(名师讲坛)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线课件
率为
10 10 .
5. (选修 2－1 P57 练习 6)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的焦点到相应准线的距离等于 －1＋ 5
a，那么椭圆的离心率为_____2_______．
准线方程：x＝±ac2 【解析】设椭圆的右焦点为(c,0)，右准线为 x＝ac2.由题知ac2－c＝a，即 a2－c2＝ac，
两边同时除以 a2，得 1－ac2＝ac，即 e2＋e－1＝0，解得 e＝－1＋2 5或－1－2 5.又 0<e<1，
所以椭圆的离心率为 e＝－1＋2
5 .
举题固法
目标 1 圆锥曲线的定义及标准方程 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：ax22＋by22
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，上顶点为 B，直线 BF 2 交椭圆于点 C，△BF 1C 的周长为 4 5.
－5c
2
2bc2 2
代入椭圆方程得2c2－5 5 ＋2c2b－2 5 ＝1，得 c2＝1，
所以 b2＝4，所以椭圆 E 的方程为x52＋y42＝1.
(1) 设 F 的直线交椭圆 E 于 A，B
两1，点F．若2 分A别F 是1＝椭3F圆1BE，：AFx2＋2⊥byx22＝轴1，(则0<椭b<圆1)E的的左方、程右为焦_点_x_2，＋__过32_y_2点_＝__F1_．1
ax22－by22＝1 的渐近线方程为 y＝±bax 【解析】双曲线 x2－my22＝1(m>0)的渐近线方程为 y＝±mx，因为该双曲线的一条渐
近线方程为 x＋
3y＝0，所以
m＝
3 3.
4. (选修 2－1 P37 习题 6)已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方 10
形，那么椭圆的离心率为___1_0____．
所以 b2＝1，所以椭圆 E 的方程为x52＋y2＝1.
(2) 若 CF 1⊥BF 1，求椭圆 E 的方程．
【解答】 因为 CF 1⊥BF 1，直线 BF 1 的斜率为bc，F 1(－c,0)， 所以直线 CF 1 的方程为 y＝－bc(x＋c)， 与直线 BC：xc＋by＝1 联立，
解得 x＝2－c2－5c5，y＝22c2b－c25，
的圆心是双曲线 C 的右焦点．若圆 E 与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为 ___x3_2－__y_2_＝__1__．
【解析】因为 a2＋b2＝c2＝4，由圆 E 与双曲线 C 的渐近线相切，故圆心 E(2,0)到渐 近线 bx±ay＝0 的距离 d＝ a|22＋b| b2＝b＝1，从而 a2＝3，所以双曲线 C 的方程为x32－y2＝ 1.
专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线
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1. (选修 2－1 P32 练习 3 改编)已知椭圆的焦点分别为 F 1(－2,0)，F 2(2,0)，且经过 点 P52，－32，那么椭圆的标准方程为___1x_02_＋__y6_2_＝__1___．
椭圆：PF 1＋PF 2＝2a(定值) 【解析】设椭圆的方程为ax22＋by22＝1，由题意得4a2a25－2＋b42＝9b2＝4，1，
【解析】设点 B 的坐标为(x0，y0)．
因为 x2＋by22＝1，
所以 F 1(－ 1－b2，0)，F 2( 1－b2，0)．
因为 AF 2⊥x 轴，所以可取 A( 1－b2，b2)．
因为 AF 1＝3F 1B，所以A→F1＝3F→1B， 所以(－2 1－b2，－b2)＝3(x0＋ 1－b2，y0)，
【解析】由 b＝6，ac＝54，结合 a2＋b2＝c2，解得 a＝8，c＝10，所以双曲线的标准 方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
3.
(选修
2－1
P47
练习
3 改编)已知双曲线 3
x2－my22＝1(m>0)的一条渐近线方程为
x＋
3y＝0，那么实数 m＝____3____.
