复合函数的零点个数问题
复合函数零点个数的探究_王跃
］ 分析 欲讨论函 数 ｈ（ ｘ）＝ ｆ［ ｘ） －ｃ 的 ｆ（ ）＝ ｃ 的 不 同 实 根ｔ 零点 ， 先 考 虑 方 程 ｆ（ ｔ ｉ∈ ｉ（ ，然后考虑方程 ｆ（ Ｎ＋ ） ｘ）＝ｔ ｉ 的根 ． ，考虑方程 ｆ（ ）＝ｃ． 解 令 ｆ（ ｘ）＝ｔ ｔ （ ） ） 当ｃ ＝－２ 时 ， 方程 ｆ（ １ ｔ ＝ｃ 有 ２ 个不相 、 （ ， ） ， 等的实根ｔ 方程 ｆ（ ２ｔ ｘ） ＝ｔ １ｔ ２ｔ １ ＝－ ２ ＝１ １ 有 ２ 个不相等的实根 ， ｘ）＝ｔ ｆ（ ２ 有３个不相等 ， 的实根 ．根据命题 １ 故函数 ｙ ＝ ｈ（ ｘ）的零点个 数为 ５． （ ） ） 当ｃ＝２ 时 ， 方程 ｆ（ ２ ｔ ＝ｃ 有 ２ 个不相等 ） ， 方程 ｆ（ 的 实根ｔ ｔ ｔ １， ｔ ｘ） ＝ｔ ３、 ４（ ３ ＝－ ４ ＝２ ３有
２ 等实根 ．根据命题 ２， 故 ｆ（ ｘ ｘ）＝ ａ 有 ４ 个 ＋２
不相等的实根 ； ） ） （ 当ａ＝８时 ， 方程ｆ（ ４ ｔ ＝ａ 有３ 个不相等 ， ） ， ） 的实根ｔ ｔ ｔ ｔ ０ ＜ｔ ｔ ． ７、 ８、 ９ （ ７ ＝－１ ８ ＜１ ９ ＞１
２ ２ 方 程ｘ ｘ ＝ｔ ｘ ｘ ＝ｔ ＋２ ＋２ ７ 有 １ 个实根 ， ８ 有２ ２ 个不相等的实根 ， ｘ ｘ ＝ｔ ＋２ ９ 有２个不相等的 ２ 实根 ．根据命题２， 故ｆ（ ｘ ｘ） ＋２ ＝ａ 有５ 个不相
２ ， ） 分析 令 ｘ 先讨论 ｆ（ ｔ ＋ｘ ＝ｔ ＝ａ 不同 ２ 的实根ｔ 再研究 ｘ ｉ ∈ Ｎ＋ ）情况 ， ＋ｘ ＝ｔ ｉ（ ｉ 根． ２ 解 令ｘ ． ＋ｘ ＝ｔ
， 故 ２ ｘ ＝ｔ １ ２ 有 ２ 个 不 相 等 的 实 根 ．根 据 命 题 ２
２ ｘ ｘ）＝ ａ 有 ６ 个不相等的实根 ． ＋２ ｆ（ （ ） ） 当ａ＞９时 ， 方程ｆ（ ６ ｔ ＝ａ 有２ 个不相等 ２ ） ， ） 方程ｘ 的 实根ｔ ｔ ０＜ｔ ｔ ｘ ＋２ １ ３、 １ ４ （ １ ３ ＜１ １ ４ ＞１ ２ ｘ ｘ ＝ｔ ＝ｔ ＋２ １ ３ 有 ２ 个不相等的实根 ， １ ４ 有２ 个 ２ 不相等的 实 根 ．根 据 命 题 ２， 故 ｆ（ ｘ ＋２ ｘ）＝ ａ
复合函数零点问题举例
复合函数零点问题举例张伟钦【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)013【总页数】2页(P10-11)【作者】张伟钦【作者单位】山东省寿光市圣都中学【正文语种】中文近年活跃在各地高考中的复合函数零点问题,考查方式独特、题型新颖,成为高三复习的一个热门话题．本文结合实例探讨解决复合函数零点问题的基本策略．A 当k>0时,有3个零点;当k<0时,有2个零点;B 当k>0时,有4个零点;当k<0时,有1个零点;C 无论k为何值,均有2个零点;D 无论k为何值,均有4个零点令f(x)=t1，由图知有2个解.令f(x)=t2，由图知也有2解.故当k>0时,y=f[f(x)]+1有4个零点.当k<0时,f(x)的图象如图2所示，由图知f(x)=-1仅有1个根0<t<1.故f(x)=t也仅有1根.故选B．具体解析过程如下：因为由图象可得当f(x)在(0,4]上任意取一个值时,都有4个不同的x与其值对应.再结合条件函数y=[f(x)]2-bf(x)+1有8个不同的零点,可得关于k的方程k2-bk+1=0有2个不同的实数根k1、k2,且0<k1≤4, 0<k2≤4,所以A 15;B 20;C 30;D 35作函数的图象如图4所示,则由函数有5个不同的零点知,解得.解得f(x)=1或.若f(x)=1,则x=2或x=3或x=1;若,则x=0或x=4.