一元二次方程概念
六年级下册一元二次方程的意义,公式,定理
六年级下册一元二次方程的意义,公式,定理
一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的次数最高为2的整式方程叫做一元二次方程。
例如x^2-3x+1＝0，但要注意方程要化简之后满足上述条件才行，比如x^2-3x＝x^2+1，就不是一元二次方程。
二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知项的次数为1的整式方程，例如2x-3y＝1。
概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式为：ax²+bx+c=0（a≠0）。
一元二次方程必须同时满足三个条件：
1.是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
2.只含有一个未知数。
3.未知数项的最高次数是2。
一般形式
ax²+bx+c=0(a≠0)
其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b 是一次项系数；c是常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
一元二次方程式解法公式
一元二次方程式解法公式一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
解一元二次方程的一种常用方法是使用解法公式，也称为求根公式。
解法公式可以直接计算出方程的解，进而求解方程。
一元二次方程的解法公式可以分为两种情况讨论：当方程有实数根时，以及当方程有复数根时。
1. 当方程有实数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ的值决定了方程的根的性质：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即重根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
2. 当方程有复数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，复数根的虚部用i表示，即i = √(-1)。
与实数根的情况相比，复数根的判别式为4ac - b^2。
当判别式4ac - b^2 > 0时，方程有两个共轭复数根；当判别式4ac - b^2 = 0时，方程有两个相等的复数根，即重根；当判别式4ac - b^2 < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
通过解法公式，可以直接计算出一元二次方程的解。
根据公式中的系数a、b、c的不同取值，可以得到方程的不同解的情况。
需要注意的是，解法公式只适用于一元二次方程，对于其他类型的方程不适用。
此外，解法公式的使用还需要注意以下几点：1. 在计算解时，需要先计算出判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质。
2. 当判别式的值为0时，仍然需要进行计算，并且在计算过程中需要注意虚部的表示方式。
一元二次方程解法知识点总结
一元二次方程解法知识点总结一元二次方程是高中数学中重要的概念之一，解一元二次方程是解决实际问题中的关键步骤。
在本文中，我将总结一元二次方程解法的主要知识点。
以下是详细介绍：一、一元二次方程的定义和一般形式一元二次方程指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，且a ≠ 0。
二、求一元二次方程的解的三种方法1. 因式分解法因式分解法是解一元二次方程的一种简单方法，适用于方程可以因式分解的情况。
2. 完全平方式当一元二次方程无法因式分解时，我们可以使用完全平方式解方程。
公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
3. 直接法（配方法）当一元二次方程无法因式分解且也不适用完全平方式时，我们可以使用配方法解方程。
通过变形将一元二次方程转化为一个平方的求解问题。
三、一元二次方程解的判别式判别式用于判断一元二次方程的解的性质。
判别式的公式为：Δ = b² - 4ac，其中Δ≥0且Δ<0代表不同的解的情况。
四、一元二次方程解的特殊情况1. 重根情况：当判别式Δ = 0时，方程仅有一个解，此时方程的两个解重合。
2. 无解情况：当判别式Δ < 0时，方程无实数解。
五、一元二次方程解法的应用一元二次方程解法的应用非常广泛，例如可以用来解决关于运动、生活中的数学题目，比如求解物体下落时间、销售利润最大化等。
六、例题与解析为了更好地理解一元二次方程解法，以下是两个例题的详细解析：例题1: 解方程x² - 5x + 6 = 0。
解析：首先计算判别式Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1。
由于判别式Δ > 0，方程有两个不相等的实数解。
接下来使用公式 x = (-b ± √Δ) / 2a 计算解，得到：x₁ = (5 + √1) / 2 = 3x₂ = (5 - √1) / 2 = 2所以，方程的解为x₁ = 3和x₂ = 2。
一元二次方程概念及其解法
对于一元二次方程，最多有两个解，也 可能有一个解或无解。
解的情况取决于判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值：当 $Delta > 0$ 时，方 程有两个不相等的实数根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根 （即一个重根）；当 $Delta < 0$ 时，
方程无实数根。
其他实际问题
增长率问题
