线性代数与几何
数学几何与线性代数
数学几何与线性代数数学几何和线性代数是数学中两个重要的分支，它们在数学研究和实际应用中发挥着重要的作用。
本文将探讨数学几何和线性代数的基本概念、联系以及应用。
一、数学几何的基本概念数学几何是研究空间形状、位置关系和变换的数学分支。
它主要包括平面几何和立体几何两个方面。
平面几何研究二维空间中的图形和关系，而立体几何则研究三维空间中的图形和关系。
在平面几何中，我们熟悉的图形有点、线、面等。
点是几何中最基本的元素，它没有大小和形状，只有位置。
线由无数个点组成，是一维的图形。
面由无数个线组成，是二维的图形。
在立体几何中，我们熟悉的图形有立方体、圆柱体、球体等。
它们都是三维的图形，具有长度、宽度和高度。
几何中的关系主要包括平行、垂直、相交等。
平行是指两条线或两个平面永远不相交，垂直是指两条线或两个平面相交成直角，相交是指两条线或两个平面有一个或多个公共点。
变换是几何中一个重要的概念，它是指将一个图形通过某种规则进行改变。
常见的变换有平移、旋转和缩放等。
平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，旋转是指将一个图形绕着某个点旋转一定的角度，缩放是指将一个图形按比例进行放大或缩小。
二、线性代数的基本概念线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支。
它主要包括向量、矩阵和线性变换三个方面。
向量是线性代数中的基本概念，它表示有大小和方向的量。
向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由数个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个矩形的表格，其中的数称为矩阵的元素。
矩阵可以进行加法和乘法运算，加法是指对应位置的元素相加，乘法是指按照一定的规则进行乘法运算。
线性变换是线性代数中的核心概念，它是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换。
线性变换具有保持加法和数乘运算的性质，即对于任意的向量u和v 以及任意的标量a，有线性变换(T(u+v)=T(u)+T(v))和(T(av)=aT(v))。
高等数学线性代数与解析几何期末结课论文
高等数学线性代数与解析几何期末结课论文在现代科学技术中，数学是一门重要的科学学科。
高等数学线性代数与解析几何是数学学科的必修课程，它是数学的重要分支。
本文将介绍线性代数与解析几何的基本概念、定义和定理，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、线性代数基本概念线性代数是数学中的一个分支学科，它主要研究向量、矩阵与线性方程组等相关问题。
在学习线性代数的过程中，我们需要学习一些基本概念和知识，例如向量、向量空间、线性变换等。
向量是指有大小和方向的量，用向量可以表示很多物理量，例如速度、力、加速度等。
向量的标志通常用小写字母，例如a、b、c等表示。
在线性代数中，向量可以定义为一个有限维度的实数或复数的数组。
向量空间是由一组向量组成的集合，这些向量必须满足一些基本的性质，例如零向量、加法、标量乘法、线性组合等。
向量空间的性质在数学和应用领域中都有广泛的应用。
线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它需要遵循线性变换的基本性质，例如保持加法和标量乘法不变，保持零向量不变等。
线性变换在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用。
二、解析几何基本概念解析几何是一门研究平面、直线、圆、曲线等几何图形的数学学科。
在学习解析几何的过程中，我们需要学习一些基本概念和知识，例如二维平面直角坐标系、三维直角坐标系、二次曲线等。
二维平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的坐标系，用于描述平面上的点和图形。
通常，x轴代表水平方向，y轴代表垂直方向。
三维直角坐标系是由三条互相垂直的直线组成的坐标系，用于描述空间中的点和图形。
通常，x轴、y轴、z轴分别代表三个不同的方向。
二次曲线是解析几何中的一种常见图形，包括椭圆、双曲线、抛物线等。
其方程通常为二次函数形式，可以通过解析方法求出其基本性质和特征，例如焦点、离心率等。
三、线性代数与解析几何的应用线性代数与解析几何在实际应用中有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用线性代数和解析几何的知识来描述和渲染三维图形、创建动画和特效等。
大学国家级精品课程线性代数课程《线性代数与解析几何总复习》精品课件
• 矩阵乘法消去率一般不成立.
AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立.
AB O, A 0 B O
矩阵的秩 非零子式的最高阶数
1) r(Amn) min{m, n} 2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
5) If AB 0, then r A r B n.
