1921正比例函数
八年级数学下册第19章一次函数1921正比例函数第2课时教案新人教版
19.2.1 正比例函数（2）【教学目标】知识与技能：1.理解正比例函数的概念.2.会用描点法画正比例函数图象.3.掌握正比例函数的性质．过程与方法：1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，培养学生数学建模的能力．2.通过对正比例函数的性质的探究，使学生经历做数学的过程，初步形成正确、科学的学习方法.情感态度与价值观：1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到生活实例中有大量的函数模型，激发学生学习数学的兴趣．2.培养学生热爱自然、热爱生活的优秀品质.【教学重点】1.正比例函数的概念.2.探究正比例函数的性质.【教学难点】正比例函数的性质中的y与x的变化关系.【教学过程】一、创设情境，引入新知1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2) 这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？(3) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？师生活动：教师用多媒体呈现问题，学生思考并解答.教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式. 注意自变量的取值范围．设计意图：通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育.同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力.二、观察思考、归纳概念问题1：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数．（1）圆的周长 l 随半径r 的大小变化而变化；（2）小华步行的速度为每分钟30米，小华所走的路程S （单位：米）随他所走的时间t （单位：分钟）的变化而变化.（3）每个练习本的厚度为0.5 cm ，一些练习本摞在一起的总厚度 h （单位：cm ）随这些练习本的本数 n 的变化而变化；（4）冷冻一个0 ℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：分）的变化而变化．（5）小华步行所走的路程为300米，他所走的时间t （单位：分钟）随他步行的速度（单位：米/分）的变化而变化.师生活动：教师多媒体呈现上述五个实际问题.学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈. 教师要重点关注：（1）题中学生易将写成.（4）题中每分钟下降2℃应记为“-2℃”，避免学生将写为.关注学生能否准确找出中的常量.设计意图：通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点.通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程. 问题2：将上表中的前四个函数与第五个函数进行比较，思考：前四个函数有什么共同特点？ 师生活动：学生观察、思考.小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈.教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点.教师根据学生的表述板书：共同点：常数×自变量．学生阅读教材正比例函数的概念，教师板书：概念：一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．函数解析式 常数 自变量 函数 （1）l=2πr 2π r l （2）S=30t 30 t S （3）h=0.5n0.5 n h （4）T= －2t -2t T （5）300vt教师追问：这里为什么强调k是常数，k≠0呢？学生交流、讨论，互相补充.设计意图：通过将前四个函数与第五个函数进行比较，是学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.有效地克服了因没有对比直接观察使学生出现的不适性、盲目性.培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力.三、练习运用，内化概念判断下列函数是否为正比例函数？如果是，请指出比例系数.①；②；③；④；⑤；⑥师生活动：学生独立解答，教师巡视.教师根据学生反馈情况，引导学生根据“常数×自变量”归纳辨别正比例函数要注意的问题.教师重点关注学生能否正确辨别以下函数：、、.设计意图：使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.四、合作探究，概括性质1.画一画画出下列函数的图像.（要求：选择和本人学号相同的题号，画出函数图象）（1）①②（2）①②（3）①②（4）①②（5）①②（6）①②师生活动：教师讲清要求，巡视指导.学生按要求绘制函数图象.设计意图：使学生熟练函数图象的画法.为下一环节小组观察图像、归纳正比例函数图象做准备.避免只看一两个函数图象就轻易下结论的不科学、不客观的作法.学生选取与学号一致的题号画函数图象，是为了在画图环节不占用较多的时间和精力，以免影响教学效率.不同学生绘制不同函数图象，是为了学生在合作探究时可以观察到更多的函数图象，避免学生利用不完全归纳法归纳正比例函数性质时因图像数量少，从而缺乏典型性、缺少可信度的不科学作法.2.想一想以小组为单位，观察本组成员所画图像，你有什么发现？师生活动：学生以小组为单位进行观察、分析、交流，归纳正比例函数的性质.教师各组巡视，认真倾听各小组的想法，为汇总性质做准备.各小组出代表进行汇报，教师逐条板书.图像k的取值图像经过象限图像变化趋势y与x的关系k＞0 三、一象限从左向右图像呈上升趋势随着x的增大y也增大K＜0 二、四象限从左向右图像呈下降趋势随着x的增大y反而减小设计意图：培养学生的观察、分析、猜想等能力，发展学生的思维，使学生的思维在思维的深度和广度上有所发展.培养学生合作探究的意识和能力，使学生学会合作，学会倾听，学会交流.3.试一试利用课件验证你的猜想是否正确.师生活动：教师为学生提供可供学生动手操作的探究课件.学生利用几何画板课件动手验证环节二中猜想出的各种结论.设计意图：通过学生自己利用几何画板课件进行动态验证，激发学生的学习兴趣，培养学生动手实践的能力，同时使学生亲历画图——观察——猜想——验证，给学生提供自主探索的机会，使学生亲身体验做数学的过程，知道学习数学、研究数学的基本程序.五、想一想正比例函数的图像是经过原点的直线，那么怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？师生活动：教师引导学生思考、交流、归纳，得出两点法.六、练一练用你认为最简单的方法画出正比例函数的图像（教科书第113页练习）师生活动：学生练习，教师巡视指导.设计意图：巩固“两点法”画图像的方法.七、小结与作业：小结：本节课你有哪些收获？用你的语言说一说.作业：教材第120页1题、2题.设计意图：通过学生自己回顾、归纳本节内容，使学生对本节课的内容进行一次重新梳理，使学生能从整体上对本节内容有一个深刻地认识，使知识内化.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故选C.2．下列命题是真命题的是（）A．和是180°的两个角是邻补角；B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；C．两点之间垂线段最短；D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.【答案】D【分析】由邻补角的定义判断A，由过直线外一点作已知直线的平行线判断B，两点之间的距离判断C，由点到直线的距离判断D，从而可得答案．