故故选C.当|x|≥16时,f(x)≥1.已知关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0有且只有7个实数根,设t=f(x),则t2+at+b=0必有根t1、t2,其中,所以,所以). 故答案为).A (0,1/2);B (1/2,1);C (1,2);D (2,3)设t=f(x)-log2x,则f(x)=log2x+t, 且f(t)=3,即log2t+t=3,可得t值,于是求得f(x)的解析式.对f(x)求导得f′(x),将f(x)与f′(x)代入f(x)-f′(x)=2,变形化简可得.令,由二分法分析可得h(x) 的零点所在的区间为(1,2),结合函数的零点与方程根的关系,即可得答案．具体解答过程如下：因为对∀x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3，且f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,所以f(x)-log2x为定值.设t=f(x)-log2x,则f(x)=log2x+t.又因为f(t)=3,所以log2t+t=3, t=2,所以f(x)=log2x+2,求导得,代入f(x)-f′(x)=2可得,所以令,则,所以的零点在区间(1,2)内,即方程f(x)-f′(x)=2的解所在区间是(1,2). 故正确选项为C.。
浅析复合函数零点的个数问题
一类是判断零点个数，另一类是已知零点个数求参
数的取值范围．以下本文通过对典型例题的分析来探究
一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题．
１．判断复合函数零点的个数
｛ 例１ 已知函数犳（狓）＝
５ 狓－１ －１（狓 ≥０）， 则 狓２＋４狓＋４（狓 ＜０），
关 于狓的方程犳２（狓）－５犳（狓）＋４＝０的实数根的个数
零点个数即方程犳（狓）＝０的
根个数，也即犳（狓）的图像与
狓 轴 交 点 的 个 数，若 方 程
犳（狓）＝０犵（狓）＝犺（狓），即
为两函数犵（狓）与犺（狓）图像
图１
交点的个数．该问题只需要确
定零点个数并 不 需 要 求 出 零 点，也 可 画 出 函 数 图 像，
结合图像确定交点的个数，由狋２ －５狋＋４＝０，得狋＝４ 或１，所以犳（狓）＝４或１，由函数图像犳（狓）分别与狔＝ １、狔＝４有４个交点和３个交点，所以犳（狓）＝１、犳（狓） ＝４分别有４个根和３个根，所以方程犳２（狓）－５犳（狓） ＋４＝０共有７个根．
图２ 图３
２．已知复合函数的零点个数求参数的取值范围 例２ 已 知 函 数 犳（狓）的 图 像，若 函 数 犵（狓）＝ ［犳（狓）］２ －犽犳（狓）＋１恰有４个零点，则实数犽 的取值 范围是（ ）．
（ ） Ａ．（－
∞，－２）∪
（２，＋
∞）
８ Ｂ．ｅ２
，２
（ ） ４
Ｃ．ｅ２
若犳（狓）＝１，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝１，解得
狓＝１±ｌｏｇ５２，当狓 ＜０时，即狓２＋４狓＋３＝０，解得狓
＝－１或 －３．
若犳（狓）＝４，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝４，解得
复合函数的零点问题
3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解,则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出
x 的值.例如：已知 f x 2x ， g x x2 2x ，若 g f x 0 ，求 x .
