重庆大学研究生数理统计-历年考题分析

重庆大学学年(秋)数理统计试题及答案

重庆大学全日制学术型硕士研究生《数理统计》（A ）课程试卷2013-2014学年第一学期（秋）请保留四位小数，部分下侧分位数为：0.95 1.65u =，0.99 2.33u =，20.95(1) 3.841χ=，0.95(3,6)9.78f =一、（18分）设1X ，2X ，…，64X 是来自总体N （0，2σ）的样本，X ，2S 分别是样本均值和样本方差：（1）求参数c 满足{}0.1P X S c >⋅=；（2）求概率22122234{1}X X P X X +>+；(3)求322321(2)i i i D X X X +=⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦∑。

(请写出计算过程)解：（1）~(1)t n-{}}0.1P X S c P c ∴>⋅=>=得0.95(63)c t = 故 1.650.20638c ==（2）2~(0,)X N σ22212(/)(/)~(2)X X σσχ∴+ 同理22234(/)(/)~(2)X X σσχ+2222223412122234(/)(/)(/)(/)/~(2,2)22X X X X X X F X X σσσσ+++∴=+ 22122234{1}{(2,2)1}X X P P F X X +>=>+ 且0.50.50.51(2,2)(2,2)1(2,2)F F F =⇒= 得2222121222223434{1}1{1}0.5X X X X P P X X X X ++>=-≤=++ (3)令2~(2,2)i i n i Y X X N μσ+=+，112n i i Y Y X n ===∑ 221()(1)ni Y i T Y Y n S =∴=-=-∑3232223211(2)[()]i i i i i D X X X DT D Y Y +==⎡⎤+-==-⎢⎥⎣⎦∑∑2~(0,2(11/))i Y YN n σ-+~(0,1)YN=3222422421[2(11/)4(11/)((32))256(11/32)i Y D n n D σσχσ=+=+=+∑二、（26分）设1X ，2X ，…，n X 是来自总体2~(2,)(0)X N σσ>的样本，{}0.95P X A <=。

