高中数学_1.1变化率与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
人教课标版高中数学选修1-1《变化率与导数(第2课时)》教案-新版
3.1.2 变化率与导数(第二课时)一、教学目标 1.核心素养:通过了解瞬时变化率及导数，培养学生的数学抽象和运算能力. 2.学习目标（1）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念.（2）理解导数的概念，体会导数的思想及其内涵. （3）会求函数在某点的导数. 3.学习重点瞬时速度、瞬时变化率、导数的概念. 4.学习难点 导数的概念. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P74—P76，思考：什么是瞬时变化率？什么是导数？计算导数的步骤有哪些？ 2.预习自测1.物体自由落体运动方程为21()2s t gt =，29.8/g m s =，若0lim→∆t ts t s ∆-∆+)1()1(＝g ＝9.8/m s ，那么下面说法正确的是（ ）A.9.8/m s 是0～1s 这段时间内的平均速度B.9.8/m s 是从1s 到1＋s ∆这段时间内的速度C.9.8/m s 是物体在1=t 这一时刻的速度D.9.8/m s 是物体从1s 到1＋s ∆这段时间内的平均速度 解：C2.下列各式中，不能表示函数()y f x =在0x x =处的导数的是（ ） A.0'()f x B.0'|x x y = C.000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆ D.00()()f x x f x x +∆-∆解：D3.已知2()10f x x =-+，则()f x 在32x =处的瞬时变化率是（ ） A.3 B.－3 C.2 D.－2解：B（二）课堂设计 1.知识回顾（1）函数()f x 在0x x =附近的平均变化率为00()()f x x f x x+∆-∆.（2）求平均变化率的步骤：先求增量，再求比值. 2.问题探究问题探究一●活动一 分析实例在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++.计算运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. ●活动二 探索新知想一想：如何求运动员的瞬时速度，如2t =时刻的瞬时速度？ 当t ∆取不同值时，计算并观察平均速度(2)(2)h t h v t+∆-=∆的值当t ∆趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？在2t =时刻，t ∆趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，为了表述方便，数学中用简洁的符号来表示，即0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆.●活动二 总结规律想一想：（1）运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？000()()limt h t t h t t∆→+∆-∆（2）气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？000()()lim v r v v r v v∆→+∆-∆如果将这两个变化率问题中的函数用()f x 来表示，那么函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()lim limx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆. 问题探究二 什么是导数？我们称瞬时变化率000()()limt h t t h t t ∆→+∆-∆为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.说明：（1）导数即为函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率 （2）0xx x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-.问题探究三 如何计算函数在某点处的导数？ ●活动一 初步运用，计算导数 求()f x 在0x x =的导数的步骤为： ①求增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-②算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ ③求极限：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1 求函数3y x =在1x =处的导数【知识点：导数的概念】详解：3332(1)1()3()3y x x x x∆=+∆-=∆+∆+∆2()33yx x x∆=∆+∆+∆,所以210|lim(()33)3x x y x x =∆→=∆+∆+=.●活动二 结合实例，深化运用例 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h 时候，原油温度（单位：C ︒）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义. 【知识点：导数的概念】详解：第2h 时，原油温度的瞬时变化率为-3，它的意义是原油温度在第2小时附近时，原油温度大约以3/C h 的速度下降；第6h 时，原油温度的瞬时变化率为5，它的意义是原油温度在第6小时附近时，原油温度大约以5/C h 的速度上升. 3.课堂总结 【知识梳理】（1）导数（瞬时变化率）0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.（2）求()f x 在0x x =的导数的步骤为： ①求增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-②算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ ③求极限：00'()lim x yf x x∆→∆=∆【重难点突破】（1）“趋近于”表示无限接近但不能达到，方向可左可右.（2）瞬时变化率（导数）是平均变化率的极限值，是精确值，不是近似值. 4.随堂检测1.设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于（ ）A.)('0x fB.)('0x f -C.0'()f x -D.0'()f x -- 【知识点：导数的概念】 解：C2.物体的运动方程是212s at =(a 为常数)，则该物体在0t t =时的瞬时速度是（ ） A.0at B.0at - C.012at D.02at【知识点：导数的物理意义】 解：A3.若函数()y f x =在x a =处有导数，则()()limh a f h f a h a→--为（ ）A.()f aB.'()f aC.'()f hD.()f h【知识点：导数的概念】 解：B4.求函数2()f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数. 