具有多种约束的连续体结构拓扑优化
了解连续体结构拓扑优化
了解连续体结构拓扑优化按照设计变量的不同,结构优化可分为以下三个层次：尺寸优化、形状优化和拓扑优化。
结构拓扑优化能在给定的外载荷和边界条件下，通过改变结构拓扑使结构在满足约束的前提下性能达到最优。
与尺寸优化、形状优化相比，结构拓扑优化的经济效果更为明显，在优化中能产生新的构型，是结构实现自动化智能设计所必不可少的。
按照优化对象的性质，拓扑优化可分为离散体拓扑优化和连续体拓扑优化两种。
连续体拓扑优化与离散体拓扑优化相比，在应用范围更广的同时，模型描述困难，设计变量多，计算量大。
目前最常用的连续体拓扑优化方法有均匀化方法、变厚度法、变密度法、渐进结构优化方法(ESO)、水平集法(Levelset)、独立连续映射方法(ICM)等。
从拓扑优化方法的基本思路来看,可以将它们分为两类：(1)改变优化对象的材料特性，主要包括均匀化方法和变密度法。
均匀化方法将结构变成多孔材料，而变密度法改变了结构的密度。
(2)改变优化对象的几何形状，主要包括变厚度法、ICM法、ESO法、水平集法。
变厚度法改变平面单元的厚度，而ICM法和ESO法通过删除或者增加单元。
表1 优化方法总结方法基本思想优化模型优化结果的拓扑特点设计变量优化目标约束条件均匀化方法优化过程中，以空孔尺寸的消长实现微结构的增减，从而改变结构拓扑微结构空孔尺寸和空间柔度最小体积约束含有大量孔洞变厚度法在迭代收敛后，通过删除厚度处于尺寸下限的单元，实现结构拓扑的变更平面单元厚度体积最小应力约束只能是平面结构变密度法在迭代收敛后，通过删除相对密度低于某一阀值的单元来改变结构拓扑单元相对密度柔度最小体积约束边界呈现锯齿状或棋盘格式等数值不稳定问题表1（续）优化方法总结方法基本思想优化模型优化结果的拓扑特点设计变量优化目标约束条件ICM法每步迭代中删除拓扑变量小于某一阀值的单元，直到迭代收敛单元拓扑变量重量最轻应力、位移、屈曲、频率等边界呈现锯齿状或棋盘格式等数值不稳定问题ESO法逐步将低效材料从结构中删除，使其趋于符合一定工程要求的优化结构表征单元有无状态变量多种目标应力、位移、屈曲、频率等边界呈现锯齿状或棋盘格式等数值不稳定问题水平集法通过改变高一维的水平集函数来改变结构拓扑，直到符合一定工程要求表征单元有无状态变量多种目标柔度、体积、位移等边界光滑；对平面结构进行优化时，难以产生新的孔洞由上表可以看出:(1)均匀化方法和变密度法的优化目标为柔度最小，这在通常以重量最轻为目标的结构优化设计中显得不够实用。
结构拓扑优化设计综述
结构拓扑优化设计综述一、本文概述随着科技的不断进步和工程领域的深入发展，结构拓扑优化设计作为现代设计理论的重要分支，其在航空航天、汽车制造、建筑工程等诸多领域的应用日益广泛。
结构拓扑优化设计旨在通过改变结构的内部布局和连接方式，实现结构在承受外部载荷时的最优性能，包括强度、刚度、稳定性、轻量化等多个方面。
本文旨在对结构拓扑优化设计的理论、方法及其在各领域的应用进行系统的综述，以期为该领域的进一步研究和发展提供参考和借鉴。
本文将回顾结构拓扑优化设计的发展历程，介绍其从最初的试错法到现代数学规划法、智能优化算法等的发展历程，并分析各种方法的优缺点和适用范围。
本文将重点介绍目前结构拓扑优化设计中的主流方法，包括基于梯度的方法、启发式算法、元胞自动机方法、水平集方法等，并详细阐述这些方法的原理、实现步骤和应用案例。
本文还将探讨结构拓扑优化设计中的关键问题，如多目标优化、约束处理、计算效率等，并提出相应的解决方案。
本文将结合具体的工程案例，分析结构拓扑优化设计在实际工程中的应用情况，展望其未来的发展趋势和应用前景。
通过本文的综述，读者可以对结构拓扑优化设计有一个全面、深入的了解，为相关领域的研究和实践提供有益的参考。
二、拓扑优化设计的理论基础拓扑优化设计是一种高效的设计方法，它旨在优化结构的拓扑构型，以达到最佳的力学性能和经济效益。
这一设计方法的理论基础主要源于数学优化理论、有限元分析和计算力学。
数学优化理论为拓扑优化设计提供了框架和算法。
它包括了线性规划、整数规划、非线性规划等多种优化方法。
这些方法可以帮助设计者在满足一定约束条件下，寻求目标函数的最优解。
在拓扑优化设计中，目标函数通常是结构的某种性能指标，如质量、刚度、强度等，而约束条件则可能是结构的制造工艺、材料属性、边界条件等。
