高中数学(人教A版)选修2-3同步课堂课件：2-4 正态分布1

答案 B
探究 1
一定要小心识别各种函数是不是正态分布密度函
数，不能看着相似就认定必定是正态分布密度函数．
A．1 C．3
答案 C
B．2 D．4
题型二
例2
正态曲线的性质
关于正态曲线性质的叙述：
(1)曲线关于直线 x＝μ 对称，整条曲线在 x 轴上方； (2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数； (3)曲线在 x＝μ 处处于最高点， 由这一点向左右两边延伸时， 曲线逐渐降低；
答案 (1)(3)(4)
探究 2 思考题 2
熟记正态曲线的特点用以解题． 把一正态曲线 C1 沿着横轴方向向右移动 2 个单位， )
得到一条新的曲线 C2，下列说法不正确的是( A．曲线 C2 仍是正态曲线 B．曲线 C1，C2 的最高点的纵坐标相等
C． 以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C1 为概 率密度曲线的总体的方差大 2 D． 以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 C1 为概 率密度曲线的总体的期望大 2
答案 C
题型三
变量取值的概率与面积的关系
例 3
已知正态总体的数据落在(－3，－1)里的概率和落在
(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是________．
思路分析
正态总体的数据落在这两个区间里的概率相
等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外， 因为区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个 区间上是对称的，我们需要求出对称轴．由于正态曲线关于直线 x＝μ 对称，μ 的概率意义就是期望，我们也就找到了正态分布的 数学期望．
(6)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”， 表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分 布越分散．实际上，σ 的大小刻画了总体分布的集中与分散程度， 且 D(X)＝σ2，如下图②.
①
②
课 时 学 案
题型一
正态分布密度函数的概念
)
例 1 下列函数是正态分布密度函数的是(
(2)参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数， 可以用样本 均值去估计；σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用 样本标准差去估计．把 μ＝0，σ＝1 的正态分布叫做标准正态分 布． (3)正态分布是自然界中最常见的一种分布， 许多现象都近似地服 从正态分布．如长度测量误差．正常生产条件下各种产品的质量 指标等.
第二章 随机变量及其分布
2.4 正 态 分 布
第一课时
正态分布的概念
课 时 学 案
课 后 巩 固
1.正态曲线 1 函数 φμ，σ(x)＝ e 2π· σ
x－μ2 － 2σ2
，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ 为 ，简称
参数．我们称 φμ，σ(x)的图像为 正态分布密度曲线
正态曲线 ．如图所示：
2.正态曲线的性质 1 正态曲线 φμ，σ(x)＝ e 2π·σ
x－μ2 － 2 2σ
，x∈R 有以下性质：
(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称 P(μ－ξ≤x≤μ)＝P(μ<x<μ＋ξ)(ξ>0)；
1 (3)当 x＝μ 时，取得最大值为 ； 2πσ (4)曲线与 x 轴之间的面积为 1； (5)当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 决定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴左右平移，实际上 E(X)＝μ；如下图①
2．正态分布
如果对于任何实数 a<b， 随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝ 那么称 X 的分布为正态分布．
b a
φμ，σ(x)dx
，
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N(μ， σ2)．如果随机变量 X 服从正态分布，那么记作 X～N(μ，σ2)．
1.关于正态分布 (1)若 X～N(μ，σ2)，则 P(a<X≤b)可近似地看为由正态曲线、过点 (a,0)和(b,0)与 x 轴垂直的两条直线及 x 轴所围成的平面图形的面 积，如下图：
一般地，当随机变量在区间(－∞，a)上取值时，其取值的概 率是正态曲线在 x＝a 左侧以及 x 轴围成图形的面积， 如图(2)． 随 机变量在(a，＋∞)上取值的概率是正态曲线在 x＝a 右侧以及 x 轴围成图形的面积，如图(3)．
解析
区间(－3，－1)和区间(3,5)关于 x＝1 对称(－1 的对
称点是 3，－3 的对称点是 5)，所以正态分布的的概率与面积的关系．
如果随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，那么对于任意实数 a、b(a<b)，当随机变量 ξ 在区间(a，b]上取值时，其取值的概率 与正态曲线与直线 x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形的面积相 等．如图(1)中的阴影部分的面积就是随机变量 ξ 在区间(a，b]上 取值的概率．
μ 1 －x－ 解析 正态密度函数为 φμ，σ(x)＝ e 2σ ，正态曲线对 2π· σ
2 2
1 称轴为 x＝μ，曲线最高点纵坐标为 φμ，σ(μ)＝ .所以曲线 C1 2π· σ 向右平移 2 个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点 的纵坐标 φμ，σ(μ)没变，从而 σ 没变，所以方差没变．而平移前后 对称轴变了，即 μ 变了，因为曲线向右平移了 2 个单位，所以期 望 μ 增大 2 个单位．所以应选 C.
(4)曲线的对称位置由 μ 确定，曲线的形状由 σ 确定，σ 越大 曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”． 上述对正态曲线的叙述正确的是________．
解析
根据正态曲线的性质，当 x∈(－∞，＋∞)时，正态
曲线全在 x 轴上方，只有当 μ＝0 时，正态曲线才关于 y 轴对称， 所以(2)不正确．
思路分析
x－μ 1 － 仔细对照正态分布密度函数 f(x)＝ · e 2σ 2πσ
2
2
(x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及指数部分 是一个负数．
解析
A 错在正确的函数的系数分母部分的二次根式不包
含 σ 的，而且指数部分的符号应当是负的． 1 C 从系数 看 σ＝2，但从指数看 σ＝ 2，不正确． 2πσ D 错在指数部分缺少一个负号．