2019-2020年全国新课标高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题三三角函数与解三角形第一讲三角函数的图
解法二：由 x∈－π3，π4得 2x－π6∈－56π，π3，故当 2x －π6＝－π2，x＝－π6时，f(x)取得最小值为－12，当 2x－π6＝π3，
x＝π4时，f(x)取最大值为
3 4.
考点 三角函数的性质 典例示法 典 例 2 [2015·山 东 枣 庄 质 检 ] 已 知 函 数 f(x) ＝ sinωx＋π6＋sinωx－π6－2cos2ω2x，x∈R(其中 ω＞0)． (1)求函数 f(x)的值域； (2)若函数 f(x)的图象与直线 y＝－1 的两个相邻交点间 的距离为π2，求函数 f(x)的单调递增区间．
φ))(A，ω，φ 为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令 ωx＋ φ＝z，则 y＝Asinz(或 y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性 求得．
②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区 间．
(2)判断对称中心与对称轴：利用函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是 函数的零点这一性质，通过检验 f(x0)的值进行判断．
(3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝ kπ (k∈Z)．
2．三角函数的对称性 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由
ωx＋φ＝
kπ＋π2
(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝ kπ (k∈Z)解得；
(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝ kπ
调
性
[ π2＋2kπ，32π＋2kπ ]
在[2kπ，π＋ 2kπ](k∈Z)上
＋kπ )(k∈Z) 上 单调递增
(k∈Z)上
单调递减
单调递减
对
对称中心： (kπ，0)(k∈Z)；
对称中心：( π2＋
对称中 心：
称 性
对称轴：x＝π2＋
kπ，0 )(k∈Z)； 对称轴：
k2π，0(k
②令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标． ③将 ωx＋φ 看作整体，可求得 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区 间，注意 ω 的符号． (3)讨论意识：当 A 为参数时，求最值应分情况讨论 A>0，
A<0. 2．求解三角函数的性质的三种方法 (1)求单调区间的两种方法 ①代换法：求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋
(2)已知函数 f(x)＝－ 2sin2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋ 1，x∈R.
①求 f(x)的最小正周期； ②求 f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
[解] ①f(x)＝－sin2x－cos2x＋3sin2x－cos2x＝2sin2x －2cos2x＝2 2sin2x－π4.
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
②由①知 f(x)＝2 2sin2x－π4. 因为 x∈0，π2， 所以 2x－π4∈－π4，34π， 则 sin2x－π4∈－ 22，1. 所以 f(x)在0，π2上最大值为 2 2，最小值为－2.
[解析] 因为 y＝sin4x－π3＝sin4x－1π2，所以只需将 y＝sin4x 的图象向右平移1π2个单位，即可得到函数 y＝ sin4x－π3的图象，故选 B.
题型 3 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质的综合应用
典例 5 [2016·太原一模]已知函数 f(x)＝sin(ωx＋
π 2 3，则 ω＝____2____.
解析 由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的 两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，其中|y2－y1|＝ 2 －(－ 2)＝2 2，|x2－x1|为函数 y＝2sinωx－2cosωx＝2 2 sinωx－π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正 周期的一半，所以(2 3)2＝22ωπ 2＋(2 2)2，ω＝π2.
第二编 专题整合突破
专题三 三角函数与解三角形
第一讲 三角函数的图象与性质
主干知识整合
[必记公式]
1．三角函数的图象与性质
函数 y＝sinx
y＝cosx
图象
y＝tanx
在[ －π2＋2kπ，π2＋ 在[－π＋2kπ，
单
2kπ ](k∈Z)上 单调递增
；在
2kπ](k∈Z) 上 单调递增
；
在( －π2＋kπ，π2
kπ(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
∈Z)
2.三角函数的两种常见图象变换
[重要结论] 1．三角函数的奇偶性
(1)函，是
偶函数⇔φ＝ kπ＋π2 (k∈Z)；
(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝
kπ＋π2
(k∈Z)，
是偶函数⇔φ＝ kπ (k∈Z)；
因为－π2<φ<π2，所以令 k＝0，得到 φ＝－π3，故选 A.
