面向制造的连续体结构拓扑优化设计方法研究
基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究
基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究引言：连续体结构是指由连续材料组成的结构，如桥梁、建筑物和飞机机翼等。
对于设计者来说，如何优化这些结构的拓扑是一个重要且复杂的问题。
结构拓扑优化可以帮助设计者找到一个在给定的约束条件下最优的结构形状。
在过去的几十年里，许多方法已经被提出来解决这个问题，其中变密度法是一种被广泛应用于连续体结构优化的方法。
1.变密度法的原理变密度法是一种基于材料密度的优化方法，它通过改变结构中不同区域的密度来调整结构的拓扑。
其基本思想是先将结构划分为许多小的单元，然后对每个单元中的材料密度进行调整，最终得到最优的材料密度分布。
2.变密度法的步骤（1）定义设计域：将结构划分为多个单元，并给每个单元中的材料密度分配一个初始值。
（2）定义目标函数和约束条件：目标函数是设计者所期望的结构性能，如最小重量或最大刚度。
约束条件可以包括应力约束和位移约束等。
（3）改变材料密度：通过增加或减小材料密度来调整结构的拓扑，使得目标函数在约束条件下达到最优。
（4）更新设计：根据目标函数和约束条件的要求，更新每个单元中的材料密度。
（5）重复迭代：不断重复步骤3和步骤4，直到满足预设的终止条件。
3.变密度法的优点（1）灵活性：变密度法可以产生各种不同的材料布局，适用于不同的结构类型和工程问题。
（2）低计算成本：相对于其他优化方法，变密度法的计算成本较低，可以在较短的时间内得到较好的结果。
（3）自适应性：变密度法能够根据目标函数和约束条件的变化自动调整材料密度，实时更新结构拓扑。
（4）材料节约：通过优化结构拓扑，变密度法能够使结构重量降低，从而节约材料成本。
4.变密度法的应用领域变密度法可以应用于多个领域，包括航空航天、建筑工程和交通运输等。
例如，在航空航天领域，变密度法可以用于优化航空器的机翼结构，提高飞行性能和燃油效率。
在建筑工程领域，变密度法可以用于设计高效且节约材料的建筑结构。
在交通运输领域，变密度法可以用于优化汽车车身结构，提高安全性和燃油经济性。
连续体结构的静动态多目标拓扑优化方法研究
连续体结构的静动态多目标拓扑优化方法研究RES EARCH ON STATIC AND DYNAMIC MULTI OBJECTIVE TOPO LOGY OPTIMIZATION OF CONTINUUM STRUCTURES占金青 张宪民(华南理工大学机械与汽车工程学院,广州510640)ZH AN JinQing ZH ANG XianMin(School o f Mechanical and Automotive Engineering,South China U niversity o f Technology,Guangzhou510640,China)摘要 为实现以静态多工况下刚度和动态特征值为目标函数的拓扑优化结构设计,提出一种连续体结构的静动态多目标拓扑优化模型。
以平均柔度最小化和平均特征值最大化为目标,采用标准化方法定义多目标拓扑优化的目标函数,根据决定函数大小来选择最优的妥协解,并且对目标函数进行归一化,消除不同性质目标函数在数量级上的差异。
拓扑优化采用固体各向同性材料插值方法,将移动近似算法用于多目标拓扑优化问题的求解,并且用过滤求解技术避免拓扑优化中数值不稳定性现象。
数值算例结果表明,文中提出的方法在连续体的静动态多目标拓扑优化设计中是正确的和有效的。
关键词 连续体结构 多目标优化 移动近似算法 拓扑优化中图分类号 TB114.3Abstract A multi objective topology opti mization method for continuum structures is proposed,in which both the mean compliance and mean ei genvalue are regarded as static and dynamic opti mization objectives,respectively.The wei ghted sum of conflicting objectives resulting from the norm method is used to generate the opti mal compromise solutions,and the decision function is set to select the pref erred solution.T he objective function is normalized to eli minate magnitude di fference of the objectives.The solid