(1) 若点 C 的横坐标为290，求椭圆 E 的方程；
【解答】 设椭圆的半焦距为 c，由题意知 4a＝4 5，所以 a＝ 5. 设点 C290，y0，由题意知 y0<0，代入椭圆方程得29502＋by202＝1，所以 y0＝－19b. 因为直线 BC 的方程为xc＋by＝1， 代入点 C290，－b9，得 c＝2，
所以 x0＝－53 1－b2，y0＝－b32，
所以点 B 的坐标为－53 1－b2，－b32. 将 B－53 1－b2，－b32代入 x2＋by22＝1，得 b2＝23，
所以椭圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1.
(2)(2019·深圳调研)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)，且圆 E：(x－2)2＋y2＝1
求离心率⇔列出关于 a，b，c 的齐次方程
【解析】如图，A，B 为椭圆短轴的两个三等分点，
F 1，F 2 为椭圆的焦点．因为四边形 AF 1BF 2 为正方形， 所以 OA＝OF 1.又 OF 1＝c，OA＝b3，所以 b＝3c.因为 a2
Hale Waihona Puke ＝b2＋c2，所以 10c2＝a2，所以ac＝ 1100，所以椭圆的离心
解得ab22＝ ＝160，， 所
以椭圆的标准方程为1x02 ＋y62＝1.
2. (选修 2－1 P47 练习 2 改编)若双曲线的虚轴长为 12，离心率为54，则双曲线的标 准方程为_6_x4_2 －__3_y6_2 ＝__1__或__6y_42_－__3x_62_＝__1_．
焦点的位置要明确
(3) (2019·全国卷Ⅰ改编)已知椭圆 C 的焦点为 F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过 F 2 的直线与 椭圆 C 交于 A，B 两点．若 AF 2＝2F 2B，AB＝BF 1，则椭圆 C 的方程为__x3_2_＋__y2_2＝__1___．
【解析】 方法一：如图，由已知可设 F 2B＝n， 则 AF 2＝2n，BF 1＝AB＝3n，
2020版名师讲坛高三数学二轮专题复习课件：专题五 第2讲 圆锥曲线
【解答】 设椭圆的半焦距为 c，由题意知 4a＝4 5，所以 a＝ 5. 设点 C290，y0，由题意知 y0<0，代入椭圆方程得29502＋by202＝1，所以 y0＝－19b. 因为直线 BC 的方程为xc＋by＝1， 代入点 C290，－b9，得 c＝2，
两边同时除以 a2，得 1－ac2＝ac，即 e2＋e－1＝0，解得 e＝－1＋2 5或－1－2 5.又 0<e<1，
所以椭圆的离心率为 e＝－1＋2
5 .
举题固法
目标 1 圆锥曲线的定义及标准方程 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：ax22＋by22
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，上顶点为 B，直线 BF 2 交椭圆于点 C，△BF 1C 的周长为 4 5.
【解析】设点 B 的坐标为(x0，y0)．
因为 x2＋by22＝1，
所以 F 1(－ 1－b2，0)，F 2( 1－b2，0)．
因为 AF 2⊥x 轴，所以可取 A( 1－b2，b2)．
因为 AF 1＝3F 1B，所以A→F1＝3F→1B， 所以(－2 1－b2，－b2)＝3(x0＋ 1－b2，y0)，
目标 2 圆锥曲线的离心率问题
(1) (2019·广州二模)若过双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左焦点 F 作圆 x2＋y2
＝a92的切线，切点为 E，延长 F E 交双曲线右支于点 P，且F→P＝2E→P，则双曲线的离心 17
率为____3____．
【解析】 如图，设 F 2 为双曲线的右焦点，F 2(c,0)． 由F→P＝2E→P知 E 是 F P 的中点，且 OE⊥F P.又 O 为 F F 2 的 中点，则 PF 2＝2OE＝23a，且 PF 2⊥F P.由勾股定理知 PF 2＋ PF22＝F F22，因为 PF －PF 2＝2a，所以 PF ＝83a，所以23a2＋ 83a2＝(2c)2，解得 e＝ 317(负值舍去)．
2020版高考数学大二轮复习第二部分专题5解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件理
答案：A
3．双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为 l1，l2，F 为其一个焦点，若 F 关
于 l1 的对称点在 l2 上，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x
B．y＝± 3x
C．y＝±3x
D．y＝± 2x
解析：不妨取 F(c,0)，l1：bx－ay＝0， 设其对称点 F′(m，n)在 l2：bx＋ay＝0，
解得 k＝1， 当 k＝1 时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的 Δ＞0， 所求直线 AB 的方程为 y－2＝x－4 化成一般式为 x－y－2＝0，x1＋x2＝8，x1x2＝10， |AB|＝ 2|x1－x2|＝ 2· 82－40＝4 3.故选 D.
