高二上学期期中考试数学试卷及答案(理科)
高二上学期期中考试数学试卷(理科)
一、选择题（共60分） 1．已知a ＞b ＞1，P=b a lg lg ⋅ ，Q=
)lg (lg 21b a +，R=)2
lg(b a +则P,Q,R 关系是（ ） A. P ＞Q ＞R B. Q ＞R ＞P C.P ＞R ＞Q D.R ＞Q ＞P 1. 命题“若A ∩B=A ，则A ⊆B 的逆否命题是（ ）
A ．若A ∪
B ≠A ，则A ⊇B B ．若A ∩B ≠A ，则A ⊆B
C ．若A ⊆B ，则A ∩B ≠A
D ．若A ⊇B ，则A ∩B ≠A
3．对于实数x,y ，条件p:x+y ≠8,条件q:x ≠2或y ≠6，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．都不对 4．下列命题中正确的个数是( )
①∃x ∈R,x ≤0； ②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数； ③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2
是无理数 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5．已知命题p:3≥3,q:3>4，则下列判断正确的是( )
A ．p ∨q 为真，p ∧q 为真，⌝p 为假
B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为真
C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，⌝p 为假
D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假 6．△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( ) A ．19252
2=+y x (y ≠0) B. 19
2522=+x y (y ≠0)
C. 191622=+y x (y ≠0)
D. 19
1622=+x y (y ≠0)
7．方程mx 2-my 2
=n 中，若mn<0,则方程的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线
8．若θ是任意实数，则方程x 2
+4y 2
sin θ=1所表示的曲线一定不是( )
A ．圆
B ．双曲线
C ．直线
D ．抛物线
9．过抛物线y 2
=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，如果x 1+x 2=6，那么|AB|=( ) A ．8 B ．10 C ．6 D ．4
10．设F 1、F 2是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△PF 1F 2的面
积是( ) A ．1 B ．
2
5
C ．2
D ．5 11．若不等式 x 2
+px+q ＜0的解集为（-
3
1
,21）则不等式qx 2+px+1＞0的解集为（ ） A ．（-3,2） B ．（-2,3） C ．（-2
1
,31） D ．R 12．设M=（
)11
)(11)(11---a
c b ，且a+b+c=1(a,b,c 均为正)，则M 的范围是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡81,0 B ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,81 C ． [)8,1 D ．[)+∞,8 二、填空题(共20分)
13. 不等式3x 2
-3x+20≤的解集是_____________
14．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________。
15．短轴长为25，离心率e=
3
2
的椭圆的两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2周长为_____________。
16. 已知f （x ）=ax 2
+bx ，若-2≤f （1）≤2，-1≤f （-1）≤1，则f （2）的范围是________.
三、解答题： 17．(12分)
已知椭圆的两焦点是F 1(0，-1)，F 2(0,1)，离心率e=2
1 (1)求椭圆方程；
(2)若P 在椭圆上，且|PF 1|-|PF 2|=1，求cos ∠F 1PF 2。
18．(11分)
不等式3
34322+-+-x x kx kx ＞1的解集为R,求k 的取值范围.
19．(11分)
过抛物线y 2
=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于A 、B ，求AB 中点M 的轨迹方程.
20．(12分)
已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e=2
3
,它与直线x+y+1=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ ，求椭圆方程。
(O 为原点)。
21. (12分)
解关于x 的不等式ax 2
-2（a+1）x+4＞0
22．(12分)
某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造一个平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件是：建1米新墙费用为a 元，修1米旧墙费用为
4
a
元，拆1米旧墙用所得材料再建1米新墙所得费用为
2
a
元，现有两种方案：（1）利用旧墙的一段x 米（x ＜14）为厂房的一边长（剩下的旧墙拆掉建成新墙），（2）矩形厂房的一边长为x （x 14 ）(所有旧墙都不拆)，问如何利用旧墙才能使得建墙费用最省？
高二期中数学(理科)试卷参考答案
一、选择题：
二、填空题： 13．φ 14.
2
1
15. 12 16. [－7,7] 三、解答题： 17．(1)13
42
2=+x y
(2)⎩⎨⎧=+=-4||||1||||2121PF PF PF PF ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
=
=∴2
3||25
||21PF PF 5
3159cos 21==∠PF F 18．∵ x 2-3x+3恒正
∴原不等式等价于kx 2-3kx+4>x 2-3x+3 即(k-1)x 2+(3-3k)x+1>0的解集为R 若k-1=0,即k=1，则显然符合条件 若k≠1,则⎩⎨
⎧<---=∆>-0
)1(4)1(90
12
k k k
即：9131<
<k 综上：9
131<
≤k 19．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x,y)又F(1，0)
则y 12=4x 1,y 22=4x 2
(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2) (y 1+y 2)·k=4 又y 1+y 2=2y ，k=1
-x y ∴41
22=-x y 即M 点轨迹方程为y 2=2(x-1)
20．设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，由23=e 得a=2b
即椭圆方程为x +4y =4b
设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则由OP ⊥OQ 得x 1x 2+y 1y 2=0 由⎩⎨
⎧=+--=222441
b
y x x y 得5x 2+8x+4-4b 2=0
由82-4×5(4-4b 2)>0得b 2>5
1
……………………① x 1x 2=5
442b -
y 1y 2=(-x 1-1)(-x 2-1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=5411585442
2b b -=
+-- ∴05
415442
2=-+-b b 852=b
∴椭圆方程为18
5252
2=+y x 21．(x-2)(ax-2)>0
0<a<1时，解集为｛x|x>
a
2
或x<2｝ a>1时， 解集为｛x|x>2或x<a
2｝ a=1时， 解集为｛x|x≠2｝ a<0时， 解集为｛x|
a
2
<x<2｝ a=0时， 解集为｛x|x<2｝ 22．设建墙费用为y 元
方案1：)14()14252
2(2)14(4<⋅-++⋅-+⋅=x a x x a x a x y
=a a x
x 35)7252
47(≥-+
当且仅当
x
x 252
47=
即x=12时取“＝” ∴当x=12时，y min =35a
方案2：y=14×4a +(2x+x 252-14)a=(2x+x
252-221
)a(x≥14)
设14≤x 1<x 2，则y 1-y 2=2a(x 1-x 2)2
121126
x x x x -<0,即函数为增函数
∴x=14时，y min =35.5a
∴利用旧墙12米，所得费用最省。
高二上学期理科数学期中试题及答案
第一学期期中考试数学试卷年级： 高二 学科： 理科数学（满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分）1．若0<<b a ，则下列不等式①a b ab +<, ②33b a >,③011<<ab , ④b a < 中，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 2. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 3．已知p ：|x |<3；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点(,)A x y 在第一象限且在直线22=+y x 上移动，则y x 22log log +（ ） A.最大值为1 B.最小值为1 C.最大值为2 D.没有最大、小值 5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若1595,,a a a 成等比数列,那么公比为 ( )A ．B．C．． D.6．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋12-n ，…的前n 项和为（ ）A.2n－n －1B.2n +1－n －2C.2nD.2n +1－n8、如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x x ≤M 恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②()2f x x =；③()21xf x x x =++．