等积变形
等积变形
例题讲解
练一练2：正方形ABCD、CEFG、FHIJ如图放置，已知正方形CEFG的边长是7厘米，求图中阴影 部分的面积.
例题讲解
例3：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知三角形CEH的面积是5平方厘米，求图中阴影部分的面 积.
例题讲解
练一练3：长方形ABCD和直角梯形BCEF如图放置，已知长方形的长是5厘米，宽是3厘米，求图 中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练5：正方形ABCD、DEFG如图放置，其边长分别是12厘米、5厘米，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例6：如图，正六边形ABCDEF的面积是1，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
积.
例题讲解
例7：如图，正八边形ABCDEFGH的面积是2020，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业3：如图，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD的对角线相交于O，三角形AOE的面积 比三角形BOD的面积小16平方厘米，求梯形AEBD的面积.
巩固提升
作业4：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知正方形ABCD的边长是10厘米，求图中阴影部分的面 积.
巩固提升
作业5：四边形ABCD是梯形，DE//CF，已知三角形ADG、三角形BCH和三角形CDO的面积分别 是19、20和18，求五边形EFHOG的面积.
SABC SA' BC
基本要求 三角形的一条边处在平行线的一支上，与之相对的另外一个顶点在平 行线上随意移动，所得到的新三角形的面积与原三角形面积相等.
例题讲解
例题讲解
例1：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知正方形ABCD的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积. 分析：正方形并排放置是等积变形中最基础的题型； 第一步：找平行线，GF//AD//BE，水平方向看做一组平行线； AB//CG//EF，竖直方向看做一组平行线； 另外两组，对角线BD//CF，AC//GE； 第二步：找等积变形，三角形BDF，BD//CF，且点F在CF上，符合要求； 解析：将点F移动到点C，得到三角形BDC；
体积等积变形法计算公式
体积等积变形法计算公式体积等积变形法是一种用于计算物体体积的方法，它基于物体在变形过程中体积不变的原理。
这种方法在工程学、物理学和数学中都有广泛的应用，可以帮助人们更准确地计算物体的体积，从而在设计和制造过程中提高效率和质量。
体积等积变形法的基本原理是，当一个物体经历形状的变化时，其体积保持不变。
这意味着无论物体变成什么形状，其体积都是相同的。
利用这一原理，我们可以通过计算物体在不同形状下的体积来得到最终的体积。
下面我们将介绍一些常见的体积等积变形法的计算公式。
1. 圆柱体的体积计算公式。
圆柱体是一个常见的几何体，其体积可以通过体积等积变形法来计算。
圆柱体的体积公式为V=πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示圆柱体的半径，h表示圆柱体的高。
2. 球体的体积计算公式。
球体是一个完全圆形的几何体，其体积也可以通过体积等积变形法来计算。
球体的体积公式为V=4/3πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示球体的半径。
3. 锥体的体积计算公式。
锥体是一个圆锥形的几何体，其体积同样可以通过体积等积变形法来计算。
锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示锥体的底面半径，h表示锥体的高。
4. 直角三棱柱的体积计算公式。
直角三棱柱是一个底面为直角三角形的几何体，其体积也可以通过体积等积变形法来计算。
直角三棱柱的体积公式为V=1/2abH，其中V表示体积，a和b表示直角三角形的两条直角边的长度，H表示直角三棱柱的高。
5. 平行四边形棱柱的体积计算公式。
平行四边形棱柱是一个底面为平行四边形的几何体，其体积同样可以通过体积等积变形法来计算。