答案：D
2．设有三点 A，B，P，其中点 A，P 在椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)上，A(0,2)，B(2,0)， 且O→A＋O→B＝ 26O→P . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过椭圆 C 的右焦点的直线 l 倾斜角为 45°，直线 l 与椭圆 C 相交于 E，F，求△OEF 的面积．
A.1x62＋1y22 ＝1 C.x62＋y32＝1
B.x42＋y2＝1 D.x92＋y82＝1
解析：由1x62＋1y22 ＝1
得ba＝
23；由x42＋y2＝1
得ba＝12；由x62＋y32＝1
得ba＝
2；由x2＋y2＝ 2 98
1
得ba＝2 3 2；因为12<
2 2<
32 2<
3
2，所以最扁的椭圆为x42＋y2＝1.故选
则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝( )
A．1
B．4
C．6
高考数学二轮专题五解析几何第讲 圆锥曲线的定义方程与性质课件
(1)B
(2)B
(3)ACD
第2讲 圆锥曲线的定义、
返回
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解题方略
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|(点F不在定直线l上，PM⊥l于点 M)．
第2讲 圆锥曲线的定义、 方程与性质
名师解读《普通高中数学课程标准》(2020年修订版)
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.了解抛物线、双曲线的定义、几何图形及标准方程，知道它 们的简单几何性质.
Contents
B．12，0
C．(1，0)
D．(2，0)
(2)(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－y32＝1的两个
焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积
为
()
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
返回
(3)(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y
轴上，短轴长等于2，离心率为
返回
(2)(2020·武汉市学习质量检测)已知点P在椭圆Γ：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为
A，点P关于x轴的对称点为Q，设
―PD→
＝
3 4
―PQ→
，直线AD与椭
圆Γ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆Γ的离心率e＝
()
1
2
A.2
B. 2
2020届高考数学(文)课标版二轮课件：专题五第2讲 圆锥曲线的方程与性质
A.1- 3
2
B.2- 3
C. 3-1
2
D. 3-1
答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质.+
y2 b2
=1(a>b>0).
在Rt△F1PF2中,
因为∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,
所以|PF2|=c,|PF1|= 3 c.
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,
不妨设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,由M点在第一象限,△MF1F2是等腰三
角形,知|F1M|=|F1F2|,又由椭圆方程
x2 36
+
y2 20
=1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=2×6=12.
所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4.
设M(x0,y0)(x0>0,y0>0),
16 12
D. x2 + y2 =1
42
答案 A 由椭圆的定义可知,△F1AB的周长为4a,
∴4a=8,a=2,又椭圆C的离心率为 1 ,
2
即 c = 1 ,∴c=1,则b2=a2-c2=3,
a2
故椭圆C的方程为 x2 + y2 =1,故选A.
