高等数学(1)-2习题册答案(第十一章1-4节)

第十一章 曲线积分与曲面积分

第17次课 对弧长的曲线积分

1．计算下列各题中的曲线积分： （1）

cos d L

y s ⎰，其中L 为原点至点(2,1)的直线段；

解：2

2

00cos 2L x yds ⎤===⎥⎦⎰⎰ （2）d L

x s ⎰

，其中L 为抛物线221y x =-介于1x =及0x =之间的一段弧；

解：

1

3

1

2

22

00

1121(116)(116)3232348L

xds x x ⎡⎤==

+=+=⎢⎥⎣⎦⎰

⎰⎰

（3）()d L x y s +⎰Ñ，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界；

解：

()()()()L

OA

AB

OB

x y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++⎰⎰⎰⎰Ñ

1

1

1

((0x y =

++++⎰

⎰⎰

1

1

22

1000

122x y =

++=+

（4）2

22()d L

x y s +⎰Ñ，其中L 为圆周222

x y a +=； 解：

2

2

2

2245()()22L

L

x

y ds a ds a a a ππ+=

=⋅=⎰⎰

蜒

（5）

||d L

xy s ⎰

Ñ，其中L 为圆周222x y a +=； 解：根据xy 在四个象限的对称性，有1

4L

L xy ds xy ds =⎰⎰Ñ

（其中1L 是在第一象限的四分之

一圆周），则

1

20

44(cos )(sin L

L xyds xyds a t a t π

==⎰⎰⎰Ñ

3

3

3220

sin 2(2)(cos 2)2a td t a t a π

π

==-=⎰

（6）2

2

2

d z s x y Γ+⎰，其中Γ为圆周cos ,sin ,,02x a t y a t z at t π===≤≤．

解：

2222

0z ds x y πτ

=+⎰⎰

222330

013t dt t a π

π

===⎰

2．计算曲线积分

L

s ⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内

所围成的扇形的整个边界．

解：

40

a

L

π

=++⎰⎰⎰Ñ

40

2(1)4

a a

x a a ae t e

ae e π

π

=++=

+-

3．有一铁丝成半圆形cos ,sin (0)x a t y a t t π==≤≤，其上每一点的密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量．

解：220

sin (cos )

2L

M yds a a t a π

π===-=⎰

⎰

提高题：

1．已知椭圆23:143

x y L +=周长为a ，求22

(234)d L xy x y s ++⎰Ñ． 解：原式(122)121212012L

L

L

xy ds ds xyds a a =+=+=+=⎰⎰⎰蜒?

2．计算曲线积分4

433

()d L

x y s +⎰Ñ，其中L 为星形线33

cos ,sin (0)2

x a y a π

θθθ==≤≤

在第

一象限内的弧．

解：

4

44443

3

3

20

()d (sin cos L

x

y s a π

θθθ+=+⎰⎰Ñ

77725

5

66

3

3

322000

113(sin sin cos cos )3sin cos 66a d d a a π

ππ

θθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰

第18次课 对坐标的曲线积分

1．计算下列各题中的曲线积分： （1）(2)d L

x y x +⎰，其中L 为从点(2,0)-到点(0,2)的直线段．

解：0

2

(2)(22)2L

x y dx x x dx -+=++=-⎰⎰

（2）22

d d L

xy y x y x -⎰

Ñ，其中L 为圆周221x y +=，逆时针方向． 解：

222222

cos sin cos cos sin sin L

xy dy x ydx t t tdt t t tdt ππ

-=+⎰⎰⎰Ñ 22220

00

sin 21cos 411sin 4244162t t dt dt t t π

π

ππ-⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰

⎰

（3）

d L

xy x ⎰

Ñ，其中L 为圆周222

()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧（按逆时针方向）． 解：

L

AO

OA

xydx xydx xydx =+⎰⎰

⎰Ñ半圆周

232320

(cos )sin (sin )0sin sin cos a

a a t a t a t dt dx a tdt a t tdt π

ππ

=+⋅-+=--⎰⎰⎰⎰

33

233330

00

1cos 2111sin sin sin 2sin 22432

t a dt a td t a t t a t

a π

π

πππ

-⎛⎫=--=---=-

⎪⎝⎭⎰

⎰