≤-综上可得. 31,,42a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭21．某电影院每天最多可制作500桶爆米花，每桶售价相同，根据影院的经营经验，当每桶售价不超过20元时，当天可售出500桶；当每桶售价高于20元时，售价每高出1元，当天就少售出20桶.已知每桶爆米花的成本是4元，设每桶爆米花的售价为（且）元，该电影院一天x 4x >*x ∈N 出售爆米花所获利润为元.（总收入=总成本+利润）y (1)求关于的函数表达式；y x (2)试问每桶爆米花的售价定为多少元时，该电影院一天出售爆米花所获利润最大？最大利润为多少元？【答案】(1) *2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N (2)当或25时，利润最多为8400元24x =【分析】(1)分段讨论售价确定每天的销售量,用分段函数表示利润;x (2)分别求出每一段函数的最大值,比较大小确定最大利润及相应的售价.【详解】（1）由题得当时，销售量为500桶，当时，销售量为420x <≤2045x <≤，()500202090020x x --=-由得,900200x -≥*2045,x x <≤∈N 故利润， **500(4),420,(90020)(4),2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨--<≤∈⎩N N 即； *2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N（2）由（1）知当时，为增函数,故时，，420x <≤500(4)y x =-20x =max 8000y =当时，,开口向下且对称轴为,2045x <≤2209803600y x x =-+-24.5x =当时为增函数, 当时为减函数,(20,24.5]x ∈[24.5,45]x ∈又,所以当或25时，，*x ∈N 24x =max 8400y =故当或25时，利润最多为8400元.24x =22．已知函数的定义域为，且.()f x ()0,∞+()ln ln f x x x =⋅(1)求，判断并证明其单调性；()f x (2)求方程的根； ()()e e 1f x f x -=-(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. ()42e x x f a +⋅>1x >a 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析()()e 0x f x x x =>()f x ()0,∞+(2)1x =(3) 32a ≥-【分析】（1）利用换元法求出函数解析式，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合（1）的结论，可得，进而求解；e e x x =（3）结合（1）和（2）的结论将不等式等价转化为对任意恒成立，然后利用换元421x x a +⋅>1x >法结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）令，，，，.ln t x =e =t x ()e t f t t =()e x f x x =0x >任取，则，∴，120x x >>12e e 0x x >>122112e e e x x x x x x >>∴，()()121212e e 0x x f x f x x x -=->()()12f x f x >∴在上单调递增；()f x ()0,∞+（2）∵，则 ()()e e 1f x f x -=-()()()2e 1e 0f x f x ---=所以或（舍），，显然是解，()e f x =()1f x =-e e x x =1x =又在上单调递增，∴是唯一解；()f x ()0,∞+1x =（3）由题对任意恒成立 ()()421x x f a f +⋅>1x >∴对任意恒成立，421x x a +⋅>1x >令，∴对任意恒成立，∴对任意恒成立 22x u =>21u au +>2u >1a u u >-2u >又在为单调递减函数，∴. 1y u u =-()2,+∞13222a ≥-=-。
重庆市2021-2022学年高一上学期期末数学试题含答案
西南2021—2022学年度上期期末考试高一数学试题（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“πππ,,Z22x k k k π⎛⎫∀∈-+∈ ⎪⎝⎭，都有tan 0x ≠”的否定是（）A.πππ,π,Z 22x k k k ⎛⎫∀∉-+∈ ⎪⎝⎭,都有tan 0x ≠B.πππ,π,Z 22x k k k ⎛⎫∃∉-+∈ ⎪⎝⎭，使得tan 0x =C.πππ,π,Z 22x k k k ⎛⎫∀∈-+∈ ⎪⎝⎭，都有tan 0x =D.πππ,π,Z 2x k k k ⎛⎫∃∈-+∈ ⎪⎝⎭,使得tan 0x =【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定原则对命题进行否定.【详解】tan 0x ≠的否定为tan 0x =，所以全称命题的否定为：πππ,π,Z 22x k k k ⎛⎫∃∈-+∈ ⎪⎝⎭,使得tan 0x =.故选：D2.若半径为2的扇形的弧长为4π3，则该扇形的圆心角所对的弦长为（）A.B.2C. D.23π【答案】C 【解析】【分析】根据条件求出圆心角，借助三角函数求出弦长.【详解】由题意弧长4π3r α=，半径为2，所以扇形的圆心角2π3ABC ∠=，如图，过点B 作BF AC ⊥，所以π3ABF ∠=，又2AB =，所以π2sin 3AF =⨯=所以扇形的圆心角所对的弦长2AC AF ==故选：C3.下列对数值比较大小正确的是（）A. 2.1 2.1log 0.4log 0.3<B.11221log 5log 5> C.3πlog 2log 4< D.20.2log 3log 3<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数的运算法则和单调性逐项判断即可.【详解】对于A ，由函数 2.1log y x =在()0,∞+单调递增，所以 2.1 2.1log 0.4log 0.3>，A 错误；对于B ，函数12log y x =在()0,∞+单调递减，所以11221log 5log 5<，B 错误；对于C ，由33ππlog 2log 143πlog log <=<=，C 正确；对于D ，函数20.2log 30,log 30><，所以20.2log 3log 3>，D 错误；故选：C4.函数ln(1)y x =--的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】ln(1)0y x =--≤恒成立，排除CD ，根据定义域排除A ，得到答案.【详解】ln(1)0y x =--≤恒成立，排除CD ，ln(1)y x =--的定义域为()1,+∞，排除A.故选：B.5.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边重合于x 轴的非负半轴，终边经过点(1,2)P -,则sin cos 2cos 3sin αααα+=-（）A.18-B.34-C.17D.18【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的定义得出sin α，cos α，即可代入sin cos 2cos 3sin αααα+-求解得出答案.【详解】由三角函数定义得：sin 5α==，cos 5α==-，则sin cos 12cos 3sin 85255555552555αααα+=--⎭-⎝，故选：A.6.南非在2021年11月9日检测出首例新冠病毒变异毒株“奥密克戎”，短短一周时间，从11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1万人，若新增感染人数y 与时间（第x 天）可以表示为函数xy k a =⋅（,k a为正实数），则第四天新增感染人数约为（）（参考数据： 1.7≈≈）A.5485B.4018C.2143D.1765【答案】D【解析】【分析】代入数据计算61003a =，得到43k a k a a ⋅=⋅⋅=.【详解】x y k a =⋅，则300k a =⋅，710000k a =⋅，解得61003a =，第四天新增感染人数约为433001765k a k a a ⋅=⋅⋅=⨯=.故选：D7.已知ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若满足1sin 3A =，tan C =，那么()tan 22A C +=（）A.23-B.C.-D.17【答案】C 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出tan A 的值，再利用两角和的正切公式和二倍角公式即可求解.【详解】因为tan 0C =<，所以在ABC 中，角A 为锐角，由1sin 3A =可得：22cos 3A ==，则sin tan cos 4A A A ===，所以tan tan 2tan()1tan tan 2A C A C A C ++==--⋅，则22tan()tan(22)1tan ()A C A C A C ++==--+，故选：C .8.已知函数()()4sin π,0111,12x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若函数2()2()2y f x af x a =++-在[0,)+∞有6个不同零点，则实数a 的取值范围是（）A.18(,3),27⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭B.18,(1,)7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C.18(3,2)1,7⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(,2)(1,)-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】画出函数图像，设2220t at a ++-=，根据函数图像考虑方程有两个解和一个解两种情况，再根据函数图像讨论()t f x =的解的情况，计算得到答案.【详解】当12x <≤时，()()()112sin π12f x f x x =-=-，当23x <≤时，()()()()1112sin π224f x f x f x x =-=-=-，L ，画出函数图像，如图所示：函数2()2()2y f x af x a =++-在[0,)+∞有6个不同零点有以下四种可能：①方程2220t at a ++-=有两个不同的实根1t 和2t 且方程1()t f x =有两个根，且方程2()t f x =有四个不同的实根，由函数()f x 的图像知，1(2,4)t ∈且2(1,2)t ∈，令2()22t t at a ϕ=++-，则需()()()1122024420416820a a a a a a ϕϕϕ⎧=++->⎪=++-<⎨⎪=++->⎩，解得1827a -<<-；②方程2220t at a ++-=有两个不同的实根1t 和2t 且方程1()t f x =有零个根，且方程2()t f x =有六个不同的实根，函数()f x 的图像知，1(,0)(4,)t ∈-∞+∞ 且21,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，由于112024a a ϕ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，则需()()11220416820a a a a ϕϕ⎧=++-<⎪⎨=++-<⎪⎩，解得3a <-；③方程2220t at a ++-=有两个不同的实根1t 和2t 且方程1()t f x =有1个根，且方程2()t f x =有5个实根成立，则需()()11220416820a a a a ϕϕ⎧=++-=⎪⎨=++-=⎪⎩，此时无解；④方程2220t at a ++-=有且只有1个根0t 且方程0()t f x =有6个根，计算24480a a ∆=+-=得2a =-或1a =，02t =或01t =-，不合题意；综上所述：1827a -<<-或3a <-.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图像，根据图像分类讨论是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列判断正确的是（）A.若1sin 2β=，则π6β=B.若tan 24πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么1tan 3β=C.若55cos π1213β⎛⎫+=⎪⎝⎭，则5sin 1213πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D.角β为第三或第四象限角的充要条件是cos tan 0ββ⋅<【答案】BCD 【解析】【分析】举反例得到A 错误，根据正切的和差公式计算得到B 正确，根据诱导公式得到C 正确，考虑充分性和必要性得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：5π1sin 62=，错误；对选项B ：tan 1tan 21π4tan βββ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，解得1tan 3β=，正确；对选项C ：π5sin sin cos 122121213π5π5πβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确；对选项D ：当β为第三象限角，cos 0β<，tan 0β>，cos tan 0ββ⋅<，当β为第四象限角，cos 0β>，tan 0β<，cos tan 0ββ⋅<；若cos tan 0ββ⋅<，当cos 0β<，tan 0β>时，β为第三象限角，当cos 0β>，tan 0β<时，β为第四象限角，正确；故选：BCD.10.已知函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列关于此函数的描述准确无误的有（）A.函数的最小正周期为πB.函数的一个单调增区间为5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭C.函数的一个对称中心是5π,06⎛⎫⎪⎝⎭D.函数的一条对称轴是11π12x =【答案】AD 【解析】【分析】根据()sin y A x B ωϕ=++的图象与性质，对选项一一验证即可.【详解】对于选项A ：函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；对于选项B ：函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调递增区间满足：πππ2π22π,232k x k k -≤-≤+∈Z ，解得：π5πππ1212k x k -≤≤+，取0k =，得π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，取1k =，得11π17π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，11π17π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增即在5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于选项C ：函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的对称中心纵坐标为3-，故C 错误；对于选项D ：函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的对称轴满足：ππ2π,32x k k -=+∈Z ，解得：π5π212k x =+，取1k =，得1112π=x ，故D 正确.故选：AD.11.若正实数p ，q 满足3p q +=，则（）A.pq的最大值是94B.C.21p q +的最小值是13+ D.33p q +的最小值是274【答案】ACD 【解析】【分析】举反例得到B 错误，直接利用均值不等式得到A 正确，变换()211213p q p q p q ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开计算得到C 正确，确定33279pq p q =-+，利用均值不等式计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：3p q +=≥，故94pq ≤，当且仅当32p q ==时等号成立，正确；对选项B ：取32p q ===，错误；对选项C ：()211211213313333p q p q p q p q q p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当2p q q p=，即6p =-3q =-时等号成立，正确；对选项D ：()()233927327927944p p q p q pq p q q ⎡⎤=++-=-≥-⨯=⎣+⎦，当且仅当32p q ==时等号成立，正确；故选：ACD12.已知函数(21)2y f x =+-为定义在R 上的奇函数，又函数21()x g x x-=,且()f x 与()g x 的函数图象恰好有2022个不同的交点()()()111222202220222022,,,,,,P x y P x y P x y ，则下列叙述中正确的是（）A.()f x 的图象关于(2,2)对称B.()f x 的图象关于(1,2)对称C.1220222022x x x +++=D.1220222022y y y +++= 【答案】BC 【解析】【分析】由函数(21)2y f x =+-为定义在R 上的奇函数，可得()y f x =的图象关于(1,2)对称，判断A ，B ；由函数()g x 的图象的对称性，得到两函数交点的对称性，可计算C ，D.