【详解】解：邻补角：有公共的顶点，一条公共边，另一边互为反向延长线，所以：和是180°的两个角是邻补角错误；故A错误；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故B错误；两点之间，线段最短；故C错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；正确，故D正确；故选：.D【点睛】本题考查的是命题的真假判断，同时考查邻补角的定义，作平行线，两点之间的距离，点到直线的距离，掌握以上知识是解题的关键．3．下列四个多项式，能因式分解的是()A．a－1 B．a2＋1C．x2－4y D．x2－6x＋9【答案】D【解析】试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．试题解析：x2-6x+9=（x-3）2．故选D．考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．4．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，故点P到AB的距离是3，故选A5．如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组（）的解．A．x2y22x y2-=-⎧⎨-=⎩B．y x1y2x2=-+⎧⎨=-⎩C．x2y12x y2-=-⎧⎨-=-⎩D．y2x1y2x2=+⎧⎨=-⎩【答案】A【分析】首先利用待定系数法求出l1、l2的解析式，然后可得方程组．【详解】解：设l1的解析式为y=kx+b，∵图象经过的点（1，0），（0，-2），∴b20k b=-⎧⎨=+⎩，解得：b2 k2=-⎧⎨=⎩，∴l1的解析式为y=2x-2，可变形为2x-y=2，设l2的解析式为y=mx+n，∵图象经过的点（-2，0），（0，1），∴n102m n=⎧⎨=-+⎩，解得：n11 m2=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴l2的解析式为y=12x+1，可变形为x-2y=-2，∴直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组x2y22x y2-=-⎧⎨-=⎩的解．故选：A．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数解析式组成的方程组的解．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（）A．3 B．3.3 C．4 D．4.5【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据勾股定理求出BD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，在Rt △BCD 中，BC 2+CD 2＝BD 2，即42+（8﹣BD ）2＝BD 2， 解得，BD ＝5， ∴CD ＝8﹣5＝3， ∴△BCD 的面积＝12×CD×BC ＝12×3×4＝6， ∵P 是BD 的中点， ∴S △PBC ＝12S △BCD ＝3， 故选：A ． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 7．如图，A 、C 是函数1y x=的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ．记Rt AOB ∆的面积为1S ，Rt COD ∆的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）A ．12S S >B ．12S S <C ．12=S SD ．由A 、C 两点的位置确定【答案】C【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12k|． 【详解】由题意得：S 1=S 2=12|k|=12． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数y ＝kx中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．8．在1x，13，21x+，2xx+中分式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】由题意根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式进行分析即可．【详解】解：1x，13，21x+，2xx+中分式有1x，21x+，2xx+共计3个.故选：B.【点睛】本题主要考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．9．甲骨文是中国的一种古代文字，又称“契文”、“甲骨卜辞”、“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是汉字的早期形式，是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字，如图为甲骨文对照表中的部分内容，其中可以抽象为轴对称图形的甲骨文对应的汉字是（）A．方B．雷C．罗D．安【答案】C【解析】根据轴对称图形的概念观察图形判断即可．【详解】由图可知，是轴对称图形的只有“罗”.故答案选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念.10．点E（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n﹣1）对应的点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】C【分析】根据坐标的平移方法进行分析判断即可.【详解】(m+1)﹣m＝1，n﹣(n﹣1)＝1，则点E(m ，n)到(m+1，n ﹣1)横坐标向右移动1单位，纵坐标向下移动1个单位，故选C ．【点睛】本题考查了坐标的平移，正确分析出平移的方向以及平移的距离是解题的关键.二、填空题11．在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点B 在原点O ，直角边BC ，在x 轴的正半轴上，90ACB ︒∠=,点A 的坐标为()3,3，点D 是BC 上一个动点（不与B,C 重合），过点D 作DE BC ⊥交AB 边于点E,将ABC ∠沿直线DE 翻折，点B 落在x 轴上的F 处．（1）ABC ∠的度数是_____________；（2）当AEF ∆为直角三角形时，点E 的坐标是________________．【答案】30° （1，33）或（2，33） 【分析】（1）根据∠ACB=90°以及点A 的坐标，得到AC 和BC 的长，再利用特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据直角三角形的定义可分三种情况考虑：①当∠AEF=90°时，②当∠AEF=90°时，③当∠EAF=90°时，三种情况分别求解．【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，点A 的坐标为(3，∴3BC=3， ∴tan ∠ABC=AC BC 3 ∴∠ABC=30°，故答案为：30°；（2）△AEF 为直角三角形分三种情况：①当∠AEF=90°时，∵∠OED=∠FED ，且∠OED+∠FED+∠AEF=180°，∴∠OED=45°．∵∠ACB=90°，点A 的坐标为(3，∴tan∠ABC=30°．∵ED⊥x轴，∴∠OED=90°-∠ABC=60°．45°≠60°，此种情况不可能出现；②当∠AFE=90°时，∵∠OED=∠FED=60°，∴∠AEF=60°，∵∠AFE=90°，∴∠EAF=90°-∠AEF=30°．∵∠BAC=90°-∠ABC=60°，∴∠FAC=∠BAC-∠EAF=60°-30°=30°．