一维波动方程推导

b
cx0
（13）
（14）
10
gf((xxcctt))1212((xxcctt))2211ccxxxx00cctt((xx))ddxxk2k2
（15）
因此一维波动方程的定解问题的通解可以最终表示为：
ux,tfxctgxct
ux,t1(xct)(xct)1xct(x)dx （16）
2
2cxct
这一通解公式称为D`Alembert 公式。可以证明该解是唯一的，而且是稳定的。
（25）、（28）
VVV2V
（30）
即在杆端由于波的叠加，使杆端质点速度b增加一倍。
16
当杆或桩的端部为固定端时，其边界条件为
VVV0
（31）
V V
（32）
将式（20）和式（24）带入式（31）得
类似地
F F
FF F 2F
（33） （34）
公式（32）、（33）、（34）表示应力波到达固定端后，将产生一个与
b
2
1967年美国G.G.Goble等人发表了“关于桩承载力的动测研究”一文，
1975年发表了“根据动测确定桩的承载力”研究报告
1970年以后，美国己把动力试桩技术用于实际工程
1977年PDI公司开始生产以PDA(Pile Driving Analyzer)打桩分析仪
采用波动方程程序(Case Pile Wave-equation Analysis
x
E
u x
x E 2u
x
x 2
将式（2）带入式（1）：
2u t 2
E
2u x 2
令
c 2 E ，即得著名的一维波动方程
c2 2 x 2u
x 2
bt 2
（1） （2）
（3） 7
1.2.2一维波动方程的解
求解一维波动方程有多种方法，常用的有行波法、分离变 量法、特征线法，这里主要介绍基桩检测常用的行波法。
（27）
F F
（28）
将式（20）和式（24）带入式（27）得
V V
（29）
公式（27）、（28）和式（29）表示，当下行波传到自由端时，将产生一个符号相
反，幅值相同的反射波，才能保持力的平衡，即如果下行的是压缩波，则反射的一
定是拉伸波，下行的是拉伸波，则反射的一定是压缩波。桩身阻抗减少的界面反射
波的规律与自由端类似。
b
11
1.2.3 解的物理意义
假设式（16）的第二式为零，即 ，当波速一定时，随 着时间的 增长，位移逐渐沿x轴向下传播，因此我们习惯称为f下行波。同理 称为g上行波。上下行波在传播过程中，由于函数f和g都不发生变化， 因此，波的形状不变，在不考虑杆周围介质的影响，其幅值也不变。 前面假设杆的材质是均匀的，经过t0时刻，波形移动了c×t0的距离， 波速为c×t0/t0＝c，这表明波在传播中速度不变。
物理现象为杆上各点，振动未传到时，处于平衡状态，振动传到 时，相应点将发生位移的变化，振动穿过后，该点仍回到平衡位置。
b
12
1.2.4 一维波动方程的解在基桩测试中的应用
1 ux,t f 假设桩身中只有下行波（压力波为例），即 xct
则下行波引起的质点振动速度 下行波引起的桩身应变为
V u cf ' t
入射波相同的反射波，即入射的压力波产生压力反射波，入射的拉力波产
作变量代换： x c t
x
ct
b
（4）
8
u u u
x
u c u u
t
x2u2 2u2 2u2 22u
2tu2 c22u22u222u
将式（5）～式（8）代入式（4）
2u
0
b
(5) (6) (7) (8) (9)
9
对式（9）连续两次积分得到方程的通解：
u,fg
（10）
ux,tfx ctgxct
应力波反射法检测基桩原理
b
1
1.1 基桩动测技术的发展及国内外研究现状
一百年以前，动力打桩公式 1865年B.de Saint Venant提出一维波动方程 50年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值 解法，它把锤一桩一土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型 从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。
program/contimuous,简CAPWAPC程序)对桩的侧阻分布、端阻和桩身缺陷
进行实测波形的拟合法分析。
b
3
方便、快捷、一定的准确度被各国接受 要求较高的人员素质、专业理论知识、 丰富的工程经验 缺乏与静荷载试验在桩周分层摩阻力和端阻力方面对比。
b
4
1.2.1 一维杆的纵向波动方程
一根材质均匀的等截面弹性杆，长度为L，
（11）
通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。
设问题的初始位移和初始速度分别为：
(11)、(12) 积分（13）有：
u(x,0)(x) 0xL
u(x,0) t
(x)
0xL
（12）
f(xct)g(xct)(x)
f'(xct)g'(xct)(x)/c
f(xct)g(xct)1x(x)dxk
截面积为A，弹性模量为E，体密度为ρ。
若杆变形时符合平截面假定，在杆上端施 加一瞬时外力，单元受力如图所示。图中 包含外力、土阻力、阻尼力的作用。
b
5
杆单元受力图
L dx x
x
u
u
u t
dt
x
x
dx
x
b
6
以单元dx为对象，建立x方向的平衡方程得
xAx xxdxAAdx 2 tu 2
由材料力学知识得：
u f '
x
（17） （18）
式中的负号表示以压缩变形为负，拉伸为正。
（17）、（18）Biblioteka Baidu
V c
（19）
FEAEAVZV
C
（20）
式中，Z＝EA/C称为桩身阻抗，是由桩身材料特性和桩身截面确定的量。
b
13
2 假设桩身中只有上行波（压力波为例），即ux,t gxct
则上行波引起的质点振动速度
F F F
(25)
V V V
将式（20）和式（24）带入式（25），即得
F 1 (F Z V ) 2
F 1 (F Z V )
2
(26)
V 1 (V F )
2
Z
V 1 (V b F )
15
2
Z
4 上下行波在界面或端部的反射
当杆或桩的端部为自由端时，其边界条件为：
FFF0
V g cg' t
式中负号表示质点振动速度向上为负。
（21）
上行波引起的桩身应变为
g g '
x
（22）
（21）、（22） 结论：
V c
FEAEAVZV
C
①下行波中质点的运动方向与所受力的方向始终一致；
②上行波中质点的运动方向与所受b 力的方程始终相反。
（23） （24）
14
3 通过计算可以分离出桩身各截面 上行波和下行波的值，具体如下：