【知识点：平均变化率；导数】 解：0(1)(1)3;'(1)lim (3)3x y f x f x f x x x∆→∆-+∆--==-∆+-=-∆+=∆∆.5.求下列函数在相应位置的导数 （1）1)(2+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x （3）3)(=x f ，2=x 【知识点：导数】 解：（1）00(2)(2)limlim (4)4x x f x f x x∆→∆→+∆-=∆+=∆;（2）00(2)(2)lim lim 22x x f x f x ∆→∆→+∆-==∆；（3）00(2)(2)lim lim 00x x f x f x∆→∆→+∆-==∆.（三）课后作业 基础型 自主突破 1.在()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A.大于0B.小于0C.等于0D.大于0或小于0 【知识点：导数的概念】 解：C2.求函数23y x =在点(1,3)处的导数. 【知识点：导数】 解：00(1)(1)limlim (36)6x x f x f x x∆→∆→+∆-=∆+=∆. 3.已知函数()y f x =在x a =处可导，且'()f a A =，求ax →lim ax x a f a x f ----)2()2(【知识点：导数的概念】解：3A4.已知质点M 按规律223s t =+做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当2t =，0.01t ∆=时，求t s ∆∆. (2)当2t =，0.001t ∆=时，求ts ∆∆. (3)求质点M 在2t =时的瞬时速度 【知识点：平均变化率；导数的概念】解：22(2)31128s t t t t ∆+∆+-==∆+∆∆(1)当0.01t ∆=时，8.02st ∆=∆；(2)当0.001t ∆=时，8.002s t∆=∆；（3）0lim 8t st ∆→∆=∆.能力型 师生共研5.若2)1()(-=x x f ，则)2('f = ；((2))'=f . 【知识点：导数的概念】 解：2；06.已知曲线y x =+，则1'|x y = . 【知识点：导数的概念】解：12探究型 多维突破 7.若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f = .【知识点：导数的概念】解：23解：00000020(2)()(2)()22limlim '()13323x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-===∆∆,03'()2f x ∴=. （四）自助餐1.如果质点A 按规律32s t =运动，则在3t =s 时的瞬时速度是（ ） A.6 B.18 C.54 D.81 【知识点：瞬时变化率】 解：C2.设()f x 在x 处可导，则()()lim2h f x h f x h h→+--等于【知识点：导数的概念】 解：'()f x3.函数()()211y x x =+-在1x =处的导数等于（ ）A.1B.2C.3D.4 【知识点：导数的概念】 解：D4.若()f x 在0x 处可导，则()()0003lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆ .【知识点：导数的概念】 解：03'()2f x -原式00030(3)()33lim '()232x f x x f x f x x -∆→-∆-=-=--∆. 5.若()03f x '=-，则()()0003limh f x h f x h h→+--等于 .【知识点：导数的概念】 解：12- 原式00040()(3)4lim 4'()124h f x h f x h f x h→+--===-.6.函数1y x x=+在1x =处的导数是 . 【知识点：导数的概念】 解：0。
人教版高中选修2-2数学1.1变化率与导数教案(4)
§1.1.2 导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.教学过程：一、创设情景(一)平均变化率(二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0(4965(h h =, 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二、新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-.从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便,我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y = 即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-. 三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim . 解: (1)法一 定义法(略)法二 222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- (2)x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5,说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念.六、布置作业 p10。
1.1变化率与导数教学反思
1.1变化率与导数对教学过程的反思（1）对学生认知基础的关注问题课堂教学中发现，学生的反应与自己的预想相差甚远。
经了解实际情况，原因是学生还不知道两点连线的斜率公式，从而导致“思考：观察函数的图象平均变化率表示什么?”的教学设计意图不能完全展现。
这是借班上课容易出现的问题，但从另一个侧面说明了教学中关注学生的认知基础是成功地实施课堂教学的前提。
（2）教学语言问题从理论上讲，数学老师的语言应该做到严谨而简洁，体现理性美，这是自己知道的。
但在课堂教学中真正实施起来却又是另一种状况。
例如在分析例题“求函数的平均变化率”时，自己很随意地说：“此时的处是指默认的处”，缺乏逻辑性，词不达意，使学生不知所云。
出现这种现象的原因在于教学设计时不精细，没有在语言准确性上下功夫。
（3）学生思维量的“度”的把握课堂实施过程中，虽然在形式上没有将知识直接抛给学生，但自己的“引导具”有明显的“牵”的味道。
在教学过程中，虽然能关注到适当的计算量，但激发学生思维的好问题不多。
整堂课学生的思维量不够，学生缺少思辩，同时留给学生判断和分析的成分、时间都不够。
例如，在分析“气球膨胀率问题”中的函数变式时，目的仅仅为了推导变式函数，虽然有些学生也有一定的思考，但为了赶时间、赶任务，并没有进行更深入的分析。
3.对教学效果的反思教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率。
当然也存在很多不足：对呼之欲出的“瞬时变化率”没有及时给出，缺乏联系性，没有用发展的眼光来处理教材；有关数学思想与方法的落实有所欠缺；等。
如果对教材挖掘得更到位些，更深入地体会教材的编写意图，那么相信这堂课就会上得更成功些。