∵∴CF=AC•tan∠FAC=1，∴OF=OC-FC=3-1=2，∴OD=1，∴DE=tan∠ABC×∴点E的坐标为（1；③当∠EAF=90°时，∵∠BAC=60°，∴∠CAF=∠EAF-∠EAC=90°-60°=30°，∵∴CF=AC•tan∠FAC=1，∴OF=OC+CF=3+1=4，∴OD=2，∴DE=tan∠ABC×，∴点E的坐标为（2）；综上知：若△AEF为直角三角形．点E的坐标为（12）．故答案为：（1，3）或（2，233）． 【点睛】 本题考查了一次函数图象与几何变换、角的计算以及解直角三角形，解题的关键是根据角的计算以及解直角三角形找出CF 的长度．本题属于中档题，难度不大，但在解决该类题型时，部分同学往往会落掉2种情况，因此在平常教学中应多加对学生引导，培养他们考虑问题的全面性．12．将一次函数y=-2x-1的图象沿y 轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为______ ．【答案】y=-1x+1【分析】注意平移时k 的值不变，只有b 发生变化．向上平移3个单位，b 加上3即可．【详解】解：原直线的k=-1，b=-1；向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的k=-1，b=-1+3=1． 因此新直线的解析式为y=-1x+1．故答案为y=-1x+1．【点睛】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后k 值不变．13．如图，一次函数1y kx b =+和2y mx n =+交于点A ，则kx b mx n +>+的解集为___．【答案】1x >【分析】找出1y kx b =+的图象在2y mx n =+的图象上方时对应的x 的取值范围即可.【详解】解：由函数图象可得：kx b mx n +>+的解集为：1x >，故答案为：1x >.【点睛】本题考查了利用函数图象求不等式解集，熟练掌握数形结合的数学思想是解题关键.14．如图，在△ABC 中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为________．【答案】1.1【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD ，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F ，再根据等角对等边求出AD=DF ，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【详解】解：∵AB=AC ，AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，∵DF ∥AB ，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF ，∵∠B=90°﹣60°=30°，∴AD=12AB=12×11=1.1， ∴DF=1.1．故答案为1.1．考点：等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．15．在平面直角坐标系中，已知一次函数21y x =+的图像经过111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若12x x <，则1y 2y .（填”>”，”<”或”=”）【答案】<.【解析】试题分析：一次函数y kx+b =的增减性有两种情况：①当k 0>时，函数y kx+b =的值随x 的值增大而增大；②当k 0<时，函数y kx+b = y 的值随x 的值增大而减小.由题意得，函数21y x =+的k 0>，故y 的值随x 的值增大而增大.∵12x x <，∴12y y <.考点：一次函数图象与系数的关系.16．如图，△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过O 作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F ，若△ABC 的周长比△AEF 的周长大11cm ，O 到AB 的距离为4cm ，△OBC 的面积_____cm 1．【答案】242cm ．【分析】由BE=EO 可证得EF ∥BC ，从而可得∠FOC=∠OCF ，即得OF=CF ；可知△AEF 等于AB+AC ，所以根据题中的条件可得出BC 及O 到BC 的距离，从而能求出△OBC 的面积．【详解】∵BE=EO ，∴∠EBO=∠EOB=∠OBC ，∴EF ∥BC ，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF ，∴OF=CF ；△AEF 等于AB+AC ，又∵△ABC 的周长比△AEF 的周长大22cm ，∴可得BC=22cm ，根据角平分线的性质可得O 到BC 的距离为4cm ，∴S △OBC =12×22×4=24cm 2． 考点：2．三角形的面积；2．三角形三边关系．17．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝15，AC ＝12，那么Rt △ABC 的面积是_____．【答案】2【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可求出BC 的长度，即可解决问题．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝10°，AB ＝15，AC ＝12，∴BC 1．∴S △ABC ＝12×1×12＝2 故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理的知识，属于基础题，解题关键是掌握勾股定理的形式．三、解答题18．计算：（x ﹣2）2﹣（x ﹣3）（x+3）【答案】﹣4x+1．【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值．【详解】解：（x ﹣2）2﹣（x ﹣3）（x+3）＝x 2﹣4x+4﹣（x 2﹣9）＝x 2﹣4x+4﹣x 2+9＝﹣4x+1．【点睛】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．19．如图1，定义：在四边形ABCD 中，若180ADB BCA ∠+∠=，则把四边形ABCD 叫做互补四边形． （1）如图2，分别延长互补四边形ABCD 两边AD 、BC 交于点E ，求证：E CAB DBA ∠=∠+∠． （2）如图3，在等腰ABE ∆中，AE BE =，D 、C 分别为AE 、BE 上的点，四边形ABCD 是互补四边形，2E CAB ∠=∠，证明：222AD BD AB +=．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）结合互补四边形的定义，利用三角形外角的性质可证122180E ∠+∠+∠=︒，利用三角形内角和定理可证12180E CAB DBA ∠+∠+∠+∠+∠=︒，由此可证E CAB DBA ∠=∠+∠； （2）根据（1）的结论结合2E CAB ∠=∠，可证CAB DBA ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可证EAB EBA ∠=∠，再利用公共边AB 可证明ABD ∆≌BAC ∆，根据全等三角形的性质和互补四边形的定义可证90ADB ∠=︒，再根据勾股定理可证．【详解】解：（1）证明：如下图，∵1,2,180,E BCA E ADB BCA ADB ∠+∠=∠∠+∠=∠∠+∠=︒∴122180E ∠+∠+∠=︒，又∵180,1,2E EAB EBA EAB CAB EBA DBA ∠+∠+∠=︒∠=∠+∠∠=∠+∠,∴12180E CAB DBA ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴E CAB DBA ∠=∠+∠;（2）由（1）得E CAB DBA ∠=∠+∠，又∵2E CAB ∠=∠，∴CAB DBA ∠=∠，∵AE BE =,∴EAB EBA ∠=∠,又∵AB=BA ，∴ABD ∆≌BAC ∆(ASA)，∴ADB BCA ∠=∠，又∵180ADB BCA ∠+∠=︒，∴90ADB BCA ∠=∠=︒，∴△ABD 为直角三角形，222AD BD AB +=．