其中属于有界泛函的是（ ）A ．①③B ．②C ．③D ．①② 二、填空题（共30分，每小题5分）9.写出命题P ：01),0,(2≤++-∞∈∃x x x 的否定_______________________:P ⌝； 10．不等式034≤+-x x 的解集为 ； 11. 已知等比数列{a n }的前n 项和121+⋅=-n n t s ，则实数 t 的值为 ________.12．已知两个正实数y x ,满足1=+y x ,则使不等式x1+y4≥m 恒成立的实数m的取值范围是__________.13．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若am 2＜bm 2, 则a ＜b ; ③若三个实数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则 a b c == ；④若不等式220axbx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a b -=-10.其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)14.在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈. 则1a ＝ ，经猜想可得到n a ＝ ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为2n S n = ，数列{}n b 为等比数列，且81,22111==b b b a ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．16．(本小题满分12分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1=0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．17．(本小题满分14分）已知函数22(),[1,)x x af x x x ++=∈+∞ (Ⅰ)当12a =时,求函数()f x 的最小值; (Ⅱ)若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的首项11=a ，*∈∀N n ，nnn a a a +=+221．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n S ； (3)求证：*∈∀N n ，3 (2)232221<++++n a a a a ．19. (本小题满分12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.如何合理安排生产计划 ,使公司可获得最大利润？最大利润为多少？20．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，已知123,5a a ==，其前n 项和nS 满足).3(22112≥+=+---n s s s n n n n .(1) 求43,a a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式n a ；(3)令11+=n n n a a b ,试求一个函数()f x ,使得对于任意正整数n 有61)(...)2()1(21<+++=n f b f b f b T n n ，且对于任意的1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，m T n > .参考答案年级：高二 学科： 理科数学（满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分） 1---8: BCBAD, BBC8. ①对于()1f x =，当0x =时，有()100f x M =>⨯=，()1f x =不属有界泛函;对于②()2f x x =，当0x ≠时，有()f x x x=无最大值，()2f x x =不属于有界泛函；对于③()21xf x x x =++，当0x ≠时，有()22114131324f x xx x x ==≤++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()21x f x x x =++ 二、填空题（共30分，每小题5分）9. 01),0,(2>++-∞∈∀x x x 10. (]4,3- 11. -2 12. (]9,∞- 13. ①②④ 14.6, 6n三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （12分） 解：（1）;n n n b n a 21,12=-= ……6分 (2) ;62)32(1+-=+n n x n T ……12分 16. （12分）解：命题p ： 1≤a ， 命题q ：130-≤≥≥∆a a 或即： ……………6分因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以P 、Q 一真一假……………8分即：① ⎩⎨⎧<<-≤311a a 或 ②⎩⎨⎧≥-≤>311a a a 或 ………………………10分解得; 311≥≤<-a a 或……………12分 17. （15分）⑴由nn n a a a +=+221，得21111+=+n n a a ，21111=-+n n a a ………………2分 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=n a ，公差21=d 的等差数列………………3分 212111+=-+=n n a n ……4分，所以*∈∀N n ，12+=n a n ………………5分 (2) 12+=n n S n ………………9分(3) )1(4)1(422+<+=n n n a n 244+-=n n ……11分 2>n 时，由以上不等式得)144()4434()3424(112212+-++-+-+<+=∑∑==n n a a ni ini i Λ……13分 14241+-+=n 3<……14分因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=n i i a 12是递增数列，所以*∈∀N n ，312<∑=ni n a ……15分．18. （14分） 解(Ⅰ) 12a =时,2221121()2'()10222x f x x f x x x x -=++⇒=-=>(因为1x ≥) 所以,()f x 在[1,)+∞上单调递增,故1x =时,()f x 取得最小值72.………………6分(Ⅱ) 因为对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,即220x x a ++>恒成立,只需22a x x >--恒成立，只需2max (2)a x x >--,因为21(2)3x x x ≥⇒--≤-,所以,实数a 的取值范围是(3,)-+∞.………………14分19．（12分）[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y ………………2分且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X ………………6分 画可行域如图所示, ………………8分 目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400zx 43+-这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z ………………12分20. （15分）解：（1）17,943==a a .………………4分（2）由题设知21122(3)n n n n n S S S S n -----=-+≥，即112(3)n n n a a n ---=≥.由累加法可得：21n n a =+.………………8分 （3）11111111()(21)(21)22121n n n nn n n n b a a +++===-++++. ..................10分 则2223111111()(1)()(2)2212122121n T f f =-⋅+-+++++ (1111)()()22121n n n f n ++-++. 令1()2n f n -=， 则22311111[()()221212121n T =-+-+++++ (11)111111()]()2216212121n n n +++-=-<++++. …12分 若n T m >，则有1111(),22121n m +->++ 化简得：1321,16n m +>--即解不等式23log (1)116n m>---. 当23log (1)1116m --<-，即1015m <<时，取01n =即可. 当23log (1)1116m --≥-，即11156m ≤<时，则记3(1)116m---的整数部分为s ，取01n s =+即可. ………………14分综上可知，对任意1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，n T m >，即1()2x f x -=为所求函数. (15)分。
高二上学期期中考试数学(理)试卷-有答案-通用版