有限元分析是拓扑优化设计的核心工具。
它通过将连续体离散化为一系列有限大小的单元，利用单元之间的连接关系，模拟结构的整体行为。
多相材料的连续体结构拓扑优化设计
多相材料的连续体结构拓扑优化设计多相材料的连续体结构拓扑优化设计的核心问题是确定单元的分布，即在整个结构中分配不同材料的比例和位置，使得结构在给定的约束条件下实现最佳的性能。
优化设计的目标可以是最小重量、最大刚度、最大强度或其他性能指标。
在进行多相材料的连续体结构拓扑优化设计时，通常采用拓扑优化方法来实现。
拓扑优化方法是一种基于数学优化理论的方法，通过在结构中添加或移除部分材料来实现结构的优化设计。
最常用的方法是基于有限元分析的拓扑优化方法。
在多相材料的连续体结构拓扑优化设计中，首先需要建立结构的数学模型，即建立结构的有限元模型。
然后，在给定的约束条件下，通过改变材料的分布来进行优化。
这通常涉及到添加或移除部分材料，改变材料的比例和位置。
为了实现这个优化过程，可以使用不同的优化算法，如遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等。
在多相材料的连续体结构拓扑优化设计中，存在一些挑战和难点。
首先是关于材料分布的参数化表示。
如何合理地表示结构中不同材料的分布是一个复杂的问题。
其次是优化算法的选择和调节。
不同的优化算法有不同的特点和适用范围，如何选择和调节适合多相材料拓扑优化设计的优化算法也是一个重要的问题。
多相材料的连续体结构拓扑优化设计的应用前景广阔。
通过优化设计，可以实现结构的轻量化和性能的提升。
轻量化可以减少材料的使用量，降低成本和能源消耗。
性能的提升可以提高产品的竞争力和可靠性。
因此，多相材料的连续体结构拓扑优化设计在航空航天、汽车和船舶等领域有着广泛的应用前景。
综上所述，多相材料的连续体结构拓扑优化设计是一种通过改变材料的分布来优化结构的方法。
在该方法中，首先建立结构的数学模型，然后通过拓扑优化方法来优化结构。
该方法的应用前景广阔，可以实现结构的轻量化和性能的提升，有着广泛的应用前景。
拓扑优化_精品文档
-1整数变量问题变为0～1间的连续变量优化模型，获得方程（在设计变
量上松弛整数约束）的最直接方式是考虑以下问题：
min u,
uout
N
s.t.: min 1 min e Ke u f e1
N
vee V
e1
0 e 1, e 1,2,, N
其中 e 可取0-1之间的值
（6）
然而这种方程会导致较大区域内 e 是在0-1之间的值，所以必须添加额外 的约束来避免这种“灰色”区域。要求是优化结果基本上都在 e 1 或
而对于结构拓扑优化来说，其所关心的是离散结构中杆件之间的最优 连接关系或连续体中开孔的数量及位置等。拓扑优化力图通过寻求结构的 最优拓扑布局(结构内有无孔洞，孔洞的数量、位置、结构内杆件的相互 联接方式)，使得结构能够在满足一切有关平衡、应力、位移等约束条件 的情形下，将外荷载传递到支座，同时使得结构的某种性能指标达到最优。 拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓扑具有无穷多种形式， 并且这些拓扑形式难以定量的描述即参数化。
结构渐进优化法(简称ESO法)
通过将无效的或低效的材料 一步步去掉，获得优化拓扑，方法通 用性好，可解决尺寸优化，还可同时 实现形状与拓扑优化(主要包括应力， 位移／刚度和临界应力等约束问题的 优化)。
2.问题的设定
柔顺机构的拓扑优化
首先假设线性弹性材料有微小的变形
柔顺结构的一个重要运用在于机电系统（MicroElectroMechanical Systems(MEMS),在该系统中小规模的计算使得很难利用刚体结构来实现铰链、 轴承以及滑块处的机动性。
如果我们只考虑线性弹性材料（只发生微小变形）的分析问题，则决定 输出位移的的有限元方法公式为：
连续体结构的拓扑优化设计
连续体结构的拓扑优化设计一、本文概述Overview of this article随着科技的不断进步和工程需求的日益增长，连续体结构的拓扑优化设计已成为现代工程领域的研究热点。
拓扑优化旨在通过改变结构的内部布局和连接方式，实现结构性能的最优化，从而提高工程结构的承载能力和效率。