题型 2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
典例 4
[2015·山东高考]要得到函数 y＝sin4x－π3的
图象，只需将函数 y＝sin4x 的图象( )
A．向左平移1π2个单位 B．向右平移1π2个单位
C．向左平移π3个单位 D．向右平移π3个单位
3．忽视 A，ω 的符号 在求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意 A 和 ω 的符号，若 ω<0，需先通过诱导公式将 x 的系数化为正的． 4．易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误．
热点考向探究
考点 三角函数的定义域、值域(最值) 典例示法 典例 1 (1)[2016·合肥一模]函数 y＝lg (2sinx－1)＋ 1－2cosx的定义域是_____2_k_π_＋__3π_，__2_k_π_＋__56_π_(_k_∈__Z_)___．
[解] (1)f(x)＝ 23sinωx＋12cosωx＋ 23sinωx－12cosωx－
(cosωx＋1)
＝2
23sinωx－12cosωx－1
＝2sinωx－π6－1
由－1≤sinωx－π6≤1，
得－3≤2sinωx－π6－1≤1，
1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常 借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域(最值)的三种求法 (1)直接法：利用 sinx，cosx 的值域． (2)化一法：化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析 ωx ＋φ 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)． (3)换元法：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，可化为求函 数在给定区间上的值域(最值)问题．
所以函数 f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知， f(x)的周期为 π，所以2ωπ＝π，即 ω＝2. 所以 f(x)＝2sin2x－π6－1， 再由 2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)， 解得 kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)． 所以函数 f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3 (k∈Z)．
[解析]
由题意，得21s－in2xc－os1x＞≥00，，
即sinx＞12， cosx≤12，
首先作出 sinx＝12与 cosx＝12表示的角的终边(如图所 示)．
由图可知劣弧 和优弧 的公共部分对应角的范围
是2kπ＋π3 ， 2kπ＋56π(k∈Z)． 所以函数的定义域为2kπ＋3π，2kπ＋56π(k∈Z)．
2．[2014·北京高考]设函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ
是常数，A>0，ω>0)．若 f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且
fπ2＝f23π＝－fπ6，则 f(x)的最小正周期为____π____．
解析 由 f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且 fπ2＝－fπ6 知，f(x)有对称中心π3，0，由 fπ2＝f23π知 f(x)有对称轴 x＝ 12(π2＋23π)＝172π.记 f(x)的最小正周期为 T，则12T≥π2－π6，即 T≥23π.故172π－π3＝π4＝T4，解得 T＝π.
针对训练
[2015·天津高考]已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有 f(x)＝1－c2os2x－1－cos22x－π3 ＝1212cos2x＋ 23sin2x－12cos2x
(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝ kπ＋π2 (k∈Z)解
得；
(3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由 ωx＋φ＝k2π(k ∈Z)解得．
[失分警示] 1．忽视定义域 求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问 题时，要注意函数的定义域． 2．重要图象变换顺序 在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周 期变换．变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的 系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度 和方向．
φ)ω>0，|φ|<2π的最小正周期是 π，若将其图象向右平移π3个 单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f(x)的图象( )
A．关于直线 x＝1π2对称 B．关于直线 x＝51π2对称
C．关于点1π2，0对称
D．关于点51π2，0对称
(3)三角函数周期的求法 ①利用周期定义． ②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小 正周期为|2ωπ|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为|ωπ |. ③利用图象．
针对训练 1.[2015·湖南高考]已知 ω＞0，在函数 y＝2sinωx 与 y＝ 2cosωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为
1．求解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识 (1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为 f(x) ＝Asin(ωx＋φ)的形式． (2)整体意识：类比 y＝sinx 的性质，只需将 y＝Asin(ωx ＋φ)中的“ωx＋φ”看成 y＝sinx 中的“x”，采用整体代入求 解． ①令 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，可求得对称轴方程．
2019年高考数学大二轮复习专题三三角函数3-2三角变换与解三角形练习
3.2三角变换与解三角形【课时作业】A 级1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝()A ．42B ．30 C.29D ．25解析： ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2. 故选A. 答案： A2．(2018·山东菏泽2月联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝()A.427B ．±225C ．±427D ．225解析： ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，由同角三角函数的商数关系知tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan2α＝2tan α1－tan2α＝－421－－22＝427，故选A. 答案： A3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于() A.32B ．34C.36D ．38解析： 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3＝B ，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案： B 4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，且3cos2α＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为()A.79B ．－79 C ．－19D ．19解析： 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，所以cos α－sin α≠0，所以3(cos α＋sin α)＝22，即cos α＋sin α＝223，两边平方可得1＋sin2α＝89⇒sin2α＝－19.答案： C5．(2018·南昌市第一次模拟测试卷)已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝34cos β，则v ＝() A ．60B ．80 C ．100D ．