【详解】因为函数(21)2y f x =+-为定义在R 上的奇函数，所以(21)2(21)2f x f x -+-=-++，即(21)(21)4f x f x -+++=所以()y f x =的图象关于(1,2)对称，故A 错误；B 正确；又函数211()211x g x x x -==+--的图象也关于(1,2)对称，所以()f x 与()g x 的函数的交点关于(1,2)对称，不妨设122022x x x <<< ，所以1202222021101110122,2,,2x x x x x x +=+=+= ，1202222021101110124,4,,4y y y y y y +=+=+= ，所以1220222022x x x +++= ，C 正确；1220224044y y y +++= ，D 错误.故选：BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.sin12sin18cos12cos18︒︒-︒︒=__________．【答案】【解析】【分析】直接根据两角和的余弦公式求解即可【详解】()sin12sin18cos12cos18cos 1218cos302︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-，故答案为：2.14.函数sin cos 2y x x =++的值域是__________．【答案】22⎡+⎣【解析】【分析】利用辅助角公式进行化简，进而求出函数的值域.【详解】由题πsin cos 2cos 22224y x x x x x ⎫⎛⎫=++=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，因为[]πsin 1,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以π2224y x ⎛⎫⎡=++∈+ ⎪⎣⎝⎭.故答案为：22⎡+⎣.15.函数()2cos )f x x =+-的定义域为__________．【答案】π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.【详解】函数()2cos )f x x =+-有意义，则需(2π)0(2π)02cos 0cos 2x x x x x x -≥⎧-≥⎧⎪⎪⇒⎨><⎪⎩，由(2π)002πx x x -≥⇒≤≤，π11πcos 2π2π,Z 266x k x k k <⇒+<<+∈，则π11π66x <<，所以函数定义域为π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭16.己知实数m5log 1m =-，且函数()log 1m a f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[1,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()0,1【解析】【分析】先根据已知条件得01m <<；再根据复合函数单调性的判断方法及对数函数中真数大于零列出不等式组求解即可.5log 1m =-，知5log 0m <，则01m <<，所以函数log m y x =在()0,∞+上单调递减.令1at x=-因为函数()log 1m a f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[1,)+∞上单调递减，所以1a t x=-在[1,)+∞单调递增且函数值恒大于零，故0(1)10a t a >⎧⎨=->⎩，解得01a <<所以实数a 的取值范围是()0,1．故答案为：()0,1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知关于x的方程2100x m -+=的两个不等实根分别是sin θ和cos θ（1）求m 的值；（2）求2sin tan cos tan 1cos sin θθθθθθ⋅+--的值．【答案】（1）3m =-（2）105【解析】【分析】（1）根据韦达定理得到根与系数的关系，再利用三角恒等变换计算得到答案.（2）化简得到2sin tan cos tan 1cos si sin cos n θθθθθθθθ+-+⋅=-，计算得到答案.【小问1详解】40400m ∆=->，即1m <，sin cos θθ+=，sin cos 10m θθ⋅=，()2212sin cos 5sin cos θθθθ+⋅=+=，从而3sin cos 10θθ⋅=-，则3m =-；【小问2详解】2222sin sin sin tan cos cos sin cos cos sin tan 1cos sin cos sin sin cos cos sin 1cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅⋅+=+=+------22sin cos sin c 5i o n s 10s cos θθθθθθ=-+=-=.18.已知函数2()(2)f x x k x k =++-，设集合133x A x⎧=<<⎨⎩，集合{}()0B x f x =<．（1）若B =∅，求实数k 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数k 的取值范围．【答案】（1）44⎡---+⎣（2）5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）确定2()(2)0f x x k x k =++-≥恒成立，()2240k k ∆=++≤，解得答案.（2）确定11,2A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A B ⊆得到()10210f f ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤⎩，解得答案.【小问1详解】{}()0B x f x =<=∅，则2()(2)0f x x k x k =++-≥恒成立，()2240k k ∆=++≤，解得44k --≤≤-+44k ⎡---+⎣∈.【小问2详解】1131,32x A x ⎧⎛⎫=<<=-⎨ ⎪⎝⎭⎩，“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则A B ⊆，故()111102421120f k k f k k ⎧⎛⎫=++-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-=---≤⎩，解得52k ≥，即5,2k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.19.已知函数2()4cos sin(π)2sin cos )2x f x x x x x =⋅++--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在π2π,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域，并求出()f x 取最大值时相应x 的值．【答案】（1）2πT =（2）值域为(4]-，π6x =-时，最大值4y =【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简()π4sin 3f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，利用周期公式即可得周期；（2）由x 的范围可得π3x -的范围，再利用正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】1cos()4(sin )sin 22x f x x x x +=⨯⨯-++2sin (1cos )sin 22sin x x x x x x=-+++=-+π4sin 3x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2πT ∴=【小问2详解】π2π23x -≤< ，5πππ633x ∴-≤-<，π1sin 32x ⎛⎫∴-≤-< ⎪⎝⎭，π4sin 43x ⎛⎫∴-<--≤ ⎪⎝⎭，故值域为(4]-，当4y =时，πsin 13x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴ππ2π32x k -=-+，Z k ∈，即π2π6x k =-，Z k ∈，又π2π23x -≤<，π6x ∴=-.20.已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象过点1,29⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）若()(1)(1)g x f x f x =--+，求()g x 的定义域并判断其奇偶性；（2）解关于x 的不等式()1420x x g +->．【答案】（1）定义域(1,1)-，()g x 为奇函数（2）(,0)(0,1)-∞ 【解析】【分析】（1）将点代入函数解得3a =，确定函数定义域，计算()()0g x g x -+=，得到答案.（2）确定()g x 在(1,1)-上是减函数，(0)0g =得到11420x x +-<-<，解得答案.【小问1详解】将1,29⎛⎫- ⎪⎝⎭代入函数得12log 9a -=，219a -=，解得3a =，3()log f x x =，33()log (1)log (1)g x x x =-++，故1010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x -<<，31()log 1x g x x -=+，又33311()()log log log 1011x x g x g x x x+--+=+==-+，故函数定义域(1,1)-，()g x 为奇函数；【小问2详解】33(1)22()log log 111x g x x x -++⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，()g x 在(1,1)-上是减函数，(0)0g =，()1420x x g +->，即()()1420x x g g +->，故11420x x +-<-<，设2x t =，则2120t t -<-<，解得02t <<且1t ≠，故(,0)(0,1)x ∈-∞ .21.已知π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0πα<<，（1）求sin 2α的值；（2）若3π5sin 413⎛⎫+= ⎪⎝⎭β，π04β<<，求sin()αβ+的值；（3）若sin cos cos 918π18ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求tan(2)αθ+的值．【答案】（1）7sin 225α=（2）sin()αβ+3365=（3）672tan(2)429αθ++=【解析】【分析】（1）展开得到cos sin 5αα-=，平方，计算得到答案.（2）确定ππ044α<-<，计算4cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，3π12cos 413⎛⎫+=- ⎪⎝⎭β，根据3πsin()cos 4π4αββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，展开计算即可.（3）化简得到sin coscos sin 2cos cos 9918πππθθθ+=，计算tan θ=，再利用和差公式计算得到答案.【小问1详解】3sin cos 4225πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故32cos sin 5αα-=，()2cos sin 1sin 22518ααα-=-=，所以7sin 225α=；【小问2详解】0πα<<，3π444ππα-<-<，sin 04πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故ππ044α<-<，故4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，又π04β<<，3π3ππ44<+<β，3π12cos 413β⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，3πsin()cos ()cos 244ππαβαββα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦3π3π12453cos cos sin si 55ππ4336n 44413513βαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+-=--⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎣⎦；【小问3详解】cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 181818181818ππππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos cos 18πθ=，sin sin cos cos sin 99πππ9θθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，故sin cos cos sin 2cos cos 9918πππθθθ+=，2cos sin 2cossin 6991899tan cos c ππππππππos c 99πos 9θ⎛⎫--- ⎪⎝⎭====，ππ044α<-<，故π04α<<，π022α<<，24cos 225α==，sin 27tan 2cos 224ααα==，()716850467224tan 242942924αθ++++====.22.已知21()21x x a f x ⋅-=+为奇函数．（1）求a 的值；（2）若()2x f x k -<⋅对[1,1]x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设()sin 21π6g x m x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若1[0,1]x ∀∈，总2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a =（2）23k >（3）2m ≥或1m ≤-【解析】【分析】（1）根据1(0)011a f -==+得到1a =，再验证得到答案.（2）变换()22121x x xk ->+，构造新函数，根据函数的单调性计算最值得到答案.（3）根据函数单调性计算()110,3f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，考虑0m >和0m <两种情况，根据值域的包含关系计算得到答案.【小问1详解】()f x 的定义域为R ，且为奇函数，则1(0)011a f -==+，从而1a =，21()21x x f x -=+，()2112()2121x xx x f x f x -----===-++，故函数为奇函数，满足；【小问2详解】21()21x x f x -=+，得()22121x x x k ->+在[1,1]x ∈-上恒成立，设()221()21x x x h x -=+，令2x t =，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)2()(1)311t t h t t t t -==++-++，函数单调递增，()()max 223h t h ==，故23k >；【小问3详解】当[0,1]x ∈时，212()12121x x x f x -==-++,函数单调递增，故()110,3f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2π02x ≤≤时，25π2666ππx -≤-≤，故21sin 212π2x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，由题意0m ≠，①当0m >，()211,12g x m m ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，有110,1,132m m ⎡⎤⎡⎤⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则1131102m m ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩，得2m ≥；②当0m <时，1()1,12g x m m ⎡⎤∈+-+⎢⎥⎣⎦，有110,1,132m m ⎡⎤⎡⎤⊆+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则1112310m m ⎧-+≥⎪⎨⎪+≤⎩，解得1m ≤-；综上所述：2m ≥或1m ≤-.。
重庆市部分区县2023届数学高一上期末质量检测模拟试题含解析
由 得 ，∴ ，
∴ ，∴ .
（2）∵ ， ，∴ .
由 在 上递减，得 ，即 ，∴ .
故答案为：①③
【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题
15、
【解析】由函数的性质得 ，代入当 时的解析式求出 的值，即可得解.
【详解】 当 时， ， ，
是 上的奇函数，
故答案为：
16、
【解析】由题意根据数形结合，只要 ， 并且对称轴在 之间， ，解不等式组即可
【详解】由题意，要使函数 区间 上有两个零点，
17、(1) (2)
【解析】（1）根据向量数量积定义可得 ，再根据向量加法几何意义以及模 性质可得结果（2）先根据向量加减法则将 化为 ，再根据向量数量积定义求值
试题解析：（1）
=
= ；
（2）因为 ， ，
所以
.
18、（1） ，
（2）
【解析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换 即可求得对称轴方程.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直线 ， 且 ，则 的值为（）
