流体力学三大方程的推导

微分形式的连续性方程

连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。

重点讨论不同表现形式的流体连续方程。

用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。

设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。

先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面

流入六面体，从EFGH 面流出。

在x 轴方向流出与流入质量之差

()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x x

ρρρρ∂∂+-=∂∂

用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入

质量之差分别为

()y u dxdydzdt y ρ∂∂()z u dxdydzdt z ρ∂∂这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为：

()()()

[]y x z u u u

dxdydzdt x x x ρρρ∂∂∂++∂∂∂

在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量

()dxdydzdt t ρ∂-∂()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z t

ρρρρ∂∂∂∂++=-∂∂∂∂()()()0y x z u u u x y z t

ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。

这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。

代表单位时间内，单位体积的质量变化

代表单位时间内，单位体积内

质量的净流出

利用散度公式：

得到

利用矢量场基本运算公式和随体导数公式：

得到 )()()()div(z y x u z u y u x u ρρρρ∂∂+∂∂+∂∂= 0)div(=+∂∂u t

ρρ()()()0y x z u u u x y z t

ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂在连续方程中 div()div u u u ρρρ=+⋅∇ρρρ∇⋅+∂∂=u t

Dt D 0div =+u Dt D ρρdiv 0u u t

ρρρ∂++⋅∇=∂

讨论

*表明对不可压流体，体积在随体运动中保持不变。适用于定常或

不定常流体。

⑴ 对于定常流动， ，连续方程可简化为， 0t ∂=∂ ⑵ 对于不可压缩流体， ，连续方程可简化为， 0=Dt

D ρ()0

div v ρ=0divv =——微分形式 *表明定常运动时，单位体积内流进流出的质量相等。适用于可

压或不可压流体。 0D divv Dt

ρρ+=因为 ()0div v t

ρρ∂+=∂

微分形式的运动方程

运动方程是流体运动的最基本的运动学原理，即找出流体运动和它受到的作用力之间的关系的数学表达式，依据的理论原理是牛顿的运动定律或动量定理，下面利用欧拉法形式建立微分形式的运动方程。

作用于流体的力

质量力

流体的作用力

表面力 分析对象：

流体中以界面 包围的体积为

的流体块 στ

质量力

质量力（体力）：是指作用于所有流体质点的力。

如重力、万有引力等。

（1）质量力是长程力：它随相互作用的元素之间的距离的增加而减小，对于一般流体的特征运动距离而言，均能显示出来。

（2）它是一种分布力，分布于流体块的整个体积内，流体块所受的质量力与其周围有无其他流体存在并无关系。

通常情况下，作用于流体的质量力通常就是指重力。

如果 表示单位质量的流体的质量力，规定其为：

其中 是作用在质量为 的流体块上的质量力。不难看出， 可以看做力的分布密度。 F 0lim m F F m

δδδ→'=F ' δF

例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度或者说单位质量的流体的质量力就是重力加速度 。

g m δ

表面力

表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之间的接触面上所受到的相互作用力。

如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面上的摩擦力等。

（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。表面力随相互作用元素之间的距离增加而迅速减弱，只有在相互作用元素间的距离与分子距离同量级时，表面力才显现出来。

（2）流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消的，只有处于界面上的流体质点所受的，由界面外侧流体所施加的表面力存在。

（3）表面力也是一种分布力，分布在相互接触的界面上。

定义单位面积上的表面力为：

其中 是作用于某个流体面积上 的表面力 0lim p p δσδδσ

→'=δσp ' δ

矢量 是质量力的分布密度，它是时间和空间点的函数，因而构成了一个矢量场。 而矢量

为流体的应力矢，它不但是时间和空间点的函数，并且在空间每一点还随着受力面元的取向不同而变化。所以要确定应力矢 ，必须考虑点的矢径 、该点受力面元的方向（或者说面元的法向单位矢 ）以及时间 t 。确切地说应力矢是两个矢量（ 、 ）和一个标量函数 t 。

质量力和表面力的比较

n r p F 质量力和表面力有着本质的差别。 p n r

在运动流体中选取一小六面体体元，其边长分别为： 为了导出流体的运动方程，首先来分析小体元的受力情况。 δδδx y z

,,=+dV x y z dt

ρδδδ质量力表面力根据牛顿第二定律： x y

z x δy δz

δ