初三三角函数、几何证明
初中数学三角函数的计算与证明知识点总结
初中数学三角函数的计算与证明知识点总结三角函数是初中数学中的重要概念，它们在解决各种几何和代数问题时具有广泛的应用。
掌握三角函数的计算和证明方法对于学生来说至关重要。
本文将总结初中数学中涉及三角函数计算与证明的一些重要知识点。
一、正弦、余弦和正切函数的计算正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）是三角函数中最基本的三个函数。
它们的计算方法如下：1. 正弦函数的计算：正弦函数表示为sinθ，其中θ为角度。
在计算时，可以使用直角三角形的性质来简化计算。
例如，当θ为30度时，sinθ等于对边与斜边的比值，即sin30°= 1/2。
2. 余弦函数的计算：余弦函数表示为cosθ，计算方法与正弦函数类似。
在直角三角形中，cosθ等于临边与斜边的比值。
例如，当θ为45度时，cosθ等于1/√2。
3. 正切函数的计算：正切函数表示为tanθ，计算方法为对边与临边的比值。
例如，当θ为60度时，tanθ等于√3。
二、三角函数的基本性质与公式掌握三角函数的基本性质和公式对于证明和计算三角函数问题非常重要。
以下是一些常用的三角函数性质和公式：1. 正弦函数的周期性：正弦函数的周期为2π，也就是说，sin(θ+2π) = sin(θ)。
这意味着在一个周期内，正弦函数的图像会重复出现。
2. 余弦函数的周期性：余弦函数的周期也为2π，即cos(θ+2π) = cos(θ)。
余弦函数的图像也会在一个周期内重复。
3. 正切函数的周期性：正切函数的周期为π，即tan(θ+π) = tan(θ)。
正切函数的图像在一个周期内也会重复。
4. 三角函数的正交性：正弦和余弦函数在一个周期内是正交的，即∫sinθcosθdθ = 0。
这个性质在某些证明题目中非常有用。
5. 三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这些公式可以用于将角度的加减关系转化为乘法关系，简化计算。
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 CA 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
初三三角函数、几何证明
初三期中复习(一)考点归纳：一、三角函数1、运用特殊三角函数值进行计算和化简2、锐角三角函数间的转化3、三角函数的实际应用（一）锐角三角函数之间的几种关系1.平方和关系：2.倒数关系：;3.商的关系：;4.互余关系：(二)锐角三角函数值的特殊性质1.有界性：2.增减性：若反之亦然.(三)坡度（坡比）、坡角、仰角、俯角、方位角等基本概念视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡度（或坡比）设坡角为α，坡度为i，则i=h:l 坡度一般写成1∶m的形式坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡a,及其夹角 ，拓展：任意三角形的面积公式：对于△ABC，已知两边b那么有θsin 21⋅=∆ab S ABC 二、几何证明及计算。
1、线段、角度之间的关系2、周长及面积的计算例题解析：考点一、三角函数的计算 1、318330tan )60(sin )2010(+-︒-︒+--π2、12009|3.14π| 3.1412cos 451)(1)2-⎛⎫-+÷+-++- ⎪ ⎪⎝⎭°3、4、已知0°＜α＜45°，sin cos 16αα⋅=，则=αsin︒-︒︒+︒60tan 45cot 30cot 45tan5.已知的值.6.计算：2sin 48°+2sin 42°—tan 44°·tan 45°·tan 46°7、2sin 1°＋2sin 2°＋···＋2sin 88°＋2sin 89°。
考点二：锐角三角函数性质的应用 1.在下列不等式中，错误的是（ ）A ．sin45○＞sin30○B ．cos60○＜cos30○C ．tan45○＞tan30○D ．cos30○＜cos60○2.已知，则锐角A 的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．3.若∠A 为锐角，且23cos <A ，则∠A 的取值范围是（ ）（A ） 小于300 （B ）大于300 （C ）大于450且小于600 （D ）大于6004.若0°＜α＜90°，则αααα22sin 1cos sin cos 1-+-的值为__________30°30°H M GDE F CB A考点三、三角函数的实际应用6.如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC ）为30°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据）.⑴若修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,则平台DE 的长最多为 米；⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？7． (2013四川内江，20,10分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D 的仰角为60°.已知A 点的高度AB 为3米.台阶AC 坡度为1（即AB ：BC =1），且B 、C 、E 三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE 的高度（测倾器的高度忽略不计）.考点四、几何证明及计算CBA【例1】 在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，点P 是三角形内的任意一点，PD ⊥BC于D,PE ⊥AC 于E ， PF ⊥AB 于F ，AB=a ，(1)求证：PD+PE+PF 为定值.(2)求出这个定值。