平行四边形棱柱的体积公式为V=Ah，其中V表示体积，A表示平行四边形的面积，h表示平行四边形棱柱的高。
以上是一些常见的几何体的体积计算公式，它们都可以通过体积等积变形法来计算。
在实际应用中，我们可以根据物体的形状和特点选择合适的计算公式，从而更准确地计算物体的体积。
人教版六年级下册数学《等积变形》课件
思 例2：如下图所示，在△ABE中，有BC=1，CD=DE=2，
维 如果△ABC的面积是a，△ABE的面积是多少？
探 索
如果△ACD的面积是b，那么△ABD的面积是多少？
A
分
BC=1，CD=Dห้องสมุดไป่ตู้=2
析
CD=DE=2BC
S△ACD=S△ADE=2S△ABC=2a
BC
D
E
S△ABE=S△ACD+S△ADE+S△ABC=2a+2a+a=5a
S△ADE=S△ACD=b,S△ABC=
1 2
b
S△ABD=S△ACD+S△ABC=b+
1 2
b= 3
2
b
重要 结论
(1)等底等高的三角形面积相等。
(2)等高看底：若两个三角形的高相等，其中一个三 角形的底是另一个三角形的几倍，那么，这个三角形 的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)等底看高：若两个三角形的底相等，其中一个三 角形的高是另一个三角形的几倍，那么，这个三角形 的面积也是另一个三角形面积的几倍。
面积有什么关系呢？
图中阴影部分是7个三角形，根据三角形的面 积公式，把7个三角形的面积相加，得到的面 积和是长方形面积的一半。
融 例6：如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的
会 长是4厘米，BC的长是3厘米。那么图中阴影部
贯 通
分的面积是多少平方厘米？
依据：阴影部分面积等于长方形 ABCD面积的一半 S长方形ABCD=AB·CD=3×4=12（cm2）
即 如图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的
学 即
中点，已知三角形DEF面积是6平方厘米，那么三角
等积变形问题归纳总结
等积变形问题归纳总结等积变形是数学中一个经典而重要的问题，涉及到几何和代数两个方面。
这类问题一般给定一个几何形状，然后要求找到一个变形的方法，使得该形状在变形后保持等面积不变。
在这篇文章中，我将对等积变形问题进行归纳和总结，介绍常见的等积变形方法及其应用。
一、等积变形的概念和意义等积变形是指通过某种方式改变一个几何形状，使得变形后的形状与原来的形状面积相等。
这个问题在工程、建筑、地理测量等领域有着广泛的应用。
等积变形的主要目的是在不改变面积的情况下，改变某个几何形状的外观或者其他性质。
在实际应用中，等积变形可以用于设计优化、曲面造型、地图绘制等方面。
二、等积变形的常见方法1. 平移变形：平移是最简单的等积变形方法之一。
平移变形是通过将几何形状整体平行地移动，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
平移变形的关键是保持对称性，即移动后的形状与原来的形状在空间中仍具有相同的位置关系。
2. 旋转变形：旋转变形是通过将几何形状绕一个确定的旋转点旋转一定角度，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
旋转变形的关键是确定旋转中心和旋转角度，以及保持旋转后的形状与原来的形状在空间中具有相同的位置关系。
3. 缩放变形：缩放变形是通过改变几何形状的尺寸，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
缩放变形可以分为等比例缩放和非等比例缩放两种方式。
等比例缩放是将形状的所有尺寸同时按照相同的比例进行缩放；非等比例缩放是将形状的各个尺寸分别按照不同的比例进行缩放。
4. 拉伸变形：拉伸变形是通过改变几何形状的某个方向的尺寸，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
拉伸变形可以在一维、二维和三维空间中进行。
在一维空间中，拉伸变形是指改变线段的长度；在二维空间中，拉伸变形是指改变面的某个方向的尺寸；在三维空间中，拉伸变形是指改变体的某个方向的尺寸。
5. 弯曲变形：弯曲变形是通过施加外力将几何形状弯曲，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
等积变形练习题
等积变形练习题等积变形是一种在数学中常见的概念，它涉及到图形或物体形态的变化，同时保持其面积或体积不变。
通过等积变形，我们可以研究图形之间的关系以及解决一些复杂的数学问题。