高二年级期中考试数学试题(理科)考生注意：1.本试卷满分160分，考试时间120分钟；2.试题的答案一律写在答题纸上.一、填空题(每题5分，计70分)1.若x>0,y>0,x+y=2,则xy 的最大值为 ▲ ；2.椭圆14522=+y x 的离心率为 ▲ ；3.若[]2,2x ∈-，则1x ≤的概率为 ▲ ；4.若执行右图伪代码时没有．．执行y ←x 2＋1，则输入的x 的取值范围是_____▲___；5.某城市大学20所，中学200所，小学480所．现从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为 ▲ ；6.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的41，且样本容量为160，则中间一组的频数为 ▲ ；7.已知焦点在y 轴上的椭圆方程为19822=++y a x ，则a 的范围是 ▲ ；8.已知一组数据的平均值和方差分别是1.2和 4，若每一个数据都加上32得到一组新数据，则这组新数据的平均值与标准差的和为 ▲ ； 9.从1,2,3,…,9中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和是偶数的概率是 ▲ ；10.执行右面的流程图，若p ＝4，则输出的S 等于 ▲ ； 11.如果关于x 的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和 (ab 1,1),那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果关于x 的两个不等式2(210)20x m x +++<与2210x mx ++<为“对偶不等式”，则实数m= ▲ ；12. 已知点P 是椭圆22194x y +=上任一点，且点P 在第一象限内，若以P 点的纵横坐标的倒数分别作为一个直角三角形的两直角边长，则该直角三角形斜边长的最小值为 ▲ ；13已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.若椭圆上存在点P ，使122PF aPF c=；则该椭圆离心率的范围是 ▲ ； 14．设正实数x,y,z 满足x+3y+z=1,则1248x yx y y z++++的最小值为 ▲ . 二、解答题(15、16、17每题14分，18、19、20题每题16分，计90分) 15.（本题满分14分）已知不等式2(1)0x a x a -++<； （1）若该不等式的解集为（1,2），求a 的值； （2）若a R ∈，解该不等式.16.（本题满分14分）设实数x,y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩（注：图中的正方形网格的边长为1个单位长度）.（1）在给出的直角坐标系中画出平面区域； （2）求x+3y 的最大值；（3）求yx的范围.17．（本题满分14分）为了让学生了解2022年“北京-张家口”冬季奥运会知识，某中学举行了一次冬季奥运知识竞赛，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部缺损的频率分布表及局部缺损的频率分布直方图，解答下列问题：（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；（2）依据题意求出频率分布表中的D值及频率分布直方图中的F值；（3）若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？18.（本题满分16分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。
高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案
数学试卷（理科）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则p 的否定形式为( )A ．∃x 0∈R ，x 0<sin x 0B ．∀x ∈R ，x ≤sin xC ．∀x ∈R ，x <sin xD ．∃x 0∈R ，x 0≤sin x 0 2.不等式2654x x +<的解集为（ ） A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭3.离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） A ．22195x y += B ．22195x y +=或22159x y += C ．2213620x y += D ．2213620x y +=或2212036x y += 4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－45．在等比数列{}n a 中，若34567243a a a a a =，则279a a 的值为（ ）A.9B.6C.3D.26.已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．221169x y +=B ．2211612x y +=C ．22143x y += D ．22134x y += 7.已知数列}{n a 中，5,321==a a 且对于大于2的正整数，总有21---=n n n a a a ，则2009a 等于（ ）．A ．-5B ．-2C ．2D ．3． 8．下表给出一个“直角三角形数阵”： 14 12， 14 34， 38，316 ……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则83a 等于( ) A.18 B.14 C.12D ．19.设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为（ ） A ． 8 B ．14C ． 1D ． 4 {}(),1.1089等于值时，取得最小正有最大值，那么当项和且它的前是等差数列，若数列n S S n a aa n n n -< A ．14B ．15C ．16D ．1711.已知命题p ：实数m 满足01≤-m ，命题q ：函数xm y )49(-=是增函数。
山西省运城市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含解析)
山西省运城市2024-2025学年高二上学期11月期中测评数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则A.1 B.2D.32.抛物线的焦点到准线的距离为A.B.3C.D.13.记水的质量为，则当A.C.1D.24.已知，则A.-5B.-3C. D.25.若双曲线的离心率为2，则双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为A.C.D.6.已知抛物线，过点的直线与相交于A ，B 两点，且为弦AB 的中点，则直线的方程为A. B. C. D.7.如图，已知多面体ABCDMN 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面z2i 1i=-||z =216y x =92231ln S n-6,e S n ==12πcos 2cos(π)2a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭22sin sin 21cos a a a +-=23-2221(0)x y m m-=≠Q 12,F F 3432532:2C y x =21,32M ⎛⎫⎪⎝⎭l C M l 6670x y +-=6610x y --=2650x y --=12650x y --=2,1,MA NC MA ==⊥平面，若异面直线AT 与MD，则的值为A.B.C.D.8.已知.直线为上的一动点，A ，B 为上任意不重合的两点，则的最小值为A.B.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆与圆内切，则的值可以为A.-1B.0C.1D.210.如图，在正三棱柱中，为空间内一动点，若，则A.若，则点的轨迹为线段BC 1B.若，则点的轨迹为线段C.存在，使得平面D.存在，使得平面11.已知椭圆且为常数）的左、右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆的左焦,ABCD NC ⊥,(01)ABCD BT BC λλ=<< λ1413122322:4440M x y x y +--+= :240,l x y P ++=l M cos APB ∠2535221:()1C x m y -+=222:(2)()9C x y m -+-=m 111ABC A B C -P BP BC λ=+ 1(,[0,1])BB μλμ∈λμ=P 1μλ=-P 1B C ,(0,1)λμ∈AP ⊥11BCC B ,(0,1)λμ∈//AP 111A B C (222:11x C y a a+=>a 1F 2F l点与椭圆交于A ，B两点，且的最大值为7；O 为坐标原点，则下列说法正确的是A. B.椭圆的离心率C. D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，内角A ，B ，C 所对的边分別为a ，b ，c ，若，则的面积为______.13.如图，在正四面体PAB C 中，为AB 中点，则的值是______.14.已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线16x 的焦点为，若直线分别与交于P ，Q 两点，且，则______.（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆的圆心，直线与圆相切．（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线与圆有且只有一个公共点，求直线的方程.16.（本小题满分15分）如图，在正三棱柱中，，点为AC 的中点.1F 22AF BF +3a =C e =||[1,4]AB ∈OA OB ⊥22134||||27OA OB +=ABC π,23A a b ===ABC 2,AB D =PD AC ⋅21:4C y x =1F 1C 22:C y =2F (0)y m m =≠12,C C 123PF QF -=m =3y x =-+23y x =-C 43y x =C C (1,3)Q l C l 111ABC A B C -12,4AB AA ==D（1）求证：平面；（2）求直线AB 与平面所成的角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知椭圆，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆上的任意一点到直线的距离的最值.18.（木小题满分17分）如图，已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，是棱上的动点（包括端点）．（1）证明，平面平而；（2）若平面与平而PCD到平面的距离.19.（本小题满分17分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2.（1）求双曲线的方程；（2）直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，点与点关于轴对称.（i ）求的取值范围；（ii ）求证：直线BD 过定点.1//B C 1A BD 1A BD 2222:1(0)x y C a b a b +=>>T ⎛- ⎝C C :3l y x =-1111ABCD A B C D -1A A =P 11B C 11A B C ⊥11ABB A 11A B C P 11ABB A 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>π6C :1l x my +=C D A x m数学参考答案、提示及评分细则题号12345678答案C B D ABDCD题号91011答案BDABBC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C 【解析】依题意，，则C.2.【答案】B 【解析】由抛物线的标准方程为，有，有，可得抛物线的焦点到准线的距离为3.故选B.3.