中考数学考试知识点分析：三角函数
中考数学考试知识点分析：三角函数中考数学考试知识点分析:三角函数以下是小编带来的中考数学考试知识点分析:三角函数，欢迎阅读。
锐角三角函数定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b余割(csc)等于斜边比对边。
cscA=c/a互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)积的关系：sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1锐角三角函数公式两角和与差的三角函数：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三角和的'三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]ta nα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]推导公式：tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+c os[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y正弦(sin):角α的对边比上斜边余弦(cos):角α的邻边比上斜边正切(tan):角α的对边比上邻边余切(cot):角α的邻边比上对边正割(sec):角α的斜边比上邻边余割(csc):角α的斜边比上对边三角函数万能公式万能公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC万能公式为：设tan(A/2)=tsinA=2t/(1+t^2) (A≠2kπ+π，k∈Z)tanA=2t/(1-t^2) (A≠2kπ+π，k∈Z)cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z)就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.三角函数关系倒数关系tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
几何问题和三角函数
三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具.1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：（1）三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga随a 的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.解当A=90°时，sinA和cosA=1；当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0，∴sinA+cosA＞当A=45°时，sinA+cosA=当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞∴sinA+cosA＞∵1, 都大于.∴淘汰（A）、（C），选（B）.例2（1982年上海初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（）（A）-1 （B）2-（C）-1（D）（E）分析构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt△，再用余切定义求之.解如图36-1，作等腰Rt△ABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时，ctg67°30′=ctg∠DCB=∴选(A).例3(1990年南昌市初中数学竞赛题)如图,在△ABC中,∠A所对的BC边的边长等于a,旁切圆⊙O的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于D，E，F.求证:R≤a²证明作△ABC的内切圆O′,分别切三边于G,H,K.由对称性知GE=KF(如图36-2).设GB=a，BE=x，KC=y,CF=b.则x+a=y+b, ①且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,x-a=y-b. ②①+②得,x=y.从而知a=b.∴GE=BC=a.设⊙O′半径为r.显然R+r≤OO′ (当AB=AC)时取等号.作O′M⊥EO于M,则O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例4（1985年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2边形A1A2A3…A4n+2（n为自然数）各内角都是30°的整数倍，已知关于x的方程：x2+2xsinA1+sinA2=0 ①x2+2xsinA2+sinA3=0 ②x2+2xsinA3+sinA1=0 ③都有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数.