时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B,点Ｃ下
面穿过就有 4 个零点，所以
解得 ，选 D．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程,我们常把方程变形为ｆ（ｘ)=g(x),然后根据 y＝f(ｘ）与 y
＝g(ｘ)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程
变形为
,再画出两个函数的图像,根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围．
c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
②如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) · f (b) 0 ,那么，函数 f x 在
--
--
区间 (a, b) 内不一定没有零点.
③如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 f x 在区间 (a, b) 内有零点时不
1．复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
2.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
③由函数 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点不一定能推出 f (a) · f (b) 0 ,如图所示．所以 f (a) · f (b) 0 是 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点的充分不必要条件．
速解复合函数中的零点个数问题
速解复合函数中的零点个数问题作者：徐靖婷来源：《科教导刊·电子版》2017年第24期摘要函数问题中涉及复合函数的题目向来是高中数学考试乃至高考的热点、重点、难点，这种问题考察了学生的逻辑思维能力以及综合理解能力，需要学生冷静的分析，理清层次，熟悉基本题型并能随机应变，复合函数的理解本身就是一个难点，而复合函数中零点个数问题，更是直接反映了学生对该类题的掌握能力，要求较高。
关键词复合函数零点个数问题中图分类号：G632 文献标识码：A基本解题思路如下：（1）辨认复合方程，如：当复合函数F（x）=f2（x）+af（x）+b=0时的这个式子f2（x）+af（x）+b=0就是“复合方程”，而复合函数中零点个数就是这里复合方程的根。
当没有明确指出有中间变量时，需要观察，幷设出。
（2）理解并简化，映射x→f（x）→f2（x）+af（x）+b，设中间变量f（x）=u，最终变量f（x）=y，y=u2+au+b=0即。
（3）画图并解出y=u2+au+b=0，解出u1，u2，又u1=f（x1），u2=f（x2）分别解得x1，x2而在具体问题中，想要一点不出错，也并不是一件易事，下面，就让我们以几个题目为例来探讨一下如何才能对这类题做到“快、准、狠”。
例1、（2005年上海考题）设定义域为R的函数，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c有7个不同实数解的充要条件是。
分析：由题意得，函数f（x）是具体的，应先画出，根据图像分析方程f2（x）+bf（x）+c=0的解的情况，讨论两同根或两异根，根据图像写范围，得解画出图像如下：f2（x）+bf（x）+c=0，设f（x）=u，则u2+bu+c=0I当u1=u2=u0，不可能有7个x满足，舍II当有两解u1，u2时，u1=0，u2>0即，u1 u2=c=0，u1+u2=-b>0，故c=0，b综上可知：充要条件是c=0，b评注：解决本题关键是图像要画对，几十分类讨论，利用根与系数关系得出最后答案，掌握了方法，此题很简单，也就是说，本题是——画图，观察。
速解复合函数中的零点个数问题
分析：本题没有直接指明复合函数的存在，但原函数不可
能直接画出判断根，仍要设出中间变量，变为复合函数便讨论。
解：设 f(x)=|x2 1|=u，画出图像 F(x)=u2 u+k。方程 u2 u+
k，△=1 4k，
k
＞
1 4
时，△＜
0，无解
时
k=
1 4
时，u=
1 2
，x
有
4
解，
当k＜
1 4
时，有 u1，u2 两解，设 u1 ＜ u2，且 u1
u2=k，此时：
0＜
k＜
1 4
时，u1
u2 ＞ 0，u1
u2=1，（下转第
214 页）
152
— 科教导刊（电子版）· 2017 年第 24 期/8 月（下）—
经|法|纵|览
商标被他人侵权时，应采取法律手段维护权益，减少损失及不 良影响。
2.3.2 加强合同管理法律风险防范与控制 合同是约束双方责任和义务的具有法律效应的协议，一 旦合同管理不到位，就会产生各种纠纷问题。因此，企业应重 视合同管理工作。企业可以根据自身的业务特征，编制不同 类型的合同示范文本，例如：采购、运输、咨询代理等合同示范 文本，在实际的应用中就能够更好的规避商务法律存在的风 险，还能够提升工作效率与质量。在正式签订合同时，应当经 由承办、审计、财务等部门及法务人员进行会审，以此来确保 合同的合法合规性。如果合同存在不符合法规的情况时，应 要求其及时补办相关手续，或是通过协商的手段中止合同效 力。对于未签订或者越职签订合同等问题，应针对具体情况 采取相应的补救措施。另外，随着时代的进步，信息化技术被 应用到企业的各个领域，企业合同管理人员也应该顺应时代 潮流，努力打造合同管理信息化，实现合同立项、审批、履行、 归档等网络运行，这样不仅能够保障业务的完整性，才还能更 好地规避法律风险，提高工作效率。 2.3.3 加强法律纠纷风险防范与控制 企业在生产经营中经常会遇到各种法律纠纷问题，进而 给企业带来损失。因此，需要采取有效措施，最大限度地规避 法律纠纷。首先，诚实守信既是为人之道，也是企业立足之本，