【答案】D 【解析】当.故选D.4.【答案】A 【解析】由，得，则，所以，故选A.5.【答案】B 【解析】由双曲线的离心率为2，可得，解得，所以到两焦点的距离之差的绝对值为.故选B.6.【答案】D 【解析】设，因为直线与相交于A ，B两点，所以由题意得，直线的方程为，整理为，故选D.7.【答案】C 【解析】以为原点，分别以AB ，AD ，AM 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，(2i 1)i 2i z =-=--||z ==26x y =26p =3p =6,e S n ==5261525ln e2-==πcos 2cos(π)2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭sin 2cos αα=-tan 2α=-22sin sin 21cos ααα+-=222sin cos cos 2tan 15cos ααααα-=-=-2221(0)x y m m-=≠e 2==213m =m =Q 12,F F 2||m =()()1122,,,A x y B x y l C 2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩1212y y k x x -==-1222121222212222y y y y y y -===+⨯-l 12223y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭12650x y --=A所以，有，可得，又由，可得．故选C.8.【答案】D 【解析】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2，所以圆心到直线，所以直线与相离，所以当PA ，PB 分别为圆的切线，且最小时，最大，又，则最大，所以最大，此时最小，此时．故选D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.【答案】BD（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为圆与圆内切，所以，即，解得或2.故选BD.10.【答案】AB （全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】对于A ：由，得点在侧面内（含边界），若，则，故点的轨迹为线段，故A 正确；(0,0,2),(2,2,1),(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0)M N D B C (0,2,2),(0,2,0)(0,2,0)MD BT λλ=-== (2,0,0)AT AB BT =+=+(0,2,0)(2,2,0)λλ=4,||AT MD MD AT λ⋅=== =12λ=M 22(2)(2)4x y -+-=(2,2)M M l 2=>l M MP ||2sin ||||AM APM PM PM ∠==π04APM <∠<APM ∠2APB APM ∠=∠cos APB ∠223cos cos 212sin 125APB APM APM ∠=∠=-∠=-⨯=221:()1C x m y -+=1(,0)C m 11r =222:(2)()9C x y m -+-=2(2,)C m 23r =1C 2C 1212C C r r =-31=-0m =1,,[0,1]BP BC BB λμλμ=+∈P 11BCC B λμ=BP = ()11([0,1])BC BB BC λλλ+=∈P 1BC对于B ：若，则，所以，即，又，1]，故点的轨迹为线段，故B 正确；对于C ：取棱BC 的中点，连接AD ，由题意易证平面，当点与重合时，平面，此时，故不存在，使得平面，故C 错误；对于D ：若使平面，则点必在棱BC 上，此时，故不存在，使得平面，故D 错误.故选AB.11.【答案】BC （全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】如图所示：易知，由椭圆定义可知，因为的最大值为7，所以的最小值为，当轴，即为通径时，最小，所以，有，解得，所以A 错误；可得粗圆方程为，易知，所以离心率，所以B 正确；当为长轴时，最大，此时，所以，所以C 正确；因为，可设直线的方程为，联立，整理可得，1μλ=-1(1)BP BC BB λλ=+-()11BP BB BC BB λ-=- 11B P BC λ=[0λ∈P 1B C D AD ⊥11BCC B P D AP ⊥11BCC B 1,02λμ==,(0,1)λμ∈AP ⊥11BCC B //AP 111A B C P 0μ=,(0,1)λμ∈//AP 111A B C 1b =22||4AB AF BF a ++=22AF BF +AB 47a -AB x ⊥AB AB min 2||AB a =247a a-=2a =22:14x C y +=c ==c e a ==AB AB ||24AB a ==||[1,4]AB ∈1(F l ()()1122,,,x my A x y B x y =-2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22410m y +--=因此；若，可得，即，所以；有，整理得，解得．有.所以D 错误.故选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【解析】由余弦定理可得，即，解得或-1（舍去），所以13.【答案】－1【解析】.14.【答案】【解析】由抛物线，可得，抛物线的准线方程为.设，1212214y y y y m +==-+OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=()()21212130m y y y y +-++=2214m m +--+226304m m+=+24110m -=m =22222222112211||||44OA OB x y x y y y +=+++=-++()()()222222221212122221224483832838344my y y y y y y y m m ⎡⎤⎢⎥⎡⎤-+=-+=-+-=-+=-⨯⎣⎦⎢⎥++⎣⎦23324001181114444⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦2222cos a b c bc A =+-2742c c =+-3c =ABC S = 11sin 2322bc A =⨯⨯=()2111()()(222PD AC PA PB PC PA PA PC PA PB PC PA PB PA PC⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅=⋅114)222122-=⨯⨯⨯-=-1x =-±21:4C y x =1(1,0)F 1C 1x =-()()1122,,,P x y Q x y则，故，所以，所以，解得四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.【答案】（1）（2）或【解析】（1）联立方程，解得………………………………………………………2分可得圆的圆心的坐标为，……………………………………………………………………………3分又由圆与直线相切，可得圆，……………………………………5分可得圆的标准方程为；…………………………………………………………6分（2）由直线与圆有且只有一个公共点，可得直线与圆相切，…………………………………7分①若斜率不存在，此时直线方程为：，与圆相切，……………………………………………8分②当直线与圆相切斜率存在时，设，即，……………………10分，得，所以此时直线的方程为，………………………………………………………………12分综上，直线的方程为或．…………………………………………………………13分16.【答案】（1）详见解析（211221,4PF x QF x =+=+121233PF QF x x -=--=126x x -=226416m m -=m =±22(2)(1)1x y -+-=1x =34150x y +-=323y x y x =-+⎧⎨=-⎩2,1,x y =⎧⎨=⎩C (2,1)C 43y x =C 1C 22(2)(1)1x y -+-=l C l C l 1x =C l :(1)3l y k x =-+30kx y k -+-=1=34k =-l 34150x y +-=l 1x =34150x y +-=【解析】（1）连接与交于点，连接DE ，………………………………………………………2分在正三棱柱中，四边形是矩形，所以点是的中点，……………………3分又点是AC 的中点，所以，……………………………………………………………………4分又平面平面，……………………………………………………………………5分所以平面；………………………………………………………………………………………6分（2）解法一：取的中点，连接DF ，因为为等边三角形，点为AC 的中点，所以，………………………………………7分如图，以点为原点，分别以DB ，DC ，DF 所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．则，………………………………………………………………………………9分设平面的一个法向量为，则令，得，………………………………………………………………………………12分由，有，所以直线AB 与平面所成角的正弦值为分1AB 1A B E 111ABC A B C -11ABB A E 1AB D 1//DE B C DE ⊂11,A BD B C ⊂/1A BD 1//B C 1A BD 11A C F ABC D BD AC ⊥D x y z 11(0,0,0),(0,1,4),(0,1,0),(0,1,0),4),D B A A C B DB --= 1(0,1,4)DA =-1A BD (,,)n x y z =10,40,n DB n DA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1z =(0,4,1)n =0)AB =4,||2,||n AB AB n ⋅===1A BD ||||||n AB n AB ⋅==⋅解法二：由，…………………………8分又由，……10分设点到平面的距离为，有，………………………………12分又由，有，故直线AB与平面所成角的正弦值为.……………………………………15分17.