isotropic material with penalization approach is used.The mul ti objective topology optimization problem is solved using the method of moving asymp totes.A fil tering technique is used to avoid the phenomenon of numerical instability.Sevral numerical examples are presented to show the feasibility of the present approach.Key words C ontinuum structures;Multi objective optimization;Method of moving asymptotes;Topology optimization Correspon ding author:Z HAN JinQin g,E mail:z han j inqing@,Tel: Fax:+86 20 87110345The project supported by the National Science Found of Distinguished Young Scholars of China(No.50825504),and the United Found of National Natural Science Foundation of China and Guangdong Province(No.U0934004).Manuscript received20090316,in revi sed form20090629.引言连续体结构的拓扑优化设计研究是结构优化中的难点和热点,被公认为当前结构优化设计领域内最具有挑战性的研究方向[1]。
机械设计中的结构拓扑优化研究
机械设计中的结构拓扑优化研究随着科技的发展和制造技术的不断进步，机械设计领域对于结构的要求也越来越高。
为了提高机械结构的性能和强度，结构优化成为了一个研究的热点。
在结构优化中，结构拓扑优化是一个重要的研究方向。
本文将从机械设计中的结构拓扑优化入手，介绍其背景和目的，并探讨该领域的研究现状和未来发展方向。
一、背景和目的结构拓扑优化是一种通过重新分配材料和空间来改善结构性能的方法。
在机械设计中，结构的优化可以帮助设计师提高产品的性能、减少材料消耗和成本，并且可以降低产品的重量。
传统的结构设计方法通常由设计师凭经验和感觉完成，这种方法存在很多主观因素，很难保证设计方案的最佳性。
因此，研究者开始探索使用优化算法和计算机模拟来辅助结构设计。
结构拓扑优化是其中一种重要的方法。
通过结构拓扑优化，设计者可以优化结构的拓扑形状，从而最大限度地减少结构的重量和材料消耗，同时确保结构的强度和刚度。
在固定工作载荷下，旨在找到满足设计要求的最佳结构形状，是结构拓扑优化的目标。
二、研究现状目前，结构拓扑优化已经成为机械设计领域的一个研究热点。
研究者们通过数值模拟和优化算法，探索不同的拓扑形状，寻找最优解。
常见的优化算法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
这些算法可以通过迭代优化来得到最优解，但是也面临着计算时间长、计算复杂度高等问题。
同时，研究者们也在不同领域开展了很多案例研究。
例如，有人研究了航空航天领域的机翼结构优化，通过改变翼梁的拓扑形状和布局，减少了结构的重量，并提高了结构的强度和稳定性。
还有人在汽车工业领域进行了车身结构的优化，通过重新设计车身的拓扑形状，实现了轻量化和节能减排的目标。
然而，结构拓扑优化的研究还面临一些挑战。
首先，计算方法和算法需要进一步改进，以提高计算效率和精确度。
其次，结构的优化目标需要根据不同的应用领域和要求进行调整，如考虑多种性能指标的多目标优化问题。
最后，实际制造和成本因素也需要考虑，以确保优化设计的可行性和经济性。
智能制造系统的拓扑结构及其优化研究
智能制造系统的拓扑结构及其优化研究一、引言智能制造是制造业转型升级的必由之路，而智能制造系统的拓扑结构及其优化研究是智能制造的重要组成部分。
本文将深入探讨智能制造系统的拓扑结构及其优化研究，为智能制造的发展提供参考。
二、智能制造系统的拓扑结构智能制造系统是由多个子系统构成的，这些子系统之间相互协作，共同完成整个制造过程。
智能制造系统的拓扑结构是指各子系统之间的连接方式和层次结构。
智能制造系统的拓扑结构包括以下几个方面：1.层次结构智能制造系统的层次结构是根据系统中各组成部分的功能和作用划分的，从上到下分为三个层次：生产控制层、生产执行层和生产操作层。
生产控制层是整个智能制造系统的高级管理层，它负责制定生产计划和调度、物流管理，以及对其它层次的控制和管理。