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
7 maxr A , r B r A, B r A r B
b可由A的列向量组 A1, A2 , …,An线性表示 xR3时判别直线和
平面的位置关系 方阵的特征值和特
征向量 A= (≠)
方阵的相似对角化
问题 P1AP=
实对称阵正交相似对角
化Q1AQ=diag(1,…,n)
正交变换化实二次 型为标准形
直角坐标变换化二次 曲面为标准形
《几何与代数》复习要点
方阵
初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
《几何与代数》复习要点
矩阵乘法的交换律和消去率
• 矩阵乘法交换率一般不成立
(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2
矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk
2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n(a En) 4. AA* A*A A E 5. AA1 A1A E
线性代数与解析几何
a1n a jn ain a nn
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则该 行列式为零，即
a11
a12
ai1 ai1 an1
ai 2 ai 2 an 2
a1n ain 0 ain ann
a11a22 a12a21
为二阶行列式，记作
a11 a12 a11a 22 a12 a 21 a21 a22
aij (i, j 1,2) 称为这个二阶行列式的元素， aij 的 两个下角标 i, j 分别表示所在的行和列的序号， 常称 aij 是行列式的（i, j）元素．
对线性方程组（1），记 a11 a12 D a11a 22 a12 a 21 0 a21 a22 b1 a12 D1 b1a 22 a12b2 b2 a 22
(
n(n 1 )(n 2) 321 ) 1 2 3 (n 1 )
例3 ( 23514) 0 0 0 3 1 4; 例４ ( 23541) 0 0 0 1 4 5.
n(n 1 ) ； 2
定义: 在一个排列中，将某两个数的位置对调 （其他数不动）的变动叫做一个对换． 定理1.1 一个排列中的任意两个数对换后，排列 改变奇偶性． 定理1.2 在全部n （ n 2) 阶排列中， 奇偶排列各占 一半．
简
介
线性代数与空间解析几何是我校工科各专业 必修的重要基础理论课，是工科数学教学三门主 要课程之一，在一般工科专业的教学中占有极重 要的地位，在工程技术、科学研究和各行各业中 有广泛的应用. 本课程的特点是将线性代数与空间解析几何 融为了一门课程 . 代数中的许多概念非常抽象， 几何为抽象的代数提供了直观想象的空间，代数 为几何提供了便利的研究工具 .代数与几何的融合 能加强学生对数与形内在联系的理解，学会用代 数的方法处理几何问题.
几何与线性代数(第一章 几何空间中的向量)
一、研究对象及特点
1、主要围绕一个问题: 解线性方程组； 2、研究的对象是离散，一个个的，不是连续的。
比如方程组，矩阵等等。
3、很困难的一门课： 抽象，不容易理解。 4、很容易的一门课：
解决问题的方法单一，步骤固定，程序化。
5、几何与代数关系： 代数给几何提供方法；几何给代数提供直观。
则 || M0M || ???
思考2：如何找出两平面交线上的点 M0 ( x0 , y0 , z0 )
思考3：三个平面的位置关系
对 三 元 一 次 方 程 组 的 求解 ， 实 质 上 是 求 三 个 平 面 的交 点 问 题
1 : a1 x b1 y c1z d1 0, n1 (a1 , b1 , c1 ) 2 : a2 x b2 y c2z d2 0, n2 (a2 , b2 , c2 ) 3 : a3 x b3 y c3z d3 0, n3 (a3 , b3 , c3 )
一般式方程：ax+by+cz+d=0 (a2+ b2+ c20)
例：三点式方程
确定平面的条件：三个不共线的点
已 知 ：P1( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ), P3 ( x3 , y3 , z3 )
则 可 化 为 过 平 面 任 一 点P( x, y, z)，
定理： 向量 , 共线，则存在不全为零的数k1,k2 ,使得 k1 k 2 0
特别地，当|| || 1时， || ||（同向） || ||（反向）
逆否命题：设 不平行与，且k1 k2 0，
则k1 k2 0
2.共面： 平行于同一平面的向量
定理： 三 个 向 量 , ， 共 面
线性代数与解析几何
线性代数与解析几何
线性代数与解析几何是一门重要的数学课程，它给出了对抽象数学对象的抽象描述，以及它们的关系的数学分析。
它的主要内容包括线性空间，矩阵分析，线性变换，内积，线性方程组，范数，秩，特征值，基变换等。
解析几何是一种几何学的分支，它研究几何图形在空间中的形状和运动。
它也给出了对几何对象的抽象描述，以及它们之间的关系。
其主要内容包括几何体，几何图形，向量和矢量，空间变换，曲面，曲线，参数方程，正交变换，正切变换，积分变换等。
线性代数与解析几何的内容之间存在一定的关联，它们都是对抽象数学对象的抽象描述，以及它们之间的关系进行数学分析。
从线性代数的角度来看，解析几何可以用矩阵分析和线性变换来表示；从解析几何的角度来看，线性代数可以用参数方程，正交变换，正切变换，积分变换等来表示。
线性代数与解析几何对于现代科学技术的发展有着重要的作用，它们可以用来解决各种复杂的数学问题，如机器研究，数据挖掘，机器人技术，计算机图形学等。
线性代数与解析几何的研究也可以用于解决物理学和工程学中的实际问题，比如热传导，结构力学，电磁学，电子学等。
用几何的观点解释线性代数问题
用几何的观点解释线性代数问题
通过分析几何图形，我们可以推导出线性代数中相关问题的数学关系，从而更好地理解线性代数中的复杂概念，并有助于解决相关线性代数问题。
线性代数是数学中研究线性关系的分支，学习者可以使用几何的方法来解释线性代数问题：
1. 点：点代表所有可能的解，并且确定了系统中其他元素的行为。
2. 直线：直线表示每一个可解，并且由两个点确定。
3. 向量：向量用来表示变化，它由两点的差值确定。
4. 矩阵：矩阵表示了坐标变换或者组合，它能够捕捉空间上的向量变换。
5. 对称矩阵：对称矩阵表示的是几何变换，其每个元素都是可以拿来评估关系的。
总之，通过使用几何的观点，我们可以对线性代数问题有更深入的理解。
这些几何形状以及矩阵可以帮助我们找到最优解，解决实际中的问题。
线性代数与几何(上)全套课件(新)
其中 aij ( i , j =1, 2, 3 ) 表示第 i 行第 j 列上的元素. 三阶行列式的计算可如下图:
a11 a12 a13
a21 a 22 a 23 a31 a32 a33
+
+
+
第一章 行列式
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8
0 4
1 1 . 1
求三阶行列式
2
3 2
解
原式=32 + 4 + 0 12 (16) 0 =32 + 4 12 +16 = 40.