【答案】（1）（2【解析】（1，………………………………1分可得，设椭圆的方程为：，……………………………………………………3分又因为椭圆经过点，所以，解得，可得，………………………………………………………………………………5分所以椭圆的方程为：；………………………………………………………………………6分（2）解法一：设与直线平行的直线的方程为，…………………………………7分联立，整理可得：，……………………………………………9分，可得，则………………………………………11分所以直线到直线的距离为.112ABD S =⨯=1143A ABD V -==1BD A D ====112A BD S == A 1A BD d 113A A BD V d -==11A A BD A ABD V V --==d =1A BD d AB ==22132x y +=c e a ===2232a b =2222213x y b b +=T ⎛- ⎝2224133b b +=22b =23a =22132x y +=3y x =-y x m =-+22132y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩2256360x mx m -+-=()223645360m m ∆=-⨯⨯-=25m =m =y x =-3y x =-1d ==所以直线到直线的距离为.所以椭圆上的点到直线.……15分解法二：设点为椭圆上任意一点，…………………………………………8分点到直线的距离为（其中为锐角且），……………………………………………………………………………………………12分可得当时，…………………………………………13分当时，.……………………………………………………14分所以椭圆上的点到直线.……15分18.【答案】（1）详见解析（2【解析】（1）以下底面正方形的中心为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由于面分别是边长为2和4………………………………………2分则，于是， (4)分y x =-3y x =-2d ==C :3l y x =-)P θθC P l d ==ϕtan ϕ=sin()1θϕ+=-max d ==sin()1θϕ+=min d ==C :3l y x =-O 1A A =11(1,(2,2,0),(2,2,0),(2,2,0)A B A B C ---11A B 1(0,2,0),(1,BB ==-- 1(3,3,A C =-设平面的法向量为，则，取，可得，…………………………………………………………………………6分设平面的法向量为，则，取，可得，………………………………………………………………………………………………8分由于，则平面的法向量与平面法向量垂直，则平面平面；…9分（2）设，且，则…………………………………………10分设平面PCD 的法向量为，则，取，......................................................................................................12分设平面与平面PCD 的夹角为，则，化简即（，解出， (15)分因此，则点到平面的距离为………………………………………………………17分19.【答案】（1）（2）（i ）（ii ）详见解析【解析】（1）由已知得解得，………………………………………………2分所以双曲线的方程为；……………………………………………………………………3分（2）（i ）设，则，11A B C ()000,,n x y z = 100011033020n A C x y n A B y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 01x =(1,0,n =11ABB A ()111,,m x y z = 1111111020m BB x y m A B y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩ 11x =m = ⎛ ⎝0n m ⋅= 11A B C 11ABB A 11A B C ⊥11ABB A ([1,1]P a a ∈-(2,2,0),(2,2,0)D C ---(0,4,0),(2,DC CP a ==+- ()222,,p x y z = 222240(2)0p DC y p CP a x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-+=⎪⎩ 2z =p = 32a ⎛- +⎝11A B C θ3cos 2||||n p n p θ⋅===⋅ a +223)(2)3a =++1a =-1(2,0,0),B P m ⎛=-= ⎝ P 11ABB A 11cos ,d B P B P m =⋅= 2213x y -=(⋃πtan ,622,b a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩1a b ==C 2213x y -=()()1122,,,A x y B x y ()11,D x y -联立消去得，……………………………………………………………………5分则，可得．所以的取值范围为；………………………………………………………8分（ii ）由（i ）得，…………………………………………………9分由对称性可知BD 过的定点在轴上，设定点的坐标为，……………………………………11分由，所以，可得，所以直线BD 过定点.…………………………………………………………………………17分221,33,x my x y +=⎧⎨-=⎩x ()223220m y my ---=()()2222122230,4831220,03m m m m y y m -≠∆=+-=->=->-223m <<m (⋃12122222,33m y y y y m m +==---x (,0)T t ()()2211,,,TB x t y TD x t y =-=-- ()()()()()()122112211212211212112x t y x t y x y x y t y y my y my y t y y my y -+-=+-+=-+--+=-()12222222(3)(1)2(1)0333m m t t y y m t m m m +⎛⎫++=⋅--+⋅=-= ⎪---⎝⎭3t =-(3,0)-。
高二上学期数学(理)期中试题及答案
高二年级上学期期中试题数 学（理）（共100分, 考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、 选择题（每小题3分，共36分. 每小题只有一项是符合题目要求）1．抛物线y 2＝4x ，经过点P (3，m )，则点P 到抛物线焦点的距离等于 ( )A.94 B ．4 C.134 D ．32．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 ( )A ．－14B ．－4C ．4 D.143．命题：“若a 2＋b 2＝0(a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是 ( )A ．若a ≠b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0B ．若a ＝b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠04.“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件B ． 充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线 x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是 ( )A ．5B ．4 C.1155 D.1156．设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为 ( )A3 B ．3或253 C.15 D.15或51538．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15 C. 75 D. 359. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，求该双曲线的离心率是 ( )A. 5B.62 C ．233D. 210．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为 ( )A ．5 6 B.2534C ．20D ．1011．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．312．已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为( )A ．(2B ．2C ．(0,1)D ．1(0,)2昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题数 学（理）二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是 ；14．设实数,x y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是 ；15．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →= ;16．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，则我们知道1|AF |＋1|BF |为定值，请写出关于椭圆的类似的结论：_____________________________________ ___________；当椭圆方程为x 24＋y 23＝1时，1|AF |＋1|BF |＝___________.三、解答题：（本大题共5小题，共52分）17．(本小题满分10分)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分10分）（1）求与椭圆2212516x y +=共焦点的抛物线的标准方程.(2)已知两圆()221:42C x y ++=，()222:42C x y -+=，动圆M 与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 19．（本小题满分10分）如图，已知点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，60PDA ∠=︒. （1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小. 20．（本小题满分10分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，AB=2，BC =且侧面PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD.（1）求证：PD AC ⊥；（2）在棱PA 上是否存在一点E ，使得二面角E —BD —A 的大小为45︒，若存在，试求AE AP的值，若不存在，请说明理由.1A21．