本文将对连续体结构的拓扑优化设计进行深入研究，探讨其基本原理、方法、应用以及未来的发展趋势。
With the continuous progress of technology and the increasing demand for engineering, the topology optimization design of continuum structures has become a research hotspot in the field of modern engineering. Topology optimization aims to optimize the structural performance by changing the internal layout and connection methods of the structure, thereby improving the load-bearing capacity and efficiency of engineering structures. This article will conduct in-depth research on the topology optimization design of continuum structures, exploring their basic principles, methods,applications, and future development trends.本文将介绍连续体结构拓扑优化的基本概念和原理，包括拓扑优化的定义、目标函数和约束条件等。
连续体结构拓扑优化
第20卷第2期2003年4月 计算力学学报 Ch i nese Journa l of Co m puta tiona l M echan icsV o l .20,N o .2A p ril 2003文章编号:100724708(2003)022*******连续体结构拓扑优化江允正, 曲淑英, 初明进(烟台大学土木系,山东烟台264005)摘 要:对连续体结构的拓扑优化,给出一种工程实用方法:将拓扑优化分两步进行,首先解决在弹性体内哪些区域需要删除的问题,然后再确定删除区的边界。
这种方法适用于各种约束条件的问题,而且拓扑清晰。
关键词:结构拓扑优化;结构优化;弹性体;中图分类号:T P 391.72 文献标识码:A收稿日期:2001204228;修改稿收到日期:20012072241基金项目:国家自然科学基金(10142001)资助项目1作者简介:江允正(19422),男,教授11 引 言当前,结构优化已经从结构尺寸优化、结构形状优化发展到结构拓扑优化和布局优化。
结构拓扑优化可以提供给人们意想不到的设计方案。
这是结构优化中具有吸引力的研究领域。
但是由于拓扑优化的难度大,进展比较缓慢[1,2]。
连续体结构的拓扑优化,是在给定外载和支承位置的情况下,要解决如下问题:第一、在弹性体内哪些地方需要删除;笫二、这些删除区应该是什么形状。
本文把删除区的位置与其边界的确定分作两步进行,这样可以充分发挥不同方法各自的优点,提高优化效率。
文中所计算的优化例题,结果令人满意。
2 方 法对于一连续体,无论是二维还是三维、单连域还是多连域,当给定外载和支承位置时(如图1),满足应力、位移等各种约束条件下的结构最优拓扑问题,都可以按如下步骤来求解: 步骤1 确定删除区的位置删除区的位置的确定可以采用各种不同的方法,本文采用有限元法与离散变量优化相结合的方法。
由于仅仅为了确定删除区位置,所以单元划分不必太细。
平面问题可以以单元厚度为设计变量,这些变量仅取两个离散值,一个值为原始厚度t ,另一个值为0,当然,一旦单元厚度为零,就意味着这个单元己不存在,应该去掉这个单元,并去掉该单元对应的应力约束,原优化模型的变量数和约束数目都发生了变化。
拓扑优化文档
拓扑优化1. 什么是拓扑优化拓扑优化是一种通过调整物体内部的结构来优化其性能的方法。
在工程领域中，拓扑优化被广泛应用于设计和优化各种结构和组件，如桥梁、飞机翼、汽车车身等。
通过优化结构的拓扑，可以实现减少材料使用、降低重量、提高强度和刚度等目标。
2. 拓扑优化的原理拓扑优化的原理基于有限元分析和优化算法。