生产执行层主要负责生产过程的实际执行和控制，包括控制设备的运行、监测生产过程的状态以及对生产过程异常情况的处理。
生产操作层是直接执行生产任务的层次，包括设备操作、质量检测、成品包装等。
2.网络结构智能制造系统的网络结构是各子系统之间相互连接的方式。
智能制造系统的网络结构分为三种：单向连接、双向连接和无连接。
单向连接的网络结构主要用于数据传递的安全需求较高的场合，如物流管理等。
双向连接的网络结构主要用于数据共享和交流较为频繁的场合，如生产下达等。
无连接的网络结构主要用于各设备之间互相独立，不相互干涉的场合，如质量检测等。
3.拓扑结构智能制造系统的拓扑结构是各子系统之间的物理连接方式，拓扑结构的选择直接影响到系统性能和整体效率。
目前常用的智能制造系统拓扑结构有总线型、星型、环型、树型和网状型等。
总线型拓扑结构是所有设备都连在一个总线上，信息只有在总线上传递才能被其它设备读取，不适用于大规模的智能制造系统。
星型拓扑结构是所有设备都与中心节点相连，信息传递方便快捷，但会导致中心节点成为制约整个系统的瓶颈。
环型拓扑结构是所有设备都连成一个环形，信息传递沿着环形路径进行，在数据冲突等问题上存在一定的局限性。
连续体结构拓扑优化方法评述
①
②
式中 :ai 为微结构 中正方形 孔的边长(如图 1 所 示);C 为结构柔度 ;V 为结构实际体积 ;V max 为给 定的结构最大体积 。
Bendsoe 还对比分析了的四种微结构形式 , 结 果发现 :增加变量可以提高计算精度 , 但不能明显 减小优化结果的柔度 ;增加孔的旋转角度变量可以 在一定程度上减小中间值的存在 。因此 , 为了保证 计算精度往往最多为每个单元设置三个变量 。 由 于 Bendsoe 使用了数学规划法求解 , 变量增多会造 成求解更加复杂费时 。
均匀化方法提出之后 , 连续体拓扑优化得到了 迅速发展 。该方法理论严谨 、直观 , 在早期连续体 拓扑优化中起到了重要作用 。近年来 , 国内外学者 主要将其用于柔性机构拓扑优化设计[ 20-26] 和复合 材料拓扑优化设计[ 27-29] 中 。
1 .2 变厚度法
③
④
图 1 四种微结构形式
夏天翔 , 姚卫星
(南京航空 航天大学 飞行器先进设计技术国防重点学科实验室 , 南京 210016)
摘 要 :连续体结构拓扑优化在优化 中能产生新的构型 , 对实现自动化 智能结构设 计具有重要 意义 。 目前 , 连 续体结构拓扑优化方法主要有 :均匀化方法 、变厚度法 、变密度法 、渐进结构优化方法 、水平集法 、独立连 续映射 方法 。 本文首先系统回顾了以上方法的发展历程 , 介绍了它们的研究现状 。 其次 , 通过对比以 上拓扑优 化方法 对若干典型算例的优化结果 , 表明以上方法都有较好的减重 效果 。 最后 , 对以 上方法 进行了 总结 , 列出了 它们 的优缺点和发展方向 。 关键词 :拓扑优化 ;均匀化方法 ;变厚 度法 ;变密度法 ;渐进结构优化方法 ;水平集法 ;独立连续映射方法 中图分类号 :V 211 .7 文献标识码 :A
连续体结构的拓扑优化设计
连续体结构的拓扑优化设计一、本文概述Overview of this article随着科技的不断进步和工程需求的日益增长，连续体结构的拓扑优化设计已成为现代工程领域的研究热点。
拓扑优化旨在通过改变结构的内部布局和连接方式，实现结构性能的最优化，从而提高工程结构的承载能力和效率。
本文将对连续体结构的拓扑优化设计进行深入研究，探讨其基本原理、方法、应用以及未来的发展趋势。
With the continuous progress of technology and the increasing demand for engineering, the topology optimization design of continuum structures has become a research hotspot in the field of modern engineering. Topology optimization aims to optimize the structural performance by changing the internal layout and connection methods of the structure, thereby improving the load-bearing capacity and efficiency of engineering structures. This article will conduct in-depth research on the topology optimization design of continuum structures, exploring their basic principles, methods,applications, and future development trends.本文将介绍连续体结构拓扑优化的基本概念和原理，包括拓扑优化的定义、目标函数和约束条件等。