（本小题满分12分）已知圆C 的方程为224x y +=，过点M （2，4）作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的右顶点和上顶点.（1）求椭圆T 的方程；（2）已知直线l 与椭圆T 相交于P ，Q 两不同点，直线l 方程为0)y kx k =>，O 为坐标原点，求OPQ ∆面积的最大值.昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题数 学（理）答案一、选择题：BADBC ABCCD DA 二、填空题：13. 存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0 14.3215. －1316. 过椭圆的焦点F 的动直线交椭圆于A 、B 两点，则1|AF |＋1|BF |为定值 43三、解答题：17.解析：解|4x －3|≤1得12≤x ≤1.解q 得a ≤x ≤a ＋1.由题设条件得q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，q p .∴[12，1][a ，a ＋1]． ∴a ≤12且a ＋1≥1，得0≤a ≤12.18.（1）212y x =或212y x =-（2）221214x y -=19. 解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，，由cos DA DH DA DH DA DH =<>， 可得2m =2⎛ （Ⅰ）因为cos DH CC '<>=，所以45DH CC '<>=，（Ⅱ）平面AA D D ''w w因为01101cos 2DH DC ++⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，．可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．20．解析： 取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ，所以PH ⊥平面ABC D ．以H 为原点，建立空间直角坐标系H－xyz （如图）．则(1,0,0),(1,0,0),(1(1A B D CP -- （I ）证明：∵(1,2,3),(2,PD AC =-=-,∴(1(0PD AC ⋅=⋅-=， ∴PD AC⊥，即PD⊥AC ． ………．．6分（II ） 假设在棱PA 上存在一点E ，不妨设AE =λAP (01)λ<<，则点E 的坐标为(1)λ-， ………．．8分 ∴(2,0,3),(2,2,0)BE BD λλ=-= 设(,,)n x y z =是平面EBD 的法向量，则n BE n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00n BE n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩(2)00200x yz x y z λ⎧-+⋅+=⎪⇒⎨++⋅=⎪⎩z x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩， 不妨取x =EBD 的一个法向量2(3,)n λλ-=--．又面ABD 的法向量可以是HP =（0,0, ， 要使二面角E-BD-A 的大小等于45°，则0(cos 45|cos ,|(3,HP nHP n HP n ⋅=<>==⋅可解得12λ=，即AE =12AP 故在棱PA 上存在点E ，当12AE AP =时，使得二面角E-BD-A 的大小等于45°．21．解析：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =，设另一条切线方程为：4(2)y k x -=-2=，解得：34k =，此时切线方程为：3542y x =+ 切线方程与圆方程联立得：68,55x y =-=，则直线AB 的方程为22=+y x 令0=x ，解得1=y ，∴1=b ；令0y =,得2x =,∴2=a故所求椭圆方程为1422=+y x （Ⅱ）联立221.4y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()08384122=+++kx x k ，令),(11y x P ，),(22y x Q ，则2214138k kx x +-=+，221418k x x +=， 0)41(32)38(22>+-=∆k k ，即：0122>-k原点到直线l的距离为=d12|||PQ x x =-，∴121||2OPQS PQ d x x ∆=⋅=-==1=≤当且仅当k=时取等号，则OPQ∆面积的最大值为1．。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
江苏省连云港市灌云县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
灌云县第一中学高二年级上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知数列2， 6，2 2， 10，⋯， 2n +2，⋯，则 46是这个数列的( )A. 第20项B. 第21项C. 第22项D. 第19项2.已知经过点A (1,2)，B (m ,4)的直线l 的斜率为2，则m 的值为A. ―1B. 0C. 1D. 23.等比数列{a n }中，a 2=4，a 3⋅a 4=128，则a 5的值为( )A. 8B. 16C. 32D. 644.若双曲线经过点(― 3,6)，且它的两条渐近线方程是y =±3x ，则此双曲线的离心率是( )A. 103 B. 113 C. 2 33 D. 1435.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯，设各层球数构成一个数列{a n }，则a 21=( )A. 58B. 225C. 210D. 2316.已知圆C 的圆心在直线x ―y ―5=0上，并且圆C 经过圆x 2+y 2+6x ―4=0与圆x 2+y 2+ 6y ―28=0 的交点，则圆C 的圆心是( )A. (92,―12)B. (12,―92)C. (1,―4)D. (4,―1)7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a 2=2，a n +1+a n =3n ，则( )A. S 19=300B. n 为奇数时，S n =3n 2+14C. S 31=720D. a 4=68.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ，∠ABF =π12，则椭圆的离心率为( )A. 63 B. 12 C. 33 D.22二、多选题：本题共3小题，共18分。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
上学期段考 高二年级数学理科试题第I 卷一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ） A.(),0x ∃∈-∞，30x x +<B.(),0x ∀∈-∞，30x x +≥C.[)00,∃∈+∞x ，2000+<x xD.[)00,∃∈+∞x ，2000x x +≥2．下面属于相关关系的是（ ）A.气温和冷饮销量之间的关系B.速度一定时，位移和时间的关系C.亩产量为常数时，土地面积与产量之间的关系D.正方体的体积和棱长的关系 3．高三学生甲和乙近五次月考数学成绩（单位:分）的茎叶图如右图，则下列说法错误的是（ ）A ．甲的得分的中位数为101B ．乙的得分的众数为105C ．乙得分的极差为21D ．甲的数学成绩更稳定 4．阅读算法流程图，运行相应的程序，则输出的k 是（ ） A.5 B.6C.7D.85. 命题p ：0x R ∃∈，20x ->，命题q ：x R ∀∈x <，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∨D ．p q ⌝∧⌝6．如图，是线段上一点，分别以直径作半圆，，，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A. B . C . D . 7．设R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的()（第4题）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是（ ） A ．16 B ．18 C ．19D ．1109. 方程(22220x y +-=表示的曲线是（ ）A.一个椭圆和一条直线B.一个椭圆和一条射线C.一个椭圆D.一条直线10．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y ++-= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y -++= 11．已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）。
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含解析)