125解析： 如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C ，则在△ABC中，AB sin α＝AC sin β，即sin α＝43sin β，又cos α＝34cos β.∴sin 2α＋cos 2α＝169sin 2β＋916cos 2β＝1＝sin 2β＋cos 2β，∴sin β＝34cos β， ∴sin β＝35，cos β＝45，∴sin α＝45，cos α＝35，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×45－45×35＝0，∴α＋β＝π2，∴BC 2＝AB 2＋AC 2，∴(2.5v )2＝1502＋2002，解得v ＝100，故选 C. 答案： C 6．化简：π－α＋sin 2αcos2α2＝________.解析：π－α＋sin 2αcos2α2＝2sin α＋2sin α·cos α12＋cos α＝2sin α＋cos α12＋cos α＝4sinα.答案： 4sin α7．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.解析：sin 2A sin C ＝2sin Acos A sin C ＝2a c ·b2＋c2－a22bc ＝2×46·25＋36－162×5×6＝1. 答案： 18．(2018·开封市高三定位考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，且a ＝5，△ABC 的面积为23，则b ＋c 的值为________．解析： 由正弦定理及b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，得sin B ·sin B cos B ＋sin B ·sin A cos A ＝2sin C ·sin Bcos B ，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，亦即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，故sin C ＝2sin C cos A ．因为sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.由面积公式，知S △ABC ＝12bc sin A ＝23，所以bc ＝8.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ，代入可得b ＋c ＝7.答案： 79．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解析： (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解析： (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.B 级1．(2018·河南濮阳一模)已知△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则sin 2Bsin B ＋cos B 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，22B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22C ．(－1，2)D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，3－32解析： 由sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，知a ，b ，c ，成等比数列，即b 2＝ac ，∴cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋c2－ac 2ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ＋c 2a －12≥2a 2c ·c 2a －12＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立，可知B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，设y ＝sin 2B sin B ＋cos B ＝2sin Bcos B sin B ＋cos B，设sin B ＋cos B ＝t ，则2sin B cos B ＝t 2－1.由于t ＝sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4，B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，所以t ∈(1，2]，故y ＝sin 2B sin B ＋cos B ＝2sin Bcos B sin B ＋cos B ＝t2－1t ＝t －1t ，t ∈(1，2]，因为y ＝t －1t 在t ∈(1，2]上是增函数，所以y ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，22.故选B. 答案： B2．(2018·石家庄质量检测(一))如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝CD ，AC ⊥CD ，当∠ABC 变化时，对角线BD 的最大值为________．解析： 设∠ABC ＝θ，θ∈(0，π)，则由余弦定理得AC 2＝3－22cos θ，由正弦定理得1sin∠ACB ＝AC sin θ，得sin ∠ACB ＝sin θAC .在△DCB 中，由余弦定理可得，BD 2＝CD 2＋2－22CD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠ACB ＝AC 2＋2＋22AC sin ∠ACB ＝3－22cos θ＋2＋22AC ×sin θAC ＝5＋22(sin θ－cos θ)＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，当θ＝3π4时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4max ＝1，∴BD 2m ax ＝9，∴BD max ＝3.答案： 33．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求△ABC 面积的最大值．解析： (1)易得a ＝(－sin x ，cos x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值是32.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12⇒A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以12＝b 2＋c 2－bc ， 所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3.4．如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声检测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、B 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求出x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解析： (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA2＋AB2－PB22PA·AB ＝x2＋202－－2x·20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA2＋AC2－PC22PA·AC ＝x2＋502－x22x·50＝25x .∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中， 由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos2∠PAD＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。
2019年高考数学二轮复习 专题3 三角 3 三角变换与解三角形课件 理
si���n��� ������的一些变式:①a∶b∶c=sin
A∶
sin B∶sin C;②sin A=2������������,sin B=2������������,sin C=2������������;③a=2Rsin A,b=2Rsin
B,c=2Rsin C.其中 R 是△ABC 外接圆的半径.
考向一 考向二 考向三 考向四
解: (1)在△ABC 中,由正弦定理si���n��������� = si���n���������,可得 bsin A=asin B.又由
bsin A=acos
������-
π 6
,得 asin B=acos
������-
π 6
,即 sin B=cos
������-
所以 cos β=-5665或 cos β=1665.