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质．理解互补四边形的定义是解决此题的关键．（1）中能灵活运用三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题关键；（2）能根据勾股定理和互补四边形的定义想到证明ADB BCA ∠=∠是解题关键． 20．补充下列证明，并在括号内填上推理依据.已知：如图，在ABC 中，50,58,A C BD ∠=︒∠=︒平分ABC ∠交AC 于点D ，DE 交AB 于点E ，且36BDE ∠=︒，求证：//DE BC .证明:180A C ABC ∠+∠+∠=︒，( ).50,58A C ∠=︒∠=︒，5058180ABC ∴︒+︒+∠=︒.( )，18050ABC ∴∠=︒-︒-_______=_________. BD 平分ABC ∠，12CBD ABC ∴∠=∠( )， 172362CBD ∴∠=⨯︒=︒， 36BDE ∠=︒，∴________=________，//BC DE ∴.( ).【答案】三角形内角和等于180︒；等量代换；58; 72︒；角平分线的定义；;CBD BDE ∠∠；内错角相等，两直线平行.【分析】由已知条件50,58A C ∠=︒∠=︒,先求出∠ABC 的度数，因为DB 平分∠ABC,得∠CBD=∠BDE ，即可得出结论．【详解】证明:180A C ABC ∠+∠+∠=︒，( 三角形内角和等于180︒ ).50,58A C ∠=︒∠=︒，5058180ABC ∴︒+︒+∠=︒.( 等量代换 )，18050ABC ∴∠=︒-︒-58︒=72，BD 平分ABC ∠，12CBD ABC ∴∠=∠( 角平分线的定义 )， 172362CBD ∴∠=⨯︒=︒， 36BDE ∠=︒，∴CBD BDE =∠∠，//BC DE ∴.( 内错角相等，两直线平行 ).故答案为三角形内角和等于180︒；等量代换；58; 72︒；角平分线的定义；;CBD BDE ∠∠；内错角相等，两直线平行.【点睛】本题主要考查平行线判定和性质的知识，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．21．如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB=13m ，AD=12m ，BD=5m ，AC=15m ，求图中△ABC 的周长和面积．【答案】△ABC 的周长为41m ，△ABC 的面积为84m 1．【解析】直接利用勾股定理逆定理得出AD ⊥BC ，再利用勾股定理得出DC 的长，进而得出答案．【详解】解：在△ABD 中，∵AB=13m ，AD=11m ，BD=5m ，∴AB 1=AD 1+BD 1，∴AD ⊥BC ，在Rt △ADC 中，∵AD=11m ，AC=15m ，∴22AC AD -（m ），∴△ABC 的周长为41m ，△ABC 的面积为84m 1．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出DC 的长是解题关键．22．（2017黑龙江省龙东地区，第27题，10分）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A 型口罩和3个B 型口罩共需26元；3个A 型口罩和2个B 型口罩共需29元．（1）求一个A 型口罩和一个B 型口罩的售价各是多少元？（2）药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A 型口罩数量不少于35个，且不多于B 型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？【答案】（1）一个A 型口罩的售价是5元，一个B 型口罩的售价是7元；（2）有3种购买方案，具体见解析．其中方案三最省钱．【分析】（1）设一个A 型口罩的售价是a 元，一个B 型口罩的售价是b 元，根据：“1个A 型口罩和3个B 型口罩共需26元；3个A 型口罩和2个B 型口罩共需29元”列方程组求解即可；（2）设A 型口罩x 个，根据“A 型口罩数量不少于35个，且不多于B 型口罩的3倍”确定x 的取值范围，然后得到有关总费用和A 型口罩之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．【详解】（1）设一个A 型口罩的售价是a 元，一个B 型口罩的售价是b 元，依题意有：3263229a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：57a b =⎧⎨=⎩． 答：一个A 型口罩的售价是5元，一个B 型口罩的售价是7元．（2）设A 型口罩x 个，依题意有：353(50)x x x ≥⎧⎨≤-⎩， 解得35≤x≤1.5，∵x 为整数，∴x=35，36，1．方案如下：设购买口罩需要y 元，则y=5x+7（50﹣x ）=﹣2x+350，k=﹣2＜0，∴y 随x 增大而减小，∴x=1时，y 的值最小．答：有3种购买方案，其中方案三最省钱．考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．23．解下列分式方程．（1）1212x x=- （2）2115225x x x -+-=--【答案】（1）14x =；（2）2x = 【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可；（2）根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可；【详解】解：（1）1212x x=- 化为整式方程为：122x x -=移项、合并同类项，得41x -=-解得：14x = 经检验：14x =是原方程的解． （2）2115225x x x -+-=-- 化为整式方程为：2152x x -++=-移项、合并同类项，得36x =解得：2x =经检验：2x =是原方程的解．【点睛】此题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决此题的关键，需要注意的是解分式方程要验根．24．如图1，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA=6cm ，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE ．（1）求证：△CDE 是等边三角形（下列图形中任选其一进行证明）；（2）如图2，当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】 (1)见解析；(2) 存在，当t=2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE ，∠DCA=∠ECB ，由等边三角形的判定可得结论；（2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，∴∠DCE=60°，DC=EC ，∴△CDE 是等边三角形；（2）解：存在，①当0≤t ＜6s 时，由旋转可知，60ABE ∠=︒，60DBE ∠<︒，若90BED ∠=︒，由(1)可知，△CDE 是等边三角形，∴60DEC ∠=︒，∴60DEC ∠=︒，∴30CEB ∠=︒，∵CEB CDA ∠=∠，∴30CDA ∠=︒，∵60CAB ∠=︒，∴30DCA CDA ∠=∠=︒，∴4DA CA ==，∴OD=OA ﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s ； ②当6＜t ＜10s 时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；③ t = 10s 时，点D 与点B 重合，∴此时不存在；④ 当t ＞10s 时，由旋转的性质可知， ∠CBE=60°又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC ， 而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4cm ，∴OD=14cm ，∴t=14÷1=14s ； 综上所述：当t=2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25．