高中数学-瞬时变化率—导数导学案

高中数学-瞬时变化率—导数导学案

学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点) 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．曲线上一点处的切线

设曲线C 上的一点P ，Q 是曲线C 上的另一点，则直线PQ 称为曲线C 的割线；随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线

PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．

2．瞬时速度

运动物体的位移S (t )对于时间t 的导数，即v (t )＝S ′(t )． 3．瞬时加速度

运动物体的速度v (t )对于时间t 的导数，即a (t )＝v ′(t )． 4．导数

设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值

Δy Δx ＝

f x 0＋Δx －f x 0

Δx

无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A

为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．

5．导函数

若函数y ＝f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．

6．函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．

[基础自测]

1．判断正误：

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) (3)在导数的定义中，Δy

Δx

＞0.( )

【解析】 (1)√.Δx 是自变量的增量，可正可负，函数f (x )在x ＝x 0处的导数与它的正负无关．

(2)×.Δy 可以为0，如常数函数． (3)×.Δy

Δx 也可能是负数或0.

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

2．函数f (x )＝x 2

在点(1,1)处切线的斜率是________． 【解析】 k ＝

1＋Δx

2

－1

Δx ＝2＋Δx ，当Δx →0时，k →2，故所求的切线的斜率是

2.

【答案】 2

3．一辆汽车运动的速度为v (t )＝t 2

－2，则汽车在t ＝3秒时加速度为__________． 【解析】 a ＝Δv

Δt

＝

3＋Δt

2－2－9－2

Δt

＝6＋Δt ，

当Δt →0时，a →6，故汽车的加速度为6. 【答案】 6

[合 作 探 究·攻 重 难]

求瞬时速度与瞬时加速度

(1)t ＝2时的瞬时速度(时

间单位：s ，位移单位：m)．

(2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s 时的速度为v (t )＝t 2

＋1，求汽车在

t ＝1 s 时的加速度.

【导学号：95902184】

[思路探究] (1)设时间变化量Δt →求位移增量Δs →求平均速度

Δs Δt →令Δt →0→结论.

(2)设时间变化量Δt →求速度增量Δv →求平均加速度Δv

Δt →令Δt →0→结论

【自主解答】 (1)设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，

则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2

，Δs Δt ＝8＋2Δt ，

当Δt →0时，Δs

Δt →8，所以这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.

(2)设这辆车在t ＝1附近的时间变化量为Δt ，

则速度的增量Δv ＝[(1＋Δt )2＋1]－(12＋1)＝(Δt )2

＋2Δt ，Δv Δt ＝Δt ＋2，当Δt →0

时，Δv

Δt

→2，

所以汽车在t ＝1 s 时的加速度为2.

[规律方法]

(1)求瞬时速度的步骤：

①求位移增量Δs ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； ②求平均速率v －＝Δs

Δt

；

③求瞬时速度：当Δt 趋近于0时，Δs

Δt

趋近于v . (2)求瞬时加速度的步骤： ①求平均加速度Δv

Δt ；

②令Δt →0，求瞬时加速度. [跟踪训练]

1．若一物体的运动方程为S ＝7t 2

＋8，则其在t ＝__________时的瞬时速度为1.

【解析】 因为Δs Δt

＝

7t 0＋Δt

2

＋8－7t 2

0＋8

Δt

＝7Δt ＋14t 0，

所以当Δt →0时，Δs Δt 趋近于14t 0，即14t 0＝1，t 0＝114

. 【答案】 114

求函数在某一点处的导数

求函数y ＝x ＋1

x

在x ＝1处的导数.

【导学号：95902185】

[思路探究] 方法一：先求Δy ，再求出Δy

Δx ，令Δx →0，可求f ′(1)，先求出f ′(x )，

再求出f ′(x )在x ＝1处的值．

方法二：先求出Δy

Δx ，当Δx 无限趋于0时，即可求出f ′(x )在x ＝1处的值．

【自主解答】 方法一：∵Δy ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＝Δx －1＋11＋Δx

＝

Δx －1Δx ＋1＋11＋Δx ＝Δx 2

1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy

Δx

→0，∴f ′(1)

＝0.

方法二：Δy Δx

＝

f

x ＋Δx －f x

Δx