复合函数零点个数问题的求解策略
复合函数零点个数问题的求解策略摘要：复合函数的零点个数问题的求解一直以来作为数学学习的重要课题与问题，也是数学教学中的一个重要的知识点。
复合函数的零点个数问题常作为学生考试的内容，属于考试范围中的重点与难点。
因此，如何通过巧妙的策略与思想帮助学者能够更快的理清思路，辩证的看待问题，找到解决问题的方法成为了当前数学教学中亟需解决的问题。
因此，本文主要通过论述复合函数零点个数问题求解的教学策略与目标，列举相关复合函数类型与例子，对如何进行复合函数零点求解提供解决策略，为日后数学教学的发展以及帮助学生提升数学解题能力提供借鉴，为国家人才的培养建设贡献自身的一份力量。
关键词：复合函数；零点；个数；求解策略；方法引言：在所有的学科门类中，数学是一门对学生考察抽象思维能力要求度极高的学科，经常需要学生能够辩证的看待数学问题，抽象的转化为其他问题进行论证，复合函数的零点个数求解问题更是如此，坐标法、图像法等无不要求学生能够充分的实现数形结合，将抽象的问题具体化，降低解题的难度。
同时，对于复合函数零点个数求解不仅需要能够让学生学会做该类题，更是为了让学生领悟解题的思想与方法，面对类似的问题能够触类旁通，真正掌握解题的思想，这对于我国数学教学事业的发展来说具有重要的建设性意义。
一、基础预备知识不同的版本对于函数f（x）的零点定义不同，但是本质是相同的。
在人教版的教材中，其中对于方程f（x）的零点定义如下：一般是在函数y=f（x）中，将f（x）=0，解出此方程获得的实数根X就是函数y=f（x）的零点。
这个零点也是f（x）=0的实数根。
在图像上的表现是，当函数y=f（x）在直角坐标系中与横轴x有交点，那么就证明函数y=f（x）有零点，并且这个交点的x值就是方程f（x）=0的实数根。
从人教版的定义来看，这个定义是具有概括性的。
同时课程中还有两个命题，这两个命题对于帮助找到复合函数的零点有重要意义，命题如下：命题一：如果开始让方程f（x）=0，假设这个时候方程有m个不同的实数根，分别可以定义为X1、X2……Xm，并且令f（x）等于任意的Xi，i是在1到m的范围内，这个时候假设方程有Ni个不一样的实数根，这个时候则可以得出，函数f[f （x）]的零点个数为（N保留下标：1+N保留下标：2+……N保留下标：m）个。
复合函数零点个数的探究
复合函数零点个数的探究
《复合函数零点个数的探究》
复合函数是指由两个或两个以上函数组合而成的函数，它在函数分析学中占有重要地位。
其中，复合函数的零点个数是研究复合函数的重要组成部分，也是比较重要的研究内容。
首先，要求复合函数的零点个数，就必须先确定复合函数的组成函数，然后求出每个函数的零点个数，最后把每个函数的零点个数相加，得到复合函数的零点个数。
其次，复合函数的零点个数受到组成函数的影响，如果组成函数中有多项式函数，则可以用多项式的零点公式求出零点个数；如果组成函数中有指数函数，则可以用指数函数的零点公式求出零点个数；如果组成函数中有对数函数，则可以用对数函数的零点公式求出零点个数。
最后，复合函数的零点个数也受到复合函数的结构影响，如果复合函数是由两个函数相乘组成的，则其零点个数等于两个函数零点个数的乘积；如果复合函数是由两个函数相加组成的，则其零点个数等于两个函数零点个数的和。
研究复合函数的零点个数是一项复杂的工作，必须充分考虑复合函数的结构、组成函数的性质和零点公式等因素，才能准确求出复合函数的零点个数。
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复合函数的零点个数问
题
集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
复合函数、分段函数零点个数问题
1.（2013届八校联考理10）已知函数⎩⎨⎧<≥=)
0()-(log )
0(3)(3x x x x f x ，函数
)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．
的是（ ）
A.若)(,41x g t =有一个零点
B.若)(,4
1
2-x g t <<有两个零
点
C.若)(,2-x g t =有三个零点
D.若)(,2-x g t <有四个零点
2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0)
()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2
t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3（2013荆州市12月质量检测-8）设定义域为R 的函数
1251,0()44,0
x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不
同的实数解，则m =
A 2
B 6
C 2或6
D 4或6
4.设定义域为R 的函数2lg (>0)