本文将介绍一些常见的等积变形练习题，帮助读者加深对等积变形的理解与应用。
1. 矩形的等积变形假设有一片固定面积的矩形，在等积变形的过程中，我们可以改变矩形的长和宽，但保持面积不变。
那么问题来了：在固定面积条件下，矩形的长和宽的关系是怎样的？解答：设矩形的长为x，宽为y，由题意可知xy=常数。
我们可以通过解方程的方法来找出x和y的关系。
将这个方程改写为y=常数/x的形式，其中常数为C。
这意味着y和x成反比例关系，当x增大时，y会减小；当x减小时，y会增大。
这样我们就找到了矩形的等积变形规律。
2. 圆的等积变形与矩形不同，圆的等积变形是指在保持圆的面积不变的情况下改变圆的半径。
现在考虑一个具体的例子：题目：一个圆的半径为r，它的面积为S。
将该圆按照一定的方式等面积地变形成一个新的圆，新的圆的半径为r'。
请问，r'与r之间的关系是怎样的？解答：圆的面积公式为S=πr²，保持面积不变意味着S=πr²=π(r')²。
将这个方程进行变形，可以得到r' = √(S/π)。
也就是说，在等积变形的过程中，圆的半径与原来的半径r之间的关系是r' = √(r²S/S')，其中S'是新圆的面积。
3. 立方体的等积变形对于一个正立方体，它的体积可以通过边长的立方来计算。
在等积变形中，我们可以改变立方体的边长，但保持体积不变。
接下来让我们看一个例子：题目：一个正立方体的边长为a，它的体积为V。
将该立方体等面积地变形成一个新的立方体，新的立方体的边长为b。
请问，b与a之间的关系是怎样的？解答：立方体的体积公式为V=a³，保持体积不变意味着a³=b³。
等积变形
等积变形
定理一：等底等高的三角形面积相等.
定理二：底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。
定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
例1：三角形中ADE中AB=BD,CE=2AC,三角形ADE的面积是12平方厘米，求三角形ABC
E
例2：在三角形ABC中BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别是AB和AC的中点，三角形EBF的面积是多少平方厘米？
C
例3：三角形ABC的面积是56平方米，是平行四边形DEFC的2倍，三角形AED的面积是多少？
C
例4：长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H是AD上的任意一点，求阴影面积。
F G
B
例5：长方形ABCD，平行四边形ADFE，则三角形AOD与三角形EOF的面积哪个大？
练习：
1、下图的平面四边形ABCD中，AF是AB的1/2，AE是AC的1/3，平行四边形ABCD的面
积是三角形AEF的几倍？
A D
F E
B C
2、如图长方形AD长是10厘米，宽是8厘米，三角形ADF的面积比三角形BEF的面积大
20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
C
3、如图平行四边形ABCD中OB=3OE，三角形AOB的面积是30平方厘米，平行四边形ABCD
的面积是多少平方厘米？
A E
B C
4、右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．
O。
六年级奥数 第34讲 等积变形
30×20×24÷(40×30+30×20)＝8（厘米）。
7. 175.84米
把圆筒展开后，横截面（圆环）变成一个长方形（长是纸的长度，宽是纸的厚度），圆筒横截面（圆环）的面积就是长方形的面积，所以长方形的长（纸的长度）等于圆环的面积除以纸的厚度。3.14×[(38÷2)2-(18÷2)2]÷(0.5÷10)÷100=175.84(米)。
6. 7.25厘米
×π×（ ）2×3÷[π×（ ）2]+7=7.25（厘米）
【池中戏水】
1.答案不唯一
2. 6.4厘米
(第2题)
连接AG，在正方形ABCD中，△ABG的底和高分别为正方形边AB与BC，所以，它的面积是正方形ABCD面积的一半。同样，在长方形EBGF中，三角形ABG的底为长方形的长BG，高为长方形的宽EB，所以它的面积也是长方形EBGF面积的一半。由此得出长方形EBGF的面积与正方形的面积相等，即长方形EBGF的面积也为64平方厘米。所以，长方形EBGF的宽为64÷10＝6.4（厘米）。
8. 5倍
设正方体的棱长为 ，切开后两个长方体的表面积之和是 ×8.长方体 的表面积是 ×8× ，底面积是 ；长方体 的表面积是 ×8× ，底面积是 ，所以长方体 的体积是长方体 的5倍。
9.