43
2.(2019河北石家庄一模,11)已知双曲线
x2 8
1.(2019湖北四地七校考试联盟联考,4)已知椭圆C:
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右
焦点分别为F1,F2,离心率为
1 2
,过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若△F1AB的周
长为8,则椭圆C的方程为 ( A )
A. x2 + y2 =1
2020版高考数学大二轮复习专题五解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质课件理
第二讲 圆锥曲线的方程与性质
C目录 ONTENTS
考点一 考点二 考点三 4 限时规范训练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[考情分析·明确方向] 1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以 选择、填空题的形式考查，常出现在第 4～11 或 15～16 题的位 置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等． 2．通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的 考查，着重考查了数学抽象、数学建模与数学运算三大核心素 养．
1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”． 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计 算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值．
(1)(2019·铁东区校级三模)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)
的焦点为 F，点 M(x0,2 2)是抛物线 C 上一点，圆 M 与线段
MF 相交于点 A，且被直线 x＝p2截得的弦长为 3|MA|，若||MAFA||
＝2，则|AF|＝( )
A．32
B．1
C．2
D．3
解析：如图，圆心 M 到直线 x＝p2的距离 d＝x0－p2，① 圆 M 的半径 r＝|MA|，
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，
过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，
则 C 的方程为( )
(新高考)2020高考数学复习专题五解析几何第二讲小题考法(二)——圆锥曲线的方程与性质课件
得x＝32， y＝ 23，
所以M32， 23，所以|OM|＝
322＋ 232＝ 3，
所以|MN|＝ 3|OM|＝3，故选B.
答案：B
4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为
3，则其渐近线方程为
()
A．y＝± 2x
第二讲 小题考法(二)——圆锥曲线的方程与性质
一、高考真题集中研究——明规律
题组(一) 椭圆
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，
过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|
＝|BF1|，则 C 的方程为
()
A.x22＋y2＝1
பைடு நூலகம்
2．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C 上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则 |FN|＝________. 解析：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是 C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设 M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2 2，所以N(0，4 2)，|FN| ＝ 4＋32＝6. 答案：6
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一
点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴
交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 ( )
A.13
B．12
2 C.3
D．34
解析：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)． 设E(0，m)，由PF∥OE，得||MOEF||＝||AAOF||， 则|MF|＝maa－c.①
2020届高考数学二轮复习全程方略课件：专题五 解析几何 (2)椭圆、双曲线、抛物线 Word版含答
因为四边形 OABC 为正方形且边长为 2，
所以 c＝|OB|＝2 2， 又∠AOB＝π4，所以ba＝tan π4＝1，即 a＝b. 又 a2＋b2＝c2＝8，所以 a＝2.
第二十二页，编辑于星期日：一点 五分。
(2)因为抛物线 y2＝4x 的准线方程为 x＝－1. 不妨设点 A 在点 B 的上方， 则 A－1，ba，B－1，－ba. 所以|AB|＝2ab. 又 S△AOB＝12×1×2ab＝2 3，
33＋
3 4
＝7123.
第六页，编辑于星期日：一点 五分。
(2)依题意知 c＝2，ba＝tan 60°＝ 3. 又 a2＋b2＝c2＝4. 解得 a2＝1，b2＝3. 故双曲线的方程为 x2－y32＝1. 答案：(1)7123 (2)D
第七页，编辑于星期日：一点 五分。
[规律方法] 1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义 转化到准线的距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施 转化，使解答简捷、明快． 2．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后 计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”， 就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
点，求△PAB 面积的最大值．
第三十二页，编辑于星期日：一点 五分。
解：(1)因为 e2＝ac22＝a2－a2b2＝34，所以 a2＝4b2. 又a42＋b12＝1， 所以 a2＝8，b2＝2. 故所求椭圆 C 的方程为x82＋y22＝1.
