§8.1二元一次方程组教案
§8.1二元一次方程组
教学目标:
1、理解二元一次方程、二元一次方程组以及它们的解的概念:
(1)理解二元一次方程的概念;
(2)理解在同一个方程组相同的字母必须表示相同的量;
(3)了解二元一次方程与二元一次方程组的关系;
(4)二元一次方程(组)的解的概念;
(5)理解方程组的解与方程组的关系,能正确检验一组未知数的值是否是方程组的解;
(6)掌握方程组的解的读法、表示法
(7)理解二元一次方程的解与二元一次方程组的解的区别;
(8)已知一个二元一次方程,能用其中一个未知数表示另一个未知数。
2、体会实际问题中常会遇到有多个未知量互相依赖互相影响的现象,二元一次方程组就是反映现实世界中的两个未知量之间的关系的一种有效模型
教学重点、难点:二元一次方程,二元一次方程组及其解的含义
教学过程:
一、 问题探究,概念学习:
思考问题1:篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少?
解法一:可用我们学过的一元一次方程解决,设胜了x 场,则有2(10)16x x +-=
解法二:引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜了x 场,负了y 场,你能用方程把这些条件表示出
来吗?显然这两个条件可以用方程10216
x y x y +=+=来表示。 探究1:这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?
定义1:像前面列出的方程这样,每个方程都有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1.像这样的整式方程,我们把它叫做二元一次方程.
上面的问题中包含两个必须同时满足的条件,也就是未知数x,y 必须同时满足方程10216
x y x y +=+=,把这两个二元一次方程合在一起,写成10216
x y x y +=??+=?就组成了一个方程组. 定义2:这个方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个整式方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组。
例1、①下列方程是不是二元一次方程?为什么?
(1)15x 3y
+=;(2)5xy 10-=;(3)2x y 2+=;(4)3x y z 0-+= 注:判断二元一次方程,看整理后是否满足以下条件:
1. 只含有两个未知数;
2. 含未知数的项的次数为1;
3. 必须是整式方程。
例2.下列方程是不是二元一次方程组?
(1)2x z 3x 0+=??=?(2)xy 1y x 52
=-???-=??(3)x y 30x z 2--=??+=? 注:判断二元一次方程组的依据包含:
1. 含有两个未知数且所含未知数的项的次数为1;
2. 整式方程组; 练习:m 12x (m 2)y 103x 0-?---=??=??
是二元一次方程组,求m 的值。 (m=0) 二、 探究方程(组)解的概念
探究2:请你写出一些满足方程10x y +=和216x y +=,且符合问题的实际意义的未知数的值,能发现什么?
我们发现,满足一个二元一次方程的解有无数个;如果不考虑方程与实际问题的联系,这个方程的解会更多。 定义3:一般的,使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。
同时我们发现:x 6y 4
=??=?这组数同时满足两个方程,我们把这个解叫做是二元一次方程组的解。 方程组7317x y x y +=??+=?
的解记作x 6y 4=??=? 定义4:一般的,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。
注:1、二元一次方程的解和二元一次方程组的解都是一对数值,注意表示方法的规范写法:x y =??
=?
1、 一般二元一次方程的解有无数多个,而方程组的解要看公共解的个数。
(1) 方程组的解一定是满足方程组的每一个方程,但方程组中一个方程的解却不一定是方程组的解。
(2) 例3.已知下面的三对数值: (3) ???=-=;10,8y x ???-==;6,0y x ???-==.1,10y x 哪几对数值使方程621=-y x 左、右两边的值相等? (后两对)
(2)哪几对数值是方程组?????-=+=-11312,621y x y x 的解? (第三对)
练习1:教材90页1,2,3题
练习2:已知x 2y 3=??=?是二元一次方程组2mx x y 113x ny 5--=??+=?
的解,求代数式2m 3n +的值。(答案:7) 练习3:教材89页练习,90页4,5题
三.拓展提升:
①已知方程3x 2y 25+=,请你用含x 的代数式表示y,再找出方程的正整数解。
同样的,你能用含y 的代数式表示x,找出方程的正整数解吗?
