人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
第三讲二次函数的图像与性质
一、知识点梳理：
2、函数性质（函数增减性）：当a>0时，且x>h，y随x的增大而增大（对称轴右边的图象从左自右上升），当x<h，y随x的增大而减小（对称轴左边的图象从左自右下降），函数有最小值y最小值=k。
当a<0时，且x>h，y随x的增大而减小（对称轴右边的图象从左自右下降），当x<h，y随x的增大而增大（对称轴左边的图象从左自右上升）函数有最大值：y最大值=k
3、抛物线2
y ax bx c
=++（0
a≠）的顶点坐标公式：（
2
b
a
-，
2
4
4
ac b
a
-
）；对称轴是直线：
2
b
x
a
=-；
当
2
b
x
a
=-时，函数有最值：
2
4
4
ac b
y
a
-
=。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于x的二次函数是（）。
A、2
2-
+
=x
x
y B、x
x
x
y)1
(
2+
-
= C、)
1(2
3x
x
x
y-
+
= D、2
2)1
(-
=x
y
【例2】已知函数x
m
x
m
y m
m)1
(
)1
(2
3
2-
+
+
=-
-（m为常数）。
（1）m为何值时，这个函数为二次函数？
（2）m为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
2
y ax
=2
y ax k
=+2
()
y a x h
=-2
()
y a x h k
=-+
x h
=y k
=
最
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值； （1）3212+-
=x y （2）4)3(2-+-=x y （3）132
1
2--=x x y
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线122
+-=x y 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是 ；
【例2】二次函数2)1(2
12
+-=x y 的图象可由
221x y =的图象（ ） A 、向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B 、向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C 、向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D 、向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
考点四：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 及图象的认识 【例1】与抛物线532
12
-+-
=x x y 的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ） A ．2523412-+-=x x y B ．87212
+--=x x y
C ．1062
12++=x x y D ．532
-+-=x x y 【例2】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象如图所示，则函数y ＝ax ＋b 的图 象不经过 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例3】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；
②2a ＋b ＜0；③a －b ＋c ＜0；④a ＋c ＞0，其中正确结论的个数为（ ）． A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
【例1】在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋1与y ＝－
3
2
(x －1)2的图象大致是 ( )
【例2】在同一直角坐标系中，函数b ax y +=2
与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 （ ）
-1 O 1
x
y
x
y 0 1
考点六：二次函数与一元二次不等式
【例1】若A
113,4y
⎛⎫
- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3
的大小关系是 ( )
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 1＜y 3＜y 2 【例2】已知二次函数2
15
7212+--
=x x y ，若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且3210x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系正确的是 （ ） A.321y y y >> B.321y y y << C.132y y y >> D.213y y y >>
三、强化训练： 【夯实基础】
1、二次函数c bx x y ++=2
的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。
2、抛物线12
2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1
3、直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2
－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）
A.(0，0)
B.(1，－2)
C.(0，－1)
D.(－2，1)
4、二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示，则abc ，ac b 42
-，b a +2，c b a ++，c b a +-这五
个式子中，值为正数的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
5、已知反比例函数x
k y =
的图象如右图所示，则二次函数2
22k x kx y +-=的图象大致为（ ）
【能力提升】
6、若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A.y 1＜y 2＜y 3
B.y 2＜y 1＜y 3
C.y 3＜y 1＜y 2
D.y 1＜y 3＜y 2 7、在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和2
22y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．
是（ ）
8、已知二次函数232)1(2
-++-=m mx x m y ，则当=m 时，其最大值为0．
9、已知抛物线c x ax y ++=22
与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （c a ,）在第 象限． 10、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴的正半轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，
S
△ABC
=3，则b = ，c = .
11、已知二次函数2
2
)1(2m m x m x y ++-+-=，如果函数图象关于y 轴对称。
求：（1）函数关系式；（2）此函数图象的顶点和它与x 轴的两个交点所构成的三角形面积。
A ．
B ．
C ．
D ．
Ａ．
Ｂ．
Ｃ． Ｄ．。
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
人教版九年级上册数学二次函数课件
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
C． D．
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．
3、抛物线 （ ）的顶点坐标公式：（ ， ）；对称轴是直线： ；当 时，函数有最值： 。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于 的二次函数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【例2】已知二次函数 ，若自变量 分别取 ， ， ，且 ，则对应的函数值 的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
三、强化训练：
【夯实基ห้องสมุดไป่ตู้】
1、二次函数 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
【例2】已知函数 （ 为常数）。
（1） 为何值时，这个函数为二次函数？
（2） 为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1） （2） （3）
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是；
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
第一课时二次函数的图像和性质-九年级数学上册课件(人教版)
－14
.
5.把函数y＝－x2－4x－5配方得 y＝－(x＋2)2－1
.它的开口方
向 向下 ，顶点坐标是 (－2，－1)
，对称轴是 直线x＝－2
，当x
＝ －2 时，函数y的最 大 值为 －1 .
课堂练习
6.将下列二次函数的一般式用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并指 出其图象的开口方向、顶点坐标、对称轴. (1)y＝x2－2x＋1； (2)y＝2x2－4x＋6. 解：(1)y＝(x－1)2. 开口向上，顶点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝1. (2)y＝2(x－1)2＋4. 开口向上，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.