第三十三页，编辑于星期日：一点 五分。
(2)设 l 的方程为 y＝12x＋m，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y＝12x＋m，
第八页，编辑于星期日：一点 五分。
2020新课标高考数学二轮课件：第二部分专题五 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
)
A．x82－1y02 ＝1
B．x42－y52＝1
C．x52－y42＝1
D．x42－y32＝1
解析：选 B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x42－y52＝k(k>0)，即4xk2－5yk2
＝1，因为双曲线与椭圆1x22＋y32＝1 有公共焦点，所以 4k＋5k＝12－3，解得 k＝1，故
(2)不妨设 P 为双曲线 C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则|PF2|＝2a 最小，所以 ∠PF1F2＝30°. 在△PF1F2 中，由余弦定理，可得 cos 30°＝|PF1|22＋|P|FF11|F|F2|12F－2||PF2|2＝162a×2＋44ac×2－2c4a2＝ 23， 整理得 c2＋3a2＝2 3ac，解得 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2＝ 2a. 所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2x.故选 A. 【答案】 (1)C (2)A
[对点训练]
1．(2019·福州模拟)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴的
一个端点，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，若B→A＝2A→F，且|B→F|＝4，则双曲线
C 的方程为( )
A．x62－y52＝1
B．x82－1y22 ＝1
C．x82－y42＝1
p＝( )
A．2
B．3
C．4
D．8
解析：选 D.由题意，知抛物线的焦点坐标为p2，0，椭圆的焦点坐标为(± 2p，0)，所 以p2＝ 2p，解得 p＝8，故选 D.
3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近
2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质教案理
第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质[教师授课资源][备考指导]圆锥曲线命题方向高考中一般2道选择、填空题，1道大题，命题时三种圆锥曲线全部考查，选择、填空题考两种圆锥曲线，大题考一种．①选择、填空题以考查圆锥曲线定义基本性质为主，坚持四个原则．1°数形结合，画图.2°定义活用(距离转化).3°有关结论引用.4°特殊值法，尽量不能小题大做(大量运算).5°平面几何知识应用(角平分线，中位线，Rt△)．②大题的难度有所转化，掌握基本题型及解析几何处理问题的基本思想．题型：定值、定点、最值、范围．思想方法：设而不求，特殊到一般，整体代换．2°重视圆锥曲线的切线问题．3°重视求轨迹方程(直接法、定义法、相交点法、点差法)．4°重视圆锥曲线的类型(焦点位置)．5°圆锥曲线的焦点弦长问题，灵活应用极坐标．6°重视以双曲线渐近线为背景的题目．7°重视向量在解析几何中工具利用，如转化垂直，x1x2＋y1y2，转化锐角或钝角．8°重视弦长公式|AB|＝|x1－x2|1＋k2＝Δ|a|1＋k2的化简技巧．9°易忽视设直线方程时没讨论斜率k不存在情况．[做小题——激活思维]1．已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C的标准方程是( )A.x216＋y212＝1 B.x212＋y216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 C [由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，因为焦点在y 轴上，故椭圆C 的标准方程是x 24＋y 28＝1.]2．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．40C [∵|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.]3．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12yD ．x 2＝12yD [由抛物线的定义知，过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y .]4.点M (1,1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，则a 的值为( ) A ．14 B ．－112C ．14或－112D ．－14或112C [抛物线y ＝ax 2化为x 2＝1a y ，它的准线方程为y ＝－14a ，点M (1,1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋14a ＝2，解得a ＝14或－112.]5．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)＜0，所以k ＜9或k ＞25，所以“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.]6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±xC [因双曲线方程C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，即b 2a 2＝14，∴b a ＝12， 又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.][扣要点——查缺补漏]1．椭圆的定义标准方程及几何性质(1)定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；如T 2. (2)焦点三角形的面积：S △PF 1F 2＝b 2tan α2.(3)离心率：e ＝ca＝1－b 2a2；如T 1. (4)焦距：2c .(5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ≠0)的几何性质(1)离心率e ＝ca＝1＋b 2a2； (2)渐近线：y ＝±b ax . 3．抛物线的定义、几何性质 (1)如图，|MF |＝|MH |.如T 3，T 4.(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)为抛物线上的点，F 为焦点． ①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②过焦点的弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ； ③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.④1|FC |＋1|FD |＝2p. 4．方程Ax 2＋By 2＝1表示的曲线 (1)表示椭圆：A ＞0，B ＞0且A ≠B ； (2)表示圆：A ＝B ＞0； (3)表示双曲线AB ＜0；如T 5.(4)表示直线：A ＝0且B ≠0或A ≠0且B ＝0.