面对自己精心准备的课被专家们评得一无是处，心里觉得很难过，同时也很想写些什么或说些什么来……。
经过这么长时间的反思，现在重新再看专家们的点评，想法又变了，觉得他们所说的有道理，有些确实是自己缺乏考虑，所以才有了上面的教学反思。
变化率与导数的概念教学案例与反思
变化率与导数的概念---教学案例与反思清远市佛冈县第一中学数学科组黄荫东教学目标1．知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2．过程与方法：1）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力2）通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法3．情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.教学重难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，理解逼近的思想方法教法学法教法：运用多媒体平台展示教学，整堂课围绕“问题链”开展，突出①动——师生互动、共同探索。
②导——教师指导、循序渐进➢新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲➢理解导数的内涵——数形结合，动手计算,学生自主探索,获得导数的定义➢例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识➢课堂练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知学法：➢合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。
（如问题2的处理）➢自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。
（如问题3的处理）➢ （3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
（如例题的处理） 课时安排 1课时 教学过程一 创设情景，引入新课问题1：说出函数的定义，并画出函数x y 2=的图象. (导数的研究对象是函数)问题2：函数x y 2=的图象有什么特征？（图象逼近x 轴，“指数爆炸”等） 问题3：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？（由此引入变化率） 问题4：分别求出函数x y 2=在区间[1，2]和[2，3]上的平均变化率.问题5：函数y=f(x)的图象（如图所示），请写出函数在区间[]21,x x 上的平均变化率.观察图象，它表示什么？（由此引入函数的平均变化率）二 新课讲解 1．平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆ 例题1 在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h （t ）=－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： （1）运动员在这段时间里是静止的吗？f f（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？（在学生相互讨论交流结果，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
高中数学_变化率问题教学设计学情分析教材分析课后反思
变化率问题教学设计一.内容和内容解析；内容：平均变化率的概念及其求法；内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导；教学重点：函数平均变化率的概念；二.目标和目标解析；新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化；目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率；1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变；§1.1.1 变化率问题一. 内容和内容解析内容：平均变化率的概念及其求法。
内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。
本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。
平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。
在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
教学重点：函数平均变化率的概念。
二.目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。
目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。
目标解析：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。
3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。
高中数学_1.1变化率与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计表格课前复习（情景再现）一、创设问题情境，引入课题：我们生活在瞬息万变的世界中，有些如风驰电掣，而有些如蜗牛行步。
那么我们如何用数学的方法来描述这些变化呢？播放ppt中跳水运动员的跳水过程。
让同学们观看完视频后，思考解决问题：人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
运用多媒体创设情境，让学生感受生活中处处有数学，为课题的引入作铺垫。
引入新课平均变化率二、新知探究：探究1 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其给同学们思考一下，然后提问：（请计算）学生举手回答解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。
让学生亲身感受知识与实际应用的联系。
探究2 气球膨胀率很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半学生分析并得到解析：当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?对应的知识点以问题形式出现，再现中和反应的实质，引导学生将所学知识应用于生产、生活实际。
两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。
人教版高中选修1-13.1变化率与导数课程设计
