高一数学第七讲 数列教师用 人教版 教案

高一数学第七讲 数列教师用一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。

2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法. 二、数列的求和 （一）常用方法1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. （二）学习要点：“数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考X 围内，学习数列求和不需要学习任何理论，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中，“拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高。

三、数列其他知识1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ⇔{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列k n n a a ⇒{}{}成等差数列成等比数列n b a n a a n log 0⇔>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 例1（1）已知n a =，则 n S =___________。

解∵n a ===∴11n S n =++1)(1n =++++1=（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。

解析：第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－a b )升，第二次有纯酒精a (1－ab )－b a a ba )1(-，即a (1－a b )2升，故第n 次有纯酒精a (1－a b )n 升.答案：a (1－ab )n（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。

{}35471310357101311341041011341013223()2()1366244426.2n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a S +=+=+++++=+=∴+=+=+=∴==解：在等差数列中，，，从而（），，即，（4）数列｛a n ｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负，则前n 项和S n 的最大值________。

解：由已知a 6=a 1＋5d =23＋5d ＞0，a 7=a 1＋6d =23＋6d ＜0，解得:－523＜d ＜－623，又d ∈Z ，∴d =－4∵d ＜0，∴{a n }是递减数列，又a 6＞0，a 7＜0 ∴当n =6时，S n 取得最大值，S 6=6×23＋256⨯ (－4)=78例2．首项为正数的等差数列}{n a ，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？[解法一]记}{n a 的前n 项和为n S ，,114S S =∴11122111143111014110,227(1)115225()(15)[()],2714142478,,n n a d a d d a a a n n S na a n n n n n S ⨯⨯∴+=+⇒=-<-∴=+⨯-=-+=--+∴==或时最大[解法二]由解法二知}{,0711n a a d ∴<-=是首项为正数的单调递减数列，∴所有的正数项的和最大，>>>==>>>∴=⇒=+++⇒=10988721811651140,0070a a a a a a a a a a a S S 而}{7a ∴中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数，而8787,S S S S 或∴=最大.[评析]解法一抓住了)(n f S n =是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察}{n a 的单调性与正、负项的情况得到最大项.例3设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,0,0,1213123>>=S S a（1）求公差d 的取值X 围； （2）指出n S S S ,,,21 中哪一个最大？说明理由； [解析]（I ）00)(32)(60767612112>+⇒>+=+⇒>a a a a a a S ……①，001307713<⇒<⇒<a a S ……②，由①、②得;37240407233-<<-⇒⎩⎨⎧<+>+d d a d a（II ）由①、②得}{,0,0776n a d a a a <⎩⎨⎧<>->而为递减数列，;,,,0687662187621最大故而S S S S S S S a a a a a >>><<<∴>>>>>>∴例4．解答下述问题：（1）已知数列}{n a 的通项公式)12)(12()2(2+-=n n n a n ，求它的前n 项和.[解析],1212++-=n nn n a n ),1212()121321()5232()311(++-+--+--+++++=∴n nn n n n n n S n=1212)12121()5352()3231(1++=++-+--++++++n n n n n n n n n =12)1(2++n n n （2）已知数列}{n a 的通项公式,)]1([122++=n n n a n 求它的前n 项和. [解析],)1(11)1()1(222222+-=+⋅-+=n n n n n n a n 2222222211111111(1)()()()1.223(1)(1)(1)n S n n n n n ∴=-+-++-+-=--++ （3）已知数列.}{,)109()1(n n nn S n a n a 项和的前求⨯+= [解析]n n n b n a )109(,1=+=为等差数列 为等比数列，∴应运用错位求和方法：.)109()10(999),10()109(1099)109()1(])109(1[108159)109()1(])109()109()109[(59101:,)109()1()109(3)109(2109;)109()1()109(31092111321322n n n n n n n n n n n n n S n n n S n S n S ⨯+-=∴+-=⨯+--⨯+=⨯+-++++=⨯+++⨯+⨯=∴⨯+++⨯+⨯=++++ 两式相减得例5．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '．解：（1）由题意：410n n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n nS b b b n n n -+'=+++==-+ 当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+ ∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．例6．已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2)21(+=n n n a S S 满足， （I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式；（II ）求证.211121<+++nS S S [解析]（I ）2)1(4+=n n a S ①， 而 211)1(4+=--n n a S ②，①—②得,0)2)((0)(2111212=--+⇒=+------n n n n n n n n a a a a a a a a2}{),2(2,01=∴≥=-∴>-d a n a a a n n n n 是公差 的等差数列， ;12,1)1(41211-=∴=⇒+=n a a a a n 而（II ）22221212111111,nS S S n S n n +++=+++∴= 2121111(2),(1)11111111111(1)()()2 2.2231n n n n n n n S S S n n n<=-≥--∴+++<+-+-++-=-<-例7．已知a>0且a ≠1，数列{n a a n }是首项、公比都为a 的等比数列，令lg n n n b a a =(n ∈N)。

（1）当a=2时，求数列{n b }的前n 项之和；（2）当a=76时，数列{n b }中从第几项开始每一项总小于它后面的项。

解 （1）依题有a n =a n,∴b n =na nlga 。

∴Sn=(1+2a+3a 2+…+na n －1)·alga,可求得S n =2)1(lg a a a -[1－(1+n －na)·a n ] 当a ≥2时，S n =2[1+(n －1)·2n]lg2。

（2）令b k+1>b k ,（k ∈N ），则b k+1－b k =(k+1)·（76）k －1·lg 76－k ·(76)k ·lg 76=(76)k ·(76－71k)·lg 76,∵（76）k >0,lg 76<0，而b k+1>b k ,∴76－71k<0。