A. 或 B.
C. D. 或
2．一种药在病人血液中 量低于 时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时80%的比例衰减，那么应再向病人的血液中补充这种药不能超过的最长时间为（）
【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；
对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；
重庆市高一上学期数学期末考试试卷B卷精编
重庆市高一上学期数学期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）设U=R，集合,，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .2. （2分）“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴的元素都不是P的元素；⑵中有不属于元素；⑶中有的元素；⑷的元素不都是的元素，其中真命题的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （2分）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增，则（）A . f(-25)<f(19)<f(40)B . f(40)<f(19)<f(-25)C . f(19)<f(40)<f(-25)D . f(-25)<f(40)<f(19)4. （2分）设,且,则（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·福建期中) 与sin2016°最接近的数是（）A .B . ﹣C .D . ﹣16. （2分）设，则之间的关系是（）A .B .C .D .7. （2分）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·南昌月考) 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）(2019高一上·思南期中) 已知函数若a，b，c均不相等，且，则abc的取值范围是A . （1，10）B . (5，6)C . (10，12)D . (20，24)10. （2分）已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≥0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A . （0，1）B . （0，1]C . （1，+∞）D . [1，+∞）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高一上·台州期中) 已知幂函数f（x）=xa的图象过点，则f（16）=________．12. （1分） (2016高一下·安徽期末) 若不等式x2+2ax+1≥0对于一切x∈（0， ]成立，则a的最小值是________．13. （1分）已知函数，则f（2）=________ ；不等式f（x）＜3的解________14. （1分） (2018高三上·丰台期末) 已知，，则 ________．15. （1分） (2018高一下·金华期末) 在中，角，，所对的边分别为，， .若，且，则角 ________，的最大值是________．三、解答题 (共5题；共55分)16. （10分）设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a+log（c﹣b）a=2log（c+b）a•log（c﹣b）a．17. （10分） (2019高一上·东台期中) 已知函数（）．（1）若函数为奇函数，求的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明．18. （10分）已知cosx=﹣，x∈（，π）．（1）求sinx的值；（2）求tan（2x+ ）的值．19. （15分） (2020高三上·渭南期末) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B是A,C的等差中项.（1）若 ,求边c的值;（2）设t=sinAsinC,求t的取值范围.20. （10分） (2019高三上·汉中月考) 已知二次函数的图象经过点，方程的解集是 .（1）求的解析式；（2）若，求在上的最值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共55分)16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
重庆市重点高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题 1．（ ） 315︒=A ．B ．C ．D ．11π613π67π45π4【答案】C【分析】利用公式可求角的弧度数 315︒【详解】角对应的弧度数为 315︒3157ππ1804=故选：C2．命题“，”的否定是（ ） 0x ∀>21x ≥A ．，B ．，00x ∃>021x≥00x ∃>021x<C ．， D ．，0x ∀<21x ≥00x ∃<021x<【答案】B【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”0x ∀>21x ≥00x ∃>021x <故选：B3．已知集合，，则（ ） {|124}x A x =<<1|11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭A B =ðA ． B ．C ．D ．[)1,3(0,1]()1,2()3,3-【答案】B【分析】化简集合，然后用补集的定义即可求解 ,A B 【详解】由解得， 124x <<02x <<由可得，即，解得 111x >-1120111x x x x x ---=>---()()210x x -->12x <<故，， {|02}A x x =<<{}|12B x x =<<所以 A B =ð{|01}x x <≤故选：B4．方程的解所在的区间是（ ） ln 50x x +-=A ． B ． C ． D ． ()01，()12，()34，()23，【答案】C【分析】构造函数，利用零点存在性定理可解.【详解】记，函数在定义域上单调递增， ()ln 5f x x x =+-因为，(3)ln 3350f =+-<(4)2ln 2450f =+->所以函数在区间内有零点，即方程的解在区间内.()f x 3,4（）ln 50x x +-=3,4（）故选：C5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）()22,12,1x x ax x f x x ⎧+≥=⎨<⎩R a A ． B ．C ．D ．(],1-∞[]1,41,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭][(),14,∞∞-⋃+【答案】C【分析】由题可得，解之即得.1122a a -≤⎧⎨+≥⎩【详解】∵在上单调递增，()()2222,1,12,12,1x x x ax x x a a x f x x x ⎧⎧+≥+-≥⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩R ∴，解得，1122a a -≤⎧⎨+≥⎩12a ≥故实数的取值范围是a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：C6．已知，，，则（ ） 0.32=a 0.43b =0.2log 0.3c =A ． B ． a b c >>b c a >>C ． D ．c b a >>b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小 0,1【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a => 0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有： b a c >>故选：D7．已知（ ）sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．1313-79±23【答案】A【分析】由题意可得，，由二倍角公式结合诱导公式代入化简即可求解. 22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭【详解】2sin 2sin 2cos 212sin 63233πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 211121233=-⨯=-⨯=故选：A.8．已知函数是定义在R 上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式()f x 1x [)20,x ∈+∞恒成立，则不等式的解集为（ ）()()()()12120x x f x f x --<()()21f x f x >-A ．B ．1133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭113x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C ．D ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【答案】C【分析】由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解. ()f x [)0,+∞【详解】∵ 函数是定义在R 上的偶函数， ()f x ∴ ，()()(||)f x f x f x =-=∴ 不等式可化为()()21f x f x >-(|2|)(|1|)f x f x >-∵ 对于任意不等实数，，不等式恒成立， 1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<∴ 函数在上为减函数，又， ()f x [)0,+∞(|2|)(|1|)f x f x >-∴ ，|2||1|x x <-∴ ，113x -<<∴不等式的解集为()()21f x f x >-113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：C.二、多选题9．已知某扇形的周长为，面积为，则该扇形圆心角的弧度数可能是（ ）5cm 23cm 2A ．B ．C ．D ．433432【答案】AC【分析】设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.【详解】设扇形的半径为，所对弧长为， r l 则有，解得或 251322r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩322r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩13r l =⎧⎨=⎩故或， 43l r α==3故选：AC10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．与B ．与 ()f x x =()g x =()1f x x =+()211x g x x -=-C ．与 D ．与()xf x x =1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩()1f t t =-()1g x x =-【答案】CD【分析】根据函数相等的两要素：定义域和对应关系相同，进行判断.【详解】对于A ，，所以对应关系不相同，不是同一函数，A 错误；()g x x ==对于B ，定义域为，定义域为，定义域不相同，不是同一函()1f x x =+R ()211x g x x -=-{}|1x x ≠数，B 错误；对于C,当时，当时， 0x >()1xf x x ==0x <()1x f x x-==-所以，是同一函数，C 正确； ()1,01,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩对于D ，定义域都为，对应关系相同，是同一函数，D 正确， R 故选:CD.11．函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23π24()g x ，下列说法正确的是（ ）()g xA ．是的一个周期B ．的图象关于直线对称 3π()g x ()g x 7π24x =-C ．在区间上单调递减D ．的图象关于点对称()g x ππ44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()g x π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】首先得到函数，计算函数的最小正周期，即可判断A ；再采用代入的()πsin 212g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭方法，根据三角函数的性质，判断BCD. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到函数()f x 23π24， ()23πππsin 2sin 224612g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦A.函数的最小正周期是，所以是的一个周期，故A 正确； 2ππ2=3π()g x B.当时，，的图象关于直线对称， 7π24x =-7πππ224122⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭()g x 7π24x =-故B 正确；C. 当，，当时，函数单调递增，当ππ44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π5π7π2,121212x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,12122x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，故C 错误；ππ7π2,12212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D. ，所以函数的图象关于点对称，故D 正πsin 2sin 00π12π2424g ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦-⎭-()g x π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭确. 故选：ABD12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）e 1()e 1x x f x -=+A ．函数的定义域为 B ．函数的值域为 ()f x R ()f x ()11-，C ．函数是奇函数 D ．函数在上为减函数()f x ()f x R 【答案】ABC【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A ：因为，所以，所以函数的定义域为，故A 正确； e 0x >e 10x +>()f x R B ：，由 e 1()1e 12e 1x x xf x -==-++1e 0e 1101e 1x xx >⇒+>⇒<<+，2220111e 1e 1x x ⇒-<-<⇒-<-<++所以函数的值域为，故B 正确；()f x (1,1)-C ：因为， 11e 11e e ()()1e 1e 11exxx x xx f x f x ------====-+++所以函数是奇函数，所以C 正确；()f x D ：因为函数是增函数，因为，e 1x y =+e 11x y =+>所以函数是减函数， 2e 1x y =+所以函数是增函数，2e 1x y =-+故是增函数，故D 不正确， 2()1e 1xf x =-+故选：ABC.三、填空题 13．__________． ln 24elog 2+=【答案】52【分析】利用对数运算性质即可求解 【详解】ln 24215elog 22log 222+=+=故答案为：5214．已知幂函数为偶函数，则该函数的增区间为_______．()()2155m f x m m x +=-+【答案】[)0,∞+【分析】根据幂函数的定义，结合偶函数的定义求出，然后利用幂函数的性质进行求解m 【详解】因为是幂函数，()21()55m f x m m x +=-+所以或，25511m m m -+=⇒=4m =当时，，因为，所以函数是奇函数，不符合题意， 4m =5()f x x =5(())f x x f x -=--=5()f x x =当时，，因为，所以函数是偶函数，符合题意， 1m =2()f x x =2()()f x x f x -==2()f x x =故该函数的增区间为 [)0,∞+故答案为：[)0,∞+15．某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参2615136加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______． 4【答案】4【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出A B C 结果.【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理A B C 小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如x 0图所示：由图可知：，解得， 206341140x x x -+++++-=4x =所以同时参加数学和化学小组有人. 4故答案为：416．已知都是正实数，满足，记，设，则,x y 1221x y +=+{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩{}max 2,2M x xy =M的最小值为_____________. 【答案】2【分析】将用表示，写出分段函数的表达式，利用函数的单调性求最小值即可求解. y x 【详解】由，因为， 222(1)x xy x y -=-,0x y >由可得，因为，所以，1221x y +=+121=-y x 0y >12x >所以当，即时，， 01y <≤1x ≥22x xy >当，即时，， 1y >112x <<22x xy <所以，因为， {}2,1max 2,212,12x x M x xy xy x ≥⎧⎪==⎨<<⎪⎩121=-y x 所以，2,121,1212x x M x x x ≥⎧⎪=⎨<<⎪-⎩当时，， 1x ≥22M x =≥当时，单调递减， 112x <<221111212121x x M x x x -+===+---所以， 1111221211M x =+>+=-⨯-所以的最小值为2， M 故答案为:2.四、解答题17．已知集合，，.{}212270A x x x =-+≤{}27B x x =<<{}211C x m x m =-<<+(1)求；,A B A B (2)若，求m 的取值范围. B C C = 【答案】(1) [)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=(2) 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出集合A ，由交集和并集的定义即可得出答案； （2）由可得，讨论和，求解即可.B C C = C B ⊆C =∅C ≠∅【详解】（1），{}212270A x x x =-+≤}{=39x x ≤≤{}27B x x =<<所以. [)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=（2）因为，所以， B C C = C B ⊆若，则，解得：，C =∅211m m -≥+2m ≥若，则，解得：， C ≠∅221132122198m m m m m m m <⎧-<+⎧⎪⎪⎪-≥⇒≥⎨⎨⎪⎪+≤⎩≤⎪⎩322m ≤<所以m 的取值范围为：.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点.