线性代数的几何意义笔记

所以，看一个函数是不是线性函数，只需要证明上面这个等式是否成立，或（1）（2）分别证明也行。

K就如同高中的函数解析式，也就是两个集合间的对应法则。

线性变换与同构映射的区别和联系

相同点：都保持线性运算（保持加法、保持数乘）,即和的像等于像的和,数乘的像等于像的数乘.

区别：

（1）线性变换是一个空间到自身的映射,同构映射通常是一个空间到另一个空间的映射；

（2）线性变换未必是可逆的,同构映射首先是双射,故一定是可逆的.

（3）如果线性变换可逆,则该线性变换为双射,从而满足同构映射的三个条件：

(i)是双射,(ii)保持加法,（iii)保持数乘

故为同构映射,但它又是到空间自身的映射,故可逆的线性变换是自同构映射.

线性变换就是矩阵的变换，而任何矩阵的变换可以理解为一个正交变换+伸缩变换+另一个正交变换。（正交变换可以暂时理解为不改变大小以及正交性的旋转/反射等变换）A*P = y*P ，y就是特征值，P是特征向量，矩阵A做的事情无非是把P沿其P的方向拉长/缩短了一点（而不是毫无规律的多维变换）。y描述沿着这个方向上拉伸的比例。

对于满秩的n*n方阵，做特征值变换，非满秩的矩阵，做奇异值变换，差别在于前者是个对角阵，后者形成对角阵和零矩阵合成的矩阵。

下面是更直观的例子

1.平面引入直角坐标系之后，二维空间所有的向量都可以用两个基向量i=(1,0)和j=(0,1)的线性组合来表示，例如a=(4,6)，可以表示为a=4i+6j。

2.但是也可以由i=(2,0)和j=(0,2)两个向量来表示，例如a=2i+3j。

3.还可以由i=(1,1)和j=(1,-1)来表示，例如a=5i-1j。

4.或者由i=(1,0)和j=(1,-1)表示，例如a=10i-6j。

5.在1的基础上，我们还可以将a表示为i=(1,0),j=(0,1),k=(1,1)三个向量的线性组合，也就是a=4i+6j+0k或者a=0i+2j+4k或者a=2i+4j+2k等等等等我举不完了。这其中k=i+j。

通过上面的举例我们可以总结出几条。

由5点到4点，将多余的基向量k去掉，得到最大线性无关向量组。

由4点到3点，将两个基向量的夹角变成直角，实现正交化。

由3点到2点，将构成正交的两个基向量旋转，使其与坐标轴重合，实现对角化。

由2点到1点，通过伸缩将两个基向量的长度变成单位长度，实现规化。

通过上面的几个步骤，我们可以看出，任何一组向量构成的坐标系，都可以通过化简，正交，对角，规的过程，将任何乱七八糟莫名其妙的坐标系变换成笛卡尔坐标系。那这么做有什么用呢？到这里我开了一下脑洞：

假如说，平面有两个椭圆，将直角坐标系的原点放在一个椭圆的长轴和短轴交点处，这样就可以得到这个椭圆的标准方程，就是高中课本上那个。由于这两个椭圆的位置相对，这样一来另一个椭圆的位置也就定下来了，可惜很难看，长得很歪，很难用方程表示。这时就可以以这个椭圆为原点再建立一个坐标系，并且在这个坐标系下用标准方程表示出来，这样两个椭圆都有了方程来表示，问题就化简为了两个坐标系之间的关系，这时再用矩阵来运算就好了。

正交变换是保持图形形状和大小不变的几何变换,包含旋转,平移,轴对称及上述变换的复合.

就是所有保持原点不动、长度不变的线性变换。比如旋转，比如反射。就这两种。前者保持定向，后者反向。

[][]121

121112111121cos cos cos e ⋅=⋅=⋅⋅=θαββθαβββθαββββαβ，，是2α在1e 上的 分向量

即a的模，

矩阵等价与向量组等价的关系

矩阵是指排成n行m列的一个数表。在线性代数中矩阵是一个重要而有力的工具，应用于线性代数的始末，与线性代数的每一章节容都有牵连。

向量是一个数组。如果向量仅有一个分量，它就是通常意义上的数；如果向量的分量有两个或三个，在解析几何中，它表示平面或空间的有向线段。在几何上与线性代数中向量的运算具有相同或相应的法则。向量可以作为特殊的矩阵，也可作为矩阵的一部分。n个m维列向量组成的向量组即可作成一个m×n矩阵。

所以矩阵与向量组之间有着千丝万缕的联系。例如矩阵与其行向量组及列向量组均有相同的秩，方阵可逆的充要条件是其行（列）向量组线性无关等。但是矩阵的等价与向量组的等价却没有任何必然的联系！

矩阵等价的定义：如果矩阵A可以经过有限次初等变换成为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。矩阵等价的两个充要条件：存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ =B；A与B同型，且r(A)=r(B)。

向量组的等价，是指两个向量组能相互线性表示。

矩阵等价与向量组等价有如下关系：

1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价！（反例在后面）

2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！（向量组等价，两向量组中所含向量个数可以不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数）

在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？

l 若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为（α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn），此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q-1，有A=BQ-1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。

l 同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价。

l 矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！（反例在后面）在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？

l 若向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价！（因向量组A与向量组B等价，则它们有相同的秩，又A与B作成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A与B等价）

l 要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n个向量的两个m维向量组A与B，才有可能讨论其对应的矩阵A与B是否等价。