位移约束下的多材料连续体结构拓扑优化研究
摘要摘要结构拓扑优化(Topology Optimization)是根据设计域内的负载情况、约束条件和性能指标来优化材料分布，寻求结构的最佳传力路径。
由于其可以在满足结构性能的前提下，有效降低材料用量，并且其新颖的拓扑构形可以为工程创新设计提供方案，因此受到了众多学者和工程设计人员的青睐。
另外，随着科学技术和优化理论在实际工程结构设计中的不断发展，单一材料的结构拓扑优化已经不能满足结构设计领域多样性和多元化所提出的高精尖要求。
目前，多材料连续体结构拓扑优化是结构概念性设计领域具有挑战性的前沿课题之一，同时对于解决实际工程应用问题具有重要的理论意义。
本文基于隋允康教授于1996年提出的独立、连续、映射(Independent Continuous Mapping，ICM)方法，建立了在满足结构位移约束的条件下，以结构重量最轻为目标函数的连续体结构拓扑优化模型；讨论了过滤函数与约束条件对拓扑优化结果的影响；研究了不同位移约束及不同弹性模量比下，两材料及多材料连续体结构的拓扑优化。
利用M语言，在MA TLAB软件平台中开发了相应的连续体结构拓扑优化计算程序。
从以下几个主要方面进行了研究：（1）基于独立、连续、映射(ICM)方法，在连续体结构拓扑优化问题中采用结构位移作为约束条件，建立了在满足结构位移约束的条件下，以结构重量最轻为目标函数的连续体结构拓扑优化模型，讨论了过滤函数与约束条件对最优拓扑结构的影响。
（2）运用两材料连续体结构的材料插值函数，建立了位移约束下以结构重量最轻为目标函数的两材料连续体结构拓扑优化模型。
采用一阶泰勒展式和二阶泰勒近似分别对约束函数和目标函数进行了显式化，利用数学规划理论的二次规划方法对拓扑优化模型进行了求解。
针对典型平面连续体结构进行了数值验证与比较分析，讨论了给定约束条件和材料弹性模量对于两材料连续体结构优化结果的影响。
（3）提出了多材料连续体结构的材料插值函数，以三材料结构为例建立了多材料连续体结构拓扑优化模型并进行了优化求解。
连续体结构拓扑优化理论与应用研究
连续体结构拓扑优化理论与应用研究前言近年来，随着三维打印、计算机辅助设计等技术的发展，连续体结构拓扑优化逐渐被广泛应用于工程设计中。
连续体结构拓扑优化指的是基于一定的约束条件下，通过优化连续体结构的材料分布和形状来实现结构尽可能轻量化、刚度尽可能大的目的。
本文将从理论、方法和应用三个方面，对连续体结构拓扑优化进行全面阐述。
第一章连续体结构拓扑优化理论1.1 拓扑优化的概念拓扑优化是指利用数学方法优化结构的材料分布和形状以达到某种性能目标的一种方法。
与传统的结构优化相比，拓扑优化不仅考虑结构的大小和形状，还考虑结构的材料分布。
这就要求将结构的材料分布看作设计变量，并且采用合适的材料性质描述模型来描述材料在不同条件下的特性。
1.2 拓扑优化的方法拓扑优化的方法主要可分为两类：自适应法和演化法。
自适应法主要是一种灵活的算法，通过规定合适的自适应方法进行优化；演化法则主要依靠基因或者其它进化原理来进行结构的筛选。
1.3 拓扑优化的应用拓扑优化的应用非常广泛，例如在航空航天、汽车制造、建筑设计等领域都有广泛的应用。
在航空航天领域，拓扑优化可以减轻飞机自重，提高飞机的飞行性能和使用寿命。
在汽车制造领域，拓扑优化可以降低车辆的重量，提高车辆的燃油效率和安全性能。
在建筑设计领域，拓扑优化可以使建筑结构尽可能的轻量化，增加建筑设计的美感和实用性。
第二章连续体结构拓扑优化方法2.1 拓扑敏感度分析法拓扑敏感度分析法是一种基于有限元方法的拓扑优化方法。
该方法通过对应力场的敏感度进行迭代求解，实现了结构的材料优化分布和形状。
该方法的优点是计算速度快、收敛速度快，但其缺点是对初始设计要求较高。
2.2 拓扑优化基尔霍夫法拓扑优化基尔霍夫法也是一种基于有限元方法的拓扑优化方法。
该方法将结构划分为若干个有限元单元，在设计变量的控制下分别分配材料，使得结构满足一定的约束条件。
该方法的优点是便于求解、可以同时考虑结构的刚度和稳定性等多个目标。