αx (4,3)P -(1)求的值；sin(3)2sin 22cos(2)ππααπα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-(2)求旳值.2cos2cos sin2ααα+【答案】(1) 118(2) 78-【分析】（1）由三角函数定义求出，用诱导公式化简求值式后代入可得； cos ,sin αα(2)根据正、余弦的二倍角公式进行化简,代入角的三角函数值即可. α【详解】（1）由三角函数定义可得:，5r ==所以，. 3sin 5y r α==4cos 5x r α==-.38sin(3)2sin sin 2cos 1125542cos(2)2cos 825ππααααπαα⎛⎫+++--⎪-+⎝⎭===-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（2）. 22222421cos 22cos 175cos sin 2cos 2sin cos 84342555ααααααα⎛⎫⨯-- ⎪-⎝⎭===-++⎛⎫⎛⎫-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．已知定义在上的函数.R 1()22xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)判断函数的奇偶性；()y f x =(2)若不等式对任意恒成立，求实数m 的取值范围． 2()(1)0f x mx f x ++->x ∈R 【答案】(1)奇函数； (2) {}13m m -<<【分析】（1）利用奇偶函数的定义即可判断； （2）利用函数的单调性和奇偶性列不等式即可【详解】（1）因为， ()11()2222xxxx x f f x --⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝=-⎭=-⎭⎝所以函数是定义在上的奇函数；()y f x =R （2）中，函数单调递减，单调递增，故在上单调1()22x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2x y =1()22xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R 递增，故原不等式化为，2()(1)(1)f x mx f x f x +>--=-∴即恒成立， 21x mx x +>-2(1)10x m x +-+>∴，解得， 2(1)40m ∆=--<13m -<<所以实数m 的取值范围 {}13m m -<<20．已知函数．2()cos 2cos f x x x x =+(1)求函数的对称轴；()f x (2)当时，求函数的值域．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1) ππ(Z);62k x k =+∈(2) []0,3【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式把函数解析式化简为，用整体代入π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭法求函数的对称轴； ()f x （2）根据的范围，确定的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域. x π26x +【详解】（1） ，2π()cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭由 ，得函数的图像的对称轴方程ππ2π(Z)62x k k +=+∈()f x ππ(Z);62k x k =+∈（2）时，有，得，π02x ≤≤ππ7π2666x ≤+≤1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴，得，π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭所以当时，函数的值域为.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []0,321．某手机生产商计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本20万元，每生产（千）部手机，需另投入成本万元，且x ()R x ，由市场调研知，每部手机售价0.05万元，且全年内生产的手机当年210025()90051600,25x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，能全部销售完.(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千）部的函数关系式；（利润销售额成()W x x =-本）(2)2023年产量为多少时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1) ()24020,025900600,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)当(千)部时，最大利润是520万元.30x =【分析】(1)利润销售额另投入成本-固定成本，分段计算整理即可；=-(2)分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值.【详解】（1）当，，025x <<()220.05100010204020W x x x x x x =⨯---=-+-当，， 25x ≥()9009000.0510005160020580W x x x x x x=⨯--+-=--+故， ()24020,025900600,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）当，对称轴，，025x <<20x =()22020402020380W =-+⨯-=当，， 25x ≥()900580580520380W x x x =--+≤-=>当且仅当，即时取等； 900x x=30x =综上当(千)部时，最大利润是520万元.30x =22．设函数.()2f x x a x =--+(1)当时，求函数的值域；2a =()f x (2)记函数，若方程有三个不同的实数根，，()()()22g x x f x x a x =+++-()0a >()2g x =1x 2x ，且，求正数的取值范围；3x 123x x x <<a (3)在的条件下，若恒成立，求实数m 的取值范围．()22310x x mx ->【答案】(1)；[]4,4-(2)；13a <<(3).2m ≥-【分析】（1）代入，分、、三种情况，去掉绝对值，得到函数解析式，2a =<2x -22x -≤<2x ≥求出各段的值域，即可得出结果；（2）求出.观察可知分为和两种情况，首先解出的解析()2g x x x a a x =-+-02a <≤2a >()g x 式，然后得出函数图象，根据图象得出函数的单调性，以及关于的不等式，求解不等式即可；a（3）由（2）分为和两种讨论.因为始终是方程的两根，所以12a <≤23a <<12,x x 222x a -+=，则原不等式可转化为，即恒成立，只需求出的范围即可.结合图120x x +=()230x x m +>3m x >-3x 象，分类讨论，即可得到实数m 的取值范围．【详解】（1）当时，.2a =()22f x x x =--+当时，；<2x -()224f x x x =-++=当时，，则；22x -≤<()()222f x x x x =--+=-()44f x -≤<当时，.2x ≥()()224f x x x =--+=-所以，，即函数的值域.()44f x -≤≤()f x []4,4-（2）.()()()222g x x f x x a x x x a a x =+++-=-+-①当时：02a <≤当时，；x a <()()()222g x x a x a x x a =-+-=-+当时，；2a x ≤≤()()()2222g x x x a a x x ax a =-+-=-+当时，.2x >()()()222g x x x a a x x a =-+-=-所以.()2222,22,22,2x a x a g x x ax a a x x a x ⎧-+<⎪=-+≤≤⎨⎪->⎩作图如图1则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,a (),a +∞所以应有，即，解得， ()()022g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩22222a a a >⎧⎨-+<⎩1a >又，所以；02a <≤12a <≤②当时：2a >当时，；2x <()()()222g x x a x a x x a =-+-=-+当时，；2x a ≤≤()()()2222g x x a x a x x ax a =-+-=-+-当时，.x a >()()()222g x x x a a x x a =-+-=-所以.()2222,222,22,x a x g x x ax a x a x a x a ⎧-+<⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩作图如图2则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,2()2,+∞所以应有，即，解得， ()()0222g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩22442242a a a a >⎧⎨-+-=-<⎩13a <<又，所以.2a >23a <<综上所述，正数的取值范围是.a 13a <<（3）由（2）可知，①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 12a <≤()g x (),0∞-()0,a (),a +∞因为，所以为方程的两根，则，，，是()2422g a =-<12,x x 222x a -+=120x x +=10x <20x >3x 方程的正根，则222x a -=3x =则由可转化为恒成立，即恒成立，2310x x mx ->()230x x m +>0m >m>因为，所以，则，则，所以； 12a <≤4226a <+≤2<≤2≤-2m ≥-②当时，同理可得为方程的两根，则，，， 23a <<12,x x 222x a -+=120x x +=10x <20x >在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()g x (),0∞-()0,2()2,+∞， ()()22211g a a a a =-=--（ⅰ）当时，是方程的较小根，()2g a ≥1a ≤3x 2222x ax a -++=在上单调递3x a =()11a =-1=a ∈减，则，. (31x ⎤∈⎦)31,2x ⎡-∈-⎣则由可转化为，即恒成立，即恒成立，所以； 2310x x mx ->()230x x m +>30x m +>3m x >-2m ≥-（ⅱ）当时，即时，是方程的正根，则 ()2g a <21a <<3x 222x a -=3x =则由可转化为恒成立，即恒成立，2310x x mx ->()230x x m +>0m >m >因为，所以，则21a <<+6224a <+<+1<<1<<，所以m ≥综上所述，. 2m ≥-。
重庆市巴蜀2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题含解析
高2026届高一（上）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.7sin π6=（）A. B.12-C.12D.32【答案】B 【解析】【分析】结合诱导公式计算即可求解.【详解】由题意知，7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.故选：B2.若a b >，c ∈R ，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b< B.22ac bc > C.e e a b--< D.cos cos a b<【答案】C 【解析】【分析】举例说明即可判断ABD.由指数函数的单调性与不等式的基本性质即可判断C.【详解】A ：当a b >时，令1,1a b ==-，则11a b>，故A 错误；B ：当0c =时，22ac bc =，故B 错误；C ：当a b >时，e e 0a b >>，则11e ea b <，即e <e a b --，故C 正确；D ：当a b >时，令π0,2a b ==-，则π1cos 0cos()02=>-=，即cos cos a b >，故D 错误.故选：C3.在扇形OAB 中，已知弦2AB =，60AOB ∠=︒，则扇形OAB 的面积为（）A.π3B.2π3C.πD.4π3【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算直接得出结果.【详解】由题意知，设扇形的圆心角为α，半径为r ，则扇形的面积为2211π2π22233S r α==⨯⨯=.故选：B4.函数()()22log 2f x x x =-+的单调递增区间为（）A.(),1-∞ B.()0,1 C.()1,2 D.()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案.【详解】由题意得220x x -+>，解得02x <<，22y x x =-+开口向下，对称轴为1x =，所以22y x x =-+在(0,1)上递增，在(1,2)上递减；因为2log y x =是定义域上的递增函数，利用复合函数的同增异减可得22()log (2)f x x x =-+的单调递增区间为(0,1)，故选：B.5.“11sin 3t -≤<”是“7cos 29t >”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要条件D.既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】首先根据7cos 29t >，求得sin t 的取值范围，再判断集合的包含关系，根据充分，必要条件，即可判断选项.【详解】27711cos 212sin sin 9933t t t >⇔->⇔-<<，因为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭所以11sin 3t -<<是11sin 33t -<<的必要不充分条件．故选：B 6.已知352a =，2512b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c a b >>B.a c b>> C.a b c>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断即可.【详解】因为3255221a b =>=>，112221log log 132c =<=，故a b c >>.故选：C.7.已知ππ,36a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足π12cos 613⎛⎫+=- ⎪⎝⎭αα，3sin 5β=，则πcos 3⎛⎫++= ⎪⎝⎭αβ（）A.5665-B.1665-C.1665D.5665【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式可得π12sin 313a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由题意，利用同角三角函数的关系求得π5cos 313⎛⎫+= ⎪⎝⎭α，4cos 5β=-，再次利用两角和的余弦公式计算即可求解.【详解】π12112cos cos sin 6132213a a ⎛⎫+=-⇒⋅-⋅=- ⎪⎝⎭ααα，112cos sin 2213a a +=，得π12sin 313a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ,36⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ α，ππ0,32⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭α，π5cos 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 5=β，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos 5β∴==-，ππππcos cos cos cos sin sin 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβαβαβαβ541235613513565⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.故选：A8.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（）A .22,93⎛⎫⎪⎝⎭ B.22814,,9399⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.22814,,9399⎛⎫⎛⎤⋃⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D.22814,,9399⎛⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先由()f x 在π,012⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，得02ω<≤，再由()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，得πππ03233π0ππ23ωω⎧-<-<⎪⎪⎨⎪<-≤⎪⎩或ππ2π02333πππ2π23ωω⎧≤-≤⎪⎪⎨⎪<-≤⎪⎩，取并集结合02ω<≤的前提条件，即可得答案.【详解】当π,012x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，ππππ,31233x ωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭，因为()f x 在π,012⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故πππ1232--≥-ω，则02ω<≤；当π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，πππ3ππ,32323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，且πππ2π,2333ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，3πππ8π,2333ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，又因为()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，故讨论两种情况：①πππ0223233π930ππ23ωωω⎧-<-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-≤⎪⎩，②ππ2π08142333π99ππ2π23ωωω⎧≤-≤⎪⎪⇒<≤⎨⎪<-≤⎪⎩，综上：ω的取值范围为22814,,9399⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）9.已知幂函数()()1233a f x a a x =-+，则下列说法正确的有（）A.1a =或2B.()f x 一定为奇函数C.()f x 一定为增函数D.()f x 必过点()1,1【答案】ACD 【解析】【分析】根据幂函数系数为1，求出幂函数解析式，判断A ；根据幂函数性质判断BCD.【详解】根据幂函数的定义，可得23311a a a -+=⇒=或2，故A 正确；当2a =时，()f x =B 错误；1a =或2时，()f x x =或()f x =，都是增函数，故C 正确；幂函数均经过点()1,1，故D 正确故选：ACD10.