解∵各内角只能是、、、，∴正弦值只能取当sinA1=时，∵sinA2≥sinA3≥∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1≠.当sinA1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）=0.方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1=.综上所述，可知sinA1=1，A1=.同理，A2=A3=.这样其余4n-1个内角之和为这些角均不大于又n为自然数，∴n=1,凸n边形为6边形,且A4+A5+A6=4³2.解三角形和三角法定理推论设a、b、c、S与a′、b′、c′、S′.若我们在正、余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由.（1）解三角形例5（第37届美国中学生数学竞赛题）在图36-3中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC 和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面积之比是( ).(A)cosα(B)sinα(C)cos2α(D)sin2α(E)1-sinα解如图，因为AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此连结AD，因为AB是直径，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.∴应选(C).例6 (1982年上海初中数学竞赛题)如图36-4,已知Rt△斜边AB=c, ∠A=α,求内接正方形的边长.解过C作AB的垂线CH，分别与GF、AB交于P、H，则由题意可得又∵△ABC∽△GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包括下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法.其特点是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，通过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，从而减少几何计算和证明中技巧性很强的作辅助线的困难.例7（1986年全国初中数学竞赛征集题）如图36-5，在△ABC中，BE、CF是高，∠A=，则△AFE 和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4解由BE、CF是高知F、B、C、E四点共圆，得AF²AB=AE²AC.在Rt△ABE中，∠ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例8 (1981年上海中学生数学竞赛题)在△ABC中∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB＞2h.证明如图36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB) ①∵∠C是钝角,∴∠A+∠B＜,∴ctgB＞ctg(-A)=tgA.②由①、②和代数基本不等式，得例9 （第18届国际数学竞赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.解如图36-7，设四边形ABCD面积S为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z.则x+y+z=16(cm)由但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ==且x=8,y+z=8.这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例10 (1964年福建中学数学竞赛题)设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3,求证:a n+b n＜c n.分析如图34-8,注意到Rt△ABC的边角关系:a=csinα＞0,b=ccosα＞0,可将不等式转化为三角不等式sin nα+cos nα＜1来讨论.证明设直角三角形一锐角∠BAC=α(如图),则竞赛讲座－平面三角三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．一、三角函数的性质及应用三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。
初三数学三角函数的应用与证明
初三数学三角函数的应用与证明三角函数是初中数学中重要的知识点之一，它不仅可以用来描述几何形状和角度的关系，还可以应用于实际问题的解决。
本文将介绍三角函数的应用以及一些常见的三角函数证明。
一、三角函数的应用1. 直角三角形的求解在解决直角三角形问题时，三角函数是必不可少的工具。
以求解一般直角三角形的斜边长度为例，我们可以利用正弦函数来解决。
假设直角三角形的一个锐角为θ，斜边长度为c，对边长为a，邻边长为b，则可以得到以下关系式：sinθ = a/c通过这个关系式，我们可以根据给定的两边长度，求解出未知边的长度。
2. 角度的测量在现实生活中，我们经常需要测量角度，例如测量物体的倾斜角度、测量两条线的夹角等等。
此时，三角函数可以帮助我们快速准确地计算角度。
常用的角度测量函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