人教版高中选修1-13.1变化率与导数课程设计一、课程目标通过本节课的学习，学生将能够：•理解变化率的定义和概念•掌握导数的定义和求解方法•能够应用导数解决实际问题•培养数学思维，提高数学素养二、教学内容和方法2.1 教学内容1.变化率的定义和概念–平均变化率–瞬时变化率2.导数的定义和求解方法–函数的导数定义–导数的四则运算法则–导数的基本公式3.应用导数解决实际问题–最大值与最小值问题–凸凹性问题–变化率问题2.2 教学方法1.给出经典的例子来引出变化率和导数的概念和定义，然后通过练习加深理解。
2.给出一些实际的问题来应用导数解决，培养学生的应用能力。
3.鼓励学生自主思考和探究，积极参与课堂讨论，加深理解。
三、教学步骤和课时安排3.1 教学步骤1.介绍变化率和导数的概念及其意义，通过具体的例子加深理解。
2.讲解导数的定义及其求解方法，让学生通过例题练习并思考。
3.给出一些实际问题，让学生应用导数解决。
4.总结和归纳，帮助学生深入理解和掌握导数的应用。
3.2 课时安排本节课共计两个课时，具体安排如下：第一课时•介绍变化率和导数的概念•讲解导数的定义及其求解方法第二课时•应用导数解决实际问题•总结和归纳四、教学评价本节课的教学评价将从以下几个方面进行：知识掌握情况、技能应用情况、思维能力和团队合作能力。
通过课堂讨论、作业练习和考试评测等方式进行评价，最终形成评价报告，以便更好地指导后续教学和提高教学质量。
五、教学资源•人教版高中数学选修1教材及相关辅助教材•计算机和投影仪•教师和学生的课前和课后阅读材料六、课后作业•着重加强思考和应用能力的练习题•提高练习题需掌握的知识点和技能的练习题七、教学反思本节课主要是介绍和讲解变化率和导数的概念及其应用，在教学过程中，需要结合具体实例来加深理解和掌握。
同时，需要注重培养学生的应用能力，通过练习和作业来提高学生的思考和解决实际问题的能力。
为了更好地掌握教学质量，需要加强对学生的评估和反馈，通过不断的调整和改进，提高教学效果和满足学生的需求。
高中数学_变化率与导数导数的计算教学设计学情分析教材分析课后反思
第十节变化率与导数、导数的计算知识目标：1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．教学重点：求简单函数的导数，理解导数的几何意义,会求切线方程。
教学难点：能利用基本初等函数的导数公式求导数，求切线方程。
教学过程：一、（共同进行知识梳理）看课件：知识点1导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．知识点2基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 二、学生自己订正答案，反馈学案中的学情自测1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝( C ) A ．0B ．eC ．2eD ．e 2（安排学生课前展示）3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m /s 2B ．4 m/s 2C ．10 m /s 2D ．－4 m/s 2【答案】 A4．(2014·广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为____________．【答案】 5x ＋y ＋2＝0例1．若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于________． 【解析】 易知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∴f ′(1)＝4a ＋2b ＝2， ∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )＝－2. 【答案】 －2例2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x ； (4)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 4.【解】 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′·e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1＋1x 3， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1＋1x 3′＝(x 3)′＋(1)′＋(x －3)′＝3x 2－3x －4＝3x 2－3x 4.（看课件，总结方法）导数计算的原则和方法只共同讲第4个，其他的三个学生当练习。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学设计表格课前复习（情景再现）一、创设问题情境，引入课题：我们生活在瞬息万变的世界中，有些如风驰电掣，而有些如蜗牛行步。
那么我们如何用数学的方法来描述这些变化呢？播放ppt中跳水运动员的跳水过程。
让同学们观看完视频后，思考解决问题：人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
运用多媒体创设情境，让学生感受生活中处处有数学，为课题的引入作铺垫。
引入新课平均变化率二、新知探究：探究1 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其给同学们思考一下，然后提问：（请计算）学生举手回答解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。
让学生亲身感受知识与实际应用的联系。
探究2 气球膨胀率很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半学生分析并得到解析：当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?对应的知识点以问题形式出现，再现中和反应的实质，引导学生将所学知识应用于生产、生活实际。
两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。
为引入变化率的概念以探究3计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:（1）运动员在这段时间里是静止的吗?（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?【几何意义】观察函数f （x）的图象，平均变化率的几何意义是什么？学生举手回答师生共同归纳出结论平均变化率:上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：学生结合图象思考问题直线AB的斜率①让学生加深对平均变化率的理解；②为下节课学习导数的几何意义作辅垫；③培养学生数形结合的能力。
引入新课：导数探究1瞬时速度在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度探究2当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?同学解答：解：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是–13.1 m/s.为了表述方便，我们用表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度趋近于确定值–13.1”.【瞬时速度】我们用表示“当t=2, Δt趋近于0时,平均速让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。