下图是函数())s 0(in π()f x A x =+<<ωϕϕ的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.下列说法正确的有（）A.()1lg lg f x x x=+的最小值为2 B.()()ln 12ln f x x x =-最大值为18C.()sin 1sin 22xxf x -=+的最小值为 D.()222cos 1sin cos x f x x x=+的最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式的应用，结合选项依次求解即可.【详解】A ：当lg 0x <时，11lg [(lg )()]2lg lg x x x x +=--+-≤--，当且仅当1(lg )()lg x x-=-即lg 1x =-时等号成立，故A 错误；B ：()()2112ln 12ln 12ln 12ln 2248x x x x +-⋅-≤=，当且仅当2ln 12ln x x =-即1ln 4x =时等号成立，故B 正确；C ：sin 1sin22x x -+≥=当且仅当1sin 1sin sin 2x x x =-⇒=时等号成立，故C 正确；D ：22222222cos 1cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x ++=+2222cos sin 113sin cos x x x x =++≥+=当且仅当222222cos sin sin cos sin cos x x x x x x=⇒=时等号成立，故D 错误．故选：BC12.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()4g x f x =+，()()()()4f x y f x y g x f y ++-=-，()31g -=，则下列说法正确的有（）A.()11f =B.()f x 为奇函数C.()f x 的周期为6D.()202613k f k ==-∑【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知得()()4g x f x -=，将()()()()4f x y f x y g x f y ++-=-转化为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，给,x y 取值推导奇偶性和周期性解决问题.【详解】对于A ，()()311g f -==，故A 正确；()()4g x f x =+ ，()()4g x f x ∴-=，()()()()f x y f x y f x f y ∴++-=，令1y =，则()()()11f x f x f x ++-=①，()()()21f x f x f x ∴++=+②，①+②可得()()120f x f x -++=，()()30f x f x ∴++=，()()360f x f x ∴+++=，()()6f x f x ∴=+，因此6T =，故C 正确；令0x =，()()()()0f y f y f f y +-=，令1x =，0y =，()()()2110f f f =，则()02f =，故0x =，()()()()()2f y f y f y f y f y +-=⇒=-，故()f x 为偶函数，所以B 不正确；因为()()()6f x f x f x =+=-，故()f x 关于3x =对称，且()02f =，()11f =，令1x =，1y =，则()21f =-，令2x =，1y =，()32f =-，则()()421f f ==-，()()511f f ==，()()602f f ==，一个周期的和为0，则()()()()()2026112343k f k f f f f ==+++=-∑，故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数()()2ln 1f x x =-______【答案】()1,+∞【解析】【分析】由对数函数的定义域以及含分式型函数的定义域求解即可.【详解】由题意可得21010x x ⎧->⎨+>⎩，解得1x >，故答案为：(1,)+∞.14.()23e 1log 9log 8-+⋅=______【答案】7【解析】【分析】由指数运算与对数运算的性质直接求解即可.【详解】()()()02323232323e 1log 9log 81+log 3log 2=1+2log 33log 2=1+6log 3log 2=7-+⋅=⋅⋅⋅，故答案为：7.15.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭===--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：216.函数()ln ,02πln 2·sin ,24x x f x xx ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，若存在010a b c d <<<<<，使得()()f a f b =()()f c f d ==，则()2364c d a a b++的取值范围是______【答案】313,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据函数()f x 图象与性质得1ab =，12c d +=，对所求表达式消元后得916a a+，再根据函数图象求出112a <<即可求出取值范围.【详解】由()()f a fb =，得1ln ln lna b b=-=，则1ab =，由()()f c f d =，得12c d +=，则()2396416c d a a a ba++=+，由图象知，112a <<，结合对勾函数单调性知916a a +在13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递减，在3,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增，所以当34a =时，916a a +取得最小值32，当12a =时913168a a +=，当1a =时9251616a a +=，所以9313,1628a a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：313,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题.四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合201x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，集合()(){}10B x x x a =+-<（1a >-）（1）当3a =时，求A B ⋂；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）()1,2（2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式化简集合,A B ，即可根据交运算求解，（2）根据集合的包含关系即可求解.【小问1详解】()()20120121x x x x x -<⇔--<⇒<<-，所以()1,2A =当3a =时，解得()1,3B =-，则()1,2A B ⋂=【小问2详解】由（1）及题设()1,2A =，()1,B a =-，A B ⊆ ，2a ∴≥18.平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为1,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（1）求sin α，tan 2α；（2）化简并求值：()()7πsin tan π2πcos cos π2⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭αααα.【答案】18.sin 3α=，tan27α=19.1cos α，3-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出sin ,cos ,tan ααα，再由二倍角的正切公式即可求出tan 2α.（2）由诱导公式和同角三角函数的商数关系化简已知式即可得出答案.【小问1详解】根据三角函数的定义：1cos 3α=-，sin 3α=，则tan α=-22tan tan 21tan 77-===--ααα.【小问2详解】()()()7πsin sin tan πcos cos tan 12cos 3πsin cos sin cos cos cos cos π2αααααααααααααα⎛⎫+-⋅ ⎪-⎝⎭====--⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭.19.双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数e e sinh 2x x x --=，双曲余弦函数：e e cosh 2x xx -+=（1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）①22cosh sinh 1x x -=②22cosh 2cosh sinh x x x=+（2）求函数22cosh sinh cosh y x x x =++在R 上的值域.【答案】19.选择见解析，证明见解析20.[)2,+∞【解析】【分析】（1）由题意直接求出22cosh sinh x x -、22cosh sinh x x +的值，即可证明；（2）由（1），222()cosh sinh cosh 2cosh 1cosh f x x x x x x =++=-+，令cosh t x =，利用换元法可得()()221f x g t t t ==-+(1)t ≥，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】若选择①：由题意e e sinh 2x x x --=，e e cosh 2x x x -+=，则()()22222222e e e e e e 2e e 24cosh sinh 12244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-++-+--=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若选择②：()()2222222222e e e e e e 2e e 2e e cosh sinh cosh 22242x x x x x x x x x x x x x -----⎛⎫⎛⎫+-++++-++=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】法一：由（1）知，22cosh sinh 1x x -=，则222cosh sinh cosh 2cosh 1cosh x x x x x ++=-+，令cosh t x =，则e e 122x x t -+=≥=，当且仅当0x =时取等，令()()222cosh sinh cosh 21f x x x x g t t t =++==-+，又函数()g t 在[)1,+∞上单调递增，故()()22g t g ≥=，故()g t 的值域为[)2,+∞，即22cosh sinh cosh y x x x =++的值域为[)2,+∞；法二：22e e e e cosh 2cosh 22x x x xx x --+⋅+=≥，令e e 2x x t -=+≥，222222e e 2e e 2x x x x t t --=++⇒+=-，令()()cosh 2cosh f x x x g t =+=，则()()22111922224g t t t t ⎡⎤⎛⎫=-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()g t 在[)2,+∞上单调递增，故()()22g t g ≥=，故()g t 的值域为[)2,+∞，即22cosh sinh cosh y x x x =++的值域为[)2,+∞.20.已知函数()2121x x f x -=+，()()41log 212xg x x=--（1）解不等式211212x x ->-+；（2）方程()()()44log log 21xg x af x =--（0a >）在[]2log 3,2上有解，求a 的取值范围？【答案】（1）()2log 3,-+∞（2）815,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用换元法可得123x>，即可根据指数函数的单调性即可求解，（2）根据对数的运算性质可将问题转化为()()21212x x xa +-=在[]2log 3,2上有解，利用换元法，结合函数的单调性即可求解.【小问1详解】211212x x ->-+，令2x t=（0t >），()()111211123t t t t t ->-⇒->-+⇒>+故22112log log 333xx >⇒>=-【小问2详解】()()44421log 21log 2log 2xxxx g x -=--=，()()444log log 21log 21xxa af x --=+()()44212121log log 2212x x x x x xaa -+-=⇒=+，故()()()44log log 21xg x af x =--（0a >）在[]2log 3,2上有解，等价于()()21212x x xa +-=在[]2log 3,2上有解，令[]23,4xt =∈，()()()()2212111112x x xt t t y t ttt+-+--====-，[]3,4t ∈，故函数1y t t=-在[]3,4t ∈上单调递增，则当3t =，83y =，当4t =，154y =，故815,34a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦21.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 32cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =22.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()0f x ≠，满足()()()f x y x y f x f y xy ++=，()12f =，令()()f x g x x=，设当0x >时，都有()()2g x f >（1）计算()2f ，并证明()g x 在()0,∞+上单调递增；（2）对任意的2a ≥-，b ∈R ，总存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()000sin 2sin cos 1g x a x x b g t ++++>成立，求t 的取值范围？【答案】（1）()21f =，证明见解析（2）30,2⎛- ⎝【解析】【分析】（1）利用赋值法，令1x y ==即可求得()2f 的值，由条件得()()()g x y g x g y +=，令120x x >>，判断()()12g x g x -的符号，可得出答案；（2）由题意得，任意的2a ≥-，b ∈R ，总存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()000sin 2sin cos 1x a x x b t ++++>，令000πsin cos 4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则任意的2a ≥-，b ∈R ，存在m ⎡∈⎣，使得2m am b t ++>，则令()2m m am b =++ϕ，只需()max m t >ϕ，根据二次函数的性质分类讨论求解.【小问1详解】令1x y ==，()()()222211f f f =⇒=，()()()()()()f x y f x y f y x y f x f x f y xy x y x y+++=⇒=⋅+，则()()()g x y g x g y +=，令120x x >>，则()()()()121222g x g x g x x x g x -=-+-()()()1222g x x g x g x =--()()()2121g x g x x =--，因为120x x ->，所以()121g x x ->，又因为20x >，故()20g x >，所以()()()21210g x g x x -->，所以()()12g x g x >，因此()g x 在()0,∞+上单调递增.【小问2详解】由（1）可知，()g x 在()0,∞+上单调递增，()()()000sin 2sin cos 1g x a x x b g t ++++>，故任意的2a ≥-，b ∈R ，总存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()000sin 2sin cos 1x a x x b t ++++>，令000πsin cos 4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，2200012sin cos sin 21m x x x m =+⇒=-，()2000sin 2sin cos 1x a x x b m am b ++++=++，则任意的2a ≥-，b ∈R ，存在m ⎡∈⎣，使得2m am b t ++>，则令()2m m am b =++ϕ，只需()max m t >ϕ，因为2a ≥-，所以12am =-≤，故2y m am b =++在⎡⎣上单调递增，max 2y b =+，min 1y a b =++，则当：①210b a b ++++≥时，()max 22m b b =++=++ϕ，②210b a b ++++<，()max 11m a b a b =++=--ϕ，则：()))max132,2131,2a b b m a a b b ϕ⎧++⎪+≥-⎪=⎨++⎪---<-⎪⎩，将其视为关于b 的函数，令其为()h b ，则()h b 在)12,23a ⎪++⎛⎫-∞- ⎝⎭上递减，在)213,2a ⎡⎫++-+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭上递增，则())()min2132112113222222a h b h a a ⎛⎫++-=-=+≥⨯-+= ⎪⎝⎭，。