已知：x =，321-=y ，若x 的整数部分是m ，y 的小数部分是n ，求()225m x n y +--的值【答案】【分析】化简x =得2，整数部分是m=0；化简321-=y 得小数部分是，由此进一步代入求得答案即可．【详解】解：x =y=321-=y∵12，∴0＜1，3＜4，∴x 的整数部分是m=0，y 的小数部分是，∴5m 2+(x-n)2-y2)【点睛】此题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，掌握化简的方法和计算的方法是解决问题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，ABC ∆的周长为26cm ，分别以A B 、为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧交于点D E 、，直线DE 与AB 边交于点F ，与AC 边交于点G ，连接BG ，GBC ∆的周长为14cm ，则BF 的长为 （ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．12cm【答案】A 【分析】将△GBC 的周长转化为BC+AC ，再根据△ABC 的周长得出AB 的长，由作图过程可知DE 为AB 的垂直平分线，即可得出BF 的长.【详解】解：由作图过程可知：DE 垂直平分AB ，∴BF=12AB ，BG=AG ， 又∵△GBC 的周长为14，则BC+BG+GC=BC+AC=14，∴AB=26- BC-AC=12，∴BF=12AB=6. 故选A.【点睛】本题考查了作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形的周长，解题的关键是△GBC 的周长转化为BC+AC 的长，突出了“转化思想”.2．下列命题是假命题的是（ ）．A 10是最简二次根式B ．若点A （-2，a ），B （3，b ）在直线y=-2x+1，则a>bC ．数轴上的点与有理数一一对应D ．点A （2，5）关于y 轴的对称点的坐标是（-2，5）【答案】C【分析】根据最简二次根式、一次函数及不等式、数轴及实数、轴对称和坐标的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．10是最简二次根式，故A 正确；。
1921正比例函数11113101635.doc
19.2.1正比例函数（1）教学目标：1、理解正比例函数的概念。
2、经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力。
重难点：正比例函数的概念复习1、什么是单项式？系数？次数？2、什么是函数？有哪几种表示方法3、如果速度一定，路程与时间成什么关系？如果用v 表示速度， s，t分别表路程和时间，你能写出这个关系式吗？你还能举出生活中成正比例关系的例子吗？正比例关系两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系思考： 1、如果用 x 和 y 来表示这两个相关联的量，用k 来表示它们的比值，那么 Y 与 X 成正比例就可以表示为？这个比值k 可以取哪些值？2、两个成正比例关系的量:y/x=k（一定），请问： y 是 x 的函数吗？如果是，用解析式怎样表示？那它又是什么函数呢？活动一：引入概念：2011 年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题 :(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时 (结果保留小数点后一位)?1318 ÷ 300≈ 4.4(h).(2)京沪高铁列车的行程y(单位 :km)与运行时间 t(单位 :h)之间有何数量关系 ?从函数的观点看，京沪高铁列车的行程y（单位： km）是运行时间 t（单位： h）的函数吗？能写出解析式和自变量的取值范围吗？y=300t. (t≥0)(3)京沪高铁列车从北京南站出发 2.5h 后,是否已经过了距始发站 1100km 的南京南站 ?y=300×2.5=750(km), 故列车尚未到达距始发站1100km 的南京南站思考：1.y=300t 中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？2、自变量与常量按什么运算符号连接起来的?活动二：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长l 随半径 r 的大小变化而变化l= 2πr.3(2)铁的密度为 7.8 g/cm ,铁块的质量 m(单位 :g)随它的体积 V(单位 :3cm )的大小变化而变化 ;m = 7.8V.(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n 的变化而变化 ;h=0.5 n.(4)冷冻一个 0 ℃物体 ,使它每分下降 2 ℃ ,物体的温度 T(单位 : ℃)随冷冻时间 t(单位 :分)的变化而变化 .T=- 2t.认真观察以上出现的五个式子（1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数？（2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？（3）这 5 个函数表达式有何共同特征？请你用语言加以描述．形成概念：1.如果我们把这个常数记为 k，你能用数学式子表达吗？ y=kx?2.对这个常数 k 有何要求呢？为什么？ k≠0?3. 请你尝试给这类特殊函数下个定义：形如y=kx(k ≠0) 的函数，叫做正比例函数，其中k 叫比例系数。
1921正比例函数(第二课时)PPT王伟修改1
？对函数图象有何影响呢？ （1）当k>0时，y随x的增大而增大，直线经过一、三象限，从左到 右是上升的；
（2）当k<0时，y随x的增大而减小，直线经过二、四象限，从左到 右是下降的。
❖ 2.从形看：若正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过一、三象限，那么你可
（1）当图象经过一、三象限 时， 直线与x轴正方向的夹角越大， k值就越大; （2）当图象经过二、四象限 时， 直线与x轴负方向的夹角越大， k值就越小;
活动四 基础练习
❖ 用你认为最简单的方法画出下列函数：
❖ （1） y=-3x；（2）y 3 x
2
x
0
1
y=-3x
y=-3x 0 -3
y3x 2
❖ 2.在画函数图象时，使函数图象位置发生变化的
❖ 量是x、y、k中的哪个量？
k
活动三 总结性质
❖ 3.这个量K是如何影响正比例函数函数值的变化？
❖ 又如何影响正比例函数图象的呢？
❖ 请你分情况具体说一说？原因是什么？
（1）当k>0时，y随x的增大而增大， 直线经过一、三象限，从左到右是 上升的； （2）当k<0时，y随x的增大而减小， 直线经过二、四象限，从左到右是 下降的；
的取表值格范中围自是变什量么x？取你哪能些取值完合 适自？变量x的所有值吗？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
11..34你观能察保这证些以点上有两点摆之放间有一 何定规靠直律线？连接的吗？以点（0，
0）与（1，1）之间为例，为 什么是用直线连接的呢？
活动二：画函数图象
1921正比例函数第2课时
x
0 1
-2
-3
-4
-5
y 2x
比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,考虑两个
函数的变化规律.