探究3:（1）.运动员在某一时刻 t0的瞬时速度怎样表示?（2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?导数的概念:一般地，函数 y = f (x)在 x = x0处的瞬时变化率是称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数, 记作或,由瞬时速度自然过渡到瞬时变化率，而瞬时变化率就是导数例题讲解例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 y=f (x) =x2–7x+15( 0≤x≤8 ) .计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.让学生思考，并分享解题思路：分析：要求第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率, 即是要求 f '(2), f'(6)在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3℃/ h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5℃/ h的速率上升.通过具体的生活实例让学生意识到知识来源于生活，又应用于生活，感到书学不仅是有趣的还是有用的。
知识总结让学生对本节课知识做总结1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:（1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)（2）计算平均变化率3、求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)（2）求平均速度（3）求极限4、由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)（2）)平均变化率（3）求极限及时总结，注重双基。
习题检测教师巡视检查，引导交流，让学生总结本节课的收获课堂练习1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为( )A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( )A．4 B．4.1C．0.41 D．－1.13.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.有利于知识的内化，同时提高学生的归纳总结能力和语言表达能力。
通过不同层次的题目，让每个学生都有成就感。
同时让学生意识到知识来教学评价设计指标优秀（9.0~10）良好（7.0~9.0）合格（6.0~7.0）小组整体参与状况小组后进生回答问题积极程度组员回答问题数目组员回答问题准确度课前板书质量板书设计1.1.变化率与导数1．平均变化率 3. 例一2.导数的概念 4. 总结等级教学反思本节课注重培养学生将知识迁移应用能力，解决实际问题能力。
面向全体学生，把本节要学习的内容以导学案的形式展现给学生，让他们以小组为单位合作学习，积极参与，提出学习中所遇到的问题。
利用师生互动、生生互动等多种教学形式，把学生带入探究问题的现场，给学生创造研究问题的情景。
善于利用典型问题带动知识点，适时地进行点拨和引导，把知识向纵深拓展，不仅培养学生的知识应用能力，更重要的是培养学生的社会责任感。
学生是学习的主体，他们的学习一定要亲身经历才会印象深刻，在学习的过程中，我会尽可能地创设情境，让学生去感受、去体会知识的形成过程，从而使学生很好地进行知识建构。
教学过程设计以“问题串”的方式呈现为主,教学过程中强调基于问题解决的设计，在教师的引导下，让学生通过讨论、归纳、探究等方式自主获取知识，从而达到满意的教学效果。
在教学过程中，我注意引导学生开展小组合作的学习，通过生活中的实例调动学生学习的积极性从而使目标达成。
构建利于学生学习的有效教学情境，较好地拓展师生的活动空间，丰富教学手段，符合新课程的理念。
《变化率与导数》学情分析本节的中心任务是形成导数的概念。
概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义 .2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵 .学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，概括归纳出平均变化率和导数的概念及其公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。
这充分体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。
我所带班级的学生思维比较活跃，但对基本概念认识不足，对知识理解不够深入，从感性认识上升到理性认识有待提高。
《变化率与导数》效果分析导数是微积分的核心概念之一，也是本章的一个核心概念，它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、倒数的应用等知识奠定了基础，更是我们研究函数的单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具。
本节课是高中新教材A版选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》中的内容，由物理中的平均速度和瞬时速度研究类比到平均变化率和瞬时变化率（导数）。
下面从以下几个方面来分析这节课的效果。
1、吃透新教材，把握新理念《普通高中数学课程标准（实验）》说：通过对大量实例的分析，经理由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
2、设计问题串，激活学生思维美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的”。
在课堂教学中我尝试采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识。
本节课首先设置问题情境，播放郭晶晶奥运会上夺冠的视频，赞扬运动员为国争光的精神，学生欣赏美的同时也激发爱国主义情操并从运动员的跳水运动中提出问题：如何求郭晶晶t=2时刻的瞬时速度?使学生产生对研究问题的需求，激发学生的求知欲望，而问题情境中的原来学过的平均速度和瞬时速度，就是导数概念中的平均变化率和瞬时变化率(导数)，这样，学生在下面学习导数定义时就会有一个直观的印象，也比较容易理解导数的定义。
多元智能理论认为，教学的难点在于如何将实践知识与各种符号系统所体现的知识联系起来。
对本节课内容来说学生的实践知识就是他们熟悉的物理中瞬时速度和平均速度定义，数学学科知识就是抽象的导数概念的定义。
数学知识是相互贯通、协调，并在相应的层次及层次与层次之间呈现整体性，这种整体性也反映在数学与其它学科知识的有机关联而产生的知识的统一与综合。