2023-2024学年重庆市高一上册期末数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年重庆市高一上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{}{24},3221A xx B x x x =≤<=-≥+∣∣，则A B = （）A ．(]1,1-B ．[)1,2C ．[]2,3D ．[)3,4【正确答案】D【分析】根据集合交集的定义计算．【详解】由3221x x -≥+，得3x ≥，{|3}B x x =≥,所以{34}A B xx ⋂=≤<∣．故选：D ．2．命题“2210x x ∀>->，”的否定为（）A ．2210x x ∀>-≤，B ．2210x x ∀≤-≤，C ．2210x x ∃>-≤，D ．2210x x ∃≤-≤，【正确答案】C【分析】直接由全称命题的否定即可得出答案.【详解】 命题“2210x x ∀>->，”，由全称命题的否定可知，命题“2210x x ∀>->，”的否定为：2210x x ∃>-≤，，故选：C.3．若3α=，则它是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【正确答案】B【分析】将弧度制化为角度制，再判断角度所在象限.【详解】1rad 57≈︒，故3rad 171α=≈︒，故α在第二象限，故选：B.4．设角θ的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么2sin cos θθ+等于（）A ．25B ．25-C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】利用任意角的三角函数的定义可求出sin ,cos θθ的值，从而可求得答案【详解】解：因为角θ的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以43sin ,cos 55θθ=-=，所以432sin cos 2155θθ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，故选：D5．已知集合1|21x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}|0B x x a =<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【正确答案】B【分析】先求出分式不等式的解集化简集合A ，再利用集合的包含关系求解即可.【详解】因为121x x +≥-，所以1122320111x x x x x x x ++-+--==≥---，即(3)(1)0x x --≥且1x ≠，解得13x <≤，所以{|13}A x x =<≤，又因为{}|0B x x a =<<，A B ⊆，所以3a >，故选：B6．著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为0(0)N >，经过时间(t 天)之后的新闻热度变为0()etN t N α-=，其中α为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数0.3α=，要使该新闻的热度降到初始热度的10%以下，需要经过天（参考数据：ln10 2.303≈）（）A ．6B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】根据题意建立不等式求解.【详解】依题意，()00e0.1tN t N N α-=<，0.3ln10 2.303e 0.1,0.3ln 0.1ln10,7.6770.30.3t t t -∴<-<=->≈≈，即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下；故选：C.7．若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为A ．(]30-，B ．[)30-，C ．[]30-，D ．()30-，【正确答案】D【分析】根据题意可得0Δ0k <⎧⎨<⎩，解之即可得解.【详解】解：因为一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，所以2030k k k <⎧⎨+<⎩，解得30k -<<．故选：D.8．若0πx <<，则使1sin 2x >和1cos 2x <同时成立的x 的取值范围是（）A ．32x ππ<<B ．536x <<ππC ．566x ππ<<D ．233x ππ<<【正确答案】B【分析】根据正弦函数与余弦函数的图像,即可求得x 的取值范围.【详解】当0πx <<时,正弦函数与余弦函数的图像如下图所示:因为151cos,sin 3262ππ==所以由图像可知,使得1sin 2x >和1cos 2x <同时成立的x 的取值范围为536x <<ππ故选:B本题考查了正弦函数与余弦函数图像与性质的简单应用,特殊角三角函数值的求法,属于基础题.9．已知0.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a b c<<D ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用2x y =的单调性，可比较a 和b 的大小，利用中间值1，可比较a 与c 的大小，即可得答案.【详解】因为2xy =在R 上为单调递增函数，所以0.0.2080.8221122b -⎛⎫==>⎪> ⎭=⎝，即1b a >>，又5log y x =在(0,)+∞上为单调递增函数，所以55log 4log 51c =<=，所以c<a<b .故选：D10．不等式2+>0ax bx c -的解集为{}|2<<1x x -,则函数2y ax bx c =++的图像大致为（）A ．B ．C．D．【正确答案】C【分析】根据题意，可得方程20ax bx c -+=的两个根为2x =-和=1x ，且a<0，结合二次方程根与系数的关系得到a 、b 、c 的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】根据题意，20ax bx c -+>的解集为{|21}x x -<<，则方程20ax bx c -+=的两个根为2x =-和=1x ，且a<0.则有2+1=(2)1=<0b a c a a ⎧-⎪⎪⎪-⨯⎨⎪⎪⎪⎩，变形可得==2b a c a -⎧⎨-⎩，故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =++=--=-+是开口向下的二次函数，且与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(2,0).对照四个选项，只有C 符合.故选：C ．11．条件p ：1ln 03x -<，条件q ：(2)(2)0x x a ++<，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,2)-C ．(,2]-∞-D ．(,2)-∞-【正确答案】C【分析】设满足条件p 与q 的元素组成集合A 与B ，根据充分与必要条件和集合的关系可得A B Ü，再根据对数不等式的求解与不等式区间端点满足的关系列式求解即可.【详解】设满足条件p 与q 的元素组成集合A 与B ，∵p 是q 的充分而不必要条件，∴A B Ü，易得1|ln 03x A x ⎧⎫-=<⎨⎬⎩⎭{|24x x =-<<且}1x ≠，当22a -=-，即1a =时，B =∅，与A B Ü矛盾！当22a ->-，即1a <时，{}|22B x x a =-<<-，由A B Ü得24a ->，即2a ≤-，当22a -<-，即1a >时，{}|22B x a x =-<<-，与A B Ü矛盾！综合上述，得2a ≤-．故选：C ．12．函数()lg 25f x x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】C【分析】先判断单调性,再根据零点存在定理将端点值代入,即可判断零点所在区间.【详解】解:由题知()lg 25f x x x =+-,由于lg ,25y x y x ==-均为单调递增,所以随着x 的增大()f x 也增大,故()f x 在()0,∞+单调递增,()()()()130,2lg 210,3lg310,4lg 430f f f f =-<=-<=+>=+> ,根据零点存在定理,()f x \零点在区间()2,3内.故选:C13．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【正确答案】D【详解】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,() y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.14．如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（）A ．84B ．63C ．42D ．21【正确答案】D【分析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r =，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=.故选：D ．15．设25a b m ==，且111a b+=，则m =（）A 10B ．10C ．20D ．100【正确答案】B【分析】先根据25a b m ==，得到25log ,log a m b m ==，再由11log 2log 5m m a b+=+求解.【详解】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==，所以11log 2log 5log 101m m m a b+=+==，又0m > ，10m ∴=.故选：B.本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于较易题.16．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩且满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)4,8B ．()4,8C ．(]1,8D ．()1,8【正确答案】A【分析】根据解析式及满足的不等式()()12120f x f x x x ->-，可知函数()f x 是R 上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于a 的不等式组，解不等式组即可求得a 的取值范围.【详解】函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知应满足1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<，所以数a 的取值范围为[)4,8，故选：A本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.17．已知函数()22()ln x xf x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】利用函数()f x 为偶函数排除选项D ；利用0x >时()10f =排除选项C ；利用01x <<时()0f x <排除选项A ；进而仅有选项B 正确.【详解】函数()22()ln x xf x x -=+定义域为()(),00,∞-+∞U ，由()()22ln (n )l (22)x x x xf x x x f x ---=+-=+=，可得()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项D ；由当0x >时，仅有()111(22)ln 10f -=+=，可知选项C 图象错误；由当01x <<时，ln ln ln10x x =<=，则()(22)ln 0x xf x x -=+<则选项A 图象错误.仅有选项B 正确.故选：B18．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，若125S S =，则sin cos αα+的值为（）A B C ．75D ．85【正确答案】A【分析】设大正方形的边长为a ，则直角三角形的两直角边分别为sin ,cos a a αα，分别求出12,S S ，再根据125S S =可求得sin cos αα，再根据sin cos αα+即可得解.【详解】解：设大正方形的边长为a ，则直角三角形的两直角边分别为sin ,cos a a αα，故()222121,4sin cos 12sin cos 2S a S a a a a αααα==-⨯⋅=-，则121512sin cos S S αα==-，所以2sin cos 5αα=，又α为锐角，则sin 0,cos 0αα>>，所以sin cos αα+=故选：A.19．设函数2()log )f x x =，若对任意的(1,)∈-+∞x ，不等式(ln )(24)0f x a f x -++<恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,e]B ．[e,+)∞C ．(0,e)D ．(e,+)∞【正确答案】A【分析】由题意可得()f x 是R 上的单调递减奇函数，所以原不等式等价于ln 24x a x ->--在(1,)∈-+∞x 上恒成立，即ln 34a x <+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，再根据34y x =+的单调性即可得ln 1a ≤，求解即可.【详解】解：因为2()log )f x x =，0x ->，得x ∈R ，又因为22()log )log log )()f x x x f x -=+==-+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2()log )log f x x =-=，因为y x +在R 上单调递增，所以=y R 上单调递减，由复合函数的性质可知2()log f x =R 上单调递减，所以(ln )(24)0f x a f x -++<在(1,)∈-+∞x 上恒成立，等价于(ln )(24)(24)f x a f x f x -<-+=--在(1,)∈-+∞x 上恒成立，即ln 24x a x ->--在(1,)∈-+∞x 上恒成立，所以ln 34a x <+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，又因为34y x =+在(1,)∈-+∞x 上单调递增，所以343(1)41y x =+>⨯-+=，所以ln 1a ≤，解得0e a <≤，所以a 的取值范围为(0,e].故选：A.20．已知函数1,0()1|,0x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨-⎪⎩，若关于x 的方程2()(4)()2(2)f x m f x m +-+-=0有五个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．[]1,3B ．(]0,2C ．[)1,2D ．()0,1【正确答案】C【分析】根据题意分析得()2f x =和()2f x m =-共有五个不同的根，作出图象，数形结合求解.【详解】由2()(4)()2(2)0f x m f x m +-+-=得()()220f x f x m ⎡⎤⎡⎤-+-=⎣⎦⎣⎦，所以()2f x =或()2f x m =-，作出函数1,0()1|,0x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨-⎪⎩的图象如下：由题可得()f x 的图象与2y =有2个交点，所以()f x 的图象必须和2y m =-有3个交点，所以021m <-≤解得12m ≤<，故选:C.21．定义在R 上的函数f （x ）满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则f （x ）满足（）A ．()11f =B ．()y f x =是偶函数C ．f （x ）在[m ，n ]上有最大值f （m ）D ．()1f x +>0的解集为(),1-∞【正确答案】C【分析】先对,x y 赋值计算得()00f =，再根据定义判断()f x 为奇函数，结合当0x <时，()0f x >判断()f x 单调递减，逐一结合选项判断正误即可.【详解】令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，得()00f =，令x y -=，则()()()0f f x f x =+-，故()f x 为R 上的奇函数，故B 错误；任取12x x <，则120x x -<，则()120f x x ->，()()()()()12122122f x f x x x f x f x x f x ⎡⎤=+-=+->⎣⎦，故函数f （x ）在R 上单调递减，则()()100f f <=，故A 错误；故f （x ）在[m ，n ]单调递减，有最大值f （m ），故C 正确；()()100f x f +>=，又函数f （x ）在R 上单调递减，故10x +<，得(),1x ∈-∞-，故D 错误.故选：C.二、多选题22．下列给出的角中，与π3终边相同的角有（）A ．11π3B ．13π3C ．2π3-D ．29π3-【正确答案】BD【分析】根据终边相同的角的定义求解.【详解】与π3终边相同的角为π2π,Z 3k k +∈,因为11ππ10π333-=，故A 错误，令2k =得与π3终边相同的角为π13π4π33+=,B 正确；因为π2ππ33⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故C 错误；令5k =-得与π3终边相同的角为π29π10π33-=-,D 正确；故选:BD.23．下列结论正确的是（）A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，则a 2>abC ．若a >b >0，则ab >b 2D ．若|a |>|b |，则a 2>b 2【正确答案】CD【分析】根据不等式性质分析判断.【详解】对A ：若0c =，则220ac bc ==，A 错误；对B ：若0a =，则20a ab ==，B 错误；对C ：若a >b >0，根据不等式性质可得：ab >b 2，C 正确；对D ：若0a b >≥，根据不等式性质可得：a 2>b 2故选：CD.24．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（）A ．()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠B ．()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈ZC ．()f x =，()g xD ．()221f x x x =--，()221g t t t =--【正确答案】AD【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A ，()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠两个函数的定义域均为{}0x x ≠，且01y x ==，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A 正确；对于选项B ，()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B 错误；对于选项C ，()f x =(][,2)2,-∞-⋃+∞，()g x 的定义域为[2,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故C 错误；对于选项D ，()221f x x x =--，()221g t t t =--两个函数的定义域均为R ，对应关系也相同，是同一个函数，故D 正确．故选：AD.25．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A ．πsin(2)12y x =++B ．πcos()2y x =+C ．sin ||y x =D ．π)4y x =+【正确答案】AB【分析】先用诱导公式对函数进行化简，再判别奇偶性及周期.【详解】由πsin(2)1cos 212y x x =++=+，则该函数为偶函数，且周期为2π==π2T ，故A 正确；πcos()sin sin 2y x x x =+=-=，∵|sin()||sin ||sin |x x x -=-=，故该函数为偶函数，sin y x =周期为sin y x =周期的一半，故2π==π2T ，故B 正确；sin sin x x -=，故sin ||y x =是偶函数，sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩,周期πT ≠，故C 错误；π)4y x =+为非奇非偶函数，故D 错误；故选：AB.26．（多选）已知函数()24312x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(]0,2C ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递增D ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递减【正确答案】ABD【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A ；令243u x x =++，则[)1,u ∈-+∞，12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B ；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C 、D.【详解】令243u x x =++，则[)1,u ∈-+∞．对于A ，()f x 的定义域与243u x x =++的定义域相同，为R ，故A 正确；对于B ，12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[)1,u ∈-+∞的值域为(]0,2，所以函数()f x 的值域为(]0,2，故B 正确；对于C 、D ，因为243u x x =++在[)2,-+∞上单调递增，且12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[)1,u ∈-+∞在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数()f x 在[)2,-+∞上单调递减，所以C 不正确，D 正确.