考向一 考向二 考向三 考向四
利用正、余弦定理解三角形 例2(2018全国卷1,理17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2 2 ,求BC.
考向一 考向二 考向三 考向四
正、余弦定 理,和角公 式
解三 角形
等价转 换
全国Ⅱ 没有考查
全国Ⅲ 没有考查
年份 卷别 设问特点
涉及知识点
题目类 型
数学思想 方法
已知三角形面积表达 面积公式,
消元法,
全国 式求其两角正弦之积; 正、余弦定 解三 转换思想
Ⅰ 已知两角余弦之积及 理,和角公 角形 和整体代
一边长求周长
式
换
2017 全国
解: (1)在△ABD 中,由正弦定理得si���n������∠��������� = sin∠������������������������������. 由题设知,sin455° = sin∠2������������������,
高中数学二轮复习(文) 专题三 三角2 课件(全国通用)
.
2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=
2tan ������
1-ta n 2 ������
.
1-cos2 ������ 2 sin2 ������ 2
3.降幂公式
cos2α=
1+cos2 ������ 2
2 3
2 3
A.
1 6
2
B.
π 4
1
解析: cos ������ +
=
3 π 1+cos 2������ +
2
2
=
1-sin2 ������ 2
=
2
= .
6
1
专题二
一、选择题 二、填空题
2.4.2 导数与不等式及参数范围
考向一 考向二
-8-
5.(2017 湖南长沙一模,文 11)在△ABC 中,C= ,AB=3,则△ABC 的周 长为( C ) A.6sin ������ + C.2 3sin
3.2
三角变换与解三角形专项练
专题二
2.4.2 导数与不等式及参数范围
考向一 考向二
-2-
Hale Waihona Puke 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
tan(α± β)=
tan ������ ±tan ������ 1∓tan������ tan ������
D
)
A.C.
1 2
3 2
2019-2020学年度最新人教版高考数学二轮复习：三角函数专题Word版
2019-2020学年度最新人教版高考数学二轮复习：三角函数专题Word 版(附参考答案)本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+nC ．n m 22=D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1 故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。
2019年高考数学(文)二轮复习对点练：专题三 三角 专题对点练12 Word版含答案
专题对点练123.1~3.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.已知cos x=,则cos 2x=()A.-B.C.-D.2.角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan 2θ=()A.2B.-4C.-D.-3.函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为()A. B. C.π D.2π4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=12,则△ABC面积的最大值为()A.8B.9C.16D.215.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2b sin 2A=3a sin B,且c=2b,则等于()A.B.C.D.6.(2018天津,文6)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减7.设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=8.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C29.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是()A.[6kπ,6kπ+3](k∈Z)B.[6kπ-3,6kπ](k∈Z)C.[6k,6k+3](k∈Z)D.[6k-3,6k](k∈Z)二、填空题(共3小题,满分15分)10.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=.11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为S,(a2+b2)tan C=8S,则=.12.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.(2018浙江,18)已知角α的顶点与原点O重复,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.14.已知函数f(x)= cos22x+sin 2x cos 2x+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求f(x)的最值.15.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求b的值;(2)若cos B+sin B=2,求a+c的取值范围.专题对点练12答案1.D解析cos 2x=2cos2x-1=2×-1=.2.D解析∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,∴tan θ=2.∴tan 2θ==-,故选D.3.C解析因为y=sin 2x+cos 2x=2=2sin,所以其最小正周期T==π.4.B解析∵ab≤=36,当且仅当a=b=6时,等号成立,∴S△ABC=ab·sin C≤×36×=9,故选B.5.C解析由2b sin 2A=3a sin B,利用正弦定理可得4sin B sin A cos A=3sin A sin B,由于sin A≠0,sin B≠0,可得cos A=,又c=2b,可得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+4b2-2b·2b·=2b2,则.故选C.6.A解析将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin 2x,该函数在(k∈Z)上单调递增,在(k∈Z)上单调递减,结合选项可知选A.7.A解析由题意可知,>2π,,所以≤ω<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=.故选A.8.D解析曲线C1的方程可化为y=cos x=sin,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin=sin 2,为得到曲线C2:y=sin 2,需再把得到的曲线向左平移个单位长度.9.D解析由函数与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,知函数的周期为T==2,得ω=,再由五点法作图可得+φ=,求得φ=-,∴函数f(x)=A sin.