首先，通过建立数学模型将待优化的物体离散化为有限个小单元，然后通过有限元分析计算每个单元的应力和变形。
接下来，通过优化算法对单元进行重新排列和连接，以达到优化目标。
最后，通过迭代计算和优化，得到最佳的拓扑结构。
3. 拓扑优化的优势拓扑优化相比传统的设计方法具有以下几个优势：•轻量化设计：通过优化结构的拓扑，可以减少材料使用，从而降低产品的重量，提高材料利用率。
•强度和刚度优化：通过调整结构的拓扑，可以使得产品在承受外部载荷时具有更好的强度和刚度，提高结构的耐久性和可靠性。
•自由度增加：拓扑优化在设计中引入了更多的自由度，从而可以实现更多创新的设计方案和拓扑配置。
•快速迭代：拓扑优化通过不断迭代计算和优化，可以快速地获得最佳的拓扑结构，节省设计时间和成本。
4. 拓扑优化的应用领域拓扑优化可以应用于各种领域，包括但不限于以下几个方面：4.1 机械工程在机械工程领域，拓扑优化广泛应用于各种机械结构的设计和优化。
例如，通过优化产品的拓扑结构，可以减少材料使用，降低重量，提高产品的强度和刚度。
4.2 建筑工程在建筑工程领域，拓扑优化可以应用于桥梁、建筑结构等的设计和优化。
例如，通过优化结构的拓扑，可以减少材料使用，降低建筑物的重量，提高抗震性能。
4.3 航空航天在航空航天领域，拓扑优化可以应用于飞机、航天器等的设计和优化。
通过优化结构的拓扑，可以减少飞机的重量，提高燃油效率，降低运营成本。
4.4 汽车工程在汽车工程领域，拓扑优化可以应用于汽车车身、底盘等的设计和优化。
通过优化结构的拓扑，可以减少汽车的重量，提高燃油效率，提高操控性能。
位移约束下的多材料连续体结构拓扑优化研究
摘要摘要结构拓扑优化(Topology Optimization)是根据设计域内的负载情况、约束条件和性能指标来优化材料分布，寻求结构的最佳传力路径。
由于其可以在满足结构性能的前提下，有效降低材料用量，并且其新颖的拓扑构形可以为工程创新设计提供方案，因此受到了众多学者和工程设计人员的青睐。
另外，随着科学技术和优化理论在实际工程结构设计中的不断发展，单一材料的结构拓扑优化已经不能满足结构设计领域多样性和多元化所提出的高精尖要求。
目前，多材料连续体结构拓扑优化是结构概念性设计领域具有挑战性的前沿课题之一，同时对于解决实际工程应用问题具有重要的理论意义。
本文基于隋允康教授于1996年提出的独立、连续、映射(Independent Continuous Mapping，ICM)方法，建立了在满足结构位移约束的条件下，以结构重量最轻为目标函数的连续体结构拓扑优化模型；讨论了过滤函数与约束条件对拓扑优化结果的影响；研究了不同位移约束及不同弹性模量比下，两材料及多材料连续体结构的拓扑优化。
利用M语言，在MA TLAB软件平台中开发了相应的连续体结构拓扑优化计算程序。
从以下几个主要方面进行了研究：（1）基于独立、连续、映射(ICM)方法，在连续体结构拓扑优化问题中采用结构位移作为约束条件，建立了在满足结构位移约束的条件下，以结构重量最轻为目标函数的连续体结构拓扑优化模型，讨论了过滤函数与约束条件对最优拓扑结构的影响。
（2）运用两材料连续体结构的材料插值函数，建立了位移约束下以结构重量最轻为目标函数的两材料连续体结构拓扑优化模型。
采用一阶泰勒展式和二阶泰勒近似分别对约束函数和目标函数进行了显式化，利用数学规划理论的二次规划方法对拓扑优化模型进行了求解。
针对典型平面连续体结构进行了数值验证与比较分析，讨论了给定约束条件和材料弹性模量对于两材料连续体结构优化结果的影响。
（3）提出了多材料连续体结构的材料插值函数，以三材料结构为例建立了多材料连续体结构拓扑优化模型并进行了优化求解。
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文章编号:1004Ο8820(2003)02Ο0138206具有多种约束的连续体结构拓扑优化江允正,王子辉,初明进(烟台大学土木工程系,山东烟台264005)摘要:对于具有多种约束条件的连续体结构的拓扑优化设计,本文提出一种通用优化方法:首先用优化方法确定微孔或称为基点的位置,然后再扩大微孔并确定其边界.文中对于具有应力和位移约束的几个平面问题进行拓扑优化,计算结果十分令人满意.关键词:结构拓扑优化;结构优化;连续体;中图分类号:TP391.72 文献标识码:A近年来,Bendsoe 和K ikuchi [1]等广泛采用连续体拓扑优化的均匀方法.