例如，在测量物体倾斜的角度时，我们可以通过测量物体底部到地面的垂直高度和物体与水平面的夹角来计算出实际的倾斜角度。
3. 三角函数的图像与性质三角函数的图像可以直观地展示它们的周期性和变化规律。
熟练掌握三角函数的图像可以帮助我们更好地理解与应用。
例如，正弦函数的图像是一个周期为2π 的波形，振幅为 1，可以描述物体在振动过程中的变化规律。
余弦函数的图像与正弦函数相似，但相位不同，可以描述物体在周期性变化中的偏移情况。
正切函数的图像是由一系列无穷多的正弦函数组成，可以表示一条无限接近于水平的直线。
二、三角函数的证明1. π/4 的正弦值的证明我们可以通过简单的几何构造证明π/4 的正弦值为√2 / 2。
首先，画一个边长为 1 的正方形，然后将其对角线延伸至边界上的点，形成一个以正方形边长为斜边的直角三角形。
根据勾股定理，设直角边为 x，则斜边为√(x^2 + x^2) = √2x。
根据三角函数的定义，正弦函数为对边与斜边的比值，即sin(π/4) = x / √2x = 1 / √2。
由于√2 / 2 = 1 / √2，因此得证sin(π/4) = √2 / 2。
掌握勾股定理的必备三种证明方法详解五
掌握勾股定理的必备三种证明方法详解五勾股定理的三角函数证明方法勾股定理是初中数学中最基本的定理之一，它是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
在证明勾股定理时，有多种方法可以使用。
其中，三角函数证明方法是一种非常常用的证明方法。
下面将详细介绍勾股定理的三角函数证明方法。
一、正弦函数证明法正弦函数是一个关于锐角θ的三角函数，定义为：sinθ=对边/斜边。
根据此定义，可以得到sin²θ=（对边/斜边）²=对边²/斜边²。
同样地，根据余弦函数和正切函数的定义，可以得到cos²θ=（邻边/斜边）²=邻边²/斜边²和tan²θ=（对边/邻边）²=对边²/邻边²。
由于勾股定理中涉及到三条线段，因此可以将其表示为：a²+b²=c²。
将a、b、c分别表示为直角三角形中锐角θ的余弦、正弦、正切，则有：cos²θ+sin²θ=tan²θ+1代入上述公式，并化简可得：cos²θ+sin2 θ = 1即：a^2/b^2 + b^2/b^2 = c^2/b^2化简后得：a^2 + b^2 = c^2这就是勾股定理的三角函数证明法。
二、余弦函数证明法余弦函数是一个关于锐角θ的三角函数，定义为：cosθ=邻边/斜边。
根据此定义，可以得到cos²θ=（邻边/斜边）²=邻边²/斜边²。
同样地，根据正弦函数和正切函数的定义，可以得到sin²θ=（对边/斜边）²=对边²/斜边²和tan²θ=（对边/邻边）²=对边²/邻边²。
将a、b、c分别表示为直角三角形中锐角θ的余弦、正弦、正切，则有：cos²θ+sin²θ=tan²θ+1代入上述公式，并化简可得：cos θ = a/csin θ = b/ctan θ = sin θ / cos θ = b/a由此可得：a^2 + b^2 = (ac)^2 / c^2 + (bc)^2 / c^2化简后得到：a^2 + b^2 = c ^ 2这也是勾股定理的三角函数证明法。
几何证明与三角函数
几何证明与三角函数几何是数学的一个重要分支，是研究空间形状和其性质的学科。
而几何证明指的是通过运用已知的几何定理、原理或方法，以逻辑推理的方式证明一个几何命题的正确性。
与此同时，三角函数是几何证明中常用到的数学工具之一，它与角度和三角比之间的关系密切相关。
本文就几何证明与三角函数的关系进行探讨。
一、三角函数的基本概念在几何证明中引入三角函数的概念，可以更好地描述和推导角度之间的关系。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别记作sin、cos和tan。
三角函数在直角三角形中的定义如下：1. 正弦函数(sin)：指的是一个角的对边比斜边的比值，即sinA = a/c。
2. 余弦函数(cos)：指的是一个角的邻边比斜边的比值，即cosA =b/c。
3. 正切函数(tan)：指的是一个角的对边比邻边的比值，即tanA =a/b。
二、几何证明中的三角函数应用几何证明中常常需要运用三角函数来推导、证明一些几何命题。
以下是一些常见的案例：1. 证明两角相等当需要证明两个角相等时，可以通过利用三角函数的性质来进行推导。
例如，若要证明∠A = ∠B，可以列出∠A和∠B的三角函数表达式，通过分析并运用三角函数的性质来得出结论。
2. 利用角的三角函数比例推导边的关系在三角形中，若已知某个角的三角函数比值，并且另一条边的长度已知，就可以通过三角函数的性质来求解其他边的长度。
这在解决一些边长相关的问题时非常有用。
3. 利用正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是几何证明中常用到的定理，它们将三角函数与三角形的边长和角度联系起来，为推导和证明提供了重要的依据。
4. 利用三角函数证明三角形的相似性当两个三角形的对应角相等且对应边成比例时，可以利用三角函数来证明它们为相似三角形。
以上只是几何证明中运用三角函数的一些常见情况，实际问题中可以根据具体的命题进行相应的推导和应用。
三、举例说明为了更好地理解几何证明与三角函数的关系，以下通过具体案例进行说明。
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初三期中复习(一) 考点归纳： 一、三角函数
1、运用特殊三角函数值进行计算和化简
2、锐角三角函数间的转化
3、三角函数的实际应用
（一）锐角三角函数之间的几种关系 1.平方和关系：
2.倒数关系：
;
3.商的关系：;
4.互余关系：
(二)锐角三角函数值的特殊性质 1.有界性：
2.增减性：若
反之亦然.