重庆大学研究生数理统计习题答案

()(){}{}()22222111221121221164~,~(8),89111,01(1)11~(0,1)1.28 1.280.281(2)0.261 1.8360.2619818ni i n X N S S X S n X X X X E X X n n n n n D X X DX DX DX X X N n n n P X X P U X P X S P μχσμ=-=--=--=---⎛⎫-=+==⇒- ⎪⎝⎭->=>=⎛ -⎧⎫ <-+<=<⎨⎬ ⎩⎭⎝∑解：由题可知（，）且与相互独立（）{}22222222241164. 1.836896464 = 2.08814.688=~(9)991188= 2.08814.688=0.90.01=0.89423948i i i S X X P S S P X X χχχμ=⎧⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪+<⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎩⎭⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪--⎪⎪⎪ ⎪<+<+⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭<<-⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅∑，其中原式（）()()()(){}24882255448822554821584~(0,1)=~4998244~(4)8944 2.132= 2.132=0.1i ii i i i i i i i i ii i N X X X t t X XP X XP t μμχμμμμμμ======⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭==--⎧⎫⎛⎫⎪⎪-≤-≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑（）则，()()()(){}222222222891(4)=8~1~(1,8)6498911=(1,8)58.82(8,1)10.90.158.8258.82XXX F FSSXP P F P FSμμμχμ-⎛⎫⎪--==⎧⎫-⎪⎪⎧⎫<<=<=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭（），则也可以用T分布与F分布的关系.0020001111()()1ln(1)11,,ˆˆˆ1ln(1),,ln(1)ln(1)2(;,...,)(;)ln (;,...,)=01ˆ=（）（）似然方程：得到参数的极大似然估计，再由i A nnx n n xn i i i n P X A F A e p p A EX DX A EX p EX X A EX p X p L x x f x e e d L x x nnx d Xλλλλλλλλλλλλλλλ---==<==-=-=-===--=∴=--=--====-∏∏ 0000010000ln(1)ˆln(1)ˆln(1)ˆ(3)=ln(1)=ln(1)==ˆln (;,...,)ln(1){[ln(1)][]}ln(1)ˆ()ln(1)ˆˆ极大似然估计的不变性，推出的极大似然估计为是的无偏估计且是的无偏估计是有效n A p A X p p EA E X p p EX A AA d L x x p n n nx X p d p n AA p AA A λλλλλλ-=-=----⎡⎤----⎣⎦∴-=-=-----=--∴ ()202ˆlim ln(1)ˆlim lim 0ˆ估计又是相合估计量n n n EA A p DA n Aλ→∞→∞→∞⎧=⎪⎨-⎪==⎩∴221212121222122222222221222121.422,2~222(1)(1)~01~(2) (1)(1)(1)(1)2=222X YX Y X YX X X X Nn mX X n S m SU N n mn S m S n S m S X X Sn mX Xtωσσμμμμμμχχσσσσ+++++-+--==++----+-+++-+-+==的无偏估计为且（，+）（，）又且与独立,记则()()()()()()()121212212121211221212122222=22=22222=12122t n mP t t n mX XP t n m t n mP X X t n m S X X t n m SX X t n m Sαααααωαμμμμαμμα-----+-⎧⎫≤+-⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪+-+⎪⎪+-≤≤+-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎧⎪+-+-≤+≤+++-⎨⎪⎩-+-+±+-因此构造的置信区间为{}{}121201212120121212121212.222=022,22=02=02=0=的无偏估计为，在：成立的条件下，大于某个常数应该是小概率事件，因此构造拒绝域：以下确定常数由X X H X X c K X X c cP X X c P P t t μμμμμμμμμμα+++++>+>+⎧⎫⎪⎪⎪=>+⎬⎪⎪⎭⎧⎫⎪⎪⎪⎪=>+=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭()()122n m c t n m S ααω--+-⇒=+-拒绝域为：3133011331122333333111~(1,).~(3)220.220.230.20.20.80.20.104220.4因为所以，类错误(弃真)：为真类错误(纳伪)：为真i i i i i i i i i i i i i i X B p X B p P X H P X p P X p P X p C C P X H P X p αβ=======I ⎧⎫⎧⎫=≥=≥=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫===+==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=+=II ⎧⎫⎧=<=<=⎨⎬⎨⎩⎭⎩∑∑∑∑∑∑∑313311223333120.4120.430.410.40.60.40.648i i i i i i P X p P X p P X p C C ===⎫⎬⎭⎧⎫=-≥=⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎧⎫=-==-==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=--=∑∑∑()()221221111211=200ˆnE i i i n n nEi i i i i i i i i ni ii nii S y x dS y x x y x x d x yxββββββ======-=--=⇒-==∑∑∑∑∑∑解：（）利用最小二乘估计使残差平方和最小参数的最小二乘估计量为2211222111111221111ˆ2=~(,)ˆˆˆ~(,)111ˆ===11ˆ（），由正态分布的性质推知服从正态分布ni ii i i i ni ii nnni i iiiinnni i i i i ii i i ni i nn i i i i i x YY x N x xN E D E E x Y x EY x x x x xD D x Y x x ββεβσβββββββ============+⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪⎝⎭⎝∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑()()()()()222211221222111112211ˆ~(,)ˆˆˆ3=ˆˆˆ2(,)ˆ(,)(,)因此，（）nii ni ii n i i nnE i iiiiii i nni i i i i ii i ni ii ii i i i nniii i xDY xN x ES E Y x D Y x E Y x D Y x DY D x Cov Y x x Yx Cov Y x Cov Y x C xxσσβββββββββ==========⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎭⎡⎤-=-+-⎣⎦⎡⎤=-=+-⎣⎦==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑()222221112222222222221111(,)(,)221则ni i i i i i i nni iii i nni i Enni i iii i x x ov Y x Y Cov Y Y xxx x ESn n n xxσσσσσσσσ==========+-=+-=-∑∑∑∑∑∑∑因素：车型水平：3种不同的车型A,B,C方差分析前提假设：正态性，方差齐次性，独立性对比分位数：0.95(2,9) 4.26F F >=，拒绝原假设0123:H μμμ==，认为这三种车型耗油量有显著差异。