【海上冲浪】
(第1题)
1. 3平方厘米
连结CF。S△BDF=1，则S△CDF=2，S△CBF=3。由于S△ABE= S△CBE，S△AFE= S△CFE，可得S△ABF= S△CBF=3，设S△AFE=S△CFE=a，则有S△ABD:S△ADC=1:2，即（1+2）:（2+a+a）=1:2，求得a=2，所以S△CDFE=1+2=3（平方厘米）。
等积变形的策略
间接测量法
01
定义
间接测量法是一种通过间接手段测量物体或图形的性质，从而推算其
面积或体积的策略。
02 03
描述
间接测量法通常需要使用数学模型或物理公式来推算面积或体积。例 如，通过测量物体的质量、密度和体积之间的关系，可以推算其面积 或体积。这种方法适用于不规则的或复杂的形状。
优缺点
间接测量法可以减少误差和不确定性，但需要更多的计算和推导过程 ，可能更加复杂和耗时。
混合测量法
定义
混合测量法是一种结合直接测量法和间接测量法的策略，以获得更准确和全面的测量结果 。
描述
混合测量法通常需要同时使用直接和间接测量方法，以获得更全面的数据。例如，在三维 建模中，可以通过直接测量物体的尺寸并使用数学模型来推算其体积。这种方法可以减少 误差和不确定性，同时提高测量的准确性和效率。
优缺点
混合测量法结合了直接和间接测量法的优点，但需要更多的资源和时间来实施。同时，它 也可能需要更多的数据处理和分析技术，以便整合和验证来自不同源的数据。
03
等积变形的技巧
选择合适的测量工具
直尺
用于测量直线段、角度和长度 的变化。
量角器
用于测量角度的变化，特别是在 涉及到角度的等积变形中。
刻度尺
THANKS
谢谢您的观看
等积变形是一种重要的数学思想方法，它涉及到面积守恒和 形状变化的两个方面，是解决几何问题的重要策略之一。
等积变形的重要性
1 2
培养空间观念
等积变形是几何学习中的重要内容，通过训练 学生的等积变形能力，有助于培养学生的空间 观念和几何直觉。
拓展解题思路
等积变形可以帮助学生拓展解题思路，找到更 多的解题方法，提高解决问题的能力。
等积变形篇
等积变形篇丁志浩物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210)768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm、4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m3，做一条桌腿需要木材0.002m3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X张，我们就容易用X表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m3 ，做桌面所需的木材的体积是0.03X m3 .因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m3解：设共做了x张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100.所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。
等积变形的策略
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目录
• 等积变形的基本概念 • 等积变形的策略与方法 • 等积变形在解题中的应用 • 等积变形的技巧与注意事项 • 等积变形的实际应用案例
01
等积变形的基本概念
定义与性质
定义
等积变形是一种保持图形面积不 变的变换，即经过某种变换后， 图形的面积保持不变。
性质
等积变形不改变图形的形状和大 小，只改变图形的位置和方向。
04
等积变形的技巧与注意事项
掌握等积变形的技巧
明确等积变形的概念
等积变形是指图形在经过平移、旋转、轴对称等变换后，其面积 保持不变。
熟悉等积变形的常用方法
如平移法、旋转法、轴对称法等，掌握这些方法的基本原理和操作 步骤。
练习等积变形的题目
通过大量的练习，加深对等积变形概念和方法的理解，提高解题能 力。
仔细审题
在解题前要仔细审题，明确题目要求和条件，避免出现理解错误 或操作失误。
注意细节
在解题过程中要注意细节，如平移的方向、旋转的角度、轴对称 的对称轴等，确保每一步操作都准确无误。
验证答案
在得出答案后要进行验证，确保答案的正确性和合理性。
05
等积变形的实际应用案例
面积问题中的等积变形应用
三角形面积的等积变形
圆形角度的等积变形
通过将圆转化为扇形或弓形，利用等面积关系求圆的角度 。