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[10]陈平.超声振动车削SiCp/A l材料的切屑形态特征[J].现代制造工程,2006(1):84O85.[11]Jo shi S S,R amakr ishnan N,Ramakrishnan P.Analysis of Chip Breaking during O rthog onal M a-chining o f A l/SiCp Composit es[J].Jour nal o f M a-ter ials M achining T echno log y,1999,88(1/3):90O96.[12]D abade U A,Jo shi S S,Balasubramaniam R,et al.Surface F inish and Integr ity o f M achined Surface-son A l/SiCp Composites[J].Jour nal of M aterialsPro cessing T echnolog y,2007,192/193:166O174. [13]Suresh K umar Reddy N,Shin K wang-Sup,YangM inyang.Ex per imental Study of Surface Integr ityduring End M illing of A l/SiC Par ticulate M et al–mat rix Co mpo sites[J].Journal of M ater ials Pr o-cessing T echno lo gy,2008,201(1/3):574O579.(编辑张洋)作者简介:于晓琳,女,1978年生。
沈阳工业大学机械工程学院博士研究生,沈阳理工大学机械工程学院讲师。
研究方向为新材料精密及特种加工、精密超精密加工、高速切削加工。
发表论文7篇。
黄树涛,男,1964年生。
沈阳理工大学机械工程学院教授、博士研究生导师。
赵文珍,男,1956年生。
沈阳工业大学机械工程学院教授、博士研究生导师。
周丽,女,1971年生。
沈阳理工大学机械工程学院副教授。
周家林,男,1982年生。
沈阳理工大学机械工程学院硕士研究生。
面向制造的连续体结构拓扑优化设计方法研究王明强李治多江苏科技大学,镇江,212003摘要:为了更好地解决结构拓扑优化的工程实用化问题,研究了一种面向制造的连续体结构拓扑优化设计的方法,即面向制造的分级拓扑优化方法。
该方法可使优化结果同时满足设计性能和制造性能的要求。
为消除数值不稳定,研究了密度和敏度混合高斯函数过滤算法,该算法能有效解决棋盘格式及网格依赖等数值不稳定问题,并能获得良好的优化结果。
利用研究的分级拓扑优化方法和有关算法,对经典算例进行计算,所得结果验证了该方法的可行性和有效性。
关键词:拓扑优化;SIM P模型;优化准则法;制造工艺约束中图分类号:T H122文章编号:1004)132X(2010)05)0524)05Research on Method of Topology Optimization Design of Continuum Structures for ManufacturingWang M ingqiang Li ZhiduoJiang su U niversity of Science and Technolog y,Zhenjiang,Jiangsu,212003 Abstract:In o rder to solv e the eng ineer ing application problems of to polo gy optimization,a meth-o d of the classification topo logy optimization for m anufacture w as presented,in w hich to po logy results fo r requirements of desig n and m anufacturing can be also g uaranteed.M eanw hile,fo r remov ing the instability co efficient,a hybrid density and sensitivity w ith Gaussian function filtering alg orithms w as pro posed.The new filtering alg orithm is easy to implement and has a good universality,w hich can solv e numerical instabilities w ell and obtain goo d results of the optim ization.U tilization o f hier archical to po logy optimization m ethods and related alg orithm s,the classical ex amples were calculated and com-pared the results of solutio n to verify the feasibility and effectiv eness of the pr opo sed method.Key words:to po logy o ptimizatio n;SIM P m odel;o ptimality criteria method;manufactur ing con-straint0引言随着拓扑优化理论的发展和拓扑优化工具的出现,拓扑优化已开始在航空、汽车等工程领域得到逐步应用。