首先从连续介质中人为地引进某一形式的微结构,例如周期性分布的微孔洞;然后用以数学中扰动理论为基础的均匀化方法这一数学工具建立材料的宏观弹性性质和微结构尺寸的关系,连续介质的拓扑优化就转化为决定微结构尺寸最优分布的尺寸优化问题,可以采用成熟的尺寸优化算法.迄今为止的均匀化方法还不能给出带有微观结构的材料的宏观许用应力和微结构尺寸的关系,因此到目前为止均匀优化方法可以求解的拓扑优化问题还很有限.均匀化方法的另一缺点是求得的最终设计可能具有很不清晰的拓扑,即结构中有的区域是相对密度介于0和1之间的多孔介质;文献[2]提出修改的满应力法来求解受应力约束的平面弹性体的拓扑优化问题,也仅能考虑应力约束问题;文献[3]提出统一骨架与连续体的结构拓扑优化的ICM 理论与方法.这些方法,基本上都采用有限元法进行结构分析,为了使边界光滑,不得不划分很细的单元,对于一般平面问题,单元数目都在数千个之上,计算效率低.总之,拓扑优化是最具挑战性而又困难的问题,优化方法仍然处在发展初期.这一领域迫切需要取得进展,开发通用的算法仍是挑战. 如上所述,采用均匀方法时,首先从连续介质中人为地引进某一形式的微结构,例如周期性分布的微孔洞.我们认为微孔洞的数量和位置应该用优化方法确定.并称这种微孔的中心叫做删除区的基点.然后扩大微孔,用优化方法确定孔的边界.于是,连续体结构的拓扑优化,可以归结为确定删除区的基点位置及其边界的问题.1 方 法 对于一个二维连续体,当给定外载和支承位置时,满足应力、位移等各种约束条件下的结构最优拓扑问题,都可以按如下步骤来求解:收稿日期:2002-12-17作者简介:江允正(1942-),男,湖南衡阳人,教授,主要从事结构优化方向教学与研究工作.第16卷第2期烟台大学学报(自然科学与工程版)Vol.16No.22003年4月Journal of Y antai University (Natural Science and Engineering Edition ) Apr.2003 步骤1 确定删除区域基点 删除区基点位置的确定可以采用不同的方法,本文采用有限元法与离散变量优化相结合. 由于仅仅为了确定删除区基点位置,所以单元划分不必太细.平面问题可以以单元厚度为设计变量,这些变量仅取两个离散值,一个值为原始厚度t ,另一个值为很小的正数ε,如果以结构重量为目标,满足应力和位移约束,那么该问题的数学规划模型就可以写成:求 T =(t 1,t 2,…,t n )T ,使V =∑ni =1t i s i →min ,s.t σj (T )≤[σ], j =1,2,…,n ,u k (T )≤u u,t i ∈(t ,ε), i =1,2,…,n.(1) 文中常取ε=(0.01～0.05)t ;n =100～200;板厚为ε便视为开孔.这些板厚为ε的单元组成的区域,当区域的面积趋于零时,区域的极限称之为基点.如图1(a )中左上角这个删除区,当这块面积逐渐减小并趋向于零的时侯,它的极限位置是原矩形体的左上角点,如图1(b )所示C 1点.在平面问题中,基点位置可能有三种情况:角点、边界点和内点.图1(b )中C 1点是角点,C 2是内点,图2的C 点是边界点.至于删除区边界可由下步确定.图1(a ) 第一步优化结果 图1(b )第二步计算模型 图1(c )第二步优化结果 步骤2 确定删除区边界 当删除区基点确定以后,我们可以用一族从基点出发的矢径来描述曲线上的点,如图2所示.每一个矢径的方位都事先给定,把矢径长度作为变量,变量均为非负连续变量.如果目标函数仍然为结构体积,满足应力、位移等约束条件,其数学模型为:求X =(x 1,x 2,…,x n )T ,min W =t 3S (X ),σ(X )≤σ0,i =1,2,…,m ,u k ≤u u ,k =1,2,…,p ,x i ≥0,i =1,2,…,n.(2)式中S (X )为挖孔后剩余面积.在约束条件中除了性能约束外还应加入几何约束,防止重复开孔.要确定删除区边界可以采用形状优化的各种方法来实现,本文使用边界元法[4].式中・931・ 第2期 江允正,等:具有多种约束的连续体结构拓扑优化应力是弹性体内任意点的应力,然而办不到,因为开孔区域的边界在变动,刚才还是实体,转眼也许需要挖去.