故选：ABD.27．已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（）A ．2101x x <<<B ．1201x x <<<C ．2112lg lg 0x x x x -<D ．2112lg lg 0x x x x ->【正确答案】BC【分析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x<所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x <<<，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误.故选：BC关键点点睛：利用对数函数的真数大于零及对数函数的图象与性质可得1201x x <<<是解题的关键，根据不等式的基本性质可判断CD ，属于中档题.28．已知,0a b >，2a b ab +=，则下列表达式正确的是（）A ．2a >，1b >B ．a b +的最小值为3C ．ab 的最小值为8D ．22(2)(1)a b -+-的最小值为4【正确答案】ACD【分析】对A ，通过用a 表示b 以及用b 表示a ，即可求出,a b 范围，对B ，对等式变形得211a b+=，利用乘“1”法即可得到最值，对C 直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出ab 最小值，对D 通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.【详解】对A 选项，,0,2a b a b ab >+= ，即()2b a a -=，则2a b a =-，则02aa >-，且0,a >解得2a >，2ab ab += ，则()12,a b b -=则201ba b =>-，且0b >，解得1b >，故A 正确；对B 选项，,0,2a b a b ab >+= ，两边同除ab 得211a b+=，则()123332a b a b a b b a a b ⎛⎫+=+=++≥+=+ ⎝⎭+⎪当且仅当2a b b a =，且211a b+=，即21a b ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，2a b ab +=≥,0a b > ≥8ab ≥，当且仅当2a b =，且8ab =，即4,2a b ==时等号成立，故C 正确；对D 选项，由A 选项2a b a =-代入得2222(2)(1)(2)12a a b a a ⎛⎫-+--+- ⎝=⎪-⎭()222224(2)(2)422a a a a =⎛⎫-+=-+≥= ⎪-⎝⎭-，当且仅当224(2)(2)a a -=-，2a >，即2a =1b =时，等号成立，故D 正确.故选：ACD.29．在ABC ∆中,下列关系恒成立的是（）A ．()tan tan ABC +=B ．()cos 22cos 2A B C +=C ．sin sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．sin cos 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭【正确答案】BD根据三角形中A B C π++=和倍角和半角公式化简求值即可。
重庆市部分区20xx-20xx学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018 学年重庆市部分县区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.会集S={1 ， 3} ，T={2 ， 3} ，则S∩T= （）A. B. C. D.2，【答案】 A【分析】【分析】依据交集的定义运算即可．【详解】 S={1 ， 3} ， T={2 ， 3} ；∴S∩ T={3}．应选： A．【点睛】观察列举法表示会集的定义，以及交集的运算．2.函数y=的定义域为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】【分析】由分式的分母不为0 ，求解对数不等式得答案．【详解】解：由log2 x≠0，得 x＞ 0 且 x≠1．∴函数 y=的定义域为（0，1）∪（1，+∞ ）．应选： C．【点睛】本题观察函数的定义域及其求法，是基础题．3.已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，而后利用二倍角公式求解即可．【详解】解：因为α为第二象限角，，因此．因此．应选： A．【点睛】本题观察二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，观察计算能力．4.设 = （ 5 ，θ）， = （ 2 ，），且 =λ，则 tan θ=（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】【分析】由 =λ知共线，列方程求出θ的值，再计算tan θ的值．【详解】解：设= （ 5 ，θ）， = （ 2，），由 =λ，则 5× 2θ=0，解得θ= ，∴tan θ= ．应选： B．【点睛】本题观察了平面向量的共线定理及坐标表示，是基础题．5.（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】【分析】把 sin57 °=sin （ 27°+30°）利用两角和的正弦睁开后进行化简即可求解．【详解】.应选： A ．【点睛】本题主要观察了利用两角和的正弦公式对三角函数进行化简的应用，属于基础试题．6.设 f ( x ) ＝e x ＋ x － 4 ，则函数 f ( x ) 的零点位于区间 () A. ( － 1,0) B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)【答案】 C【分析】∵函数 f ( x) 在 R 上单一递加． f ( －1) ＝e －1 ＋( －1) － 4＝－ 5＋e －1<0，f (0) ＝－，f (1) ＝ ＋ － ＝ － ，f (2) ＝ e 2＋－＝ 2－ ， 3<0 e 1 4 e 3<02 4 e 2>0 f (1) f (2)<0 ，故零点 x 0∈(1,2) ．选 C7.设 a = （ ） 5， b =ln ， c =log 2 3，则（ ） A.B.C.D.【答案】 D【分析】【分析】利用对数函数、指数函数的单一性即可判断出大小关系．【详解】 ∵a=（ ） 5∈（0 ， 1 ）， b=ln ＜ 0 ， c=l og 23 ＞1 ，∴c＞ a ＞ b ．应选： D ．【点睛】本题观察了对数函数、指数函数的单一性，观察了推理能力与计算能力，属于基础题．8.若 = （ 2， 1）， = （ -4， 3），则 在 方向上的投影为（）A.B.D.【答案】 D【分析】【分析】依据向量投影的定义可知，在 方向上的投影为 ，代入即可求解 .【详解】 ∵= （ 2， 1）， = （ -4，3），则 在 方向上的投影为，应选： D ．【点睛】本题主要观察了平面向量的投影的定义的简单应用，属于基础试题．9.函数f（x） = （m2-m -1）x m是幂函数，且函数f（x）图象不经过原点，则实数m=（）A. D.或2【答案】 A【分析】【分析】由题意利用幂函数的定义和性质可得，由此求得m 的值．【详解】解：∵函数f（x）=（m2-m-1）x m是幂函数，且函数f（ x）图象不经过原点，∴，求得 m=-1 ，应选： A．【点睛】本题主要观察幂函数的定义和性质，属于基础题．10.要获得函数y=cos（2 x+2）的图象，只需将函数y=cos2 x 的图象（）A. 向右平移 1 个单位B. 向左平移 1 个单位C. 向右平移 2 个单位D. 向左平移 2 个单位【答案】 B【分析】【分析】由题意利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】将函数y=cos2x的图象向左平移 1 个单位，可得函数y=cos （ 2x+2 ）的图象，应选： B．【点睛】本题主要观察函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11.函数f（x） =1 g（ 3+2 x-x2）的单一递减区间是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】【分析】先求出函数的定义域，再由题意利用复合函数的单一性得，本题即求t=3+2x-x 2 在定义域（-1，3）内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【详解】由函数f（ x） =1g （ 3+2x-x 2），可得 3+2x-x 2＞ 0，求得 -1 ＜ x＜3 ，故函数的定义域为（-1 ，3），本题即求t=3+2x-x 2 在定义域内的减区间．由二次函数的性质可得t=3+2x-x 2 在定义域内的减区间为(1 ，3 ），应选： D．【点睛】本题主要观察复合函数的单一性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．12.已知函数f（ x）=|lg x|，若 f（ x）= k 有两个不等的实根α，β，则4α +β的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】【分析】依据题意，将f（x）的分析式写成分段函数的形式，设α＜β，分析可得α×β =1，即α=，4α+β= +β，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】依据题意，函数f（ x） =|lgx|=，若 f（ x） =k 有两个不等的实根α，β，设α＜β，则有 lg α=-k ， lg β=k，则有α×β =1，即α=，则 0 ＜α＜ 1＜β，则 4α+β=+β≥4，当且仅当β=1 时等号成立 .又由β＞1，则 4α+β＞ 4，即 4α+β的取值范围是（4， +∞） .应选： C．【点睛】本题观察基本不等式的性质以及对数函数的性质，涉及方程的根的计算，注意β的范围，属于综合题．二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.设α为锐角，若，则=．【答案】【分析】【分析】由已知直接利用引诱公式化简求值．【详解】∵，∴.故答案为：．【点睛】本题观察三角函数的化简求值，观察引诱公式的应用，是基础题．14.当函数获得最大值时，___________.【答案】【分析】试题分析：，因此当时函数获得最大值，此时考点：三角函数最值15.已知函数f（ x）=（a＞0且a≠1），是R上的增函数，则a的取值范围是______．【答案】 [ ，+∞）【分析】【分析】依据分段函数的单一性，列出不等式组，求解即可．【详解】函数f（x） =（a＞0且a≠1），是R上的增函数，则，解得≤a，故答案为： [ ， +∞）．【点睛】观察分段函数在定义域上单一时需满足的条件，以及一次函数、指数函数的单一性．16.以以下图，=2，=2，= m，= n，若m═ ，则n= ______．【答案】【分析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线的充要条件即可解出．【详解】依据题意得：又= m，= n，∴∴∵M， P， N 三点共线∴又 m=，∴n=．故答案为．【点睛】本题观察平面向量基本定理的简单应用．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知会集A={ x|- 1≤x≤4}， B={ x|m- 3≤x≤2m+1}．（Ⅰ）若m=1，求 A∩B；（Ⅱ）若 A∪B= B，务实数 m 的取值范围．【答案】（Ⅰ） A∩B={ x|-1≤x≤3}（Ⅱ）≤x≤2【分析】【分析】（Ⅰ）求出m=1时会集B，再求A∩B；（Ⅱ）依据A∪B=B 知 A?B ，由此列出不等式求m 的取值范围．【详解】（Ⅰ）会集 A={ x|- 1≤x≤4}，m =1时， B={ x| m-3≤x≤2m +1}={ x|- 2≤x≤3}，A∩B={ x|-1≤x≤3}；（Ⅱ）若 A∪B= B，则 A? B；∴，解得≤m≤2，∴实数 m 的取值范围是≤x≤2．【点睛】本题观察了会集的运算与应用问题，是基础题．18.已知 tan（π-a） =-2 ，α为第一象限角，求以下各式的值：（Ⅰ） cosα：（Ⅱ） sin 2α +sin2 ．α【答案】（Ⅰ） cosα=（Ⅱ）【分析】【分析】（Ⅰ）由已知求得tan α，与平方关系联立求得cosα；（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【详解】解：（Ⅰ）∵tan（π-α） =-2 ，∴tan α=2，联立，得或．又α为第一象限角，∴cosα= ：（Ⅱ） sin 2α +sin2α=== ．【点睛】本题观察三角函数的化简求值，观察同角三角函数基本关系式及引诱公式的应用，是基础题．19.已知 | |=1 ， | |=2 ，（ - ）?（ 2 +3 ） =-9 ．（Ⅰ）求与的夹角；（Ⅱ）求 | -2 | 的值．【答案】（Ⅰ） 60°（Ⅱ）【分析】【分析】（Ⅰ）由 | |=1 ，| |=2 ，（ - ） ?（ 2 +3 ） =-9 ．求出=1 ，由此能求出与的夹角．（Ⅱ） | -2 |= ，由此能求出结果．【详解】解：（Ⅰ）∵||=1 ， | |=2 ，（ - ） ?（ 2 +3 ）=-9 ．∴（ - ）?（2 +3 ）= =2+ -12=-9 ．解得=1 ，∴ cos＜＞ = = = ，∴与的夹角为60 °．（Ⅱ）|-2|====．【点睛】本题观察向量的夹角、向量的模的求法，观察向量的数目积公式等基础知识，观察运算求解能力, 是基础题．20.为纪念重庆黑山谷荣膺国家5A级景区五周年，特刊行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市．通过市场检查，获得该纪念邮票在一周内每 1 张的市场价 y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间 x 天 1 2 6市场价 y 元 5 2 10（Ⅰ）分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的变化关系，并判断 y 与 x 满足以下哪一种函数关系，①一次函数；②二次函数；③对数函数，并求出函数的分析式；（Ⅱ）利用你采用的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价钱．【答案】（ 1）f （ x）=x2﹣6x+10(x ≥0) ；（2）黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第 3 天，最低的价钱为1 元 .【分析】【分析】（Ⅰ）依据y 的变化趋向可知函数不但一，从而选择②，利用待定系数法求出分析式，（Ⅱ）依据二次函数的性质得出最小值及其对应的时间；【详解】（Ⅰ）因为市场价y 随上市时间x 的增大先减小后增大，而模型①③均为单一函数，不吻合题意，应选择二次函数模型②，设 f （x） =ax2+bx+c 由表中数据可知，解得a=1，b=﹣6，c=10，∴f （ x） =x2﹣6x+10(x ≥0) ，（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f （ x） =x2﹣ 6x+10=（ x﹣3）2+1，当 x=3 时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为 1 元，故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第 3 天，最低的价钱为 1 元【点睛】本题观察了函数模型的选择和应用，二次函数的性质与应用，属于中档题．21.已知函数f（ x）=sin x cosx+cos 2x- ．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单一递加区间；（Ⅱ）将函数 f （x ）图象上各点的横坐标伸长到本来的2 倍（纵坐标不变） ，获得函数 g （ x ）的图象．若关于x 的方程 g （ x ） -k =0 ，在区间 [0 ， ] 上有实数解，务实数 k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）最小正周期为 ，单一递加区间为 [- + k π， + k π]， k ∈Z （Ⅱ） [ ，1]【分析】【分析】（Ⅰ）先化简 f （x ），依据三角形的函数的最小正周期的定义和函数的图象和性质即可求出，（Ⅱ）依据图象的变换可得g （ x ），求出 g （x ）的值域即可求出 k 的范围．【详解】（Ⅰ） f （x ） =sin x cosx+cos 2x - =sin2 x + cos2x =sin （2 x +），∴函数 f （x ）的最小正周期为T ==π，由 - +2 k π≤2x + ≤ +2 k π， k ∈Z ，∴- + k π≤x ≤ + k π， k ∈Z ，故函数 f （ x ）的单一递加区间为+ k π， + k π]，k ∈Z ，（Ⅱ）将所得图象全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变） ，获得 g （ ） =sin （ + ），x x∵ 0≤x ≤ , ∴≤x ≤ ， ∴ ≤ sin （ x + ）≤1， ∴ ≤g （x ） ≤1∴关于 x 的方程 g （ x ） -k =0 ，在区间 [0 ， ] 上有实数解，即图象 g （x ）与 y = k ，有交点，∴ ≤k ≤1，故 k 的取值范围为 [ ， 1] ．【点睛】本题观察了三角函数图象及性质的运用能力和化简能力，平移变换的规律，数形联合法的应用．综合性强，属于中档题．22.已知函数 f （ x ） =- x 2+2 mx +7 ．（Ⅰ）已知函数y = （ x ）在区间 [1 ， 3] 上的最小值为 4，求 m 的值；（Ⅱ）若不等式 f （ x ） ≤x 2 -6 x +11在区间 [1 ， 2] 上恒成立，务实数m 的取值范围．重庆市部分区20xx-20xx学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)【答案】（Ⅰ） m=1（Ⅱ） m≤2-3【分析】【分析】（Ⅰ）利用函数的性质可求得最值；（Ⅱ）利用函数的最值可解决此问题．【详解】（Ⅰ）函数对称轴x= m，且抛物线张口向下.当 m≤2时， y min=-32+6 m+7=4∴m=1；当 m≥2时， y min=-12+2 m+7=4∴m=-1（舍）；∴m =1；（Ⅱ）∵不等式 f（x）≤x2-6 x+11在区间[1，2]上恒成立∴- x2+2 mx+7 ≤x2 -6 x+11 在区间 [1 ， 2] 上恒成立即 m≤x-3+∴m ≤（ x+ -3）min令 g(x)= x+ -3,易知∴m ≤2-3．【点睛】本题主要观察了二次函数的最值及不等式恒成立问题，关于不等式恒成立常用的办理方法为变量分别，转变成参数与函数的最值问题，属于中档题.1111 / 11。
2023届重庆市区县高一上数学期末检测模拟试题含解析
故选：B
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、2
【解析】令 ，证得 为奇函数，从而可得 在 的最大值和最小值之和为0，进而可求出结果.
【详解】设 ，定义域为 ,
则 ，
所以 ，
即 ，所以 为奇函数，
所以 在 的最大值和最小值之和为0，
令 ，则
因为 ，
所以函数 的最大值为 ，最小值为 ，
化简如下：
.
【小问2详解】
由（1）可知 ，周期 ，对称轴 .
【小问3详解】
，所以任意 ，均有 ，解出函数的单调性增区间， ， 所以在 递增， 成立， 递减，由对称性可知 ，所以 ，所以
22、（1） ；（2）
【解析】（1）由不等式 的解集为 可知 是方程 的两个根，即可求出 ，根据 的单调性求出其在 的最大值，即可得出m的范围；
22．已知函数 ，不等式 解集为 ，设
（1）若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围；
（2）若方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、A
【解析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】由图象可知： ，因为 ，所以由 可得： ，由 可得： ，由 可得： ，
6、D
【解析】利用函数的奇偶性求 在 上的表达式.