结论:两图象都是经过原点的 直线 ,函数 y 2x
的图象从左向右上升_,经过第一三象限；函数
y 2x 的图象从左向右下降，经过第二四
象限．
正比例函数图象的特征及性质
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的 图象：
课后作业
作业： 教科书第98页习题19.2第2题； 用简便方法画பைடு நூலகம்列函数的图象，并说说当x 增
大时，函数值 y 分别怎样变化： （1）y =4x；（2）y =-2x．
y Ox
y Ox
y Ox
y Ox
A
B
C
D
练习
练习3 对于正比例函数y =kx，当x 增大时，y 随x
的增大而增大，则k的取值范围 （ C ）．
A．k＜0
B．k≤0
C．k＞0
D．k≥0
练习
练习4 比较大小：
（1）k1 ＜ k2；（2）k3 ＜ k4；
（3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接．
3
y … -4 -2 0 2 4 …
2
2. 描点
1
x
3. 连线
y= 1 x 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 -1
-2
-3
-4
思考 对一般正比例函数y =kx，当 k＞0时，它的图象形状是什么？位置 怎样？
思考1 右低？
在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高 y y =4x y =2x y =x
⑴是一条经过原点的直线; ⑵当k ＞0时， 直线y=kx经过第一、三象限，从
1921正比例函数
待 例：已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试
定 系 数
求y与x的函数解析式
解：∵y与x成正比例 又∵当x=4时，y=8
∴y=kx ∴8=4k
法 ∴k=2
∴y与x的函数解析式为：y=2x
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
一、设所求的正比例函数解析式。 二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入 所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的 方程，解这个方程求出比例系数k。 三、把k的值代入所设的解析式。yΒιβλιοθήκη 5y=2x4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0
12 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
y 2x
-5
观察2： 画出正比例函数 y 1 x 的图象。 y y=22x
相同点
过原点 的直线。
5 ４ ３ ２ １
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
1 23 45
y1x 2
x
函数 y=kx
-2 -3
写出下列问题中的函数关系式
（1）圆的周长 l 随半径r变化的关系；
（2）铁块的质量m（单位：g）随它的体积v （单位：cm3)变化的关系（铁的密度为7.8g/cm3)
(1)l 2r
(2)m=7.8v
3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本
叠在一起的总厚度 h随练习本的本l 数n变化的关系； (3)h=0.5n
• 2.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正 比例函数． （1）正方形的边长为xcm，周长为ycm. y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月） 的总收入为y元． y=12x 是正比例函数
1921正比例函数
19.2.1 正比例函数(2)一、内容和内容解析1.内容正比例函数的图象及性质.2.内容解析.本节课是在学习了正比例函数概念后，研究其图象及其性质.描点法是画陌生函数图象的通法，研究正比例函数，主要研究其图象的形状、位置及其增减性.在正比例函数的图象及其性质研究中，蕴涵了数形结合、分类讨论的思想和直观观察、想象、归纳等数学认知活动.因此，本课的教学重点是用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质．二、目标和目标解析1.目标（1）会画正比例函数的图象.（2）能根据正比例函数的图象和表达式y = kx (k≠0)，理解当k＞0和k＜0时，函数的图象特征与增减性．（３）通过观察图象、归纳总结，概括出正比例函数性质的活动，发展数学直观观察和想象、数学概括能力，体会数形结合的思想.2.目标解析目标（1）达成的标志是：会用描点法和两点法画正比例函数的图象；目标（2）达成的标志是：针对具体的正比例函数，能画出（想象出）图象，正确理解函数图象所经过的象限与增减性；理解k的符号变化是怎样影响图象位置及增减性的.目标（3）达成的标志是：能通过观察发现图象的特征并能用坐标描述，用变量解释图象特征，进而概括出正比例数的图象性质．三、教学问题诊断分析，学生通过函数的概念和表示法的学习，初步体会了函数研究方法。
通过函数图象的学习，知道了用描点法可以直观地表示一个函数，据此可以进一步探究变量的变化规律和变化趋势．研究正比例函数的变化规律，需要两次概括：第一次，在k为具体数值时，随着自变量的值的增大，函数值怎样变化;第二次，当k的正负号变化时，对应函数的增减性怎样变化.这两次概括过程需要较强的数学概括能力，学生会遇到较大困难.需要教师引导学生分层次设计活动，从具体到一般地引导学生进行分类归纳.四、教学支持条件分析为了让学生更直观地理解正比例函数的图象及性质与系数k的关系，可以利用几何画板制作动画进行展示：当k固定时，函数值是怎样随着自变量的增大而变化的；当k的值变化时，是怎样影响函数的增减性的。
1921正比例函数的概念(分层作业)八年级数学下册(人教版)(原卷版)
人教版初中数学八年级下册19.2.1 正比例函数的概念 分层作业夯实基础篇一、单选题：1．下列函数中，属于正比例函数的有（ ）①1y x =-；②y x =；③1y x= ④13r x =-；⑤2s r π=；⑥3x y =- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．在(1)k y k x =-中，若y 是x 的正比例函数，则k 值为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．无法确定3．小王每天记忆10个英语单词，x 天后他记忆的单词总量为y 个，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A ．y ＝10+x B ．y ＝10x C ．y ＝100x D ．y ＝10x+104．下列各选项中的y 与x 的关系为正比例函数的是（ ）A ．正方形周长y （厘米）和它的边长x （厘米）的关系B ．圆的面积y （平方厘米）与半径x （厘米）的关系C ．立方体的体积y （立方厘米）和它棱长x （厘米）的关系D ．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x 月后这棵的树高度为y 厘米5．