令2kπ+x-≤2kπ+,k∈Z,解得6k+3≤x≤6k+6,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为[6k-3,6k](k∈Z).10.解析由角α与角β的终边关于y轴对称,得α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α,k∈Z,故sinβ=sin(2kπ+π-α)=sin α=.11.2解析∵(a2+b2)tan C=8S,∴a2+b2=4ab cos C=4ab·,化简得a2+b2=2c2, 则=2.故答案为2.12.解析如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.在Rt△ABE中,cos∠ABE=,∴cos∠DBC=-,sin∠DBC=.∴S△BCD=×BD×BC×sin∠DBC=.∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-,且∠DBF为锐角,∴sin∠DBF=.在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=.综上可得,△BCD的面积是,cos∠BDC=.13.解(1)由角α的终边过点P,得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.(2)由角α的终边过点P,得cos α=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=.14.解函数f(x)= cos22x+sin 2x·cos 2x+1=sin 4x+1=sin.(1)f(x)的最小正周期T=.(2)当x∈时,4x+,则sin.当4x+时,函数f(x)取得最小值为1,此时x=;当4x+时,函数f(x)取得最大值为,此时x=.∴当x∈时,函数f(x)的最大值为,最小值为1.15.解(1)△ABC中,,∴,∴,解得b=.(2)∵cos B+sin B=2,∴cos B=2-sin B,∴sin2B+cos2B=sin2B+(2-sin B)2=4sin2B-4sin B+4=1,∴4sin2B-4sin B+3=0,解得sin B=.从而求得cos B=,∴B=.由正弦定理得=1,∴a=sin A,c=sin C.由A+B+C=π,得A+C=,∴C=-A,且0<A<.∴a+c=sin A+sin C=sin A+sin=sin A+sin cos A-cos sin A=sin A+cos A=sin, ∵0<A<,∴<A+,∴<sin≤1,∴sin,∴a+c的取值范围是.。
2019年高考数学(文科)二轮专题突破课件：专题三 三角函数 3.2 .pdf
4.已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C(或先用余弦定理求出 最大边所对的角,再用正弦定理及三角形内角和定理求另外两个内 角).
考情分析
高频考点
【思考】 应用正、余弦定理需要的条件及解决的问题有哪些?
例2(1)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若bcos
C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
关闭
(1)由C.钝bc角os三C角+c形cos BD=.不as确in 定A 结合正弦定理,得 sin Bcos C+sin Ccos
命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点
命题热点三 命题热点四
核心归纳
-19-
对点训练4在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,
������������ ·������������ =-6,S△ABC=3,求A和a.
解 因为������������ ·������������=-6,所以 bccos A=-6,
B为=直s(2in角)2在A三,△即角As形BinC.(B中+C,A)==s23iπn,2aA=,所3以c,则sin������������A==1.由 0<A<π. ,得 A=π2,故△ABC
(2)由正弦定理知ssiinn������������
=
������ ������
=
3,即 sin C=sin323π = 12,又 a>c,可得 C=π6,关闭
高考数学新课标全国二轮复习课件3.三角函数、解三角形及平面向量2
2������-������ = 0, ������ 2 + ������ 2 = 0, ������ = ������ =
5 5 或 2 5 5
解得
,
������ = ������ = -
5
5 2 5 5
, ,
所以|x+2y|= 5.
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)(a+b)· a=0,所以 a· b=-a2,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|������ |· =- ,所以夹角为 120°. |������ | 2 答案:(1) 5 (2)120°
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2 向量的模及夹角问题
(1)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|= (2)向量(a+b)与a垂直,且|b|=2|a|,则a与b的夹角为 解析:(1)因为m⊥b,所以m· b=2x-y=0. 又m为单位向量,所以x2+y2=1. . .
由
①a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0. ②a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0.
③向量的夹角 cos θ=|������ ||������ | =
������ · ������
������ 1 ������ 2 +������1 ������2
2 +������ 2 ������ 2 +������ 2 ������ 1 1 2 2
系.
(5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量的概念与运算 (1)要准确理解平面向量的概念 ①零向量的模为 0,方向是任意的,它与任何非零向量都共线;② 与 a 共线的单位向量为±|������ |;③方向相同或相反的向量叫做共线向量 (或平行向量);④向量的夹角:已知非零向量 a 与 b,作������������=a,������������=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫向量 a 与 b 的夹角;⑤向量的投影:设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)平面向量数量积的概念:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹 角为 θ,则 a· b=|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积).规定 0· a=0.