已知某量的增长率和初始值，求经过一段时间后 的总量。
储蓄问题
已知本金、利率和存款期限，求到期后的本息和。
工程问题
已知工作效率和工作时间，求工作总量或剩余工 作量。
05 一元二次方程与函数关系 探讨
一元二次函数图像性质
开口方向
当a>0时，抛物线开口 向上；当a<0时，抛物
线开口向下。
对称性
顶点
抛物线关于对称轴对称， 对称轴为x=-b/2a。
抛物线的顶点坐标为(b/2a, c-b^2/4a)，是抛 物线的最高点或最低点。
与x轴交点
当Δ=b^2-4ac≥0时，抛 物线与x轴有交点，交点 坐标为(-b±√Δ/2a, 0)。
判别式与函数图像关系
判别式Δ=b^2-4ac 的值决定了抛物线与 x轴的交点个数
frac{n}{m}$，$x_2 = frac{q}{p}$
03 特殊类型一元二次方程求 解
完全平方型
概念
示例
完全平方型一元二次方程是指可以化 为 $(x+a)^2=b$ 或 $(x-a)^2=b$ 形式的一元二次方程。
方程 $(x+3)^2=16$ 可以化为 $x+3=pm4$，解得 $x=-3pm4$， 即 $x_1=1$，$x_2=-7$。
一元二次方程知识点总结和例题——复习
知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，那么这个方程就为一元二次方程。
〔4〕将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足〔a≠0〕3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0〔a≠0〕后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
4.一元二次方程的解法〔1〕直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如bax=+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，ax+是b的平方根，当0≥b时，bax±=+，bax±-=，当b<0时，方程没有实数根。
〔2〕配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa+=+±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，那么有222)(2bxbbxx±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．〔3〕公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程举例
一元二次方程举例
一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
下面举几个例子：
例一：求解方程x+2x-8=0。
解法：将方程化为标准形式，得x+2x=8。
再利用配方法，将等式左边的x+2x加上1，同时将等式右边的8加上1，即：
x+2x+1=9
(x+1)=9
对两边求平方根，得x+1=±3，即x=-1±3，故方程的解为x1=-4，x2=2。
例二：求解方程2x-5x-3=0。
解法：同样将方程化为标准形式，得2x-5x=3。
再利用配方法，将等式左边的2x-5x加上1/4，同时将等式右边的3加上1/4，即： 2(x-5/4)=49/8
(x-5/4)=49/16
对两边求平方根，得x-5/4=±7/4，即x=3或x=-1/2，故方程的解为x1=-1/2，x2=3。
例三：求解方程x-6x+9=0。
解法：将方程化为标准形式，得x-6x+9=(x-3)=0。
因为一个数的平方等于0，当且仅当这个数等于0，所以方程的解为x=3。
这里仅给出了简单的例子，实际上解一元二次方程可能需要运用
更多的数学知识和技巧。
一元二次方程的概念
一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
概念介绍一元二次方程是代数学中的重要内容，也是高中数学的基础知识之一。
它的研究对象是只涉及一个未知数的二次方程。
一元二次方程的解是指能够使方程成立的未知数的取值，通常表示为x的取值。
一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，而x是未知数。
这个方程的解可以是实数，也可以是复数。
解的求解过程主要依赖于求根公式以及配方法。
求解一元二次方程的方法求解一元二次方程常用的方法包括因式分解、配方法和求根公式等。
1. 因式分解法：当一元二次方程能够被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过求解两个一次方程来找到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x +2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2和x = -3为方程的解。
2. 配方法：当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法进行求解。
配方法的关键是通过添加适当的常数使得方程能够表示成一个完全二次平方的形式。
例如，对于方程x^2 - 6x - 27 = 0，我们可以将其配成(x - 3)^2 - 36 = 0的形式，进而得到(x - 3)^2 = 36，解得x = 9和x = -3为方程的解。
3. 求根公式：求根公式是利用判别式来求解一元二次方程的方式。
判别式Δ = b^2 - 4ac可以帮助我们判断方程的解的情况。
当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数解；当Δ小于0时，方程有两个共轭复数解。