分析:变形成253x y 2-=或252y x 3
-=的形式去分析,进而找到满足条件的解。 小结:对于一元二次方程,会进行适当的变形,用其中一个字母表示另一个字母;另外对解附加一定条件后,二
x 6y 4=??=?x 1y 9=??=? x 2y 8
=??=? x 3y 7=??=? x 5y 5=??=? x 2y 12=??=? x 3y 10=??=? x 4y 8=??=? x 5y 6=??=?
元一次方程的解可能为有限个。
②甲、乙二人共解方程组mx 2y 62x ny 3+=-??-=-?由于甲看错了方程①中的m 值,得到方程组的解为x 3y 2=-??=-?
,乙看错了方程②中的n 的值,得到方程组的解为x 5y 2=-??
=?,试求代数式22m n mn ++的值。 解:x 3y 2=-??=-?
为方程②的解m (5)226m 2∴?-+?=-∴= 2(3)n (2)33n 2
∴?--?-=-∴=当m=2,3n 2=时 x 5y 2=-??=?为方程①的解2222m n mn
333722224++??=++?= ??? 四.小结
1、 理解二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念;
2、 知道方程组的解是其组成的方程的公共解;能用解的概念解决某些求参的问题。
五.作业:
厦外作业1 世上没有一件工作不辛苦,没有一处人事不复杂。不要随意发脾气,谁都不欠你的
二元一次方程组专项练习及答案
《二元一次方程组》专项练习及答案 §8.1二元一次方程组 一、填空题 1、二元一次方程4x-3y=12,当x=0,1,2,3时,y=____ 2、在x+3y=3中,若用x 表示y ,则y= ,用y 表示x ,则x= 3、已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2,当k=______时,方程为一元一次方程;当k=______ 时,方程为二元一次方程。 4、对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10,当x=0时,则y=____;当y=0时,则x=____。 5、方程2x+y=5的正整数解是______。 6、若(4x-3)2+|2y+1|=0,则x+2=。 7、方程组???==+b xy a y x 的一个解为???==3 2y x ,那么这个方程组的另一个解是。 8、若21=x 时,关于y x 、的二元一次方程组? ??=-=-212by x y ax 的解互为倒数,则=-b a 2。 二、选择题 1、方程2x-3y=5,xy=3,33=+y x ,3x-y+2z=0,62=+y x 中是二元一次方程的有( )个。 A、1 B、2C、3 D、4 2、方程2x+y=9在正整数范围内的解有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是( ) A 、10x+2y=4 B 、4x-y=7 C 、20x-4y=3 D 、15x-3y=6
4、若是m y x 25与2214-++n m n y x 同类项,则n m -2的值为 ( ) A 、1 B 、-1 C 、-3 D 、以上答案都不对 5、在方程(k 2-4)x 2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中,若此方程为二元一次方程,则k 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、2或-2 D 、以上答案都不对. 6、若???-==1 2y x 是二元一次方程组的解,则这个方程组是( ) A 、?? ?=+=-5253y x y x B 、???=--=523x y x y C 、???=+=-152y x y x D 、???+==132y x y x 7、在方程3)(3)(2=--+x y y x 中,用含x 的代数式表示y ,则 ( ) A 、35-=x y B 、3--=x y C 、35+=x y D 、35--=x y 8、已知x=3-k,y=k+2,则y与x的关系是( ) A、x+y=5 B、x+y=1 C、x-y=1 D、y=x-1 9、下列说法正确的是( ) A、二元一次方程只有一个解 B、二元一次方程组有无数个解 C、二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解 D、三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成 10、若方程组???=+=+16 156653y x y x 的解也是方程3x+ky=10的解,则k的值是( =) A、k=6 = B、k=10 C、k=9 D、k= 10 1 三、解答题 1、解关于x 的方程)1(2)4)(1(+-=--x a x a a
(完整版)二元一次方程组应用题经典题及答案
实际问题与二元一次方程组题型归纳(练习题答案) 类型一:列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米? 解:设甲,乙速度分别为x,y千米/时,依题意得: (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得:x=6,y=3.6 答:甲的速度是6千米/每小时,乙的速度是3.6千米/每小时。 【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。 解:设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时,有: 20(x-y)=280 14(x+y)=280 解得:x=17,y=3 答:这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时, 类型二:列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由. 解:
类型三:列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】(2011湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩? 解:设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩,依题意得: ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000 解得:x=6,y=4 答:李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩 类型四:列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?(注:公民应缴利息所得税=利息金额×20%) 解:设2000的存款利率是X,则1000的存款利率是3.24%-X,则有: 2000*X*(1-20%)+1000*(3.24%-X)*(1-20%)=43.92 即:1600X+25.92-800X=43.92 800X=18 X=2.25% 3.24%-2.25%=0.99% 所以,2000的存款利率是2.25%,1000的存款的利息率是0.99%. 法二:也可用二元一次方程组解。 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?