若()44y m x m =++-是正比例函数，则点()2,2m m +-所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题：6．形如_________的函数叫做正比例函数．其中_______叫做比例系数．7．下列函数：①3y x =-；②31y x =-；③3y x =；④2y x =；⑤3x y =．其中，y 是x 的正比例函数的有______个．8．经过点()2,1A 的正比例函数解析式是______．9．当m =_______时，函数()2221m y m x -=-是正比例函数． 10．已知y 与x 成正比例，如果2x =时，1y =，那么3x =时，y =_____．11．在函数()()224y m x m =-+-中，当m =______时，y 是x 的正比例函数．三、解答题：12．陕西某旅游景点的门票收费标准是：每人30元．某公司计划组织员工去该景点旅游，写出总门票费y （元）与人数x （人）之间关系式，并判断y 是x 的正比例函数吗？13．列式表示下列问题中的y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．（1）正方形的边长为cm x ，周长为cm y ；（2）某人一年内的月平均收入为x 元，他这年（12个月）的总收入为y 元；（3）一个长方体的长为2cm ，宽为1.5cm ，高为cm x ，体积为3cm y ．14．已知函数2(2)4y m x m =-+-是关于x 的正比例函数，求当2x =-时y 的值．15．如果3y ＋与2x成正比例，且1x =时，1y =．求出y 与x 之间的函数关系式．16．已知关于x 的函数||1(2)5m y m x n -=++-，当m ，n 为何值时，它是正比例函数？能力提升篇一、单选题：1． 设点A (a ，b )是正比例函数32y x =-图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（ ） A ．2a +3b =0 B ．2a −3b =0C ．3a −2b =0D ．3a +2b =0 2．已知函数()2322my m x n -=-++，（m ，n 是常数）是正比例函数，+m n 的值为（ ） A ． 4-或0 B ． 2± C ．0 D ． 4-3．对于正比例函数y kx =，当自变量x 的值增加2时，对应的函数值y 减少6，则k 的值为（ ） A ．3B ．2-C ．3-D ．0.5- 二、填空题：4．下列问题，①某登山队大本营所在地气温为4℃，海拔每升高1km 气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高km x ，他们所在位置的气温是y ℃；②铜的密度为38.9g/cm ，铜块的质量g y 随它的体积3cm x 的变化而变化；③圆的面积y 随半径x 的变化而变化．其中y 与x 的函数关系是正比例函数的是______（只需填写序号）．5．已知2y -和21x +成正比例，且2x =-时，7y =-，则y 与x 之间的函数表达式为_________．三、解答题：6．已知：y ＝y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成正比例，当x ＝1时，y ＝0；当x ＝3时，y ＝4．(1)求y 与x 之间的关系式；(2)当x ＝﹣1时，求y 的值．7．已知：函数23(2)by b x -=+且y 是x 的是正比例函数，5a ＋4的立方根是4，c（1）求a ，b ，c 的值；（2）求2a ﹣b ＋c 的平方根．。
1921正比例函数
行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
y=300t （0≤t≤4.4）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，
是否已经超过了始发站1100km 的南京南站？
当x=2.5时，y=300×2.5=750
问题2
下列问题中的变量对应规律可用怎样的 函数表示？
（1）圆的周长L随半径r 大小变化而变化；
L=2πr
（2）铁的密度为7.8g/cm，铁块的质量m （单位g）随它的体积V（单位cm）大小变
化而变化； m=7.8V
下列问题中的变量对应规律可用怎样的 函数表示？
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习 本撂在一起的总厚度h（单位cm）随这些练 习本的本数n的变化而变化；
h=0.5n
（4）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃， 物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单 位：分）的变化而变化。
19.2.1正比例函数
自主探究
问题1：2011年开始运营的京沪高速铁路全长
1318km ，设列车的平均速度300km/h 。考虑
以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点
站上海虹桥站，约需多少小时？（结果保留小数点
后一位）
1318÷300≈4.4（h）
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km ）与运
当x=4时，y=
6 7
×（4－1）=
18 7
当x=-3时，y=
6 7
×（-3－1）=
24 7
本课小结
1、正比例函数的定义 函数y=kx（k是不等于零的常数）叫做正比例函数。
比例系数
2、求正比例函数解析式的方法： 待定系数法
。1
2 若 y (m 2)xm23 是正比例函数，m= -2 。
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6、直线y=(k2+3)x经过一、三 象 限，y随x的增大而 增大 。
7、已知A（-1，y1 ），B(3, y2)都
在直线y=-5x上，则y1与y2的关系
是（ D ）
A、 y1≤y2
B、 y1=y2
C 、y1＜y2
D、 y1＞y2
8、若正比例函数y=(1-2m)x的图像 经过点A(x1,y1)和B（x2,y2),当x1＜x2 时，y1 ＞y2,则m的取值范围
1
是 m＞ 2 。
应用新知
已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15升．所使用
的汽油今日涨价到5元/升．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程 x
（km）之间的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系内描出大致的函数关系图；
解：（1）y=5×（110350x），计即算娄y 底34到x 长沙x 220.0 km所y/元需油费是多少？
则 k = （-2
），
此时的函数解析式为
注意： 1、使自变量的指数为1 2、系数不为0
（y=-4x ）
3、常数项为零
1、若 y =5x 3m-2 是正比例函数，
则m= 。 2、若 y (m 2)xm23是正比例函数，
则m= 。 3、若 y (k 2)x k 2 4 是正比例函数，
则 k =（
当k＜0时,直线y=kx 经过第二、四象限。 从左向右下降，即随着x的增大y反而减小
你能任意举出一个过第二、四 象限的正比例函数的解析式吗？
1、函数y=－5x的图象过 第 二、四 象限, 经过点(0, 0)
与点(1, －5 ),y随x的增大而 减小 .
