2017春人教版高中数学必修五课件12 第2课时 解三角形的实际应用举例高度角度问题3

角度.
夹角
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)仰角和俯角都是与铅垂线所成的角吗？ 提示：不是.仰角和俯角都是与水平线所成的角.
(2)方位角的范围是(0，π)吗？ 提示：不是.方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是(0， 2π).
2.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB=10 ，BC=10.
3
在△ABC中，由正弦定理得： 所以sin∠CAB= 所以∠CAB=30°.
BC AB ， sinCAB sin120
所以舰艇航行的方位角为75°.
BCsin 120
10
3 2
1.
AB
10 3 2
易错案例 正、余弦定理的综合应用 【典例】某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路 上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，则这 人能到达A城还要走_______千米
11 2 5 6 . 28
【延伸探究】典例2中若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇， 其他条件不变，试求乙船的速度.
【解析】设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)， 则在△ABC中，AC=28t，BC=xt， ∠CAB=30°，∠ABC=135°. 由正弦定理得
答案：150
3 32
【补偿训练】某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途 测得塔的最大仰角为30°，求塔高. 【解题指南】解答时可以先依据题意画出图形，着重思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途观 测点何处距塔底B距离最小.
【解析】根据题意画出示意图，且BE⊥CD.在△BDC中，CD=40，∠BCD=30°，∠DBC=135°. 由正弦定理， 得 所以BD=
2017春人教版高中数学必修五课 件：1.2 第2课时 解三角形的实际 应用举例——高度、角度问题3
【知识提炼】 1.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线 和目标视线的夹角，目标视线在水平线 _____时叫仰角，目标视线在水平线_____ 时叫俯角，如图所示.
上方
下方
2.方位角和方向角
32
所以AC=21(海里)，BC=15(海里)，
根据正弦定理，得sin∠BAC=
cos∠BAC=
又∠ABC=120°，∠BAC为锐角，
所以θ=45°-∠BAC，
1
75 142
11. 14
BCsinABC5 3，
AC
14
sinθ=sin(45°-∠BAC) =sin45°cos∠BAC-cos45°sin∠BAC=
解一般三角形
(2)特征. ①底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形. ②底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直 线上，观测者一直向“目标物”前进. ③底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面.此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”.
【题型探究】 类型一 高度问题 【典例】1.(2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高 度CD=__________m.
(1)方位角：从_____方向_______转到目标方向线所成的角.
如图(1)目标A的方位角为135°. 正北
顺时针
(2)方向角：从_____方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图(2)，北偏东30°，南偏东45°. 指定
3.视角
从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的_____，如图所示，视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的
CD BD ， sinDBC sinDCB
40sin3020 2. sin 135
在Rt△BED中，∠BDE=180°-135°-30°=15°， 所以BE=DBsin15°
202 6210( 31). 4
在Rt△ABE中，∠AEB=30°， 所以AB=BEtan 30°= (米). 故塔高为 米.
3
3
3
3 2
【方法技巧】测量高度的一般步骤 (1)根据已知条件画出示意图. (2)分析与问题有关的三角形. (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解. (4)把解出的答案还原到实际问题中.
【变式训练】(2015·潍坊高二 检测)如图，为测量山高MN，选 择A和另一座山的山顶C为测量观 测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知 山高BC=100m，则山高MN=__________m.
2.设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇， 那么在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9， ∠ABC=180°-15°-45°=120°，由余弦定理得： (28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×( )， 128t2-60t-27=0，解得t= 或t=- (舍去)，
1 2
3
9
4
A.α>β
B.α=β
C.α+β=90°
D.α+β=180°
【解析】选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，因为两直线平行内错角相等，所以α=β.
3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间
的距离为( )
A.2h米
B. h米
C. h米
【拓展延伸】解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题. (2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题. (3)把数学问题还原到实际问题中去.
【变式训练】如图所示，位于A处的 信息中心获悉：在其正东方向相距 40海里的B处有一艘渔船遇险，在原 地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向 沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为_______.
【解题探究】 1.典例1中，分析题中角的关系的关键是什么？ 提示：确定角的关系的关键是画出图形，并结合方向角的有关概念求解. 2.典例2中，如何求∠ABC？ 提示：∠ABC=180°-15°-45°=120°.
【解析】1.选B.如图，由题意，知AC=BC，∠ACB=80°，
所以∠CBA=50°，α+∠CBA=60°.所以α=10°， 即灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
2.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不 同的方案，其中之一是选取与塔底B在同 一水平面内的两个观测点C和D，测得CD= 200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD=30°，求塔高AB.
【解题探究】1.典例1中，图中西偏北30°及西偏北75°的分别是哪个角？仰角为30°指的是哪个角？ 提示：图中西偏北30°即∠CAB=30°，西偏北75°即∠ABC的补角.仰角为30°即∠DBC=30°.
CD=BC×tan∠DBC=
(m).
答案：
AB
sin A C B
BC AB ， sinBAC sinACB 600 1 300 2 22 2
100 6
300 2 3100 6 3
2.在Rt△ABC中，∠ACB=45°，设AB=h，则BC=h； 在Rt△ABD中，∠ADB=30°，则BD= h. 在△BCD中，由余弦定理可得 CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD， 即2002=h2+( h)2-2·h· h· ， 所以h2=2002，解得h=200(h=-200舍去). 即塔高AB为200米.
21 14 21 14
2 7. 7
21 . 14
【补偿训练】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角 为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我 海军舰艇立即以10 海里/时的速度前去营救，并在小岛B处与渔船相靠，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时 间.
20 3
【知识探究】 知识点 高度和角度的测量问题
观察图形，回答下列问题：
问题1：如图1，求高度时，底可到达时，如何求解？ 问题2：如图2，图3，求高度时，底不可到达时，如何求解？
【总结提升】测量高度问题时常见的三种数学模型及其特征 (1)三种模型.
底部可到达
底部不可到达
解直角三角形
解直角三角形
3
【解析】如图所示，设所需时间为t小时， 则AB=10 t，BC=10t， 在△ABC中，由余弦定理得，
3 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°，
即(10 t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°. 整理得：2t2-t-1=0，解得t=1或t=- (舍去)，
3 1 2
AC BC ， sinABC sinCAB
即 所以
sin2183t5(海里si每nx小3t时0). ，
答：乙船的速度为14 海里每小时.
x28sin30
281 2
14
2
sin 135
2
2
2
【方法技巧】测量角度问题的基本思路 (1)测量角度问题关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离. (2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解.
【解析】如图，