求根公式为x = (-b ± √Δ) / 2a。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以计算得到Δ = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4，因此有两个不相等的实数解x = (4 ± √4) / 2 = 2 ± 1。
一元二次方程知识点归纳
一元二次方程知识点归纳一、一元二次方程的概念：1、含有1个未知数；2、未知数最高次数是2；3、必须整式方程（分母不能含有未知数）4、形式：）（002≠=++a c bx ax5、二次项：2ax ；一项：bx ；常数项 ：c6、二次项系数：0≠a ；一次项系数 ：b （全体实数）；常数项 ：c （全体实数）二、解方程的方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（1）02=+c ax c ax —=2 a c x —=2 ac x -±= （2）02=+bx ax 0=+）（b ax x a b x x -==210； （3）p n mx =+2)（ p n mx ±=+ n p mx —±= mn p x -±=（4）0)()(=+++b ax N b ax M 0)(=++b ax N M ）（（5）02=++n mx x n m m mx x -=++222)2()2( 44)2(22n m m x —=+ 4422n m m x —±=+ 242m n m x --±= （6）)0(02≠=++a c bx ax ）（ac b b x 422-=∆∆±-=三、一元二次方程根的判别式——ac b 42-=∆1、一元二次方程根的情况： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<∆⎪⎩⎪⎨⎧==∆≠>∆≥∆（无解））（有两个相等实数根：）：（有两个不相等实数根（有两个实数根）00002121x x x x 2、规律：（1）当0<ac 时，必定0>∆，即一元二次方程有两个不相等实数根（2）当c=0时，ab x x -==210；，即一元二次方程有一根为0 （3）当b=0时，ac x —±=，即一元二次方程两根互为相反数 （4）当a=c 时，一元二次方程两根互为倒数四、一元二次方程的“根”（1）“根”：代入原方程使得左右两边相等的未知数的值（2）韦达定理：a b x x -=+21；a c x x =21；cb x x —=+2111； 2122122212x x x x x x —）（+=+ ；212212214)(x x x x x x —）（+=-五、配方法的应用（1）解一元二次方程（2）讨论∆（3）讨论恒值（4）平方的非负性六、应用题（1）“围栏”问题①设宽为x ；利用周长用x 的代数式表示长（注意：有围墙与无围墙区别） ②利用矩形面积公式列出并列出方程③结合实际，列出关于长、宽取值范围的不等式组，解得x 的取值范围（2）“边框问题”（挖角）（3）“挖路问题”（平移计算）（4）平均增长率：n x a M )1(+=（M ：后量；a ：现量；x ：增长率；n ：经过次数）（5）“握手”问题——单循环：2)1(-n n ；双循环：）（1-n n （6）直角三角形问题（7）“黄金分割”：215-=x （8）多边形的对角线条数：2)3(-n n （9）利润问题：调价幅度与销量增减成比例关系①设调价为x ；根据题意得，销量增幅：kx②调价后单价=原售价±调价；调价后销量=原销量±销量增幅调价后总收入=调价后单价×调价后销量③进货量=调价后销量④总成本=单成本×进货量5调价后总利润=调价后总收入-总成本（2）①单利润=单售价—单成本②总利润=单利润×销量。
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(1) x2 10x 900 0
(2)5x2 10 x 2.2 0 (3)2x2 15 0 (4) x2 3x 0
(5) ( x 2) 3
2
(6) ( x 3)( x 3) 0
2 2、关于 x 的方程 ax 3x 2 0 是一元二次方程，则
知识点三： 一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解（根） 。
【例题】 1、已知方程 3x 9 x m 0 的一个根是 1，则 m 的值是
2
。
2、 已知 x 1 是一元二次方程 x 2mx 1 0 的一个解， 则 m 的值是
2
（
）
（A）1
（B）0
2
）
1 +4=0 x
（D）3x +(1+x) +1=0 （ （D）不等于 2 ）
2
5、 若关于 x 的方程 a(x－1)2=2x2－2 是一元二次方程， 则 a 的值是 （A）2 （B）－2 （C）0 6、已知关于 x 的方程 m 1x n 3 x p 0 ，当
2 2
时，方程为一次方程；
【变式训练】 1、已知关于 x 的方程 m 2 x
m2 2
xm 0：
（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。
知识点二：
一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，•都能化 成如下形式 ax +bx+c=0（a≠0） 。 一个一元二次方程经过整理化成 ax +bx+c=0（a≠0）后，其中 ax 是二次项，a 是二次项系 数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 【温馨提示】 ① 任何一个一元二次方程经过整理都能化成一般形式，注意 a≠0 ②在确定各项的系数时必须将方程化成一般形式 ③项的系数包括它前面的符号 【例题】 1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
（
） （D） a 0
（A） a 0
（B） a 0
（C） a 1
3、将下列一元二次方程化成一般形式，并找出a、b、c的值.