()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩
则关于x 的函数
1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为
________.
5.已知函数1
+
(0)()0(=0)
x x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪⎩
则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++=
有5个不同的实数解的充要条件是（ ）
A b<-2且c>0
B b>-2且c<0
C b<-2且c=0
D b 2c=0≥-且
6 已知函数31
+,>0
()3,0x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数
不可能．．．
为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6
7．（2012武汉市四月调考-10题）已知函数f(x)＝⎩⎨
⎧
ax ＋1，x ≤0，
log 2x ， x ＞0。
则下
列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是（ ） （A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点 （C ）无论a 为何值，均有2个零点 （D ）无论a 为何值，均有4个零点
8．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为
( )
9.若函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x x ≤1
log 1
2
x x >1，则函数y ＝f (2－x )的图象可以是
10.已知函数),4()0,(,,()(23+∞⋃-∞∈+++=k d c b d cx bx x x f 为常数），当时，
0)(=-k x f 只有一个实根；当k ∈（0，4）时，0)(=-k x f 只有3个相异实
根，
现给出下列4个命题：
①04)(=-x f 和0)(='x f 有一个相同的实根； ②0)(0)('==x f x f 和有一个相同的实根；
③03)(=-x f 的任一实根大于01)1(=-f 的任一实根； ④05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 任一实根. 其中正确命题的序号是________________
11．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表．
()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．
下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；
③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点．
其中真命题的个数是 ( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
12．已知函数),0()0,()(+∞⋃-∞是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，
1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
13.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2
＋f (x 2
)的最大值是( )
A ．13
B ．16
C ．18
D ．22
14.已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－
x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋122.
(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；
(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R)是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1.
15．已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有
12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非
减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1
()()32
x f f x =；③(1)2()f x f x -=-．则11()()3
8
f f += (A) 1
(B) 3
2
(C) 2 (D) 52
16．函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且
(1)(3)f x f x -=-．当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的
单调递减区间是 （ ） A ．[2,21]()k k k Z +∈ B ．[21,2]()k k k Z -∈ C ．[2,22]()k k k Z +∈
D ．[22,2]()k k k Z -∈
17．已知函数 2342013
()12342013
x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，
2342013
()12342013
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的
零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为
A ．8
B ．9
C ． 10
D ． 11
18．函数f （x ）=234
20122013123420122013x x x x x x ⎛⎫
+-+-+
-+ ⎪⎝⎭
cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
19．O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是
D ，
E ，
F ，给出下列命题： ①0OA OB OC ++=； ②0OD OE OF ++=； ③||OD ：||OE ：||OF =cosA ：cosB ：cosC; ④R λ∃∈，使得(
)||||AB AC
AD AB SINB AC SINC
λ=+。
以上命题正确的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4；
20．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有
()())1(xy
y
x f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命
题：
①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；③函数()f x 只有一个零点；
④)4
1
()31()21(f f f <+．其中正确命题的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
21．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不
等式c
b a 111++
c
b a m
++≥
恒成立，则实数m 的最大值是___________． 22．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量
L /mg P 与时间t h 间的关系为kt e P P -=0．如果在前5个小时消除了10%
的污染物，则10小时后还剩__________%的污染物．。