巩固练习
2.利用配方法将抛物线 y＝x2－8x＋1 化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并 写出其开口方向、顶点坐标和对称轴. 解：y＝(x－4)2－15. 开口向上，顶点坐标为(4，－15)，对称轴为直线x＝4.
新知探究
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否
利用这些知识来讨论 y
6
x
21
12（x 6）2 3
先利用对称性列表:
x
… 3 4 5 6 7 8 9…
y 1 (x 6)2 +3 …
2
7.5
5
3.5
3
3.5 5 7.5 …
y
方法二：描点法
8
y
1 2
x2
6x
21
开口方向：向上
6
对称轴：直线x=6
4
顶点：(6,3)
2
-4 -2 O 2 4 6 8 x
新知探究
问题4 结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其性质. 2
人教版九年级上册22.《二次函数的图象和性质》ppt课件
新知讲解
②抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么位置关系?
-1.5 -1 y
6
y=2x2+1
5
y=2x2
4
y=2x2-1
3
2 1
-2 -1 0 1 2
x
-1
新知讲解
把抛物线y=2x2向__上___平移__1___个单位,就得到抛物线y=2x2+1,把抛 物线y=x2向__下___平移__1__个单位,就得到抛物线y=2x2-1.
A.直线x= 1
2
B.直线x=- 1
2
C.直线x=2
D.y轴
（D ）
新知讲解 2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
新知讲解
（左加右减，上加下减） （2）对称轴为________；
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、画图。
当a＜0时，开口向下．
当h＞0时，把抛物线y＝ax2向右平移h个单位，可以得到抛物线y＝a(x－h)2；
二次函数的图象 和性质
第3课时
人教版 九年级上册
导入新知
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质： 1.二次函数y=ax2的图象是什么？ 2.它具有怎样的图象特征和性质？ 3.你是怎么研究的？
y y=x2
0
x
导入新知
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。 2.二次函数y=ax2的图象特征和性质： 对称轴是y轴，顶点是原点； 如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小， 当x＞0时，y随x的增大而增大；
新知讲解
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质： 一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同． 把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k． 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT课件
第二十二章 二次函数
∴正方形的边长为
cm，
∴S与C之间的关系式为S =
；
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm.
（4）若S ≥ 4cm2，即 因此C ≥ 8cm.
≥4，解得C，≥或8c≤-8(舍去）.
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题2 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题1
已知 0时，y随ห้องสมุดไป่ตู้增大而增大2，则k=
是二次函数，且当x＞ .
分析
是二次函数，即二次项的系数不
为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即
说明二次项的系数大于0. 因此，
，解得k=2 .
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P33：例1+达标训练
问题1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表 表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
41
0
1
4
9…
知识探究
第二十二章 二次函数
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为 相反数，开口相反 ，大小相同，它们 关于x轴对称.
O
x
y=-ax2
知识探究
第二十二章 二次函数
知识点 3 二次函数y=ax2的性质
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
人教版九年级上册2二次函数的图象和性质课件
想一想：
那么二次函数y= 3(x+1)2与y= 3x2的 图象又有怎样的联系呢？可以通过 平移而得到吗？
12 y
11
10
y=3x2
9
8
7
6
5
y=3(x+1)2
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
一般地，平移二次函数y= ax2的图象便可以得到 二次函数y= a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数 y= a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、 对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关。填写下表：
y= a(x-h)2+k
a >0 a <0
开口方 向
向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
-2 -1 0 1
12 3 0 3 27 12 3 0
234
12 27 48 3 12 27
12 y 11 10 y=3x2
9 8 7 6 5
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2
y=3(x-1)2 34x
y=3x y= 2先向右平移1个单位长度 3(x-1)2
再向上平移2个单位长度 y= 3(x-1)2+2
练一练
指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标 。
（1） y=2(x-3)2- 0.5
（2） y=-0.2(x+1)2- 5
你从今天的学习中收获了什么？ 你会作二次函数的图象吗？
议一议
（1）二次函数y= -3(x-2)2+4的图象与二次函数y= -3x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称
人教版九年级数学上册二次函数课件(共15张)
1、y =6x2
2、
3、y=20x2+40x+20 上述问题中的函数解析式具有
哪些共同的特征?
化简后具有y=ax²+bx+c 的情势.
(a,b,c是常数, a≠0 )
二次函数概念
我们把形如y=ax²+bx+c
(其中a,b,C是常数，a≠0)的函 数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
(1)写出y关于x的 函数关系式. (2)当x=3时,矩形 的面积为多少?
x
2、已知二次函数 y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值 为 -5, 求这个二次函数 的解析式.
课堂小结
a≠0
y=ax²+bx+c
二次项 系数
一次项 系数
常数项
每个队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲
队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，
所以比赛的场次数
.即
.
上式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于 n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后 两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加 x倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所 定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?
这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 20(1+x)t，
再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) t，即两年 后的产量 y=20(1+x)2 ， 即 y=20x2+40x+20 .
上式表示两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y 是x的函数.