2 (1) 4 x 3 5 x ；
(2) 2 x 2 8 3x x 1 4、方程（m －1）x ＋mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 满足的条件是„（ （A）m≠1 （B）m≠0 （C）|m|≠1 （D）m＝±1 5、关于 x 的方程 3x 2 x 6 0 中 a 是
一元二次方程的概念
知识点一： 一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是
程叫一元二次方程。 【温馨提示】 要判断一个方程是否为一元二次方程，要同时满足含有一个未知数、未 知数次数最高次数是 2 、整式方程这三点。 【例题】 2 的整式方
1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√” ，不是的打“×” ，并说明 理由. (1)2x 2 -x-3=0. (2)
2
x 1 3 的解相同。 x 1
（1） 求 k 的值； （2） 求方程 x kx 2 0 的另一个解。
2
【变式训练】 1、设 x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x px q 0 的两个根， x1 1, x2 1 是关于 x 的一
2
元二次方程 x qx p 0 的两个根，则 p, q 的值分别等于多少？
2
2
2 2
）
；b 是
；c是
。 。
6、 方程 3x 2 x 5 3x 2x 5 49的一般形式为
7、方程(m-5)(m-3)x m 2 +(m-3)x+5=0 中，当 m 为何值时，此方程为一元二次方程?
【变式训练】关于 x 的方程(a2 +a-2)x 2 +ax+b=0 是一元二次方程条件是（） （A）a≠0 （B）a≠－2 （C）a≠－2 且 a≠1 （D）a≠1
4 +6=0. x x (10)3x 2 = -3. 4
(9)3x 2 -
2、判断下列方程是否为一元二次方程：
(1).x 2 x 1 (2).x 2 1 1 (3).x x 2 (4).x 3 x 2 y 0 (5).x 2 3 ( x 1)( x 2) (6).ax 2 bx c 0 (7).mx 2 0(m为不等于0的常数)
y -y 2 =0. 4
（ ） （ （ （ （ （ （ （ （ （ ） ） ） ） ） ） ） ） ）
(3) t 2 =0. (4) x 3 -x 2 =1. (5) x 2 -2y-1=0. (6)
1 -3=0. x2
(7) x 2 3x =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1) 2 .
2
（C）0 或 1
（D） a 0 。
3、若 x 1 是一元二次方程 ax bx 2 0 的一个根，则 a b
4、 实数
b b 2 4ac 是方程 2a
2
的根
2ห้องสมุดไป่ตู้
（
）
（A） ax bx c 0 （B） ax bx c 0 2 2 （C） ax bx c 0 （D） ax bx c 0 2 2 5、设 a 是一元二次方程 x 5 x 0 的较大根， b 是 x 3x 2 0 较小根，那么 a b 的值是 （ ） （A）-4 （B）-3 （C）1 （D）2 6、已知关于 x 的一元二次方程 x kx 2 0 的一个解与方程
2
3、 下列方程中， 关于 x 的一元二次方程是 （A） 3 x 1 2 x 1
2
（ （B）
）
1 1 20 x2 x
（C） ax 2 bx c 0 4、 下列方程中， 不是一元二次方程的是 （A）2x +7=0 （C）5x +
2 2
（D） x 2 2 x x 2 1 （ （B）2x +2 3 x+1=0