2019-2020年全国新课标年高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题三三角函数与解三角形第二讲三角恒等变
sin2α＝12，∴cos2α＝－
3 2
∴tanα－ta1nα＝csoinsαα－csoinsαα＝sins2inαα－cocsoαs2α＝－s2inco2sα2α＝
－2×－123＝2 3.
2
化简常用的方法技巧 (1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、 逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等． (2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的 互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如 2α＝(α＋β) ＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ 等；③注意利用“1”的恒等变形，如 tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1 等．
由正弦定理得sianA＝sibnB＝sincC＝ 2π＝ sin3
4， 3
所以 b＝ 43sinB，c＝ 43sinC.
所以
S
△
ABC
＝
1 2
bcsinA
＝
1 2
×
43sinB×
43 sinCsin π3 ＝ 4 3 3
sinBsinC＝4 3 3sinBsin23π－B
＝4
3
3
题型 3 求有关三角形的面积 典例 5 [2014·浙江高考]在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 a≠b，c＝ 3，cos2A－cos2B ＝ 3sinAcosA－ 3sinBcosB. (1)求角 C 的大小； (2)若 sinA＝45，求△ABC 的面积．
[解]
与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略 (1)求三角形的面积．对于面积公式 S＝12absinC＝12acsinB ＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式． (2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一 般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版 课件：3.3 三角大题
考向一
考向二
考向三
考向四
考向五
解题心得对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为 两个三角形来解三角形的问题,分别在两个三角形中列出方程,组 成方程组,通过加减消元或者代入消元,求出所需要的量;对于含有 三角形中的多个量的已知等式,化简求不出结果,需要依据题意应 用正弦、余弦定理再列出一个等式,由此组成方程组通过消元法求 解.
①
2·������������·������������ 2 2������
由于∠BAC+∠CAD=90°,
∴cos∠BAC=sin∠CAD.
②
由①,②得, ������2-1 = 2 2,整理得 3x2-8x-3=0,解得 x=3 或 x=-1(舍去),故
2 2������ 3Fra bibliotek3AC=3.
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(2)由题设及(1)知△ABC 的面积 S△ABC= 43a.
由正弦定理得
a=������ssiinn������������
=
sin (120°-������) sin ������
=
3 2tan
������
+
1.
2
由于△ABC 为锐角三角形,故 0°<A<90°,0°<C<90°.
由(1)知
A+C=120°,所以
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考向一
考向二
考向三
考向四
考向五
对点训练2(2019安徽江淮十校高三最后一卷,文17)在△ABC中,内 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2b,csin B=bcos C-π6 .
(1)求角C; (2)若AD是BC上的中线,延长AD至点E,使得DE=2AD=2,求E,C两 点的距离.
2019-2020年全国新课标年高考数学大二轮复习第三编考前冲刺攻略第一步八大提分笔记三三角函数解三角形平面
解析 依题意，将 h(x)＝2sin2x＋π4的图象向右平移π4个 单位，再向上平移 2 个单位后得 y＝2sin[ 2( x－π4 )＋π4 ]＋2，即 f(x)＝2sin2x－π4＋2 的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象关于点(0,1)对称.
[正解] 原函数变形为 y＝－12sin23x－π4，令 u＝23x－π4， 则只需求 y＝sinu 的单调区间即可，所以 y＝sinu 在 2kπ－π2 ≤23x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，即 3kπ－38π≤x≤3kπ＋98π(k∈Z)上 单调递增；y＝sinu 在 2kπ＋π2≤23x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)，即 3kπ＋98π≤x≤3kπ＋281π(k∈Z)上单调递减．
55×
1100＝
2 2.
又因为 0<α＋β<π，所以 α＋β＝π4.
[错解] ∵α、β 为锐角，
∴cosα＝
1－sin2α＝25 5，cosβ＝
1－sin2β＝3
10 10 .
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝
55×3 1010＋2 5 5×
1100＝
2 2.
又 0<α＋β<π.∴α＋β＝π4或 α＋β＝34π.
3 三角函数的图象与性质 (1)五点法作图； (2)对称轴：y＝sinx，x＝kπ＋π2，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ， k∈Z； 对称中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，kπ＋π2，0， k∈Z；y＝tanx，k2π，0，k∈Z.
(3)单调区间： y＝sinx 的增区间：－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)， 减区间：2π＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z)； y＝cosx 的增区间：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)， 减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；