在拓扑优化中引入制造工艺约束使得优化技术更具吸引力,制造工艺约束是在概念设计阶段需要考虑的重要因素。
因此,拓扑优化收稿日期:2009)05)31作为一种产生设计概念的工具,可进一步实现与制造约束的集成,这对缩短概念设计和工程实现之间的距离有重要意义[1]。
然而拓扑优化毕竟处于结构的概念设计阶段,其结果对于后续的设计与分析过程仅有概念性的指导意义,拓扑优化结果的工程可利用性问题已经成为制约拓扑优化进一步发展的障碍之一[2]。
# 524 #近几年,国内外学者对结构拓扑优化问题开展了广泛的研究。
T homas [1]在基本设计阶段考虑制造约束,用数学优化技术结合基于结构分析的有限元技术实现了设计的最优拓扑布局,完成了有益的轻量化要求,并将其用于压模、铸模及板金结构的优化中。
H arzheim 等[3]采用基于CAO 和SKO 的算法并考虑制造工艺约束,获得了更容易理解的设计方案。
陈义保等[4]提出了一种新的带有制造工艺约束的多约束结构拓扑优化设计模型。
左孔天[2,5]提出了基于工程约束思想的结构拓扑优化,通过在优化模型中加入制造加工约束来减小设计空间,确保工程可接受的及可制造的拓扑优化结果。
针对传统结构拓扑优化的结果在工程上难以制造加工的问题,为更好地处理在概念设计阶段连续体拓扑优化结果的工程实用化问题,提出了一种基于制造工艺约束的结构拓扑优化设计的方法,即面向制造的分级优化方法,使优化结果既满足工程设计性能要求,又同时满足制造加工性能的要求,以实现面向制造的结构拓扑优化设计。
图1 面向制造的分级拓扑优化实现流程图1 面向制造的分级拓扑优化方法面向制造的分级拓扑优化方法的思想是,采用分级优化策略处理带制造工艺约束的拓扑优化问题。
第一级优化从设计角度,确定结构拓扑优化结果的基本拓扑构型,以满足设计性能要求;第二级优化针对第一级优化所得的拓扑结果,进行制造可行性分析和加入制造工艺约束的二次拓扑优化,以获得面向制造的拓扑优化结果。
分级拓扑优化的实现流程如图1所示。
不直接在第一级优化中引入制造约束的原因在于,没有针对性,可能获得的只是局部最优。
采取分级优化可以保证全局最优,使拓扑优化结果同时满足设计要求和制造要求,具有工程应用价值。
2 面向制造的连续体拓扑优化模型2.1 基于制造约束的SIMP 法拓扑优化模型在面向制造的分级拓扑优化策略实现中,采用固体各向同性惩罚材料(solid istr opic m aterial w ith penalization,SIM P)模型[6]。
该优化模型的目标函数为结构的整体柔度最小即刚度最大,设计变量为单元密度,约束条件为体积约束和制造工艺约束,则拓扑优化模型为min C(x )=U T KU =ENi=1u T i k i u i =E Ni=1xpi u T i k 0u i(1)s.t.V (x )=f V 0=E Ni=1x iVi[VF =K U0<x m in [x i [x max [1G j (x i )-G 0[0H (x i )=0其中,C(x )为结构的柔顺度;F 为载荷矩阵;U 为位移矩阵;K 为整体刚度矩阵;x 为设计变量,x =x 1x 2,x NT;N 为设计变量的数目;x i 为单元i 的设计变量;V i 为单元i 的体积;u i 为单元位移矩阵;k 0和k i 分别优化前后的单元i 的刚度矩阵;V(x )为优化后结构的体积;V 0、V 分别为初始结构体积和结构最大体积;f 为体积系数;p 为惩罚因子;x max 、x min 分别为单元设计变量上下限,为了避免总刚度矩阵奇异,x min 通常取10-3;G j (x i )-G 0[0和H (x i )=0为制造工艺约束;j 为对应的约束个数。
可制造性工艺约束与具体优化对象的实际要求有关,应根据工程实际应用要求来确定。
2.2 成员尺寸控制约束及处理策略制造工艺约束包含成员尺寸控制约束、拔模约束、挤压约束、模式组(各种对称约束)及模式重复等约束。
这里从面向制造的优化角度出发,以成员尺寸控制约束为例,分析制造工艺约束的实施及处理策略。
成员尺寸控制约束分为最小成员尺寸约束和最大成员尺寸约束。
最小成员尺寸约束是指优化结果中单元密度为1的区域的允许最小尺度。
零部件在设计制造加工过程中,往往有一个最小尺寸要求,小于该尺寸范围的特征,将很难铸造或用刀具加工。
因此在零件的初始概念设计阶段就应考虑这一要求,针对零件不同的加工要求加入不#525#同的最小成员尺寸约束。
这里给出最小成员尺寸控制法的数学模型:L=E M e=1S e x e/d Q\L0(2)式中,L为离散边界单元孔洞的等效特征尺寸;S e为边界单元e的外表面积;d Q为边界孔洞相对于投影平面Q的平均深度;M为边界离散单元数;L0为加工尺寸下边界。