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟满分：150分得分______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则在复平面对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设直线的倾斜角为，则A. B. C. D.3.如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是A.B. C. D.4.已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB 为2m ，渠深OC 为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m ，则截面图中水面的宽度EF）A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m6.已知圆．与圆外切，则ab 的最大值为A.2B.C.D.37.若函数在区间上只有一个零点，则的1i2iz -=+z :80l x -+=αα=30︒60︒120︒150︒1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D AB 1,,a AD b AA c ===BM1122a b c ++1122a b c -++1122a b c --+1122a b c -+{}n a *,,,p q s t ∈N p q s t +=+p q s t a a a a +=+ 2.448≈≈≈221:()(3)9C x a y -++=222:()(1)1C x b y +++=52)44()2sin cos sin cos (0)f x x x x x ωωωωω=+->π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ω取值范围为A. B. C. D.8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点A ，B 使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为B.D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18D.若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为1510.下列四个命题中正确的是A.过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为B.过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或C.定点到圆D.过定点且与圆相切的直线方程为或11.在棱长为2的正方体中，点满足，则A.当时，点到平面B.当时，点到平面C.当时，存在点，使得D.当时，存在点，使得平面PCD 选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.假设，且与相互独立，则______.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭17,66⎛⎤⎥⎝⎦17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,F F 2222:1(0)x y E a b a b+=>>E 12AF F B c c 124AF BF =E 4556m 50%1210,,,x x x 121021,21,,21x x x --- (1,1)P -x y 20x y --=(1,1)P -(3,1),(3,2)M N -k 12k - (32)k …(1,0)Q 22(1)(3)4x y ++-=2-(1,0)Q 22(1)(3)4x y ++-=51250x y +-=1x =1111ABCD A B C D -P 1,,[0,1]AP AC AD λμλμ=+∈0λ=P 11A BC 0μ=P 11A BC 34μ=P 1BP PC ⊥34λ=P 1BC ⊥()0.3,()0.4P A P B ==A B ()P AB =13.斜率为1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，AB 的中点为，则______．14.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求角；（2）若，点满足，且，求的面积.16.（15分）在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，若.（1）求证：平面平面ABCD ；（2）求平面ABQ 与平面BDQ 所成夹角的余弦值.17.（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，且.（1）求的方程；（2）A ，B 为双曲线右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点，求直线AB 的斜率的取值范围.18.（17分）已知是数列的前项和，若.（1）求证：数列为等差数列.（2）若，数列的前项和为.（ⅰ）求取最大值时的值；22143x y +=(,1)M m m ={}n a n n S 457,,{5,0}a S S ∈-n S ABC π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭C 1a =D 2AD DB = ||CD = ABC Q ABCD -2,3AD QD QA QC ====QAD ⊥2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>12,,F F E y =2c =E E (0,4)C n S {}n a n 1112n n n n S S a a ++-={}n a 12,13n n a c a =-=+{}n c n n T n T n（ⅱ）若是偶数，且，求.19.（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）若圆是直线族的包络曲线，则m ，n 满足的关系式是什么？（2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线.（3）在（2）的条件下，过曲线上A ，B 两点作曲线的切线，其交点为.若且，B ，C 不共线，探究是否成立？请说明理由.m 2(1)nn n b a=-21mi i b =∑1x ty =+(1,0)221:1C x y +=1(,)mx ny m n +=∈R ()00P x y ，2:(24)4(2)0()a x y a a Ω-++-=∈R 0y ΩE E E 12,l l P (0,1)C A PCA PCB ∠=∠长沙市2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DABADDACACDBDBD1.D 【解析】因为，对应点为，在第四象限.故选D.2.A【解析】由直线，可得直线的斜率为设直线的倾斜角为，其中，可得.故选A.3.B 【解析】.故选B.4.A 【解析】甲是乙的充分条件；若为常数列，则乙成立推不出甲成立.5.D 【解析】以为原点，OC 为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设扡物线的标准方程为，由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为，设，则，则，所以截面图中水面的宽度EF 约为，故选D.6.D 【解析】圆的圆心，半径，1i (1i)(2i)13i 2i (2i)(2i)55z ---===-++-13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭:80l x +=l k =l α0180α︒︒<…tan α=30α︒=11111111111111222222BM BB B M AA B A B C AA AB AD a b c =+=++=-+=-++ {}n a O y 22(0)x py p =>(1,1.5)B 22x py =13p =13p =223x y =()()0000,0,0F x y x y >>0 1.50.51y =-=200221,0.81633x x =⨯===≈0.8162 1.63m ⨯≈221:()(3)9C x a y -++=1(,3)C a -13r =圆的圆心，半径，依题意，，于是，即，因此，当且仅当时取等号，所以ab 的最大值为3.故选D.7.A 【解析】由，令，则由题意知.8.C 【解析】如图，由，得，则为梯形的两条底边，作于点，由梯形的高为，得，在Rt 中，，则有，即，在中，设，则，，即，解得在中，，同理，又，所以，即，所以离心率.故选C.9.ACD 【解析】对于A ，一个总体含有50个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，222:()(1)1C x b y +++=2(,1)C b --21r =12124C C r r =+=222()24a b ++=22122224a b ab ab ab ab =+++=…3ab …a b =)22π()sin 2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-==-⎪⎝⎭πππ2π362k x k x ωωω-=⇒=+ππππ14,626233ωωωω⎛⎤<+⇒∈ ⎥⎝⎦…214AF BF =12//AF BF 12,AF BF 12AF F B 21F P AF ⊥P 12AF F B c 2PF c =12F PF 122F F c =1230PF F ︒∠=1230AF F ︒∠=12AF F 1AF x =22AF a x =-22221121122cos30AF AF F F AF F F ︒=+-222(2)4a x x c -=+-1AF x ==12BF F 21150BF F ︒∠=2BF =214AF BF = 4=3a =c e a ==则指定的某个个体被抽到的概率为，故A 正确；对于B ，数据1，2，m ，6，7的平均数是，这组数据的方差是，故B 错误；对于C ，，第50百分位数为，故C 正确；对于D ，依题意，，则，故D 正确；故选ACD.10.BD 【解析】对于A ，过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为错误；对于B ，直线PM ，PN 的斜率分别为，依题意，或，即或，B 正确；对于C ，圆的圆心，半径，定点到圆C 错误；对于D ，圆的圆心，半径，过点斜率不存在的直线与圆相切，当切线斜率存在时，设切线方程为，解得，此切线方程为，所以过点且与圆相切的直线方程为或，D 正确；故选BD.11.BD 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，11100.2505⨯== 4,4512674m =⨯----=222222126(14)(24)(44)(64)(74)55s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦850%4⨯=1719182+=8x =2116115x -=-=(1,1)-x y ,A y x =-2(1)31(1)1,312312PN FM k k ----====----PMk k ...FN k k ...12k - (3)2k …22:(1)(3)4C x y ++-=(1,3)C -2r =(1,0)Q 2(1)x +2(3)4y +-=22,+=+22:(1)(3)4C x y ++-=(1,3)C -2r =(1,0)1x =C (1)y k x =-2=512k =-51250x y +-=(1,0)22(1)(3)4x y ++-=51250x y +-=1x =1111ABCD A B C D -则,，设平面的法向是为，则令，得，对于，当时，，点到平面的距离A 错误；对于B ，当时，，点到平面的距离B 正确；对于C ，当时，，则，当时，显然，方程无实根，即BP 与不垂直，C 错误；对于D ，当时，，则，显然，即，由，得，即当时，，而平面PCD ，因此平面PCD ，D 正确．