重庆大学数理统计试题3

一、设 X1 , X 2 ,…，X m , X m1 ,…，X mn 为来自总体 X ~N 0, 2 的一个样本，试确定下列统计量的分布
n Xi
i 1 m n m
（ 1 ） Y1
m
2
i m 1
X
；（ 2 ） Y2
2 i
n X i 2 m Xi
i m 1 i 1 mn 2
n n 2 i 1 2 1 e 2 ) ( 2 2 ) 2 e 2 2 n xi2
xi2
n
L( 2 , X 1 , X 2 ,
Xn) (
i 1
ln( L( 2 , X 1 , X 2 , ln( L( 2 , X 1 , X 2 , d 2
xi2 n X n )) ln( 2 ) ln 2 i 1 2 2 2 X n )) n 1 n 1 n 2 i 1 ( xi 2 ) 2 2 2 4 2 2( ) 2 n i 1
s
2
c1
1 1 2 (n 1), c2 2 (n 1) n 1 2 n 1 1 2 s2
k0 :{
2
c2或
s2
2
c1}
（2） H0 : 2 1, H1 : 2 2
2 拒绝域 k0 ： (n 1)s 2 12 (n 1);22s 2 0.95 (22) 33.92; ：
m
2 i m1
X

n X i 2 m Xi
i m 1 i 1 mn 2
Y2 ~ F (m, n)
2 i
n
Xi
(3)
i 1
m
m n
m
~ N (0,1),

重庆大学研究生数理统计总复习

i 1
* 故任意样本(X1,…,Xn)的概率分布统一为：
n
f (x1, x2,, xn ) f (xi )
i 1
7、统计量
1）定义：设X1,…,Xn为总体X 的一个样本，
f (x1,, xn ) 为关于n维变量 x1,, xn 的连续函数，且该函数中不含任何未知参数 ( x1,, xn 取定值时)，则称 f (X1,, X n ) 为统计量，很明显，统计量是一个随机变量。
3 . X ~ P ()E XD X
4 . X ~ U ( a ,b )E X a bD X 1 ( b a ) 2
2
1 2
1
1
5 . X ~ () E X D X 2
6 . X ~ N ( a , 2 )E X a D X 2
4、二维随机变量的数学期望：（EX，EY）
2）Poisson分布X~P(λ)： P X k k e , k 0,1,2,( 0)
k!
4）均匀分布X～U[a,b]：
f
( x;
a,
b)
b
1
a
,
a xb
F(x)
x
f(t)dt
10bxaa,abxxxab
0
，其它
5）指数分布X～Γ(λ)：
f
(
x;
)
e
x
,
x0
0 , x 0
分布函数 F (x ) x f( t) d t 1 0 , e x ,0 x 0 0
D(aX bY ) a2DX b2DY 2ab cov(X ,Y )
4）若X与Y独立，则：
E( XY ) EXEY
D(aX bY ) a 2 DX b2 DY

重庆大学研究生数值分析试题解析

二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk=(xk),k=0,1,2,…计
算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.
解 (1)因为0<x1时,(x)<0,x2时,(x)>0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2 时,(x)>0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.
(3)因为0<</2,所以() 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
0
cos / 2 1 sin
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差x*-x(10) (取三位有效数字).
R(பைடு நூலகம்) f (4) ( x ) x(x 1)2 (x 2)
4!
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
2
2
f
(x)dx
Af
( )
Bf
(0)
Cf
( )
有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是Gauss公式?
解令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3 64/5=A4+C4 ,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/2
考试题解析

重庆大学数理统计报告

重庆大学数理统计报告-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1研究生课程考核试卷科目：数理统计教师：姓名：学号：专业：类别：学术上课时间： 2013 年 3 月至 2013 年 5 月考生成绩：卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语：阅卷教师 (签名)重庆大学研究生巷道断面面积与平均维护费单价之间关系的线性回归分析摘要：矿井生产全部事件几乎都是概率型的，生产经验在实际生产中尤为重要。