【详解】令 ，则 ，故 ，
又 是定义在 上的奇函数，
∴ .
故选：D.
7、A
【解析】结合直线与平面垂直的性质和平行判定以及平面与平面的位置关系，逐项分析，即可.
【详解】①选项成立，结合直线与平面垂直的性质，即可；②选项，m可能属于 ，故错误；③选项，m,n可能异面，故错误；④选项，该两平面可能相交，故错误，故选A.
重庆市部分区2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题(含解析)
重庆市部分区2022～2023学年度第一学期期末联考高一数学试题卷1.已知集合{}1,0,1A =-注意事项：1．考试时间：120分钟，满分：150分．2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．3．需要填涂的地方，一律用2B 铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm 签字笔．4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．，{}210B x x =-<，则A B ⋃=（）A.{}11x x -≤≤ B.{}11x x -<< C.{}1,0,1- D.{}0【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念与运算即可求解.【详解】由题意知，{}21,0,1,{10}{11}A B x x x x =-=-<=-<<，所以{}11A B x x ⋃=-≤≤.故选：A.2.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b <<，则22a b <C .若a b >，则a c b c->- D.若0a b <<，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】举例说明即可判断选项ABD ，根据不等式的性质即可判断C.【详解】A ：若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B ：若1,0.1a b =-=-，有22(1)(0.1)->-，不满足22a b <，故B 错误；C ：若a b >，则()()a c b c +->+-，即a c b c ->-，故C 正确；D ：若2,1a b =-=-，有112->-，不满足11a b <，故D 错误.故选：C.3.命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是（）A.0x ∃>，lg 1x x >-B.0x ∃≤，lg 1x x >-C.0x ∀>，lg 1x x >-D.0x ∀≤，lg 1x x >-【答案】A 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是：0x ∃>，lg 1x x >-.故选：A 4.函数()()21lg 12x f x x x =+--的定义域是（）A.12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B.{}1x x >C.12x x ⎧≥-⎨⎩且}2x ≠ D.{1x x >且}2x ≠【答案】D 【解析】【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案.【详解】()()lg 12f x x x =+--定义域满足2102010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1x >且2x ≠.故选：D.5.2022πsin 9⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B. C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】2022πππ3sin sin 225πsin 9332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B6.角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B.35-C.45D.45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α==.故选：A7.函数223,0()(1),0x x x f x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则()2f =（）A.3 B.2C.6D.5【答案】C 【解析】【分析】直接根据分段函数解析式，代入计算即可．【详解】由分段函数解析式得，2(2)(1)(0)(1)(1)2(1)36f f f f ===-=--⨯-+=，故选：C ．8.若正实数x ，y 满足280x y xy +-=，则2x y+的最大值为（）A.25B.16 C.37D.19【答案】D 【解析】【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【详解】280,0,280,1,x y x y xy y x>>+-=∴+=()28==82182801x y x y x y y x x y ⎛⎫+++++≥+= ⎪⎝⎭+,221=189x y ∴≤+.故选:D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()224f x x x =+-的零点所在的区间是（）A.()2,0- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】AD 【解析】【分析】确定函数有两个零点，计算()20f ->，()00f <，()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()224f x x x =+-，132330∆=+=>，故函数有两个零点，()282420f -=--=>，()040f =-<，故()2,0-上有零点；()121410f =+-=-<，()282460f =+-=>，故()1,2上有零点；故零点所在的区间为()2,0-，()1,2.故选：AD10.设x ∈R ，则2x <的一个必要不充分条件可能是（）A.3x <-B.3x < C.<4x - D.4x <【答案】BD 【解析】【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断，找出能使{}|2x x <是其真子集的范围即可.【详解】根据题意可知，{}|2x x <需满足是该条件范围的真子集，经逐一检验可知BD 符合题意.故选：BD11.已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=-，则下列结论正确的是（）A.θ为第二象限角B.4cos 5θ=-C.4tan 3θ=-D.2164sin cos 2cos 5θθθ-=-【答案】ABD 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.【详解】由同角三角函数平分关系可得，221sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，解得3sin 5θ=，4cos 5θ=-,因为4cos 05θ=-<，所以θ是第二象限角，故选项A ，B 正确，有同角三角函数商数关系可得，sin 3tan cos 4θθθ==-，故选项C 错误，因为222224sin cos 2cos 4tan 2164sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθ---===-++，故选项D 正确.故选：ABD .12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 312ex xf x -=+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中不正确的是（）A.()g x 是R 上的增函数B.()10g =C.()g x 的值域是{}2,1,0,1-- D.()g x 的值域是{}3,2,1,0---【答案】ABC 【解析】【分析】举反例得到ABC 错误，变换()()172212e x f x =-+，确定()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】对选项A ：()()20013g f ⎡⎤⎡⎤==-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()01g g =，错误；对选项B ：()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，错误；对选项C ：()()17ln 6ln 638g f ⎡⎤⎡⎤-=-=-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，错误；对选项D ：()()e 31712e 2212e x x xf x -==-++，()12e 1,x +∈+∞，()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x 的值域是{}3,2,1,0---，正确；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数()y f x =的图像经过A 和(4,)B k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】设()a f x x =，结合()f x经过A ，求出a ，再将(4,)B k 代入，即可求解．【详解】设()a f x x =，由()f x经过A，则3a =，解得12a =，所以12()f x x =，则1242k ===，故答案为：2．14.已知扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的面积为___．【答案】2π【解析】【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．【详解】扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的半径为r 4l ππα===4，面积为S 12=lr 12=⨯π×4＝2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题．15.不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是______．【答案】01k ≤<【解析】【分析】分类0k =和0k ≠两种情况讨论，对0k ≠时，利用二次函数的图像进行分析求解．【详解】当0k =时，108>，成立；当0k ≠时，一元二次不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则2201Δ4208k k k >⎧⎪⎨=-⨯⨯<⎪⎩，解得001k k >⎧⎨<<⎩，即01k <<；综上所述，k 的取值范围是01k ≤<，故答案为：01k ≤<．16.已知函数()f x 是定义在[]13,1a a -+上的偶函数，则a 的值为______；当01x a ≤≤+时，()212f x x x =-，若()21log 2f m >，则m 的取值范围是______．【答案】①.1②.(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由偶函数定义域关于原点对称可得1a =，由偶函数性质利用换元法解不等式即可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，可求出m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【详解】依题意可知1310a a -++=，解得1a =；即当02x ≤≤时，()212f x x x =-，解不等式()21122f x x x =->可得1x >或12x <-，又因为02x ≤≤，可得12x <≤，当20x -≤<时，02x <-≤可得()()()()221122f x f x x x x x =-=---=+,解不等式()21122f x x x =+>可得12x >或1x <-，又因为20x -≤<,可得21x -≤<-；所以()21log 2f m >可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，解得1142m ≤<或24m <≤，即m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1；(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1(113837272-⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3log 229log 2lg5lg 43log 3++-+．【答案】（1）π（2）2【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可．【小问1详解】原式133222211πππ3333⎡⎤⎛⎫=++--=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】原式312229log 22lg 52lg 22log 9=++-+()312lg5lg 2222=++-+312lg10222=+-+3122222=+-+=．18.已知U =R ，集合{}2230A x x x =-->，{}23100B x x x =-++>，求：（1）A B ⋂；（2）()U A B ⋂ð．【答案】（1）{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<（2）(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可得集合,A B ，利用交集运算法则可得{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<；（2）求出{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，即可得()U A B ð【小问1详解】易知()(){}{3103A x x x x x =-+>=>或}1x <-，又{}{}2310025B x x x x x =-++>=-<<；{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<【小问2详解】由（1）可知{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，因此可得(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥19.已知角α满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：角α满足3sin 5α=；条件③：角α满足2217sin 8cos 1αα-=．（1）求tan α的值；（2）求2sin cos sin 1ααα-+的值．【答案】（1）3tan 4α=±（2）3tan 4α=时，原式2825=；3tan 4α=-时，原式425=；【解析】【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得3tan 4α=±；（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有tan α的式子代入计算即可求得结果.【小问1详解】条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得22315x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，45x =±，由三角函数的定义可得3tan 4α=±条件②：因为角α满足3sin 5α=，又因为22sin cos 1αα+=，即可得216cos 25α=所以4cos 5α=±，可得3tan 4α=±条件③：因为角α满足2217sin 8cos 1αα-=，又因为22sin cos 1αα+=，即22228co 1s sin cos 7sin αααα-=+，可得2216sin 9cos αα=又2cos 0α≠，∴29tan 16α=，即3tan 4α=±【小问2详解】易知2222222s i cos sin 11sin c i os n ααααααααααααα-+-++-+==+2222sin tan si cos cos 1c n ta s n o 1ααααααα+++=+=由（1）可知：3tan 4α=±，当3tan 4α=时，原式231tan 2849tan 1251161α+===+++；当3tan 4α=-时，原式231tan 449tan 1251161α-+===+++.20.已知函数24()x f x x+=．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断()f x 在()2,+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求()f x 在[]4,2--上的值域．【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）()f x 在()2,+∞上为增函数，证明见解析（3）[]5,4--【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义，求出定义域，代入()f x -即可得出判断；（2）直接根据单调性定义证明即可；（3）结合()f x 的奇偶性与单调性，即可求出在[]4,2--上的值域．【小问1详解】函数()f x 是奇函数．()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，因为()()()2244x x f x f x x x-++-==-=--，所以()f x 在()(),00,∞-+∞U 上是奇函数．【小问2详解】()f x 在()2,+∞上为增函数；证明：任取122x x >>，则()()2212121244x x f x f x x x ++-=-()()2212211244x x x x x x +-+=221222111244x x x x x x x x +--=()()()()1212211212121244x x x x x x x x x x x x x x -+---==，因为122x x >>，所以120x x >，120x x ->，1240x x ->，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >．故()f x 在()2,+∞上为增函数．【小问3详解】结合（1）（2）知()f x 在(,2]-∞-上为增函数，即()f x 在[]4,2--上为增函数，当4x =-时，()f x 取得最小值，且最小值为()164454f +-==--当2x =-时，()f x 取得最大值，且最大值为()44242f +-==--故()f x 在[]4,2--的值域为[]5,4--．21.2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员()0x x >户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为()193.50130x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x %．（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值．【答案】（1）(]0,240（2）22【解析】【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x 的取值范围为(]0,240；（2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a 的最大值为22.【小问1详解】根据题意可知，需满足()()260 3.515% 3.5260x x -⨯⨯+⨯≥，化简为22400x x -≤，解得0240x <≤，故x 的取值范围为(]0,240【小问2详解】由题意得()()193.5260 3.515%130x a x x x ⎛⎫-≤-⨯⨯+ ⎪⎝⎭整理可得2602512260x a x ≤++，因为2602510260x x +≥=，当且仅当52x =时，取到最小值10；所以22a ≤，即a 的最大值为2222.已知函数()()()10,1x x f x a m a a a -=+->≠是奇函数，且过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求实数m 和a 的值；（2）设()()()22log 220,1x x t g x tf x t t -⎡⎤=+->≠⎣⎦，是否存在正实数t ，使关于x 的不等式()0g x ≤对[]21,log 3x ∈恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2m =，2a =（2）存在，()0,1t ∈【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可求得2m =，从而可得解；（2）由（1）可得()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论01t <<时和若1t >时函数的单调性，从而可解决函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立问题.【小问1详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2m =，检验符合.∴()x x f x a a -=-．又因为()f x 过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()1312f aa --=-=-，∴2a =【小问2详解】由（1）得()22x x f x -=-，()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦因为[]21,log 3x ∈，令22x x k -=-，∴38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h k k tk =-+，∵函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立，∴（ⅰ）若01t <<时，函数()22h k k tk =-+在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()log t g x h k =为减函数，则需函数()221h k k tk =-+≥恒成立，即210k tk -+≥恒成立．由于对称轴122t k =<，函数()h k 在区间38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴302h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，∴39310242h t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则136t ≤恒成立，故01t <<合题意（ⅱ）若1t >时，则需()2021h k k tk <=-+≤在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则：①33223170267381243t t h t t t h ⎧⎧≤⎪⎪≤⎪⎪⎪⎪⎛⎫>⇒<⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫≥≤⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩②2381632233Δ803131268731324t t t t t h t h t ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪=-<⎪-<<⎪⎪⎪⇒⇒∈∅⎛⎫⎨⎨≤ ⎪≥⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪⎪≤≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩③8162333131264180123t t h t t t h ⎧⎧≥≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫≤⇒≥⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫<>⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在正数()0,1t ∈，使函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令22x x k -=-，将复杂函数()g x 转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.。