故选BD.三、填空题12.0.12【解析】由，且与相互独立，得，13.【解析】设直线AB 的方程为，代入椭圆方程，1111(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(2,2;2),(0,2,2)A B C D A B C D 11(2,0,2),(0,2,2)BA BC =-=11A BC (,,)n x y z = 11220,220,n BA x z n BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1z =(1,1,1)n =- A 0λ=11(0,2,2),(0,2,2),(0,2,22)AP AD P A P μμμμμμμ===-P 11A BC 11||n A P d n ⋅=== 0μ=(2,2,0),(2,2;0),(22,2,0)AP AC P BP λλλλλλλ===-P 11A BC 2||||n BP d n ⋅===34μ=133333(2,2,0)0,,2,2,42222AP AC AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13333112,2,,22,2,,22,2,222222P BP C P λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2213135(22)228602242BP C P λλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-++--=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2564802∆=-⨯⨯<1PC 34λ=133333,,0(0,2,2),2,242222AP AC AD μμμμμ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3331,2,2,,2,2,(2,0,0),(0,2,2)2222P DP DC BC μμμμ⎛⎫⎛⎫+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10DC BC ⋅= 1BC DC ⊥1122402DP BC μμ⎛⎫⋅=-+= ⎪⎝⎭ 18μ=18μ=1BC DP ⊥,,DC DP D DC DP ⋂=⊂1BC ⊥()0.3,()0.4P A P B ==A B ()()()0.12P AB P A P B ==43-y x b =+22143x y +=可得，由韦达定理可得，则，则，则，所以.14.-6【解析】取得最小值，则公差或，①当时，，所以，又，所以，所以，故，令，得，所以的最小值为.②当，不合题意.综上所述：的最小值为-6.四、解答题15.【解析】（1），，，，，.…………………………………………………………………………………6分（2）由，，，分16.【解析】（1）证明：中，，22784120x bx b ++-=1287b x x +=-()121427M b x x x =+=-43177M M b y x b b b =+=-+==73b =474733M m x ==-⨯=-n S 40,5d a >=-10a =40a =7470S a ==55S =-535S a =31a =-4310a a d -==>4n a n =-0n a …4n …n S 346S S ==-4745,735a S a =-==-4570,5,0,n a S S S ==-=π2πsin 2sin 2sin 2sin 66sin b a B A A A c C ++⎛⎫⎛⎫+=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos )sin sin()2sin A A C A C A ∴+=++sin cos sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C A C A +=++sin sin cos 2sin ,(0,π),sin 0A C A C A A A =+∈∴≠ πππ5πcos 2sin 1,,6666C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⇒-=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππ2π,623C C ∴-=∴=222()33AD DB CD CA AD CA AB CA CB CA =⇒=+=+=+-1212,||3333CD CA CB CD CA CB ∴=+∴=+== 22214474272b a ab b b ⎛⎫∴++⋅-=⇒+-= ⎪⎝⎭211230(1)(3)03,sin 1322b b b b b S ab C ∴--=⇒+-=⇒=∴==⨯⨯=QCD 2,3CD AD QD QC ====所以，所以.又平面平面QAD ，所以平面QAD.又平面ABCD ，所以平面平面ABCD .……………………………………………………5分（2）取AD 的中点，因为，所以，且，因为，平面平面ABCD ，平面平面，所以平面ABCD ．在平面ABCD 内作，以OD 为轴，OQ 为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面ABQ 的法向量为，由，得令，得，所以平面ABQ 的一个法向量.设平西BDQ 的法向量为，由，得令，得，所以平面BDQ 的一个法向量.所以222CD QD QC +=CD QD ⊥,,CD AD AD QD D AD ⊥⋂=⊂QAD QD ⊂，CD ⊥CD ⊂QAD ⊥O QD QA =OQ AD ⊥2OQ ==OQ AD ⊥QAD ⊥QAD ⋂ABCD AD =OQ ⊥Ox AD ⊥y z O xyz -(0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0),(0,0,2)O A B C D Q --()111,,x y z α=(2,0,0),(0,1,2)AB AQ ==11120,20,AB x AQ y z αα⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-112,0y x ==(0,2,1)α=-()222,,x y x β=(2,2,0),(0,1,2)BD DQ =-=-2222220,20,BD x y DQ y x ββ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =222,2y x ==(2,2,1)β=|cos ,αβ〈〉所以平面ABQ 与平面BDQ分17.【解析】（1）由题得推出所以双曲线的方程为.……………………………………………………………………4分（2）由题意可知直线AB 斜率存在且，设，设AB 的中点为.由消去并整理得，则，即，，于是点为.由中垂线知，所以，解得：.所以由A ，B 在双曲线的右支上可得：，且，且或，所以，即，综上可得，．…………………………………………………………………………15分18.【解析】（1）因为，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即①，2222,,b a c c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,a b ==E 2213y x -=k ≠()()1122:,,,,AB y kx m A x y B x y =+M 22,33y kx m x y =+⎧⎨-=⎩y ()22223230,30k x kmx m k ----=-≠()()()22222(2)4331230km k m m k ∆-+-+-+-=223m k >-()21212121222222326,,223333km m km m x x x x y y k x x m k m k k k k ++==-+=++=⋅+=----M 2222234331243,,333M C MC M m y y km m m k k k km k k x kmk ---+⎛⎫-=== ⎪--⎝⎭-1MC AB k k ⋅=-231241m k km k-+=-23m k =-22221223303033m m x x m k k k m++=-=->⇒=-<⇒>-12222003km x x k k k +==>⇒>-()()()()()222222221230333403m k k k k k k ∆=+->⇒-+-=-->⇒<24k >24k >2k >(2,)k ∈+∞1112n n n n S S a a ++-=n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a a =12111(1)22n n S n n a +=+-=12n n n S a +=所以②，由②-①可得，即，所以，所以，所以数列为等差数列.………………………………………………………7分（2）（Ⅰ）由题意知在等差数列中，，故.可得，当时，取最大值.………………………………………………………………………………12分（Ⅱ）.………………………………………………………………17分19.【解析】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，即.……………………………………………………4分（2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论取何值时，4）无解.将整理成关于的一元二次方程：.1122n n n S a +++=1122n n n n a a ++=11111n n a a a a n n +====+ 111(1),n n a n a a na +=+=11n n a a a +-={}n a {}n a 1(1)2n a a n d n =+-=-132n c n =-22(1)11(2)12(6)362n n n T n n n n -=+⨯-=-=--+∴6n =n T 222222212321234521m i m mi bb b b b a a a a a a ==++++=-+-+-++∑ ()()()()22222222123456212m m a a a a a a a a -=-++-++-+++-+ ()21232284m a a a a m m =-++++=+ 1mx ny +=221x y +=1C (0,0)1mx ny +=d 1==221m n +=()00,P x y 2:(24)4(2)0(R)a x y a a Ω-++-=∈a (2a -2004(2)0x y a ++-=200(24)4(2)0a x y a -++-=a ()()2000244440a x a y x +-++-=。