根本无法指定那些固定点,并限制这些点的应力值.本文采用边界元法与连续变量优化方法相结合来求解.那么边界上各点的应力总是可以求得的,而且边界上的应力往往也是最大应力,原因之一是弯曲效应,其次是应力集中现象.对于平面线性单元,可以采用每个单元的切向应力加以限制.由节点位移和面力可以计算节点切向应力σi t =11-ν[2G (-u i +11-u i -11l i sin α+u 2i +1-u 2i -1l i cos α)+ν(p i 1cos α+p i 2sin α)]. 连续体结构拓扑优化问题其实是个连续离散变量优化问题,当采用有限元法作为分析手段时,为了使边界光滑就必须划分大量的单元,而每个单元往往就是一个变量,这种具有上千个变量的巨大问题给求解带来困难.本文将这种大问题化为两个小问题来求解,并且可以使用尺寸优化和形状优化的己有成果和各种现有的程序和手段.使问题的求解成为可能.图2 边界曲线上的点描述 图3 例1的计算模型2 例题计算 例1 一中跨深梁如图3所示[4],其上缘中部受垂直均布荷载P =13600N/cm 2,材料弹性模量E =1.9×104kN/cm 2,泊松比ν=0.3,许用应力[σ]=248MPa ,试进行拓扑优化. 解:第一步:确定删除区位置;利用对称性,取矩形区左半部,划分成160个三角形单元,每个单元厚度t 为一设计变量,t =112.5,0.25mm 两个离散值,以结构体积为目标,满足应力约束条件.用离散变量优化方法获得结果如图1(a ).由图1(a )可以判断该矩形区的左上角点和右上角点及中央处为删除区基点,如图1(b )所示. 第二步:确定删除区边界;将图1(b )所示结构沿边界划分边界单元,用11个变量描述两个删除区边界,为了简便,矢径夹角均为30度.如果仍以结构体积为目标,例中仅满足应力约束条件.采用最常用的优化方法,获得最优拓扑如图1(c )所示. 这一结果与文献[4]的结果极为相似(见图4),但拓扑远不如本文清晰. 例2 两端具有固定铰支座的深梁,在上部中央处承受垂直均布力P ,已知P =13600N/cm 2,E =1.19×104kN/cm 2,ν=0.25,[σ]=442MPa . 计算简图如图5所示. 解:第一步:确定删除区位置;利用对称性,取矩形区左半部,划分成160个三角形单元,・041・烟台大学学报(自然科学与工程版)第16卷 图4 文献[4]的优化结果用离散变量优化得到图5(a )结果. 第二步:确定删除区边界;将图5(b )所示结构沿边界划分24个边界单元,用8个变量描述三个删除区边界,优化结果如图5(c )所示.获得一个拱形结构.而这个拱比给定的高度低,在拱上多出一个传力块.这个结果告诉人们在题中给定的受力和支撑情况下,结构高度可以降低到图中的拱高就够了,去掉多余的传力块,将力直接作用到拱上.从全局来讲这一结果给了我们耳目以新的感觉.图5(a )第一步优化结果 图5(b )例1的计算模型 图5(c )第二步优化结果 为了判断这个结果的正确性,不妨把这个问题作点变动,如果把作用在上部的分布荷载移动到下边缘,如图6(a )所示.会得到什么样的拓扑呢?如果上题结果是正确的,那么,图6(a )的最优拓扑就该是图5(c )类似结构.下半部大拱不变,仅需将上部传力块翻转朝下.下面来求解这个问题. 例3 求解图6(a )所示问题:除外力作用点与上题不同外,其他条件完全相同. 解:第一步获得初形如图6(b )所示,中间多出一根传力杆,从图6(b )可以判断:在这块矩形板上,载荷作用处的两边和板的上侧左右两角点处应该开孔.如图6(c )所示. 使用了11个变量描述孔洞边界,通过第二步优化后获得了如图6(d )最优拓扑.这一结果与上题结果完全一致,合情合理.不过在该拱的顶上多了一根“天线”,这是边界收缩的残余物,应该去掉.图6(a )例1的计算模型 图6(b )第一步优化结果 图6(c )第二步计算模型 这一结果与图7(文献[4])相比差别特大.图7所示结构在制造上将会很困难. 例4 在例2中,如果去掉应力约束,要求满足位移条件,即上缘中点竖向位移不大于0.1in.・141・ 第2期 江允正,等:具有多种约束的连续体结构拓扑优化 图6(d )第二步优化结果 图7 文献[4]的优化结果 图8 仅满足位移约束的最优拓扑 在这种外力和给定支撑情况下,仅满足位移约束的最优拓扑是图8所示二杆结构,仅满足应力约束的最优拓扑是个拱(见例2图5(c )).