THANKS
谢谢您的观看
解决几何问题
通过等积变形可以将一些 复杂的几何问题转化为简 单的几何问题，从而更容 易解决。
探索几何规律
通过等积变形可以探索一 些几何规律，如三角形中 的面积关系、四边形中的 对角线长度关系等。
02
等积变形的策略与方法
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铁块体积=上升的水柱体积
4、一个圆柱形容器的内底面直径是12厘米，把 一个铁块从这个容器的水中取出，水面下降了4 厘米，这个铁块的体积是多少？
铁块体积=下降的水柱体积
5、一个圆柱形水槽里面盛有10cm深的水，水槽 的底面积是300cm2 。将一个棱长6cm的正方体铁 块放入水中，水面将上升几厘米？
1、有一段底面是环形的钢管，外圆直 径是40厘米，内圆直径是20厘米， 这根钢管长250厘米，求这根钢管 的体积是多少立方厘米？
2、把一个棱长为6分米的正方体木块， 削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积 多少立方分米？
6cm
3、一个圆柱形容器的底面内半径是5厘 米，现将一个不规则铁块放入容器中， 水面上升了10厘米。这个不规则铁块的 体积是多少？
3、一个人一天的正常饮水量是2升，小华用的是 一个底面半径3厘米、高8厘米的圆柱形水杯。他 每天用这个水杯喝几杯水才能满足身体的需要？
4、有一个汽水瓶的容积是1.2升，现在它里面装有 一些汽水，正放时汽水高度是15厘米倒放时空余 部分高度为5厘米。瓶内现有汽水多少升？
正方体铁块体积=上升的水柱体积
6、把一块长12.56厘米，宽2厘米，高 10厘米的长方体铁块熔化后铸成圆柱， 这个圆柱的体积是多少立方厘米？
熔铸
=
7、把一块长31.4厘米，宽20厘米，高4 厘米的长方体钢坯，熔化后浇铸成底面 半径是4厘米的圆柱体，圆柱体的高是多 少厘米？（损耗不计）
像这些形状不规则的物体,怎么求它们的体积呢？
西 红 柿Leabharlann 土 豆梨石 块
将石块放入盛满水的容器.
放入石块.
测量溢出的水
石块的体积是多少?
溢出的水的体积=石块的体积.
把一根长3米的木料截成四段后，表面积 增加了56.52平方厘米，求原来这根木料 的体积是多少立方厘米？
提示： 先求出圆柱的底面积
把一个长、宽、高分别是9cm、7cm、3cm 的长方体铁块和一个棱长是5cm的正方体 铁块，熔铸成一个圆柱体。这个圆柱体的 底面直径是20cm，高是多少厘米？
一个圆柱高15厘米，如果把高减少3
厘米，表面积就会减少37.68平方厘
米，求这个圆柱的表面积和体积各是 多少？
把一个圆柱的底面分成许多相等
的扇形，沿高切开后，拼成一个 近似的长方体，表面积增加了180
平方厘米，如果这个圆柱的高是
10厘米，体积是多少立方厘米？
1、自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速 是每秒8厘米，一位同学去水池边洗手，走时忘记 关水龙头，3分钟会浪费多少升水？ 2、把一个长4分米、宽2.5分米，高3分米的长方 体，削成一个最大的圆柱体。这个圆柱体的体积 是多少？
1、有一段底面是环形的钢管，外圆直径是40厘米， 内圆直径是20厘米，这根钢管长250厘米，求这根 钢管的体积是多少立方厘米？ 2、把一个棱长为6分米的正方体木块，削成一个 最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？ 3、一个圆柱形容器的底面内半径是5厘米，现将 一个不规则铁块放入容器中，水面上升了10厘米。 这个不规则铁块的体积是多少？ 4、一个圆柱形容器的内底面直径是12厘米，把一 个铁块从这个容器的水中取出，水面下降了4厘米， 这个铁块的体积是多少？ 5、一个圆柱形水槽里面盛有10cm深的水，水槽 的底面积是300cm2 。将一个棱长6cm的正方体铁 块放入水中，水面将上升几厘米？
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一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长 15米，横截面是一个半径2米的半圆。
（1）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约多少平方米？ 求侧面积的一半 + 1个底面积 （2）大棚内的空间大约有多大？？ 求圆柱体积的一半
将一个圆柱体沿着底面直径切成两个半圆柱, 表面积增加了40平方厘米,圆柱的底面直径 为4厘米,这个圆柱的体积是多少立方厘米?