巷道维护费主要是支护材料费及维修工人工资费。

其主要受井巷类别、巷道断面尺寸、开采深度等影响。

本文仅以巷道断面尺寸为例，利用已知统计数据，进行统计分析，讨论巷道维护费与断面尺寸的关系，建立回归方程式，形成经验公式，作为设计时能利用的可靠指标。

并以此案例综合已学课程《应用数理统计》相关知识，培养独立思考，提出假设，建立模型，运用统计分析方法和统计软件求解，对结果加以说明和解释的能力。

一、问题提出，问题分析矿井在建设投入生产前，都要经过复杂繁琐的地质勘察、资料搜集和分析整理，从而为矿井初步设计提供必须的信息和准备。

在初步设计中，一般提出至少三种可供选择的开拓方案，然后进行技术、经济比较选出较为合理的方案。

在经济比较过程中，有一项经济费用指标即为维护费用，而实际的费用只有在矿井实际投产后维护过程中才可以获知。

一般在设计过程中，参考以往的经验，根据巷道设计的断面尺寸提出合理的费用值进行计算。

如何根据已知设计条件，结合生产经验中类似的条件，提出贴近实际的巷道维护费用，从而更为合理的筛选设计方案，尤为重要。

（1）问题提出：根据以往的生产条件（即生产经验数据：以往矿井的巷道断面尺寸和对应的平均维护费单价（见表1）），建立合适的数学模型，现有某矿井设计生产条件（设计数据：如断面尺寸S ），预测其巷道平均维护费单价，从而为方案比较提供可靠依据。

（2）问题分析：在忽略其他条件的影响下，巷道断面面积与平均维护费单价之间可能存在某一种映射或函数关系，作出散点图，建立可能的数学模型i (;)Y F X θ=,通过已知数据(|)i i i i Y y X x ==，解除未知参数i θ，即确定函数形式。

2005年重庆大学硕士研究生入学考试数学分析试题

2005年重庆大学硕士研究生入学考试试题数学分析part I 计算题 (共70分)21(1)4262232221cos(1)(1)12()(1)()1.(1).()()..1.()1x x ex f x f f x x x t f t f t d y d xx x x x f x x ----+-==--+++=+⎰''n 一.设函数,试定义的数值,使在连续dy二设参数方程x=f(t),y=tf 其中函数可以求导足够次数,求一阶导数和dx二阶导数dx三.求不定积分四求函数的极值与拐点,并求拐点处的切线方程.五.判断函数列f 22222222222222222()ln (0,1)()..(),())(),2..(,,0).x xx n ny u u u t t x xy y x x x y y x y z x y a b c ab c a b ϕψϕψ=∂∂∂+++∂∂∂∂⎛⎫++=+> ⎪⎝⎭2在区间上的一致收敛性说明理由y 六设有二阶连续导数,u=(求 x x 七求曲面所围空间区域的体积 (partII 证明题共80分){}{}0000.(1).()(),,()1(2)limsin ().()()()[,],n n n x x f x x f x x x x f x xf x f x f x a b →→≠0x 八设函数在点附近有定义,证明:lim 存在(有限)的充分必要条件是:对任意以x 为极限的数列都有数列收敛判断极限是否存在说明理由九设函数在闭区间[a,b]上连续,(1)证明:在[a,b]上一定有最大值和最小值(先最小值证明);(2)进一步,还假设在上处处不为零试用2''''21212'201[,].().()(),(,)()0,:,(,),()()()22.()[0,1],(0)0,[0,1]()1,:1(1).(0,1),()()2t a b f x f x f x a b f x x a b x x f x f x f f x f f x x f t dt f x >∈++≤=<∈>⎰1定义证明函数在上连续十设函数在开区间(a,b)内存在二阶导数且在内证明对于任意两点x 恒有十一设函数在闭区间上可微且在内0<证明对于任意11300;(2).(())()..()[0,),(),:1lim()0.(0.),()[,],()()(),(,)(),()(nn n n n n n f x dx f x dx f x f x dx xf x dx n dx x a b f x h x g x x a b f x g x αα+∞→+∞∞>+∞=+∞≤≤∀∈⎰⎰⎰⎰⎰+-x 0n 十二设函数在连续非负且广义积分收敛证明十三证明含参广义积分F()=e sinx 在连续但非一致收敛.十四.设h 在连续且若级数在1,),(),:()(,);(2)()(,).n n n n a b h a h x a b h x a b ∞∞∞=∞∞∑∑∑∑∑n=1n=1n=1n=1上收敛级数发散证明(1)级数在上收敛级数在上非一致收敛。