可见这种结构抗变形能力比拱好,而拱的变形大而应力小.图8所示结构在受力时变形小但在中央的内尖点处将会产生应力集中现象.图9(a ) 第一步优化结果 图9(b )第二步优化结果 例5 在例4中,满足一个位移约束的基础上增加应力约束,求最优拓扑1 解:可以肯定该点位移约束仍然是有效约束. 第一步结果如图9(a ). 第二步获得最优拓扑如图9(b )所示.与图8相比不同之处在于:尖角用圆弧同替了,减少应力集中,这是非常合理的.3 结束语3.1 本文所给拓扑优化例题之中,删除区边界优化使用的边界元法是线性元,例题中变量数少,又是线性单元,但仍然较准确地给出了最优拓扑,说明本文所述方法有效.3.2 本文所给拓扑优化例题之中,删除区基点确定使用的有限元法是三角形常应变单元,如果改用矩形单元会更好.3.3 本文所作的例题仅仅是平面问题,但对空间问题同样有效.例题中仅满足应力和位移约束,但该方法对约束条件没有限制.3.4 该方法或称为二步法,确实是解决拓扑优化的一条途径.他将拓扑优化的难题化作尺寸优化和删除区边界优化两步来处理.使问题求解成为简单可行.3.5 多工况问题随后将另行讨论.参考文献:[1] Bendsoe M P ,K ikuchi N.G enerating optimal topologies in structural design using a homogenizationmethod [J ].Compt Mech Appl Mech Engrg ,1988,14:197～224.[2] 程耿东,张东旭.受应力约束的平面弹性体的拓扑优化[J ].大连理工大学学报,1995,35(1):1～9.[3] 隋永康,杨德庆,孙焕纯.统一骨架与连续体的结构拓扑优化的ICM 理论与方法[J ].计算力学学报,2000,17(1):28～33.・241・烟台大学学报(自然科学与工程版)第16卷 [4] 江允正,郑大素.发动机连杆形状优化[J ].哈尔滨船舶工程学院学报,1994,15(3):18～24.Topological Optimization of Continuum Structureswith V arious ConstraintsJ IAN G Yun 2zheng ,WAN G Zi 2hui ,CHU Ming 2jin(Department of Civil Engineering ,Y antai University ,Y antai 264005,China )Abstract :A optimization method described in this paper can be applied to the topological opti 2mization of continuum structures with various constraints perfectly.It performs the optimiza 2tion in two steps.First ,resolves the problem of which region in the elastic continuum should be deleted.Second ,locates the boundary of these regions.This method can be used to resolve the optimization problem of any kind of constraints.The final result of the topological optimization of continuum structures with various constraints of stress and dis placement by using the method described in this paper is perfect.Key words :topological optimization ;structure optimization ;continuum structures(责任编辑:柳瑞雪)・341・ 第2期 江允正,等:具有多种约束的连续体结构拓扑优化。