圆锥曲线的定义、标准方程(5年5考)[高考解读] 以抛物线、双曲线、椭圆的定义和标准方程为载体，以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系、待定系数法、解三角形的有关知识等求得相应曲线的标准方程，体现了等价转化和方程的求解思想.1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)A [若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A.]2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 B [由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，连接F 1A (图略)，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.]3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.6 [如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.] [教师备选题]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 B [由y ＝52x 可得b a ＝52.①由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.]2．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．(3，15) [设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋42＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．]求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．提醒：对于抛物线问题，看到准线想到焦点，看到焦点想到准线．1．(离心率问题)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上且|F 1F 2|＝2|OP |，△PF 1F 2的面积为a 2，则双曲线的离心率是( )A. 5B. 2 C ．4D ．2B [由|F 1F 2|＝2|OP |可知|OP |＝c ， 所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2. 由S △PF 1F 2＝a 2可知|PF 1||PF 2|＝2a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝－2|PF 1||PF 2|＋|F 1F 2|2， 即4a 2＝－4a 2＋4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝84＝2，又e ＞1，∴e ＝2，故选B.]2．[一题多解](曲线方程问题)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3xC [法一：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt△ACE 中， ∵||A E ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||A E ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.法二：由法一可知∠CBD ＝60°， 则由|AF |＝p1－cos 60°＝3可知p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，∴2p ＝3，∴抛物线的标准方程为y 2＝3x .]3．(轨迹问题)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( )A.x 216＋y 29＝1(y ≠0)B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) D [∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，∴b ＝3.∴C 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.]圆锥曲线的几何性质(5年10考)[高考解读] 该考点是高考的核心热点之一，主要考查考生数形结合思想和化归与转化思想的应用，考查数学运算，直观想象的核心素养.1．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14D [由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c2c ＋a＝36，解得c a ＝14，∴e＝14，故选D.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．1．(求离心率的取值范围)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 B [∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y2b2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c2≥0，解得e ≥22. 又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1.] 2．(求离心率的值)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．3－1 2 [如图是一个正六边形，A ，B ，C ，D 是双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点，F 1，F 2为椭圆M 的两个焦点．∵直线AC 是双曲线N 的一条渐近线，且其方程为y ＝3x ， ∴nm＝ 3.设m ＝k ，则n ＝3k ，则双曲线N 的离心率e 2＝k 2＋3k2k＝2.连接F 1C ，在正六边形ABF 2CDF 1中，可得∠F 1CF 2＝90°，∠CF 1F 2＝30°.设椭圆的焦距为2c ，则|CF 2|＝c ，|CF 1|＝3c ，再由椭圆的定义得|CF 1|＋|CF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，∴椭圆M 的离心率e 1＝c a＝23＋1＝23－13＋13－1＝3－1.]3．(圆锥曲线的性质与函数交汇)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．[3＋23，＋∞) [由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3， 设P (x ，y )，x ≥3，FP →＝(x ＋2，y )，则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]4．(与向量交汇考查几何性质)在椭圆x 24＋y 22＝1上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有F 1P →·F 2P →≤1，则F 1P →与F 2Q →的夹角余弦值的范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 [设P (x ，y )，则Q 点(x ，－y )， 椭圆x 24＋y 22＝1的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，∵F 1P →·F 2P →≤1，∴x 2－2＋y 2≤1， 结合x 24＋y 22＝1，可得y 2∈[1,2]．故F 1P →与F 2Q →的夹角θ满足： cos θ＝F 1P →·F 2Q→|F 1P →|·|F 2Q →|＝x 2－2－y 2x 2＋2＋y 22－8x 2＝2－3y 2y 2＋2＝－3＋8y 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13.]直线、圆与圆锥曲线的交汇问题(5年6考)[高考解读] 以直线与圆锥曲线或以圆与圆锥曲线的位置关系为载体，考查曲线方程的求解等问题，体现了数形结合的思想和等价转化的能力.1．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 2a2＝－y 1－y 2y 1＋y 2b2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2. ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－－13－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.] 2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5A [令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.]3．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解](1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.1．在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题．一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解．2．处理圆与圆锥曲线相结合问题的注意点注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．提醒：“点差法”是解决中点弦问题的捷径，但必要时需要检验．1．(面积问题)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B.938C.6332D.94D [易知直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －34，与y 2＝3x 联立并消去x ，得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94.S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34y 1＋y 22－4y 1y 2＝3827＋9＝94.故选D.]2．(弦长问题)若双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，且被圆x 2＋(y －a )2＝1截得的弦长为2，则a ＝( )A.52B.102C. 5D.10B [可以设切点为(x 0，x 20＋1)，由y ′＝2x ，∴切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20＋1，∵已知双曲线的渐近线为y ＝±abx ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 20＋1＝0，±ab ＝2x 0，x 0＝±1，ab＝2，一条渐近线方程为y ＝2x ，圆心(0，a )到直线y ＝2x 的距离是a5＝22⇒a ＝102.故选B.] 3.(最值问题)如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆C 2分别交于点P ，Q 和M ，N ，则|PN |＋4|QM |的最小值为( )A ．23B ．42C ．12D ．52A [由题意可设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为抛物线C 1过点(2,4)，所以16＝2p ×2，解得p ＝4，所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x . 圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0整理得(x －2)2＋y 2＝1，可知圆心C 2(2,0)恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． ①当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2，所以P (2,4)，Q (2，－4)，于是|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋|C 2N |＋4|QC 2|＋4|C 2M |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.②当直线l 的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则Δ＞0，且x 1x 2＝4，即x 2＝4x 1.所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝x 1＋2＋4(x 2＋2)＋5＝x 1＋4x 2＋15＝x 1＋16x 1＋15≥2x 1×16x 1＋15＝8＋15＝23，当且仅当x 1＝16x 1，即x 1＝4时等号成立．因为23＜25，所以|PN |＋4|QM |的最小值为23.故选A.]。
2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何解密高考5圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算”教案理
解密高考⑤ 圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算”————[思维导图]————————[技法指津]————圆锥曲线的设点、设元策略圆锥曲线问题在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应恰当地设点、设线，以简化运算，突出 “设”的重要性．(1)巧设“点”，可采用设而不求的方式解决弦长问题、中点弦问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等．(2)巧设 “线”， 如涉及直线的斜率问题可依据题设条件灵活设直线方程为y ＝kx ＋b 、x ＝my ＋n ；对于分点问题可依据题设条件设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．,母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分(1)看到抛物线的焦半径，想到抛物线的定义，缺x A ＋x B ，补设直线l 的方程，联立抛物线求解即可；(2)看到求|AB |想到弦长公式，缺y A ＋y B 的值，借助AP →＝3PB →补找该关系．[构建模板·五步解法] 圆锥曲线类问题的求解策略经过坐标原点O 的两条直线与椭圆E ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)分别相交于点A 、C 和点B 、D ，其中直线AB 经过E 的左焦点(－1,0)，直线CD 经过E 的右焦点(1,0)．当直线AB 不垂直于坐标轴时，AB 与AD 的斜率乘积为－34.(1)求椭圆E 的方程；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．[解](1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由对称性D (－x 2，－y 2)，直线AB 与直线AD 的斜率乘积为y 22－y 21x 22－x 21.2分由x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，相减得y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a2. 3分 所以b 2a 2＝34，4分因为a 2－b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3， 5分 椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.6分(2)由题知CD 不平行于x 轴，设CD ：x ＝my ＋1，与x 24＋y 23＝1联立得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.7分 Δ＝144(m 2＋1)＞0，y 1，y 2＝－3m ±6m 2＋13m 2＋4. 8分由对称性知四边形ABCD 是平行四边形，其面积S 等于△OCD 面积的4倍，于是S ＝4S △OCD＝2|y 1－y 2|＝24m 2＋13m 2＋4＝243m 2＋1＋1m 2＋1. 10分设m 2＋1＝t ，当t ≥1时，函数y ＝3t ＋1t单调递增， 所以当t ＝1，即m ＝0时，S 取最大值6. 12分。