(完整版)二元一次方程组试题及答案
第八章二元一次方程组单元知识检测题 (时间:90分钟满分:100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.方程2x-1 y =0,3x+y=0,2x+xy=1,3x+y-2x=0,x2-x+1=0中,二元一次方程的个数是() A.1个B.2个C.3个D.4个 2.二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是() A. 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3.关于x,y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,则k的值是(? ) A.k=-3 4 B.k= 3 4 C.k= 4 3 D.k=- 4 3 4.如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解,那么a,b,c的值应当满足() A.a=1,c=1 B.a≠b C.a=b=1,c≠1 D.a=1,c≠1 5.方程3x+y=7的正整数解的个数是() A.1个B.2个C.3个D.4个 6.已知x,y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ,则无论m取何值,x,y恒有关系式是() A.x+y=1 B.x+y=-1 C.x+y=9 D.x+y=9 7.如果│x+y-1│和2(2x+y-3)2互为相反数,那么x,y的值为() A. 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8.若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解,则(a+b)·(a-b)的值为() A.-35 3 B. 35 3 C.-16 D.16 二、填空题(每小题3分,共24分) 9.若2x2a-5b+y a-3b=0是二元一次方程,则a=______,b=______. 10.若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a,b的二元一次方程ax+ay-b=7的一个解,则代数式x2+2xy+y2-1?的值是 _________.
二元一次方程组计算题50道(答案)
.. 中 考 真 题 50 道 中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题(有答案) 1.(2012?德州)已知 ,则a+b 等于( ) A. 3 B C. 2 D. 1 2.(2012菏泽)已知???==1 2 y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解,则n m -2的算术平方根为( ) A .±2 B . 2 C .2 D . 4 3.(2012临沂)关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=?? +=?的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是( ) A .5 B .3 C .2 D .1 4.(2012?杭州)已知关于x ,y 的方程组 ,其中﹣3≤a ≤1,给出下列结论: ①是方程组的解; ②当a=﹣2时,x ,y 的值互为相反数; ③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解; ④若x ≤1,则1≤y ≤4. 其中正确的是( ) A .①② B .②③ C .②③④ D .①③④ 5. (2012广东湛江) 请写出一个二元一次方程组 ,使它的解是. 6.(2012广东)若x ,y 为实数,且满足|x ﹣3|+ =0,则()2012的值是 1 .
7.(2012安顺)以方程组的解为坐标的点(x ,y )在第 象限. 8.(2012?连云港)方程组的解为 . 9.(2012?广州)解方程组 . 10.(2012广东)解方程组: . 11.(2012?黔东南州)解方程组. 12、(2012湖南常德)解方程组:???==+1-25y x y x 13. (2011湖南益阳,2,4分)二元一次方程21-=x y 有无数多个解,下列四组值中不是.. 该方程的解的是 A .0 12 x y =???=-?? B .11x y =??=? C .1 0x y =??=? D .11x y =-??=-? 14. (2011四川凉山州,3,4分)下列方程组中是二元一次方程组的是( ) A .12xy x y =??+=? B . 523 13x y y x -=???+=?? C . 20 135x z x y +=?? ? -=?? D .5723 z x y =???+=?? 15. (2011广东肇庆,4,3分)方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 ① ②