正比例函数y=(k+1)x的图 像中y随x 的增大而增大，则 k的取值范围是 k＞-。1
致亲爱的同学们：
天空的幸福是穿一身蓝 森林的幸福是披一身绿 老师的幸福 是因为认识了你们 愿你们
努力进取！
19.2.1一次函数
19.2.1正比例函数
目
标 导 航
1、感悟正比例函数的 图象及画法。 2、掌握正比例函数的
性质。
1、下列函数中哪些是正比例函数？
（1）y =2x 是 （2）y=x2+1 不是
（我们称它为直线y=kx)
当k＞0时,直线y=kx 经过第一、三象限； 当k＜0时,直线y=kx 经过第二、四象限。
函数y=-8x的图像经过（ C ）
A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、四象限 D、第三、四象限
当k＞0时直线y=kx经过三,一象限，
x增大时,y的值也增大； 即y随x的增大而增大
y
2x ,
y=2x
y
1 2
x
5
4
y1x
3
2
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
y1x
-4
2
-5
y 2x
y
y=2x
5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
y1x 2
12 3 4 5
x
y1x 2
y 2x
正比例函数y= kx (k≠0) 的图象是 经过原点的一条直线。
1、感悟正比例函数的 图象及画法。 2、掌握正比例函数的 性质。
通过本节课的学习, 你有哪些收获? 还有什么疑问?
数形结合思想
相信自己 是最棒的吆！
1、下列函数中，是正比例函数的是
( B)
A、y 3
x
B、y 4x
C、y 3x 9 D、y=2x2
2、在下列图像中，表示函数y=-kx (k＜0)的图像是（ A )
y
y
y
y
0x
0x
0x
0x
A
B
C
D
3、正比例函数y=(m-1)x的图象 经过一、三象限，则m的取值 范围是（ B ） A、m=1 B、m＞1 C、m＜1 D、m≥1
填空题
4、 正比例函数 y=kx(k≠0) 的图象
是一条 直线 ，它一定经过点 （0，0 ）和（1，k ）。
5、如果 y (1 m)xm23 是正比例 函数,且y随x的增大而减小, 那么m= 2 。
（3） y x 是
3
（4） y 3 x
看变量之间是否
满足函数的定义：
即形如 y=kx （k是常数，k≠0）
不是
1、若 y =5x 3m-2 是正比例函数，
则m= 1 。 2、若 y (m 2)xm23是正比例函数，
则 m =-2 。 3、 若 y (k 2)x k 2 4 是正比例函数，
时间，如图： ⑴求汽车行驶的速度。
s／km
120
⑵当t=1时，
100
汽车离开A城有多远?
80 60
⑶当s=100时，
40
汽车行驶了多长时间？
20
0 1 2 3 4 t／h
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
y=2x
1 2 3 4 5x
y=-2x
正比例函 数y= kx (k≠0) 的 图象是经 过原点的 一条直线。
正比例函数y= kx (k≠0) 的图象是经过原点(0,0)和（1， k）的一条直线。
试一试
y
画出正比例函数
1 2
x
的图象？y
（2） 列表
x04
6 5
描点
y0 3
连线
4 3
2
（3）当 x 220 时，
1
y 3 220 165（元）. 4
O 1 2 3 4 5 6 7 8 x/km
娄底到长沙220公里所需油费是165元．
链接生活
汽车由A城驶往相距120km的B城，s(km)表示
汽车离开A城的距离，t(h)表示汽车行驶的
），
此时的函数解析式为
（
）
例1 画正比例函数 y =2x 的图象
解：1. 列表
y y=2x
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 …
2. 描点 3. 连线
5 4
3
2
1
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 -1
-2
-3
-4
画一画 画出正比例函数y=-2x的图象
y 5 4 3 2 1
当k＜0时,直线y=kx经过二,四象限，
x增大时,y的值反而减小。即y随x的增大而减小
y y = 2x
y = 2x
3
y
4
4
2
2
0 12 x
-6 -3 0
x
正比例函数y= kx (k≠0) 的图象是 一条经过原点的直线。
当k＞0时,直线y=kx 经过第三、一象限； 从左向右上升，即随着x的增大y也增大