(三)坡度（坡比）、坡角、仰角、俯角、方位角等基本概念
视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做
俯角
坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡度（或坡比） 设坡角为α，坡度为i ，则i=h:l 坡度一般写成1∶m 的形式 坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡
拓展：任意三角形的面积公式：对于△ABC ，已知两边b a ,及其夹角θ，
那么有θsin 2
1
⋅=
∆ab S ABC
二、几何证明及计算。
1、线段、角度之间的关系
2、周长及面积的计算
例题解析：
考点一、三角函数的计算
1、31
08330tan )60(sin )2010(+-︒-︒+--π
2、
12009
|3.14π| 3.1412cos 451)(1)-⎫-+÷-++-⎪⎪
⎝⎭°
3、
4、已知0°＜α＜45
°，sin cos αα⋅==αsin 5.已知的值.
︒
-︒︒+︒60tan 45cot 30cot 45tan
6.计算：2sin 48°+2sin 42°—tan 44°·tan 45°·tan 46°
7、2sin 1°＋2sin 2°＋···＋2sin 88°＋2sin 89°。
考点二：锐角三角函数性质的应用 1.在下列不等式中，错误的是（ ）
A ．sin45○＞sin30○
B ．cos60○＜cos30○
C ．tan45○＞tan30○
D ．cos30○＜cos60○
2.已知
，则锐角A 的取值范围是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.若∠A 为锐角，且2
3cos <A ，则∠A 的取值范围是（ ）
（A ） 小于300 （B ）大于300 （C ）大于450且小于600 （D ）大于600
4.若0°＜α＜90°，则α
α
αα22sin 1cos sin cos 1-+-的值为__________
30°
30°H M G
D
E F B A
C
B
A
考点三、三角函数的实际应用
6.如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC ）为30°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处
挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .
（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据
）.
⑴若修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,则平台DE 的长最多为 米；
⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即
∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？
7． (2013四川内江，20,10分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D
的仰角为60°.已知A 点的高度AB 为3米.台阶AC
坡度为1（即AB ：BC =1，且B 、C 、E 三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE 的高度（测倾器的高度忽略不计）.
考点四、几何证明及计算
【例1】 在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，点P 是三角形内的任意一点，PD ⊥BC
于D,PE ⊥AC 于E ，
PF ⊥AB 于F ，AB=a ，(1)求证：PD+PE+PF 为定值.(2)求出这个定值。
变式练习：1. 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若△ABC的面积为7，DE=2，AB=4，则AC= .
例2、两个全等的含300、600 角的三角板ADE和三角板ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC 的形状，并说明理由。
变式议练：1.已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=900，点P、Q分别是AB、AC 上的一动点，且BP=AQ，D是BC的中点。
⑴求证：△PDQ是等腰直角三角形；
⑵点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由。
【例3】在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200,D 、F 分别是AB 、AC 的中点，DE ⊥AB ，FG ⊥AC,E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长。
【例4】已知∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：BE=CF.
【例5】△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC,分别交AB 、AC 于点E 、F 两点，若AB=6，AC=5，求△AEF 的周长。
【例6】在四边形ABCD 中，BD>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ，求证: ∠A 与∠C 互补.
F
A
B
C
D
例7、已知平行四边形的边长分别为6和8，角B的角平分线交DC与点E，求DE的长度。