以后我们将证明三元一次方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1,
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a31x1 a32 x2 a33x3 b3
的解将与它的系数行列式
a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
得
(1.2)
将它代入第一个方程并化简,
x2
a1 2a2 1
(1.3)
式 (1.2) 和 (1.3) 给出了两个变量两个方程的方程组 (1.1) 的求解公式 ( 当 a11 a22 a12 a21 0时). 下面介绍一种更简单的记法表示求解公 式 ( 1.2 ) , ( 1.3 ) .
VII
x VIII V
1 2 1 0 3 1 . y VI 6 0 3
( 2)=a12 1+ a22 ( n)=a1n 1+ a2n
课 件
2+ 2+
… a n1 n ,
… an2n ,
……………
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1 V= (α, β, γ ) 6 x2 x1 1 det x3 x1 6 x x 4 1 1 x1 1 x2 1 det 1 x3 6 1 x4
y2 y1 y3 y1 y4 y1 y1 y2 y3 y4 z1 z2 z3 z4
夹角为θ。混合积就是这个六面体的体积V。六面体的平行四边形底的面
积为 |αβ|，高与底面垂直，因而与αβ共线，其长度是γ在αβ上的投影， 即
h = |γ cos<αβ,γ>|
10 October 2018
北京大学工学院
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因此
V= |α β| | γcos<α β, γ >| = |α β| | γ | | cos<α β, γ >| =|(α β) γ || (α, β, γ ) |
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4
性质： 1)轮转对称性：(α, β, γ) = (γ, α, β) = (β, γ, α) 2)(α, β, γ) = −(β, α, γ) 3)(kα, β, γ) = (α, kβ, γ) = (α, β, kγ) = k(α, β, γ), 对任意的实数k 4)(α1+α2, β, γ) = (α1, β, γ) + (α2, β, γ) 5)(α, α, γ) = 0 例题 3.19，3.20
当<αβ,γ>为锐角时，cos<αβ,γ>大于零，(α, β, γ)>0，α, β, γ符合右手系； 当<αβ,γ>为钝角时，cos<αβ,γ>小于零, (α, β, γ)<0；α, β, γ符合左手系。 对于给定的轮转（奇偶排列）：大小一样，但需确定正负号。所谓的“正 负号”定下了体积的方向，所以称 (α, β, γ) 为有向体积或定向体积。
z2 x2 y2
z3 x1 x3 det y1 z y3 1
我们看到 混合积等价于 “行列式”
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直角坐标系下四面体ABCD的体积：A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4)
z2 z1 z3 z1 z4 z1
10 October 2018
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7
复合积 定义：三个向量α, β, γ的复合积（双叉积或双重外积）是一个向量，它等 于两个向量先做向量积，然后再与第3个向量作向量积。如：(αβ)γ， α(βγ)等。 首先结合律不成立：(αβ)γ ≠ α(βγ) 复合积公式（中项原则）
10 October 2018
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直角坐标系 (O; i, j, k)下的混合积计算（右手系）
i α β det x1 y 1 z1 (α β) γ det x1 y 1
例题 3.21， 3.22
j x2 y2
k x3 y3 x2 y2 z2 x3 y3 z3
(1) (2)
(α β) γ (αγ)β (βγ)α α (β γ) (αγ)β (α β) γ
例题3.23， 3.24, 3.25, 习题14（5）
10 October 2018
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8
第二次课作业
P123: 18, 21, 22, 23ຫໍສະໝຸດ 10 October 2018
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第四章 向量代数、平面与直线 （第23次课）
10 October 2018
北京大学工学院
§5 混合积与复合积
定义：三个向量α, β, γ的混合积是一个实数，它等于向量α, β先做向量积， 然后再与γ作数量积，记为(α, β, γ)，即 (α, β, γ) =(αβ)· γ 几何意义：设α, β, γ不共面，过点O作一个以α, β, γ的棱的平行六面体，它 的底面为α, β所决定的平面，其高为h，体积为V，作αβ，并记αβ与γ的