(NEW)重庆大学数学与统计学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题汇编

2 对统计量概念理解错误的是（）。 A．统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量
B．统计量是一个数值，为假设检验服务 C．不含参数的样本函数或即便含参数但参数的值是已知的 D．统计量是含样本的函数，其中可能含有未知参数【答案】D 【解析】统计量是样本的函数，不依赖于任何未知参数，其中不可能含有任何未知参数。由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量。
11 在假设检验中，下列有关显著水平α和P值的正确说法是（）。
A．α给出了观测数据与原假设之间不一致的精确度量，P值是实际观测到的数据与原假设H0之间一致程度的一个概率值； B．α是犯第一类错误的上限控制值，提供检验结论可靠性的一个大致范
10 设H0为原假设，H1为备选假设。在进行假设检验时，下列说法正确的是（）。
A．只有当原假设被拒绝时，我们才会犯第一类错误，只有在原假设未被拒绝时，我们才会犯第二类错误；
B．有可能两类错误都不犯；
C．不管样本容量的大小，都不可能使得犯两类错误的概率减小，因为犯两类错误的概率α和β是确定的；
B．（60，80）这个区间可能包含也可能不包含全班同学平均考试成绩的真值；
C．如果做了100次抽样，大概有95次找到的区间包含真值，有5次找到的区间不包含真值；
D．有95%的区间包含总体参数的真值，有5%的区间可能不包含总体参数的真值。
【答案】C
【解析】由95%的置信区间指用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数，即在100个样本构造的总体参数的 100个置信区间中，有95个的区间包含了总体参数的真值。而对于一个特定的区间来说，它是否包含参数的真值的概率为0或1。

重庆大学数理统计试题(四套)

X （4）分析随机变量 S
24 的分布。
2
二（ . 20 分）设总体分布 X 的密度函数为 f x; c x 未知，求（1）参数的矩估计量 ˆ1 ； 1 ˆ ；（2）参数 g 的极大似然估计 g ˆ 无偏性，有效性和相合性。（3）试分析 g
4
四、某公司的考勤员试图证实星期一的缺勤是其他四个工作日缺勤的两倍，已有三月的缺勤记录如下表所示：星期缺勤数给定显著水平一二 304 176 ，请用检验证实。三 139 四 141 五 130
五、(20 分)合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度 y 对丝的质量是很重要的因素。如由生产记录得相关数据 ( xi , yi ) ，i 1,2,...,10 , 今发现它与电流的周波 x 有密切的关系，计算得到 x 49.61 ， y 16.86 ， l xx 1.989 ， l xy 0.674 l yy 0.244 。（1）求第一导丝盘的速度 y 与电流的周波 x 的经验回归直线方程；（2）在显著水平 0.05 下，检验 y 与 x 是否有显著的线性关系；（3）求，并求回归系数 1 的置信度为 95% 的置信区间。
六、设组观测数据(xi , yi )(i =1,2,…, n) 满足 yi =β0+β1(x- x ) +εi ， 1 n εi ~ N (0,σ 2) (i =1,2,…, n)（其中 x= X i ）且 ε1,ε2,…,εn 相互独立。 n 1 ˆ , ˆ； (1) 求系数 β0，β1 的最小二乘估计量
2 2 2 (1)当 n=17 时，求常数 k 使得 P( X Y 1 2 k S X SY 2S X ,Y ) 0.95