平行四边形压轴题一

平行四边形压轴题一

一．解答题（共5小题）

1．如图1，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA 上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x 轴于点E．

（1）求证：△BOC≌△CED；

（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；

（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．

3．如图，在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，连接AD，∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F，过点F作MF∥BC交射线AB于点M．

（1）四边形BCFM是平行四边形吗？请说明理由；

（2）求证：CF+CD=BE；

（3）若∠ADC=30°，AB=8，求BE、CD的长．

2．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．

填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值．

．

4．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．

（1）求证：△ABE≌△DCE．

（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．

（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．

5．阅读理解题：

已知：如图△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F．

求证：CD=PE+PF

证明：如图1，连接PA，

∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F

∵S△ABC=AB×CD，S△PAB=AB×PE，S△PAC=AC×PF，

又∵S△ABC=S△PAB+S△PAC

∴AB×CD=AB×PE+AC×PF∵AB=AC

∴CD=PE+PF

由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

阅读上面的材料，然后解答下面的问题：

（1）如图2，△ABC是等边三角形，点

P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC

于F，若BC=2，则PE+PF= ．

（2）如图3，△ABC中，AB=AC，若点P在BC边的延长线上，CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC延长线上于F．那么CD、PE、PF之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．

（3）如图4，用阅读材料结论求解，将平行四边形ABCD，其中∠A=90°，AB=3，沿对角线BD折叠，重合部分是△FBD，点P是对角线BD上任意一点，PM⊥AD于点M，PN⊥BE于点N，求PM+PN的值．

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